文档文本内容
微专题拓展07 三次函数常考模型
目录
01 解题方法总结..............................................................................................................................2
02 重难点题型梳理......................................................................................................................... 4
题型一：三次函数图象分析................................................................................................................4
题型二：三次函数单调性判定............................................................................................................7
题型三：三次函数对称性应用..........................................................................................................10
题型四：切线条数判断......................................................................................................................12
题型五：三次函数零点分布..............................................................................................................15
题型六：三次函数极最值求解..........................................................................................................18
题型七：等高线相关问题..................................................................................................................25
题型八：三次函数综合应用..............................................................................................................31
03 课后拓展精练............................................................................................................................41
1、三次函数的图象
对于三次函数
的判别式为
，则
的定义域为
，值域为
，图象如下：
参数范
围
图象
2、三次函数的零点
对于三次函数
（
、
、
、
且
），其导数为
当
，其导数
有两个解
，
，原函数有两个极值
，
．
①当
时，原方程有且只有一个实根
②当
时，原方程有两个实数根
③当
时，原方程三个实数根．
3、三次函数的对称性
对于三次函数
，
（1）若
，则
；
（2）
的对称中心是
．
4、三次函数的切线问题
对于任意三次函数
，过
图象的对称中心作切线，则坐标平面被切线和函数
的图
象分割为四个区域，有以下结论：
（1）过区域II、区域III 内的点以及对称中心作
的切线，有且仅有
条；
（2）过切线或函数
图象（除去对称中心）上的点作
的切线，有且仅有2 条．
（3）过区域I、区域IV 内的点作（x）的切线，有且仅有3 条．
5、三次函数的切割线性质
（1）如图所示，点
是函数
图象上任意一点（非对称中心），过
作函数
图象的切线
和割线
，其中
是切点，
是交点，则
成等差数列，即
；
（2）如图所示，点
是函数
的两个极值点，且方程
为
图象的对称中心的横坐标，则
成等差数列．
6、其它性质
设三次函数
的对称中心横坐标为
，若
存在两个极值点
，则
．
题型一：三次函数图象分析
例1．（2026·贵州黔南·一模）三次函数
的图象如图所示.下列说法正确的是（ ）
A．
，
，
，
B．
，
，
，
C．
，
，
，
D．
，
，
，
【答案】D
【解析】函数
，求导得
，
观察函数图象，得函数
有异号两个极值点
，且
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，排除A；
由
，得则
，
，得
，排除C；
由不等式
的解集为
，得
，即
，排除B；
又
是方程
的二根，
，则
，选项D 符合题意.
故选：D
例2．（2026·高三·广西钦州·阶段检测）下列在同一坐标系中的图象，可以作出三次函数
及其导函数的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，则
，则
的图象为抛物线，
对于A 选项，如下图所示：
当
或
时，
，则函数
在区间
、
上均为减函数，
不合乎题意，A 错；
对于B 选项，由图可知，
，
，则函数
在
上为增函数，
不合乎题意，B 错；
对于C 选项，由图可知，
，
，则函数
在
上为增函数，
合乎题意，C 对；
对于D 选项，如下图所示：
当
或
时，
，则函数
在区间
、
上均为减函数，
不合乎题意，D 错.
故选：C.
例3．设三次函数
的导函数为
，函数
图象的一部分如图所示，则下列说法正确的个数
为（ ）
①函数
有极大值
②函数
有极小值
③函数
有极大值
④函数
有极小值
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【解析】由题图知，当
时，
，则
；
当
时，
，则
；
当
时，
，则
；
当
时，
，则
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，
则
的极大值是
，极小值是
，①④正确，
故选：B
变式1．（2026·高三·福建宁德·阶段检测）已知三次函数
的图象如图，则不正确的是（ ）
A．
B．
C．
的解集为
D．若
，则
【答案】D
【解析】因为函数
为三次函数，可设
，
.
由图可知：
；
.
所以设
，
.
所以
，由
，
.
所以
，
，
又当
时，
.
对A:
,
，因为
，所以
，故A 正确；
对B：因为
，而
，
所以
成立，故B 正确；
对C：
，
因为
，所以
或
，
所以：不等式
的解集为
，故C 正确；
对D：因为
，
由
，
所以
，所以
，所以
，即
.故D 错误.
故选：D.
变式2．已知函数
的图象如图所示，则
（ ）．
A．0
B．l
C．2
D．
【答案】D
【解析】由图象知，
是函数
的3 个零点，则
，
求导得
，
是函数
的两个极值点，即为函数
的两个变号零点，
而
，所以
.
故选：D
题型二：三次函数单调性判定
例4．已知三次函数
在
是增函数，则
的取值范
围是
A．
或
B．
C．
D．以上皆不正确
【答案】D
【解析】由于函数在
上递增，故导函数恒为非负数，即
恒成立，
其判别式
，解得
，故选
.
例5．已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为函数
在
上单调递增，且
，
所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
因为函数
在
上单调递增，所以
，因此
.
所以实数
的取值范围是
例6．（2026·四川泸州·一模）若函数
在
单调递减，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
，求导得
，
当
时，
，
在R 上单调递增，不合题意；
令
，解得
或
，
若函数
在
单调递减，则
在
恒成立，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
的取值范围为
.
故选：C．
变式3．（2026·高三·山西大同·阶段检测）已知三次函数
在
上单调递增，
则
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
在
上单调递增，
恒成立，
，
，
，
，
，
令
，设
，
则
，
，
，
（当且仅当
，即
时取等号），
，即
的最小值为
.
故选：
.
变式4．若函数
在
上单调递增，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
在
上单调递增，可以转化为
在
上恒成立，
当
时，
，
令
，分离参数得
，
令
，
，求导得
，
令
，解得
或
（舍去），
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
内单调递减，
故
，
所以
；
当
时，
，求导得
，
令
，由于
，解得
或
（舍去），
当
时，
，则
在
上单调递增，
由题意
，故
，解得
．
又
，解得
．
综上，
的取值范围是
．
故选：C．
题型三：三次函数对称性应用
例7．（2026·浙江杭州·一模）设函数
，若
，则
（ ）
A．2
B．1
C．-1
D．-2
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
即
，
令
，
，所以
在
上为单调递增的奇函数，
由于
，
，
所以
，则
，
故选：D．
例8．定义：若函数
在
上可导，即
存在，且导函数
在
上也可导，则称
在
上存
在二阶导函数.记
，人们在研究学习过程中，发现：三次整式函数
都有对称中心，其对
称中心为
（其中
）.已知函数
.若
关于点
对称，则
（ ）
A．4
B．3
C．
D．1
【答案】A
【解析】已知
，导函数
，
再求出二阶导函数
，令
，解得
，
代入得
，对称中心为
，
由函数图像中心对称性质可知
，
由题意可知
关于点
对称，
可知
的中点为
，故
.
例9．对于三次函数
，给出如下定义：设
是函数
的导函数，
是
的导函数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”.经
过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数的图象都有对称中心，且“拐点”就是
对称中心.设函数
，则
（ ）
A．2026
B．2025
C．1012
D．1013
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
.
令
，解得
，而
，
则
的图象关于点
对称，所以
，
则
.
变式5．对于三次函数
给出定义：设
是函数
的导数，
是
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”.某同学经过探
究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给
定函数
，请你根据上面探究结果，计算
（ ）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2026
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
令
，则
，
令
，即
，解得
，
又
，
由题中给出的结论，可知函数
的对称中心为
，
所以
，即
，
故所求式子的各项可配对，有
，共
对，
所求式子的中间项为
，
所以
.
变式6．关于三次函数
的图象，下列叙述中正确的是（ ）．
A．仅有一个对称中心
B．仅有一条对称轴
C．仅有一个对称中心
D．没有对称轴，但对称中心不止一个
【答案】C
【解析】
，其图象的对称轴为直线
，代入
，得
，
易知原函数图象的对称中心为
，无对称轴．
故选：C.
题型四：切线条数判断
例10．定义：设
是
的导函数，
是函数
的导函数．若方程
有实数解
，则
称点
为函数
的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”
就是三次函数图象的对称中心．已知函数
的对称中心为
，过
可以作
三条直线与
图象相切，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】可得
，则
，
且
，解得
，
，设切点为
，
由
，得
，
则切线的斜率为
，
所以切线方程为
，
即
，
因为切线经过点
，所以
，
化简得
，
令
，则
，
由
，得
或
，
当
或
时，
，
在
和
上递减，
当
时，
，
在
上递增，
所以
的极小值为
，极大值为
，
由图象可知当
时，直线
与
的图象有3 个交点，
所以当
时，关于的方程
有3 个不等的根，
即当
，过
可以作三条直线与
图象相切.
例11．过点
的直线与曲线
相切，则直线的斜率为（ ）
A．1
B．-1
C．3 或1
D．3 或
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
，
当
为切点时，
；
当
不为切点时，设切点为
，
，
所以
，
所以切线方程为
，
又切线过点
，
所以
，
即
，即
，
解得
或
（舍去），所以切点为
，
所以
．
综上所述，直线l 的斜率为3 或
．
例12．已知过原点
的直线与函数
的图象相切，则的斜率为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】C
【解析】由题意设直线为
，由
，得
，
设切点的横坐标为
，则
，
消去
得
，整理得
，所以
，
解得
，所以的斜率为
.
变式7．函数
过点
的切线条数为（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【答案】B
【解析】由函数
，则
，
当点
为切点时，则
，即切线的斜率
，
所以切线的方程为
，
当点
不是切点时，设切点
，则
，
即
，即
，
解得
或
（舍去），所以
所以切线的方程为
，即
．
综上，函数
过点
的切线条数为2 条.
故选：B
变式8．（2026·高三·安徽阜阳·阶段检测）若过点
可作曲线
的三条切线，则a 的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设切点的坐标为
，
，所以切线方程为
，
因为切线过点
，所以
，整理得
，
令
，
,由
，得
或
，由
，得
，
所以函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
，解得
，故
的取值范围为
.
故选：A
题型五：三次函数零点分布
例13．（2026·甘肃天水·模拟预测）设三次函数
的导函数
，且
，则函数
的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【解析】由
且
知，当
时，
，当
或
时，
，则函数
在
上单调增，
在
上单调减，在
上单调增，又
，则
，
则
，所以
，
又
，所以函数有三个零点.
故选：D．
例14．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数
.若关于
的方程
在区间
内恰有
两个不同实根，则
（ ）
A．
B．0
C．2
D．
或2
【答案】D
【解析】函数
，
，
当
单调递增，当
单调递减，当
单调递增，
所以
的极大值为
，
的极小值为
，且
，
，
所以
的最大值为2，
的最小值为
，
所以若关于
的方程
在区间
内恰有两个不同实根，则
或
.
例15．已知函数
有两个零点，则实数
的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】由条件得，
，
①若
，则
，则
在
上单调递增，
至多有一个零点，不合题意；
②若
，则
，由
得
或
；
得
，
则
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
在
处有极大值，在
处有极小值，
因
，
而
，
(i).当
时，
，且当
时，
，
则
在
上只有1 个零点，在
上均有
，不合题意；
(ii).当
时，
，
，
，
，
则
在
上有1 个零点，在
上有1 个零点，在
上有1 个零点，不合题意；
(iii).当
时，
，
，
由
得
或
，由
得
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
且
，
，
，
所以
在
上有1 个零点，在
上只有1 个零点为1，符合题意.
综上，当
时， 若使函数
有两个零点，得
；
③若
，则
，由
得
或
；
得
，
则
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
因
，则
时，
，
此时
在
上至多存在一个零点，不合题意.
综上所述，若使函数
有两个零点，则
.
变式9．设函数
，则“
”是“
与
轴有3 个公共点”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不
必要条件
【答案】B
【解析】当
时，
，
，
，
方程
有两个不同实根，设为
，
函数
在区间
和
上单调递增，在区间
上单调递减，
存在极大值
和极小值
，
若
且
，则有3 个零点，
若
或
，则零点个数少于3 个，
所以“
”不能推出“
与
轴有3 个公共点”，充分性不成立；
若
与
轴有3 个公共点，
则函数
必有极小值和极大值，且极小值小于零，极大值大于零，
函数有极大值极小值，即导数
有两个不同实根，
即
，
所以
，必要性成立.
变式10．已知函数
在
上有3 个不同的零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，所以
，令
，
函数
在
上有3 个不同的零点即函数
与直线
有三个交点，
，当
解得
，所以
时，
，
时，
，
时，
，
即函数
在
单调递增，在
单调递减，在
单调递减，且函数
在
取得极大值
，在
取得极小值
，
由此可得函数
图象，结合图象可得实数
的取值范围为
题型六：三次函数极最值求解
例16．已知函数
．
(1)求
的单调区间和极值；
(2)求
在区间
上的最大值和最小值．
【解析】（1）由
，
可得
，
令
，解得
，或
，
当
变化时，
的变化情况如下表所示．
3
0
0
单调递增
6
单调递减
单调递增
因此，
的单调递增区间为
和
；单调递减区间为
；
当
时，
有极大值，并且极大值为
；
当
时，
有极小值，并且极小值为
．
（2）由（1）知：函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
在区间
上，当
时，
有极大值，并且极大值为
，
又由于
，
，
所以
在区间
上最大值为
；
最小值为
．
例17．已知函数
，
．
(1)求
的单调区间；
(2)求
在闭区间
上的最大值与最小值．
【解析】（1）
，
，
令
，解得
或
，
当
变化时，
的变化情况如表所示．
+
0
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
故
的单调递增区间为
，
；单调递减区间为
.
（2）由（1）知：
3
0
0
+
单调递
增
极大值
单调递
减
极小值
单调递
增
得到
，
，
，
，
即函数
在区间
上的最大值为
，最小值为
.
例18．已知函数
在
处取得极小值．
(1)求
；
(2)若关于
的不等式
在
恒成立，求
的取值范围．
【解析】（1）
的定义域为
，则
，
由函数
在
处取得极小值，得
，解得
，
，
若
，则
，令
，得
，
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
是
的极小值点，符合题意，
若
，则
，令
，得
，
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
是
的极大值点，不符合题意，
综上，
；
（2）由（1）得
，
，
不等式
在
恒成立，
即不等式
在
恒成立，
令
，
，
由
，得
，则
，故
，
所以
时，
取最大值，
所以
，即
的取值范围是
．
变式11．（2026·高三·陕西西安·阶段检测）已知三次函数
，
，若函数
的图象在
处的切线方程为
(1)求函数
的解析式；
(2)若存在
，使得
成立，求实数
的取值范围.
【解析】（1）因为
，直线
的斜率为
所以
，故
，
解得
，
由于切点坐标为
，即
，所以
，
解得
，
所以
，
（2）令
，则
所以
，
令
，则
或
，
当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
，函数
单调递增，
所以函数
在
内取得最大值
，
因为存在
，使得
成立，即使得
成立，
所以
，解得
，
所以
的取值范围为
.
变式12．（多选题）（2026·陕西铜川·一模）已知三次函数
，下列说法正确的是
（ ）
A．若
的极大值为4，则
B．
的极小值为0，则
C．
，则
D．存在
，使
在
的值域为
【答案】AC
【解析】对于A 选项，显然
，
，
令
得
或3，若
，
令
，得
或
，令
，得
，
故
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
故
在
处取得极大值，在
处取得极小值，且
，
令
，解得
；若
，
令
得
，令
得
或
，
故
在
，
上单调递减，在
上单调递增，
故
在
处取得极小值，在
处取得极大值，
且
，不合要求，综上，
，A 正确；
对于B 选项，由A 可知，当
时，极小值为
，满足要求；
当
时，极小值为
，不合要求，则
，B 错误；
对于C 选项，由题意得
，
可得
，
，
又
，故
，故
，C 正确；
对于D 选项，由A 知，
时，
在
，
上单调递减，在
上单调递增，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
显然
的最小值为
，不合要求；
当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
若
，则
在
上单调递增，在
上单调递减，
其中
，故
的最小值为
，不合要求；
若
，则
在
上单调递减，故
的最小值为
，不合要求；
不存在
，使
在
的值域为
，D 错误.
故选：AC
变式13．（2026·四川绵阳·模拟预测）拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点（即曲线的凹凸分
界点）．设
是函数
的导函数，
是函数
的导函数．若方程
有实数解
，并且在点
左右两侧二阶导数符号相反，则称
为函数
的“拐点”．经
研究发现所有的三次函数
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数
的
图象的对称中心．已知三次函数
(1)过点
作曲线
的切线，求切线方程：
(2)若对于任意实数
，都有
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)已知函数
，其中
．求
的拐点．
【解析】（1）因为
，故可设切点为
，
，
所以
，
整理得：
解得：
或
，
当
时，切点为
，切线斜率为
，故切线方程为
，
当
时，切点为
，切线斜率为
，切线方程为
，
故切线方程为：
或
．
（2）
，当且仅当
时，
，
由（1）
，
所以当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
又由
可得，
，
，
作函数
的大致图象如下，
所以
，
要使
恒成立
当
即
时，
恒成立，
即
，且
，
所以
当
时，由
恒成立，
得
（*），
因为
，所以
，
，
令
，所以
，
当
时，
，当
时，
，
由题干可得函数
的图象关于点
对称，
所以
，
所以不等式（*）为
，
因为
，结合图象可得
，
所以
恒成立，
，所以
．
综上，
且
（3）
，
由于
，故
，即
的定义域为
，
，
，
令
得，
，
令
，
，
则
在
上恒成立，
故
在
上单调递增，
又
，由零点存在性定理知，
有唯一的零点
，
故
，即
时，满足
，
当
时，
，
故
的拐点为
变式14．已知三次函数
，若不等式
的解集为
，则实数
的值为
（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
令
，得
或
；令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
的极大值为
，极小
值为
，
则当
时，
，当
时，解方程
，即
，解得
，所以
，
所以当
时，
；当
时，
.
综上，不等式为
，其解集为
，即
．
题型七：等高线相关问题
例19．（2026·浙江·一模）已知三次函数
，若不等式
的解集为
，则
的值
为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】D
【解析】由
，求导可得：
，
由
，得
或
，由
，得
，
所以
在
单调递增，在
单调递减，
所以当
时，极大值为4，
即当
时，
，
又当
时，极小值为0，当
时，
，
且函数
在
单调递减，在
单调递增，
即当
时，
，当
时，
，
综上可知不等式
的解集为
，
故选：D
例20．（多选题）（2026·高三·湖南长沙·阶段检测）已知三次函数
有三个不同的零
点
，
，
（
），函数
也有三个零点
，
，
（
），则（ ）
A．
B．若
，
，
成等差数列，则
C．
D．
【答案】ABD
【解析】由
可得
，
要使
有三个不同的零点
，
，
（
），
则
有两个不相等的实数根，故
，
即
，A 正确，
由于
为二次函数，关于
对称，因此
，
故
关于
对称，
因此
，
，
成等差数列，故
是
的对称中心，则
，故B 正确，
当
时，作出
的图象，则
的图象与
的图象交点如图所示，
由于
，故
，故C 错误，
对于D，根据
，
展开可得
，
故
，
同理可得
的三个实数根为
，
，
（
），
则
，
故
，
因此
，
故
，
即得
，故D 正确，
故选：ABD
例21．（多选题）（2026·重庆北碚·模拟预测）设三次函数
，其中
，则下列说
法正确的是（ ）
A．当
时，若函数
的对称中心为
，则
B．当
时，函数
的图象关于点
中心对称
C．当
时，若
的两个极值点为
，且
，则
D．当
时，若
有三个相异且成等差数列的零点，则实数
的取值范围为
【答案】BCD
【解析】对A：当
时，
，
由函数
的对称中心为
，则
，
即有
，
整理得
，即有
，解得
，
即
，故
，故A 错误；
对B：当
时，
，
则
，
故函数
的图象关于点
中心对称，故B 正确；
对C：当
时，
，
，
则
，
，
，
由
，且
，则
，故
，
，
即有
，
，且
，
，故
，
，
即有
，即
，故C 正确；
对D：当
时，
，
设三个相异零点分别为
、
、
，
则
，
即
，
则
，由
得
，
则由
可得
，故
，
又
，故实数
的取值范围为
，故D 正确.
变式15．（多选题）（2026·高三·山东泰安·期中）已知三次函数
，则下列说
法正确的是（ ）
A．若
有两个极值，则
B．若
，则
C．若函数
有3 个零点
，且
，则
D．当函数
的图象经过的象限最多时，
的取值范围是
【答案】ABD
【解析】选项A，
，
，
三次函数，
，
有两个极值，
有两个不等实根，
，
，
，
，故选项A 正确；
选项B，
，
，
，
，
，故选项B 正确；
选项C，
有3 个零点，
有3 个不同的根
，
，
，
，
，
，
，故选项C 不正确；
选项D，设
，
，
，
的图像经过的象限最多，则
的图像要经过全部四个象限，当且仅当函
数
在
和
上均有正值和负值，
时，
或
，
当
时，即
，
的解为
或
，则
在
和
为增函数；
的解为
，则
在
为减函数；
，
，
，
时，
，
当
时，
，
的图像经过的象限最多为第一、二、四这三个象限；
当
时，即
，
的解为
或
，则
在
和
为增函数；
的解为
，则
在
为减函数；
，
，
，
时，
，
当
时，
，
的图像经过的象限最多为第一、二、四这三个象限；
当
时，
，则
在
为增函数；
，
，
，
时，
，
当
时，
，
的图像经过的象限最多为第一、二、四这三个象限；
当
时，即
，
的解为
或
，则
在
和
为减函数；
的解为
，则
在
为增函数；
，
，
，
，
，
，
，
有正有负，
过二、三象限；
，
，
当
时，即
，
，
，
在
的范围有正有负，
当
时，
的图像经过的象限最多为第一、四象限；
综上可知，
时，
的图像经过的象限最多为第一、二、三、四象限，
故当
的图像经过的象限最多时，
.故选项D 正确.
故选：ABD.
变式16．（多选题）（2026·高三·江苏·阶段检测）已知三次函数
有三个不同的零
点
，
，
，函数
也有三个零点
，
，
，则（ ）
A．若
，则
且
B．若
，
，
，
，则
C．若
，则
对称中心为
D．设曲线
在点
处的切线斜率为
，若
，则
的最小值为9
【答案】BC
【解析】易知
对于A，由穿根法可作出
的大致图象，三个零点依次如图所示，
再作
的图象与
相交，则该三点横坐标依次为
，
根据图象易知
且
，故A 错误；
对于B，由上易知
，当
，则
，故B 正确；
对于C，易知
，
则
，
所以
对称中心为
，故C 正确；
对于D，
，
则
若
，
，
则
，
所以
，
当且仅当
时取得等号，故D 错误.
故选：BC
题型八：三次函数综合应用
例22．已知三次函数
(1)当
时，试求
的单调区间和零点．
(2)若函数
存在3 个不同的零点
，证明下列结论：
（i）
；
（ii）当
时，
成等差数列的充要条件是
；
（iii）某同学课外研究时发现了一个有趣的结论：
，请同学
们结合本题中
的关系证明如下命题：记
，
是函数
的导函数，
令
，证明：对任意
是一个次数不超过2 的
多项式函数．
【解析】（1）因为
，所以
，
求导得
，令
，解得
或
，
所以函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
令
，可得
，所以
，
所以
，解得
或
或
，
所以函数
的零点为0，1，2；
（2）（i）因为函数
存在3 个不同的零点
，
所以
，
所以
，
又
，
所以
.
（ii）先证明必要性：
由
成等差数列，
所以
，
所以
,
由
，
所以
，
整理可得
.
再证明充分性：由
，所以
，
即
，
所以
是函数
的一个零点，
当
时，
,
又∵
,
所以
,所以
,
所以
成等差数列.
（iii）因为
，
所以
，
所以
,
所以
，
由
，
可得
所以
所以
，
所以
，
所以
，
所以对任意
是一个次数不超过2 的多项式函数．
例23．给出定义：设
是函数
的导函数，
是函数
的导函数，若方程
有实数解
，则称
为函数
的“固点”．经研究发现所有的三次函数
都有“固点”，且该“固点”也是函数
的图象的对称中心．根据以上
信息和相关知识回答下列问题：已知三次函数
．
(1)当
时，求
的对称中心；
(2)若函数
存在极大值
与极小值
，
，求
的值域．
【解析】（1）
时，
，
∴
，∴
，
令
得，
，又
，
对称中心
；
（2）
，
令
，得
，
∵
为极大值，
为极小值，
，
则
，
随x 的变化如下：
x
0
2
＋
0
－
0
＋
极大值
极小值
∵
，
，
，
的值域为
．
例24．已知三次函数
过点
，且函数
在点
处的切线恰
好是直线
．
(1)求函数
的解析式；
(2)设函数
，若函数
在R 上有三个不同零点，求实数
的取值范围．
【解析】（1）
，
由题意可知：
；
（2）令
，
设
，
当
或
时，
在
上单调递增，
当
时，
在
上单调递减，
所以
的极大值是
，极小值是
，
且当
时，
，
时，
，
因为若函数
在R 上有三个不同零点，
故所求为
.
变式17．设
是函数
的导函数，若
可导，则称函数
的导函数为
的二阶导函数，
记为
.若
有变号零点
，则称点
为曲线
的“拐点”.
(1)研究发现，任意三次函数
，曲线
都有“拐点”，且该“拐点”也
是函数
的图象的对称中心.已知函数
的图象的对称中心为
，求函数
的解析式，并讨论
的单调性；
(2)已知函数
.
（i）求曲线
的“拐点”；
（ii）若
，求证：
.
【解析】（1）
，
，
，
又函数
的图象的对称中心为
，即拐点为
，
解得
，
，
，
函数
在
上为正，在
上为负，在
上为正，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）（i）
，
，
.
显然，
在
上单调递增，且
，
是
的变号零点，
又
，
曲线
的拐点是
.
（ii）由（i）可得，当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增；
，
函数
在
上单调递增，不妨设
.
要证
，即证
，即证
，
又
，即证
，即证
.
令
，则
，
，
函数
在
上单调递增，又
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
得证，即
成立.
变式18．已知函数
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若函数
有三个零点，求实数
的取值范围.
【解析】（1）当
时，
，则
，
则
，又
，
则曲线
在
处的切线方程为
，即
；
（2）若
，则
，
，
则
在
上单调递增，不符合题意；
若
，
，
当
时，若
时，
，
当
时，
，
故
在
、
上单调递增，在
上单调递减，
由
时，
，
时，
，
又函数
有三个零点，则
，解得
；
当
时，若
时，
，
当
时，
，
故
在
、
上单调递增，在
上单调递减，
由
时，
，
时，
，
又函数
有三个零点，则
， 解得
；
综上可得：
.
变式19．已知
在
处取得极大值
.
(1)求
在点
处的切线方程；
(2)若
，讨论
零点的个数.
【解析】（1）已知
，则
因为
在
处取得极大值
，
则
，解得
，
，经检验，符合题意，
所以
，
，
故
，
，
则切线方程为
，即
.
（2）令
，所以
，
的零点个数等价于
的图像与直线
的交点个数，
由（1）可知，
，
，令
，解得
或
，
则
，
，
的关系如下表：
单调递增
单调递
减
单调递
增
所以
的极大值为
，极小值为
，如图所示，
①当
或
时，
有一个零点；
②当
或
时，
有两个零点；
③当
时，
有三个零点.
变式20．已知曲线
在点
处的切线的斜率为12，且在
处取得极值．
(1)求函数
的解析式；
(2)求函数
的单调区间；
(3)讨论方程
的解的个数．
【解析】（1）由题意，
，函数
的定义域为R，可得
．
因为函数
在点
处的切线的斜率为12，
所以
①
又函数
在
处取得极值，
此时
， ②
由①②可得
，
所以函数
．
（2）由（1）知，
，
．
当
时，
单调递增；当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增．
所以函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
．
（3）由（1），（2）知，函数
在区间
上单调递增，
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
函数
的极大值为
，
，
函数
的极小值为
，
，
当
时，
，当
时，
．
可知，
当
或
时，
有一个解，
当
或
时，
有两个解，
当
时，
有三个解．
变式21．已知函数
，其中
．
(1)若
在
处的导数为0．
（i）求实数
的值；
（ii）求
在区间
上的值域；
(2)若
有3 个不同的零点，求
的取值范围．
【解析】（1）（i）函数
，求导得
，
由
在
处的导数为0，得
，
所以
.
（ii）由（i）得
，
，
当
时，由
，得
；由
，得
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，
所以函数
在区间
上的值域为
.
（2）由（1）知
，
，
当
或
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
函数
在
处取得极大值
，在
处取得极小值
，
由函数
有3 个不同的零点及三次函数的图象特征，得
，解得
，
所以
的取值范围是
.
1．对于三次函数
，给出定义：设
是函数
的导数，
是
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”．经过探究发现：
任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数
，则
（ ）
A．0
B．2
C．4
D．6
【答案】C
【解析】函数
的定义域为R，求导得
，
，
由
，得
，解得
，而
，
因此函数
的图象关于点
对称，则
，
即
，
所以
.
2．（2026·高三·江苏·阶段检测）已知三次函数
的定义域和值域都为
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．
【答案】D
【解析】因为
，
三次函数
的定义域和值域都为
，所以
，所以
，
所以
，
当
时，
不合题意；
当
时，
，
单调递减；
单调递增；
所以
，
所以
，即得
.
故选：D.
3．（2026·江苏·模拟预测）贝塞尔曲线（Beziercurve）是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的矢
量图形软件通过它来精确画出曲线.三次函数
的图象是可由
，
，
，
四点确定的贝塞尔曲线，
其中
，
在
的图象上，
在点
，
处的切线分别过点
，
.若
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，则
，
由题意
，解得
，所以
.
故选：C.
4．已知点
不在函数
的图象上，且过点
仅有一条直线与
的图象相切，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由点
不在函数
的图象上，得
，则
，
设过点
的直线与
的图象相切于点
，
，
切线方程为
，则
，
整理得
，令
，依题意，函数
只有一个零点，
求导得
，当
或
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
函数
在
处取得极大值，在
处取得极小值，
要使
仅有一个零点，当且仅当
，
解得
或
，所以实数
的取值范围为
故选：C
5．过点
作曲线
的切线，不同的切线条数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】由题意设切点坐标
，
，
切线斜率：
，
，
化简可得：
，
解得：
或
，
所以满足条件的切点有两个，对应切线有2 条，
故选：C
6．过点
作曲线
的切线，若切线有3 条，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，则
，设切点为
，则切线斜率
，
即
，整理得
，
设
，由题意可知
有3 个零点，
，显然
，
由
，得
或
，
因为三次方程有三个根的条件是导数对应的极值点处函数值异号，
所以
，所以
，或
.
故选：A.
7．若函数
有三个零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
，其导数
，
令
，解得极值点
，
.
时，
，
单调递增；
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增.
所以极大值为
， 极小值为
.
因为函数有三个零点，所以
，解得
.
8．（多选题）三次函数
，定义：
是
的导数，
是函数
的导数，若方程
有实数解
，则称
为
的“拐点”.某同学经探究发现：
任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
拐点处的切线方程为
B．若经过点
可以向曲线
作三条切线，则
的取值范围是
C．对任意实数
，直线
与曲线
有唯一公共点
D．存在等差数列
，使
【答案】ACD
【解析】对于A：当
时，
，则
，
，
令
，解得
，又
，
，
所以函数
拐点处的切线方程为
，即
，故A 正确；
对于B：因为
，则
，
设切点为
，则
，
所以切线方程为
，
又切线过点
，所以
，
整理得
，令
，则
，
所以当
时，
，当
或
时，
，
所以
在
上单调递增，在
，
上单调递减，
所以
在
处取得极小值，在
处取得极大值，
又
，
，
因为经过点
可以向曲线
作三条切线，即
与
有三个交点，
所以
，即
的取值范围是
，故B 错误；
对于C：由
，
可得
，
即
，显然
在定义域上单调递增，所以
，
即对任意实数
，直线
与曲线
有唯一公共点，故C 正确.
对于D，由
，得
，所以
，
令
，解得
，又
，
所以函数
图象关于点
对称，所以
，
，
所以
，
所以存在等差数列
，使
，故D 正确.
9．（多选题）（2026·高三·江苏无锡·阶段检测）对于三次函数
，给出定义：
是函数
的导数，
是函数
的导数，若方程
有实数解
，则称
为函数
的对称中心．已知函数
．若
有三个零点
，
且在点
处切线的斜率为
，则下列结论正确的是（ ）
A．
的极大值点为
B．
的极小值为
C．
D．
【答案】BCD
【解析】由函数
，可得
，
令
，解得
，
，
令
，解得
或
，令
，解得
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
取得极大值，极大值为
，
的极大值点为
，A 错
误；
当
时，
取得极小值，极小值为
，所以
的极小值为
，B 正
确；
由
，得
，令
，可得
，
由
，点
是函数
的对称中心，所以
，
令
，得
，
则
，
所以
，C 正确；
对于D，因为
有三个零点
，则
，
，
，
因为
，
所以
，
，
，
，
D 正确.
故选：BCD.
10．（多选题）（2026·四川眉山·模拟预测）定义：设
是
的导函数，
是函数
的导函
数.若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”.经过探究发现：任何一个
三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数
图
象的对称中心为
，则下列说法正确的是（ ）.
A．
，
B．函数
有三个零点
C．
D．若
过点
可以作三条直线与
的图象相切，则实数
的取值范围为
【答案】ACD
【解析】对于
，由
，可得
，则
.
因为点
是函数
图象的对称中心，结合题设中“拐点”的定义知，
且
，解得
，
，
正确；
对于
，由
，
，可知
，则
.
令
，可得
或
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
因为
，
，
，
所以函数
只有两个零点，
错误.
对于C，因为点
是函数
图象的对称中心，所以
.
令
，
则
，
所以
，
所以
，
即
，
C 正确.
对于
，设切点为
，由
，得
，则切线的斜率
，
所以切线方程为
，即
.
因为切线经过点
，所以
，
化简得
，
由题意可知关于 的方程
有3 个不相等的根.
令
，则
，
由
，得
或
.
当
或
时，
；当
时，
.
故
在
和
上单调递减，在
上单调递增，
所以
的极小值为
，极大值为
，
所以
的大致图象如图所示.
由图象知，当
时，直线
与
的图象有3 个交点，
当
时，关于 的方程
有3 个不相等的根，
当
时，过点
可以作三条直线与
的图象相切，
正确.
故选：ACD
11．（多选题）定义：设
为三次函数，
是
的导函数，
是
的导函数，若方程
有实数解
，则称点
为三次函数
图象的“拐点”.经过探究发现：任意三次函
数
图象的“拐点”是其对称中心.已知三次函数
的极大值点和极小值点分别为
，且有
，则下列说法中正确的是（ ）
A．
，
B．方程
有三个根
C．若关于
的方程
在区间
上有两解，则
D．若函数
在区间
上有最大值，则
【答案】BC
【解析】由题意得
，
，
，
关于
对称，即拐点为
，
对于A，易知
，即
，解得
；故A 错误；
得
对于B，易知
，
令
，可得
，令
，可得
或
，
即
在
上单调递减，在
，
上单调递减，
其图象如图所示，
由图得
与函数
的图象有三个交点，即方程
有三个根，可知B 正确；
对于C，易知
，
，
，
若关于
的方程
在区间
上有两解，即
与函数
的图象在
有两个交点，
则
，故C 正确；
对于D，易知
，若函数
在区间
上有最大值，则区间
内必须包含极
大值点0，且区间上限不超过3，
，
即可得
，
，故D 错误，
故选：BC.
12．（多选题）已知三次函数
在区间
上的值域也为
，那么下列说法正确的是
（ ）
A．
且
B．当
时，满足要求的
不存在
C．当
时，有
D．当
时，有
【答案】ABD
【解析】对于A，由已知
，当
时，
，且
，则
在
上为减函数，
此时
，矛盾，故
且
，故A 正确；
对于B，由
知，
的极值点分别为
当
时，则
，如图1，
在
上为减函数，则
，矛盾，故B 正确；
对于C，当
时，如图2，由
（仅
时成立，
时，应为
），
得
，但
，矛盾，故C 错误；
对于D，当
时，如图3，
在
上减，在
上增，所以
，
有
，解得
，符合条件，故D 正确.
故选：ABD.
13．（多选题）（2026·高三·辽宁·期中）设
是
的导函数，
是
的导函数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有
“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数
，则（ ）
A．若
有极值点，则
B．若当
时，
有极值
，则
对应的拐点为
或
C．若当
时，
在
上无极值点，则的取值范围为
D．若当
，
时，曲线
与轴分别交于
、
、
，则
【答案】ACD
【解析】对于A 选项，若函数
有极值点，则
有两个不等的零点，
所以，
，即
，A 对；
对于B 选项，当
时，函数
有极值
，
则
，解得
或
，
当
，
时，
，
此时，函数
在
上单调递增，该函数无极值，
经检验，
，
合乎题意，
所以，
，
，令
，可得
，
此时，函数
对应的拐点为
，B 错；
对于C 选项，当
时，函数
在
上无极值点，
则函数
在
上为单调函数，则
恒成立，
则
，解得
，即实数的取值范围是
，C 对；
对于D 选项，当
，
时，
，
由
有
，
等式
两边同除
可得
，
令
，则、
、是方程
的三个根，
所以，
，
即
，
所以，
，
，
，
所以，
，D 对.
故选：ACD.
14．（多选题）已知三次函数
，若不等式
的解集为
，则
下列说法正确的有（ ）
A．
B．函数
的极小值为4
C．若函数
在
上既有最大值又有最小值，则
D．若函数
有3 个零点
，函数
有3 个零点
，则
【答案】ACD
【解析】对于A，由不等式
的解集形式可知
为方程
的二重根，
即
，解得
，即A 正确；
对于B，易知
，则
，
令
，解得
或
；
当
时，
，即
在
上单调递减，
当
或
时，
，此时
在
和
上单调递增；
所以
在
处取得极小值，此时
，即B 错误；
对于C，若函数
在
上既有最大值又有最小值，因为是开区间，所以区间内需包含两个极值点
和
；
又
，
，
所以最大值为4，最小值为0，因此即可得
，
，即C 正确；
对于D，函数
有3 个零点
，即
有三个不相等的实数根，
因此
，
即
；
因此可得
，
，
所以
，与无关，是定值，
同理可得
，即
，可知D 正确.
故选：ACD
15．（多选题）对于三次函数
，给出定义：
是函数
的导数，
是函数
的导数，若方程
有实数解
，则称
为函数
的“拐点”.某同学
经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中
心.若函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的极大值为
B．
有且仅有2 个零点
C．点
是曲线
的对称中心
D．
【答案】AD
【解析】由题意得，
，
令
，解得
或
；令
，解得
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
单调递增，
所以当
时，
取得极大值，极大值为
，故A 正确；
当
时，
取得极小值，极小值为
，
且当
时
，当
时，
，
极大值
，极小值
，所以函数
有3 个零点，故B 错误；
由
，得
，令
，得
，
又
，
所以点
是曲线
的对称中心，故C 错误；
因为
是函数
的对称中心，所以
，
令
，
得
所以
，
所以
，即
，故D 正确.
故选：AD.
16．（多选题）（2026·高三·浙江·开学考试）三次函数
叙述正确的是（ ）
A．函数
可能只有一个极值点
B．当
时，函数
的图象关于点
中心对称
C．当
时，过点
的切线可能有一条或者两条
D．当
时，在点
处的切线与函数
的图象有且仅有两个交点
【答案】BD
【解析】对于A 选项：
，令
，
即
，
当
时，方程
有两个不同根，
有两个极值点；
当
时，
无个极值点，故A 错误；
对于B 选项：
，又
是奇函数，关于点
对称，
所以函数
的图象关于点
中心对称，故B 正确；
对于C 选项：设切点
，则切线方程为
，
因为过点
，所以
，
即
，
整理得
，所以
，或
，由于
，
则两根相等，即只有一个切点，即只有一条切线，故C 错误；
对于D 选项：在点
处的切线为
，
与曲线联立方程组
化简得，
，
所以
，或
，由于
，则方程组有两个不同解，
即有两个不同交点，故D 正确.
故选：BD.
17．（多选题）（2026·高三·江苏·阶段检测）已知三次函数
，则（ ）
A．函数
一定有两个极值点
B．当
时，
C．当
时，
的极小值为0
D．
在区间
上的值域为
【答案】BCD
【解析】对于A，当
时，
，该函数在
上为增函数，无极值点，故A 错误；
对于B，
，
而
，故
，故
，所以
，
故B 正确；
对于C，
，
若
，则
，此时当
或
时，
，
当
时，
，故
在
处取极小值
；
若
，则
，此时当
或
时，
，
当
时，
，故
在
处取极小值
；
故C 正确；
对于D，当
，
时，
则当
或
时，
，当
时，
，
故
在
为减函数，在
上为增函数，
取
，则
，
考虑方程
在
上是否有解，
设
，则
，
，
由零点存在定理可得
在
上存在零点，设该零点为
，则
,
则
在
上的值域为
，
故D 成立，
故选：BCD.
18．设
是函数
的导数，
是函数
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数
都
有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数
，利用上述
探究结果计算：
________．
【答案】
【解析】由
，得
，
，
令
，得
，
又
，则
的对称中心为
，则
，
则
19．对于三次函数
，定义：设
是函数
的导数，
是
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
图象的“拐点”．探究发现：
任何一个三次函数的图象都有“拐点”；任何一个三次函数的图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中
心．设函数
，则函数
图象的对称中心的坐标为____，
____．
【答案】
【解析】
，
，所以
．
令
，得
，
，
所以函数
图象的对称中心坐标为
，
所以
．
设
①，
②，
由①+②得，
，
所以
，
即
．
20．（2026·陕西榆林·模拟预测）对于三次函数
，给出定义：设
是函
数
的导函数，
是函数
的导函数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的拐点．研究发现，任何三次函数
都有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设
，数列
的通项公式为
，则
__________．
【答案】
【解析】解法1：
，令
得
．又因为
，
所以
的对称中心为
，即
，
由于
，因此数列
为等差数列，因为
，所以
，
设
，则
，由
的对称性，
，
所以两式相加得
，解得
，
因此
．
解法2：
，令
得
．
又因为
，所以
的对称中心为
，即
．
由于
，所以
，
所以
，
因此
．
21．如图，在求解一些函数零点的近似值时，常用牛顿切线法进行求解．牛顿切线法的计算过程如下：设
函数
的一个零点
，先取定一个初值
，曲线
在
处的切线为，记与x 轴的交点横坐
标为
，曲线
在
处的切线为
，记
与x 轴的交点横坐标为
，以此类推，每进行一次切线
求解，我们就称之为进行了一次迭代，若进行足够多的迭代次数，就可以得到
的近似值
，设
函数
，令
．进行三次迭代得到的
________．
【答案】
【解析】
，
，
，
曲线
在
处的切线方程为
，化简得
令
，即
，解得
，即
，
曲线
在
处的切线方程为
，化简得
令
，即
，解得
，即
，
曲线
在
处的切线方程为
，化简得
令
，即
，解得
，即
进行三次迭代得到的
的值为
.
