文档文本内容
微专题拓展09
利用导数解决距离最值模型
目录
01 解题
方法总结.............................................................................................................................2
02
题型
重难点
梳理........................................................................................................................ 3
题型一：曲线到定点的最短距离........................................................................................................3
题型二：曲线到定直线的最短距离....................................................................................................3
题型三：曲线与抛物线的最短距离....................................................................................................4
题型四：曲线与圆的最短距离............................................................................................................4
题型五：反函数曲线间最短距离........................................................................................................5
题型六：一般两曲线间最短距离........................................................................................................6
题型七：横向最短距离........................................................................................................................6
题型八：纵向最短距离........................................................................................................................7
题型九：切线平移法............................................................................................................................7
03
拓展
课后
精练.............................................................................................................................9
在导数涉及的距离问题求解中，化归转化与数形结合思想是重要工具，可将问题转化为点到直线距
“
”
离或两点间距离问题，再借助导数法求距离最值。
方法一是转化化归。当处理动点间距离问题时，可将其转化为点到直线的距离问题。这里的点通常
“
”
通过导数求得切点。例如，已知曲线和直线，要求曲线上一点到直线的最小距离，可先对曲线求导，找到
与直线平行的切线，进而确定切点，再计算切点到直线的距离，此距离即为所求最小距离。
方法二是构造函数。根据距离问题的条件，构造合适的函数，然后求该函数的导数，通过分析导数的
正负性，确定函数的单调性，进而找到函数的极值点，该极值点对应的函数值就是距离的最值。这两种方
法巧妙结合导数知识，为解决导数中的距离问题提供了有效途径。
“
”
题型
最
距离
一：曲线到定点的
短
例1．（2026·高三·江西·阶段检测）在平面直角坐标系
中，
，
为曲线
上一动点，
则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
例2．若点
与曲线
上点
的距离的最小值为
，则实数的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
例3．（2026·高三·广东汕头·开学考试）若点
与曲线
上点
距离最小值为
，则实数为
_______.
题型
最
距离
二：曲线到定直线的
短
例4．若实数a、b、c、d 满足
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．8
例5．点
为曲线
上任意一点，则点
到直线
距离的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
例6．（2026·辽宁大连·一模）已知a，b，
，
（其中是自然对数的底数），则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1．已知
是曲线
上的动点，点
在直线
上运动，则当
取最小值时，点
的横坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2．（2026·湖北荆州·一模）已知平面上的点
，
，则
的最小值为
（ ）
A．1
B．
C．
D．
变式3．（2026·高三·四川巴中·阶段检测）实数
满足
，
,
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型
最
距离
三：曲线与抛物线的
短
例7．（2026·安徽·三模）已知
且
，若定义
，则
的
最小值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
例8．（2026·湖北·模拟预测）设
，其中
，则
的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
例9．已知实数
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型
最
距离
四：曲线与圆的
短
例10．（2026·浙江宁波·模拟预测）已知
且
，则
的最
小值是（ ）
A．
B．
C．
D．8
例11．已知点
为函数
的图象上任意一点，点
为圆
上任意一点，则线段
长度
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
例12．若x、a、b 为任意实数，若
，则
最小值为( )
A．
B．9
C．
D．
变式4．（2026·高三·山东青岛·期末）已知动点P，Q 分别在圆
和曲线
上，则
的最小值为______．
变式5．（2026·高三·黑龙江大庆·阶段检测）若
，
分别是函数
与圆
上的点，则
的最小值为________．
题型
数
最
距离
五：反函
曲线间
短
例13．（2026·高三·江苏·月考）设
，
，则
的最小值
为__________．
例14．设点
在曲线
上，点
在曲线
上，若
的最小值为
，则
__________.
例15．已知函数
的图象与函数
的图象关于某一条直线对称，若
，
分别为它们图象上
的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6．（2026·高三·宁夏石嘴山·开学考试）已知动点
分别是曲线
和曲线
上的任意
一点，则线段
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式7．设点
在曲线
上，点
在直线
上，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
变式8．设点
在曲线
上，点
在曲线
上，则
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型
最
距离
六：一般两曲线间
短
例16．已知函数
的图象与函数
的图象关于某一条直线对称，若P，Q 分别为它们
上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为______．
例17．（2026·高三·辽宁·期中）如图所示，动点P，Q 分别在函数
，
上运动，
则
的最小值为______．
例18．（2026·湖北襄阳·模拟预测）设点P 在曲线
上，点Q 在曲线
上，则|PQ|的
最小值为_____.
变式9．（2026·高三·四川南充·阶段检测）已知
是曲线
：
上任意一点，点
是曲线
：
上任意一点，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．2
D．
题型
最
距离
七：横向
短
例19．直线
分别与曲线
， 直线
交于
两点， 则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
例20．已知函数
，
的图象与直线
分别交于
，
两点，则下列说法错误的是
（ ）
A．
B．
，曲线
在点
处的切线总与曲线
在点
处的切线相交
C．
的最小值为1
D．
，使得曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线
例21．已知直线
与曲线
和直线
分别交于P，Q 两点，则
的最小值为
____________．
题型
最
距离
八：纵向
短
例22．直线
分别与曲线
和曲线
交于
，
两点，则
的最小值为（
）
A．
B．2
C．
D．
例23．动直线
与函数，
，
的图象分别交于点A，B，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
例24．动直线
（
）与函数
，
的图象分别交于点A，B，则
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型九：切线平移法
例25．已知函数
，
，若
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
例26．（2026·高三·重庆大足·阶段检测）已知函数
，
，点
与
分别在函数
与
的图象上，若
的最小值为
，则
（ ）
A．
B．3
C．
或3
D．1 或3
例27．（2026·高三·重庆·开学考试）已知函数
，若直线
与
的图象分别交于
两点，则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．
D．1
变式10．（2026·高三·辽宁沈阳·阶段检测）已知直线
与曲线
，
分别交于点
，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．e
1．已知A，B 分别为曲线
和直线
上的点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．函数
的图象上的点到直线
的距离的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·江苏南京·二模）已知
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．1
C．
D．
4．（2026·高三·辽宁鞍山·期末）已知
，若实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．8
5．已知点
在曲线
上，点
在直线
上，则P，Q 两点距离最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知点
为曲线
上的动点，则点
到直线
的距离的最
小值为（ ）
A．
B．6
C．
D．9
7．（2026·山东聊城·二模）实数
满足：
，
，则
的最小值为（ ）
A．0
B．
C．
D．8
8．已知
，则（ ）
A．
的最大值为
B．
的最大值为
C．
的最小值为
D．
的最小值为
9．动直线分别交直线
和曲线
于
，
两点，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
10．已知实数
，
，，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
11．已知
，则y 的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2026·宁夏银川·一模）已知实数
满足
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2026·云南·模拟预测）已知点
满足：
，
是函数
图象上
任意一点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2026·广西桂林·二模）已知函数
的最小值为
，则正实数
（ ）
A．3
B．
C．
D．3 或
15．（2026·安徽·一模）已知点
满足：
是函数
图象上任意一点.则
的最小值为__________.
16．（2026·北京朝阳·二模）设
为曲线
上动点，
为曲线
上动点，则称
的最小值为曲线
,
之间的距离，记作
．若
，
，则
_____；若
，
，则
_______．
17．（2026·江西·一模）已知点
为函数
的图象上任意一点，点
为圆
上任意
一点（为自然对数的底），则线段
的长度的最小值为______．
18．已知函数
的图象与函数
的图象关于某一条直线l 对称，若P，Q 分别为它们
图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为______．
