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第 02 讲 函数的单调性与最大（小）值 (精练）
A 夯实基础
一、单选题
1．下列函数中，在其定义域上为单调递减的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
在R上单调递减，A正确；
在 上单调递减，在 上单调递增，故B错误；
在 上单调递增，故C错误；
在R上单调递增，D错误
故选：A
2．定义在区间 上的函数 的图象如图所示，则 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题图知：在 上 的单调递减，在 上 的单调递增，
所以 的单调递减区间为 .
故选：B
3．已知函数 ，则 在区间 上的最大值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【答案】C
在 单调递减，
.故选：C.
4．函数 的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
令 ，
则由 ，得 ，
而函数 是单调减函数，要求 的单调递减区间，
就要求 的递增区间，
而 的递增区间为 ，
故 得单调递减区间为 ，
故选：C.
5．若不等式 的解集为空集，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
当 时，不等式为 ，所以满足题意；
当 时， ，
综合得 .
故选：D
6．若不等式 在 时恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A．0 B．2 C． D．3
【答案】B
由不等式 在 时恒成立，即不等式 在 时恒成立
∵ ，当且仅当 ，即x=1时，等号成立，
所以a≤2，所以实数a的最大值为2.
故选：B.7．已知函数 满足对任意的 都有 成立，则 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
对任意的 都有 成立， 在 上单调递减，
，解得： ，即实数 的取值范围为 .
故选：B.
8．设函数 ，若不等式 对于实数 时恒成立，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由题意，函数 ，
不等式 可化为 对于实数 时恒成立，
即 对于实数 时恒成立，
设 ，
因为 ，所以函数 为单调递增函数，
要使得 ，只需 ，即 ，
解得 ，即实数 的取值范围是 .
故选：A.
二、多选题
9．下列函数中，满足“ ，都有 ”的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
因为 ，都有 ，所以函数在 上单调递增，
对于A， 在 上单调递增，所以A正确，
对于B， 在 上单调递减，所以B错误，
对于C，因为 的对称轴为直线 ，且开口向上，所以函数在 上单调递增，所以
C正确，
对于D， 在 上单调递减，所以D错误，
故选：AC.
10．已知函数 在区间 上单调递减，则函数 在区间 上一定
（ ）
A．有最大值 B．有最小值
C．是增函数 D．是减函数
【答案】BD
二次函数 的对称轴为： ，
因为函数 在区间 上单调递减，
所以 ， ，该函数在 上单调递减，而 ，
所以当 时，函数 单调递减，且有最小值，即 ，
故选：BD
三、填空题
11．已知函数f(x)＝ ，对任意x，x∈R且x≠x，都有 ，则
1 2 1 2
实数m的取值范围是___________.
【答案】 ##
不妨设 ，所以由 可得： ，
所以函数 在 上递减，故 ，解得： ．
故答案为： ．
12．若不等式 对一切 都成立，则a的取值范围是______．【答案】
解：因为不等式 对一切 恒成立，所以 对一切 恒成立，
令 ，可知 成立，当 ，函数单调递减，
所以 ，所以 .
故答案为： .
四、解答题
13．已知函数 ．
(1)试判断函数 在区间 上的单调性，并证明；
(2)求函数 在区间 上的值域.
【答案】(1)单调递增，证明见解析(2)
(1)解：函数 在 上的为增函数，理由如下：
任取 ，且 ，有
∵ ，∴
∴ 即
∴函数 在区间 上单调递增
(2)由（1）可知函数 在区间 上单调递增，
∴ ，又∵ 时， ，∴
∴
∴函数 的值域为 .
14．已知函数 .
(1)请判断函数 在 和 内的单调性，并证明在 的单调性；
(2)若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.【答案】(1) 在 上递减，在 递增，证明见解析(2)
(1) 在 上递减，在 递增，
证明：任取 ，且 ，则
因为 ，所以 ， ，
所以 ，即 ，
所以 在 上单调递增，
(2)由存在 ，使得 成立，
得存在 ，使得 成立，
由（1）可知 在 上递减，
所以当 时， 取得最大值，即 ，
所以 ，即实数 的取值范围为
B 能力提升
1．已知 ， ，在下列条件下，求实数a的取值范围．
(1)对于 ， 成立；
(2)对于 ， ， 成立．
【答案】(1) (2)
(1)因为当 时， 恒成立，所以 ，
而 当且仅当 时，取等号
故 ，
故 ，即a的取值范围是 ；
(2)因为对于 ， ， 成立
故当 ， 时， ，
因为 在 递减， 递增，且 ， ，
故 ，
而 在 递减，
故
所以 ，解得 ，即a的取值范围是 ．
2．已知函数 ， ，其中
(1)若函数 是偶函数，求实数a的值；
(2)若函数 在 上具有单调性，求实数a的取值范围；
(3)当a＝1时，若在区间 上，函数 的图象恒在函数 的图象上方，试确定实数k的取值
范围．
【答案】(1) ；(2) ；(3) .
(1)∵ 的定义域是R，
若 是偶函数，则 ，有 ，
∴ ，
即 ，有 ，
∴ ；
(2)∵ 图象开口向上，对称轴 ，
若函数 在 上具有单调性，则 在 上单调递增或单调递减，
即 或 ，
∴实数a的取值范围为 ；(3)当a＝1时， ，
依题意得 即 ，在 上恒成立
∴ 恒成立
令
则 ，
∴ =1
实数k的取值范围为 .
