文档文本内容
第 02 讲 函数的单调性与最大（小）值
目录
第一部分：基础知识..................................................1
第二部分：高考真题回顾..............................................3
第三部分：高频考点一遍过............................................4
高频考点一：函数的单调性.........................................4
角度1：求函数的单调区间.......................................4
角度2：根据函数的单调性求参数.................................5
角度3：复合函数的单调性.......................................6
角度4：根据函数单调性解不等式.................................7
高频考点二：函数的最大（小）值..................................10
角度1：利用函数单调性求最值..................................10
角度2：根据函数最值求参数....................................12
角度3：不等式恒成立问题......................................14
角度4：不等式有解问题........................................15
第四部分：典型易错题型.............................................23
备注：单调区间容易忽视定义域....................................23
备注：分段函数单调性问题容易忽视分段点大小比较..................24
备注：利用单调性解不等式容易忽略函数定义域......................24
第五部分：新定义题（解答题）.......................................25第一部分：基础知识
1、函数的单调性
（1）单调性的定义
一般地，设函数 的定义域为 ，如果对于定义域 内某个区间 上的任意两个自变量的值 ， ；
①当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是增函数
②当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是减函数
（2）单调性简图：
（3）单调区间（注意先求定义域）
若函数 在区间 上是增函数或减函数，则称函数 在这一区间上具有（严格的）单调
性，区间 叫做函数 的单调区间．
（4）复合函数的单调性（同调增；异调减）
对于函数 和 ，如果当 时， ，且 在区间 上和
在区间 上同时具有单调性，则复合函数 在区间 上具有单调性，并且具
有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．
2、函数的最值
（1）设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足
①对于任意的 ，都有 ；
②存在 ，使得
则 为最大值
（2）设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足
①对于任意的 ，都有 ；
②存在 ，使得
则 为最小值
3、常用高频结论（1）设 ， .
①若有 或 ，则 在闭区间 上是增函数；
②若有 或 ，则 在闭区间 上是减函数.此为函数
单调性定义的等价形式.
（2）函数相加或相减后单调性：
设 ，两个函数 ， 在区间 上的单调性如下表，则 在 上的单
调性遵循（增+增=增；减+减=减）
增 增 增
减 减 减
增 减 增
减 增 减
（3）对钩函数单调性： （ ， ）的单调性：在 和 上单调
递增，在 和 上单调递减．
（4）常见对钩函数： （ ），的单调性：在 和 上单调递增，在
和 上单调递减．
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，所以 在 上单调递减，故A错误；
对于B，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，故B错误；
对于C，因为 在 上单调递减， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，故C正确；
对于D，因为 ， ，
显然 在 上不单调，D错误.
故选：C.
2．（2023·全国·（新课标Ⅰ卷））设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数 在R上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，
则有函数 在区间 上单调递减，因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数的单调性
角度1：求函数的单调区间
典型例题
例题1．（2024上·湖南娄底·高一校考期末）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】由对数函数单调性、二次函数单调性以及复合函数单调性列出不等式组即可求解.
【详解】由题意 ，令 ，
解得 ，即函数 的单调递增区间是 .
故选：D.
例题2．（2024上·四川宜宾·高一校考期末）函数 的单调递减区间是 ．
【答案】
【分析】根据题意，由条件可得 在 单调递减，在 单调递增，再由复合函数的
单调性即可得到结果.
【详解】设 ，由 可得， 或 ，
则函数 ，由 在 单调递减，在 单调递增，
而 在 单调递增，由复合函数的单调性可知，
函数 的单调递减区间是 .
故答案为：
角度2：根据函数的单调性求参数
典型例题
例题1．（2024上·河北沧州·高一统考期末）已知函数 在R上单调递增，则实数
a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用分段函数的单调性列出不等式组即可求参数的取值范围.
【详解】因为函数 在R上单调递增．所以 ，解得 ，
即实数a的取值范围是 .故选：A．
例题2．（2024上·广东深圳·高一校考期末）函数 在 上单调递增，则k的取值范围为
．
【答案】
【分析】分 、 和 三种情况，结合单调性的性质以及对勾函数单调性分析求解.
【详解】若 ，则 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，符合题意；
若 ，则函数 在 上单调递增，符合题意；
若 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，解得 ；
综上所述：k的取值范围为 .
故答案为： .
角度3：复合函数的单调性
典型例题
例题1．（2024·全国·高一假期作业）已知函数 ，则单调递增区间为 ．
【答案】 /
【分析】根据二次函数以及指数函数的性质，结合复合函数的单调性法则即可求解.
【详解】由于 在 单调递减，在 单调递增，
而函数 为 上的单调递增函数，
所以 的单调递增区间为 ，
故答案为：
例题2．（2024·全国·高一假期作业）函数 的单调递减区间是 .
【答案】 和
【分析】对函数化简后，作出函数的图象，根据图象可求得结果.
【详解】当 或 时， ，对称轴为 ，当 时， ，对称轴为 ，
作出 的图象如图所示，
由图可知 单调递减区间为 ，
故答案为： 和
角度4：根据函数单调性解不等式
典型例题
例题1．（2024上·福建莆田·高一校联考期末）已知偶函数 在区间 上是增函数，则满足
的 取值范围是 .
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式等价转化为 ，解得即可.
【详解】因为偶函数 在区间 上是增函数，
所以 在区间 上单调递减，
不等式 等价于 ，等价于 ，
即 ，解得 ，即满足 的 取值范围是 .
故答案为：
例题2．（2024上·海南海口·高一海南中学校考期末）已知函数 是定义在R上的奇函数，且当
时， ．
(1)求 在R上的解析式；(2)判断 的单调性，并解不等式 ．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）由题意根据奇函数的定义以及当 时， ，可以求出当 时 的表达
式，从而即可进一步求解.
（2）首先根据 时， 单调递增，从而得到 在 上是单调增函数，再结合奇函数性质即可将
表达式等价转换，解一元二次不等式即可得解.
【详解】（1）设 ，则 ，当 时， ，
因为 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
所以 ；
（2） 时， 单调递增，
又因为函数 是定义在R上的奇函数，
所以 在 上是单调增函数，
不等式 可化为 ，
所以 ，即 ，解得 或 .
所以不等式的解集为 或 .
练透核心考点
1．（2024上·浙江温州·高一统考期末）已知函数 在定义域 上是减函数，则 的值可
以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】D
【分析】由题意只需 ，由此对比选项即可得解.
【详解】由题意当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
若函数 在定义域 上是减函数，只需 ，
解得 ，对比选项可知 的值可以是 .故选：D.
2．（2024上·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）设函数 （ 且 ）在区间
上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用指数函数及复合函数的单调性计算即可.
【详解】易知 ，显然 在 上单调递增，
在 上单调递减，
因为 在区间 上单调递增，结合复合函数的单调性可知 ，且 ，
所以 .
故选：A
3．（2024上·山东青岛·高一统考期末）定义在 上的函数 ，若 ，则 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性和单调性解不等式.
【详解】定义在 上的函数 ，函数 为偶函数且在 上单调递增，
若 ，则有 ，即 ，解得 .
所以 的取值范围为 .
故选：D
4．（2024·全国·高三专题练习）函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． 和
C． D． 和
【答案】B
【分析】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求【详解】 ，
则由二次函数的性质知，当 时， 的单调递减区间为 ；
当 ， 的单调递减区间为 ，
故 的单调递减区间是 和 .
故选：B
5．（2024·江苏·高一假期作业）函数 的单增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】得出分段函数解析式，即可得解.
【详解】 .
因为 ， ，
所以 的增区间是 ．
故选：D
6．（2024下·全国·高一开学考试）若函数 在 内满足：对于任意的实数
，都有 成立，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先得到函数在R上单调递增，再根据分段函数单调递增需满足每一段上单调递增，且在分段处，
左端点的函数值小于等于右端点的函数值，得到不等式，求出答案.
【详解】由题意得 在R上单调递增，
由题意得 ，解得 .
故答案为：高频考点二：函数的最大（小）值
角度1：利用函数单调性求最值
典型例题
例题1．（2024下·高二课前预习）函数 在 上的最大值和最小值分别是（ ）
A．12， B．5， C．5， D．12，
【答案】C
【分析】将函数求导，得到导函数零点，在函数定义域上分析讨论函数的单调性，再考虑区间的端点值，
即得函数的最值.
【详解】由 求导得： ，
令 可解得： 或 ，因 ，故 ，
由 可解得： ，由 可解得： ，
故函数 在区间 上单调递增，在 上单调递减，
故当 时，函数 ；
又 ，故当 时，函数 .
即函数 在 上的最大值和最小值分别是 .
故选:C．
例题2．（2024上·江苏镇江·高一统考期末）函数 的定义域为 ，则值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意先判断函数单调性，结合单调性求最值和值域.
【详解】因为函数 的定义域为 ，
且 在 内单调递增，可知 在 内单调递增，
可知 在 内的最小值为 ，最大值为 ，
所以值域为 .
故选：A.例题3．（2024上·河南许昌·高一统考期末）已知函数 ．
(1)判断函数 奇偶性，并用定义法证明；
(2)写出函数 的单调区间，并用定义法证明某一个区间的单调性；
(3)求函数 在 上的最大值和最小值．
【答案】(1)奇函数，证明见解析；
(2)单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 和 ，证明见解析；
(3)最大值为10，最小值为6.
【分析】（1）利用函数奇偶性的定义计算即可；
（2）利用定义法作差计算函数的单调性即可；
（3）利用函数的单调性计算最值即可.
【详解】（1）函数 为奇函数．
由函数 可知其定义域为 ，关于原点对称，
设 ，有 ．
所以函数 为奇函数；
（2）函数 的单调递增区间为 和 ，
函数 的单调递减区间为 和 ．
下面证明单调区间，
设 ，则 ，
若 ，则 ，此时 ，
若 ，则 ，此时 ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
由函数 为奇函数，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
综上：函数 的单调递增区间为 和 ，
函数 的单调递减区间为 和 ．
（3）由上可知 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，且 ．
则函数 在 上的最大值为10，最小值为6．
角度2：根据函数最值求参数
典型例题
例题1．（2024·江苏·高一假期作业）已知函数 有最小值，则实数a的取值范围
是 .
【答案】
【分析】化简函数，去绝对值后，根据函数有最小值得出函数的变化趋势，即可求出实数a的取值范围.
【详解】解：由题意，
在 中，
∵函数有最小值，
∴函数应在 上单调递减，在 上单调递增或常函数，
∴ ，解得： ，
∴ 有最小值时，实数a的取值范围是 .
故答案为： .
例题2．（2024上·吉林通化·高三校考阶段练习）已知函数 在区间 上有最小值4，则
实数k＝ ．
【答案】4
【分析】由函数在 上有最小值可知，k＞0，再由基本不等式即可求得k的值．
【详解】解：依题意， ，则 ，当且仅当 时，等号成立
则 ，解得 ．
故答案为：4．
【点睛】本题考查已知函数的最值求参数的值，考查分析能力及计算能力，属于基础题．
例题3．（2023上·江苏镇江·高一江苏省镇江第一中学校考阶段练习）若函数 在 的最
大值为2，则 的取值范围是 .【答案】
【分析】根据必要性，最值的定义以及二次函数图象对称轴位置分类讨论即可解出．
【详解】设 ， ， ，
因为函数 在 的最大值为2， ，
所以 ，解得： ，
当 时，函数 在 上先递减再递增，
而 ，
所以， ，且 ，即函数 在 的最大值为2，符合题意；
当 时，函数 在 上递减，所以 ，
而 ，所以函数 在 的最大值为2，符合题意，
综上， ．
故答案为：
角度3：不等式恒成立问题
典型例题
例题1．（多选）（2023上·江苏淮安·高一校考阶段练习）已知关于 的不等式 对 恒成
立，则实数 的可取值是（ ）
A．-2 B．0 C．3 D．7
【答案】BCD
【分析】分 与 两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出 的取值范围，得到答案.
【详解】当 时， 恒成立，满足要求，
当 时，需满足 ，解得 ，
故实数 的取值范围是 ，故A错误，BCD正确.
故选：BCD
例题2．（2023上·江苏扬州·高一江苏省邗江中学校考阶段练习）已知函数 .
(1)若 ，且 ，求函数 的值域；
(2)若 ，都有 ，求 的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）配方后得到函数的单调性，从而求出函数的最值，得到值域；
（2）转化为 在 上恒成立，数形结合得到不等式组，求出 的取值范围.
【详解】（1） 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在 处取得最小值，最小值为 ，
又 ，故最大值为8，故值域为 ；
（2） 在 上恒成立，
故只需 ，解得 或 ，
故 的取值范围是 .
例题3．（2023上·广东潮州·高一饶平县第二中学校考期中）已知幂函数 在 上
单调递减.
(1)求 的解析式；
(2)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由幂函数的概念与性质直接列式求解;
（2）分离参数，利用基本不等式求最值即可求解.
【详解】（1）因为幂函数 在 上单调递减，
则 ，解得 ，故
（2）由（1）可知， 对任意的 恒成立，
由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
所以， ，因此，实数 的取值范围是 .角度4：不等式有解问题
典型例题
例题1．（2023上·辽宁·高一校联考阶段练习）若“ ， ”为真命题，则
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】令 ，从而根据题意可得 或 ，进而求解即可．
【详解】原不等式可化为 ，
令 ，是关于 的一次函数，
因为“ ， ”为真命题，
所以 或 ，
即 或 ，解得 或 ,
所以 的取值范围为 ．
故选：B．
例题2．（2023上·湖北武汉·高一武汉市第四中学校考阶段练习）已知关于 的不等式 在
上有解，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】参变分离，得到 在 上有解，由基本不等式求出 ，从而得到实数
的取值范围.
【详解】 变形为 ，
故 在 上有解，
因为 ，所以 ，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 ，
故答案为：
例题3．（2023上·江苏连云港·高三江苏省海州高级中学校考阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求 的最大值和最小值；
(2)若 ，使 成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)最大值为170，最小值为
(2)
【分析】（1）换元后得到 ， ，求出最值；
（2）转化为 ，只需 ，根据对勾函数的单调性得到函数最值，得到
，求出答案.
【详解】（1）令 ，
故 ，
当 时， 取得最小值，最小值为 ，
又 ， ，
故 的最大值为170，最小值为 ；
（2） ，即 ，
令 ，故 在 上有解，
，只需 ，
其中 在 上单调递减，在 上单调递增，
又当 时， ，当 时， ，
故 ，解得 ，故实数 的取值范围为 .
练透核心考点
1．（2024下·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）下列选项中是“ ，
”成立的一个必要不充分条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】变形得到 ，根据函数单调性得到 ，故 ，由于 是
的真子集，故A正确，其他选项不合要求.
【详解】 ， ，
即 ， ，
∴ ，其中 在 上单调递减，
在 上单调递增，
其中 时， ，当 时， ，
故 ，即 ，
由于 是 的真子集，故“ ”的必要不充分条件为“ ”，
其他选项均不合要求.
故选：A
2．（2024·全国·高一专题练习）函数 ， 的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】先分离常数，再利用函数单调性求解最值即可.
【详解】 ，
而 的图象由函数 图象向左平移1个单位再向上平移2个单位得到，所以 在 上单调递增，
所以当 时，函数 ， 有最大值为 .
故选：B
3．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的值为
．
【答案】
【分析】将函数 化为 ， , ，讨论 ， 和 时函数的单调
性，运用单调性可得最大值，解方程即可得到所求值．
【详解】解：函数 ，即 ， , ，
当 时， 不成立；
当 ，即 时， 在 , 递减，可得 为最大值，
即 ，解得 ，成立；
当 ，即 时， 在 , 递增，可得 为最大值，
即 ，解得 ，不成立；
综上可得 ．
故答案为： .
4．（2024上·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）已知函数 .
(1)若 是奇函数，求实数 的值；
(2)若 ，求 在 上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数的定义即可求解；
（2）结合函数的单调性即可求解.
【详解】（1）由题意 ，，
，
；
（2） ，
，
，
令 ， ，
令 ， ，
设 ，
，
，
在 上单调递减，
，即 ，
同理可证 在 上单调递增，
，即 ，
综上， 在 上的值域 .
5．（2024·全国·高一假期作业）已知
(1)根据单调性的定义证明函数 在区间 上是减函数
(2)若函数 （ ）的最大值与最小值之差为1，求实数 的值
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1） 且 ，利用作差法证明 即可；
（2）由（1）求出函数的最值，再根据题意即可得解.
【详解】（1） 且 ，则 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
因此 ，
所以 在 是减函数；
（2）由（1）可知， 是减函数，
所以 时， 取得最大值为 ，
时， 取得最小值为 ，
因为最大值与最小值之差为1，
所以 ，解得 .
6．（2024上·河南商丘·高一睢县回族高级中学校联考期末）已知函数 .
(1)设函数 ，实数 满足 ，求 ；
(2)若 在 时恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）根据函数的奇偶性进行求解；
（2）分类讨论，分别求出 在 上的最小值，从而得出结论，注意利用勾形函数的性质得出单调
性．
【详解】（1）因为 的定义域为 ，关于原点对称，
且 ，
则 是 上的奇函数，从而 ，
因为 ，所以 ，得 ，
所以 .
（2）若 ，则 在 上单调递增，
因为 在 时恒成立，所以 ，解得 ，所以 .若 ，由 可得 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
则 在 上单调递减，在 上单调递增.
若 ，则 ，解得 ，与 矛盾；
若 ，则 ，解得 ，所以 .
综上所述， 的取值范围是 .
7．（2023上·江苏南通·高一统考期中）已知函数 .
(1)试判断函数 在区间 上的单调性，并用函数单调性定义证明；
(2)若存在 ，使 成立，求实数 的范围.
【答案】(1) 在区间 上单调递增，证明见解析；
(2) .
【分析】（1）利用单调性定义，令 ，作差法判断 符号，即可得结果；
（2）问题化为 成立，即可求参数范围.
【详解】（1） 在区间 上单调递增.
证明如下：设 ，则
因为 ，所以 ， ， ，即
所以 ，故 在区间 上单调递增.
（2）由（1）可知 在 上单调递增，
所以，当 时， 取得最小值，即
又存在 ，使 成立，
所以只需 成立，即 ，解得 .
故实数 的范围为 .8．（2023下·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知函数 ， ．
(1)求函数 在 上的值域；
(2)若 ， ，使得 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数可求得 单调性，结合单调性可确定最值，由此可得 值域；
（2）将问题转化为 ，结合一次函数性质即可构造不等式求得结果.
【详解】（1） ， 当 时， ；
在 上单调递减， ， ；
在 上的值域为 .
（2） ， ，使得 ， ；
当 时， ；
由（1）知：当 时， ， ，解得： ，
即实数 的取值范围为 .
第四部分：典型易错题型
备注：单调区间容易忽视定义域
1．（2023上·陕西西安·高一校考阶段练习）函数 的单调增区间是 ．
【答案】
【分析】求出函数 的定义域，利用复合函数“同增异减”的性质即可求得其单调增区间.
【详解】由题意可知 ，解得 ，即函数定义域为 ，易知函数由 复合而成，
且 在 单调递减， 在 单调递增，在 上单调递减；
利用复合函数单调性可得 的单调增区间是
故答案为： .
2．（2023下·福建三明·高一永安市第九中学校考阶段练习）函数 的单调递减区间是
.
【答案】
【分析】根据复合函数的单调性原则即可由 的单调性进行求解.
【详解】令 ，解得 ，
则 的定义域为 ，
记 ，由于 的对称轴为 ，
故其在 上单调递减，而 在定义域内单调递增，
由复合函数单调性的原则可知： 在 单调递减，
故答案为： .
备注：分段函数单调性问题容易忽视分段点大小比较
1．（2023上·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考开学考试）已知 是
上的减函数，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定法，以及一次函数与对数函数的性质，列出不等式组，
即可求解.
【详解】由函数 在 上为单调递减函数，则满足 ，解得 ，所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
2．（2023上·广东深圳·高一校考期末）若 ，满足对任意 ，都有
成立，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据函数在 上是增函数，则每一段都是增函数，且 左侧的函数值不大于右侧的函数值求
解.
【详解】函数 的定义域为 ，
对任意 ，都有 成立，
则函数 是 上的单调递增函数，
解得 ，
的取值范围是 .
故答案为： .
备注：利用单调性解不等式容易忽略函数定义域
1．（2023上·重庆·高一重庆市辅仁中学校校考期中）定义在 上的奇函数 为减函数，且
，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】结合奇函数性质以及单调性，去掉外层函数，变成一元二次不等式进行求解.
【详解】因为 ，即 ，
根据奇函数的定义 可知原不等式为 ，
且 在定义域内单调递减函数，故 ，解得 或 ，又因为函数定义域为 ，故 ，解得 ，
综上， ，即 的范围为 .
故答案为： .
2．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 是减函数，则满足 的x
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意，利用函数的单调性求解.
【详解】解：因为定义在 上的函数 是减函数，且 ，
所以 ，解得 ．
故答案为：
第五部分：新定义题（解答题）
1．（2024上·福建泉州·高一统考期末）给定函数 与 ，若 为减函数且值
域为 （ 为常数），则称 对于 具有“确界保持性”.
(1)证明：函数 对于 不具有“确界保持性”；
(2)判断函数 对于 是否具有“确界保持性”；
(3)若函数 对于 具有“确界保持性”，求实数 的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)具有
(3)3
【分析】（1）令 ，以特殊值说明函数不满足值域为 ，即可证明结论；
（2）根据 对于 具有“确界保持性”的定义，说明 满足定义中的条件，即可
得出结论；
（3）根据 的结构特点，先确定 时，函数 符合题意，再分别说明和 时，函数值域不符合题意，即可确定答案.
【详解】（1）证明：令 ，
因为 ，不满足函数值域为 ，
故函数 对于 不具有“确界保持性”；
（2）函数 对于 具有“确界保持性”；
理由如下：
令 ，
在 上单调递减，且当 时， ，
故函数 对于 具有“确界保持性”；
（3）令 ，
根据“确界保持性”定义可知 在 上单调递减，
故 ，即 的值域为 ；
由于
，
可以看到，若当 ，即 时，
则 可化简为 ，且在 上均单调递减，
故先证明 符合题意；
当 时， ，
先证明 在 上单调递减，
设 ，
则当 时， ，
故 ， ，
，
则 ，
即 ，
故 ，即 ，
所以 在 上单调递减；
故 ，
又因为 ，
当x趋向于无限大时， 均无限接近于0，且大于0，
即 ，且无限接近于0，
故 的值域为 ，
故函数 对于 具有“确界保持性”，
当 时， ，
取 ，则 ，不满足函数 值域为 ，
此时，不符合题意，舍去；
当 时， ， ，
则 ，
取 ，则 ，不满足函数 值域为 ，
此时，不符合题意，舍去；
综上，当 时，函数 对于 具有“确界保持性”.
【点睛】难点点睛：本题考查了函数新定义问题，解答时要理解“确界保持性”.的含义，依据定义去解答，难点在于（3）中根据函数 对于 具有“确界保持性”，求
解参数的值，解答时要根据函数的结构特点，确定a的值，说明其符合题意，然后分类说明其它情况不符
合题意，即可解决问题.
