文档文本内容
专题08 配方法与二次型函数最值问题（一题多变）
【典例展示】已知函数
在区间
上的最大值为1，求a 的
值．
【思路分析】 本例是根据函数在指定区间取得最大值的情况，求参数.由于二次项系数
为参数，因此，应该首先从讨论其是否为0 开始.而当其不为0 时，考虑二次函数图象开口
方向及单调性对最值的影响，又分
和
时，应用配方法求解参数的取值.
【精细解析】ⅰ．当
时，
．
∵函数
在区间
上单调递减，
∴
．不符合题意，舍去．
ⅱ．当
时，
．
若
，即
，
．
解得
，符合题意．
若
，即
，
．
解得
（舍去）．
ⅲ．当
时，
．
若
，则
，与
矛盾．
若
，则
时，
．
解得
（舍去）．
若
，
，
，
解得
（舍去），或
．
综上可得，
，或
．
【题后反思】
本例主要根据含参二次函数在给定区间上的最值，求参数．需首先讨论二次项系数是否为
0，以及其的符号的正负，经配方后再讨论对称轴的范围，最后结合图像来求解．当二次项
系数为正，即二次函数图像开口向上时，函数在给定区间上的最大值有2 种情况，可通过
讨论对称轴与区间中点的位置关系而求得；要考虑最小值的话分3 种情况，可对对称轴在
区间的左侧、内部、右侧3 种情况分类讨论求解．当二次项系数为负，即二次函数图像开
口向下时的讨论亦类似，最大值分3 种情况.本题的解答给解答此类问题，提供了一个“范
本”，即处理“二次型”问题时应该关注的几个方面，一般的，在二次项系数正负一定的
情况下，解决二次函数在区间的最值问题的思路是：抓住“三点一轴”，三点是指区间两
个端点和中点，一轴指的是对称轴．结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论思想即可
解决问题．在下面的变式及训练题中，将围绕与指数函数、对数函数、三角函数、圆锥曲
线等相关的“二次”问题进一步深化，注意与换元法的结合.
【追根溯源】
二次型函数通常是指可以转化为二次函数的复合函数，求这类函数的最值或根据函数的最
值求参数，通常用配方法，结合复合函数的单调性、对称性加以讨论求解．配方法在高中
阶段数学学习中应用广泛．如三角函数中的最值问题，解析几何中与圆锥曲线相关的最值
问题以及不等式的证明中，与换元法相结合，配方法的作用至关重要．
1．配方目标的确定性
配方目标的确定性：出现平方式，但出现怎样的平方式又具有灵活性，所以配方途径又是
多向的．
2．配方对象的多样性
配方对象的多样性：不排除对更高次数多项式的配方．数、字母具体的数学式、抽象的函
数关系等都可以进行配方．
3．配方后必须注重问题的细节
任何一种解题方法的应用都有其适用范围，配方法也不例外，求二次型函数的最值必须把
相应简单函数的性质结合起来讨论，不应盲目扩大或缩小方法的使用范围，不要忽视问题
中的约束条件．
【变化角度】变含参“二次”函数为与对数的复合函数，变求参数为求对数函数式的最值.
已知
且
，求函数
的最大值和最小值．
【思路分析】本题为求对数函数的最大值和最小值．由于
可以通过对数运算转化为关
于
的二次型函数，可以运用配方法求解，但首先应由两个条件不等式的限制求出
的取值范围，在此范围内求最值．
【详解】由
，得
，则
，即
．
∵
，
当
，即
时，
，
当
，即
时，
．
∴函数
的最大值为2，最小值为
．
【变换角度】变含参“二次”函数为与三角函数函数的复合函数，变由函数的最值求参数
为探究参数的存在性.
是否存在实数a，使得函数
在
上的最大值为1？若存在，求
出对应的a 值；若不存在，说明理由．
【思路分析】首先应用三角函数的同角公式，将其化为关于余弦的复合二次函数，利用换
元思想，可利用二次型函数在闭区间上的最值求解，对于含参数的问题要注意讨论所有可
能的情况．
【详解】
．
∵当
时，
．
∴若
，即
，则当
时，
．
解得
（舍去）；
若
，即
，则当
时，
．
解得
或
（舍去）；
若
，即
，则当
时，
，
解得
（舍去），
综上可知，存在
符合题设．
【变换角度】变含参“二次”函数求参数问题，为椭圆中线段长度比取得最值求参数，应
用函数知识解答圆锥曲线中的最值求参数问题.
如图所示：椭圆
的离心率为
，直线
和
所围成的矩
形ABCD 的面积为8．
（1）求椭圆M 的标准方程．
（2）设直线
与椭圆M 有两个不同的交点P，Q，l 与矩形ABCD 有两个
不同的交点S，T．求
的最大值及取得最大值时m 的值．
【思路分析】第（1）问，根据椭圆的几何性质及给定矩形的面积，列方程组，求得a，
b，进而写出标准方程；
第（2）问，首先将直线方程与椭圆方程联立，经过一系列“标准化”操作，应用根与系数
的关系，求得|PQ|的表达式，分
，
，
，
等四种情况
讨论
的最值，求出答案.
【详解】
（1）解：
，∴
， ①
矩形ABCD 的面积为8，即
． ②
由①②解得
，
，∴椭圆M 的标准方程是
．
（2）解：
．
设
，
．
则
，
，
由
得
．
．
当l 过A 点时，
，当l 过C 点时，
．
ⅰ．当
时，有
，
，
．
（其中
）．
由此当
，即
，
时，
取得最大值
．
ⅱ．由对称性，可知若
，则当
时，
取得最大值
．
ⅲ．当
时，
，
．
由此知，当
时，
取得最大值
．
综上，当
和0 时，
取得最大值
．
【变换角度】给出与指数函数、对数函数的复合函数，结合函数的奇偶性、函数的图像，
利用换元思想，应用二次函数的性质求最值，达到求参数的.
（23-24 高一上·重庆·期末）
为偶函数，
.
(1)求实数
的值；
(2)若
时，函数
的图象恒在
图象的上方，求实数
的取值范围；
(3)求函数
在
上的最大值与最小值之和为2020，求实数
的
值.
【思路分析】第（1）问根据偶函数定义
列方程可得解；
第（2）问，由已知，转化成
恒成立，参变分离得
，利用
对数性质求得函数最大值；
第（3）问，化简函数为
，利用换元思想，结合
讨论求最值，
从而得解.
【详解】（1）∵函数
为偶函数，
，
，
得
，
解得
，即
.
（2）若
时，函数
的图像恒在
图像的上方，
则
恒成立，
即
，即
.
所以
.
因为
时，
，
所以
，得
，
综上：
.
（3）
，
所以当
时，
当
时，取得最大值
，当
取得最小值
，
所以
，解得
.
【点睛】本题主要了考查函数与方程的综合应用，结合函数奇偶性求出k 的值，以及利用
换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键，属于难题．
（23-24 高一上·安徽宣城·开学考试）
1．已知函数
在
上的最大值为4，求
的值．
（2008 高一·全国·竞赛）
2．若
，函数
的最大值为0，最小值为
，求
与
的值.
（2009 高一·全国·竞赛）
3．若函数
的定义域为
，值域为
，
求
．
（2022 高一下·江苏南京·竞赛）
4．已知
、
为方程
的两根，求
的最小值.
5．已知抛物线C 的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）
（Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）过F 作直线交抛物线于A、B 两点．若直线OA、OB 分别交直线l：y=x
2
﹣于M、N
两点，求|MN|的最小值．
（23-24 高一上·江西景德镇·期末）
6．已知函数
，（
，且
）．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)是否存在实数
，使得函数
在区间
上取得最大值2？若存在，请求出
的值；
若不存在，请说明理由．
