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第05 讲 三角函数的图象与性质
A 夯实基础 B 相遇高考 C 素养提升
A 夯实基础
1．（湖北省恩施州2024-2025 学年高一下学期期末质量监测数学试卷）已知函数
，若函数
在
处取得最小值，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题可知
，结合
解方程即可.
【详解】因为函数
在
处取得最小值
，
又
，所以
.
故选：D．
2．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）函数
的最小正周期是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据正切型函数的周期公式即可求解.
【详解】函数
的最小正周期
，
故选：C．
3．（23-24 高一下·上海·期中）关于函数
的最大值和最小值，表述正确
的选项为（ ）
A．最大值是
，最小值是
B．最大值是，最小值是
C．最大值是
，最小值是
D．没有最大值，最小值是
【答案】B
【分析】根据正切函数的单调性求解.
【详解】因为
单调递增，所以
.
故选：B.
4．（山东省潍坊市2024-2025 学年高一下学期期末质量监测数学试题）已知函数
，则（ ）
A．
在定义域内是增函数
B．
是奇函数
C．
的最小正周期为
D．
图象的一个对称中心是
【答案】D
【分析】代入计算特殊值即可排除AB，根据周期的计算公式即可求解C，代入验证即可求
解D.
【详解】对于A， 由于
故A 错
误，
对于B， 由于
在
处有定义，但
，故B 错误，
对于C，
的最小正周期为
，故C 错误，
对于D，
，故
是
的一个对称中心，故D 正确，
故选：D
5．（辽宁省锦州市2024-2025 学年高一下学期期末考试数学试卷）已知函数
的最小正周期为
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．函数
在
上为减函数
C．直线
是函数
图象的一条对称轴
D．点
是函数
图象的一个对称中心
【答案】D
【分析】根据二倍角余弦公式、辅助角公式化简函数解析式，结合正弦型函数的周期公
式、单调性、对称性逐一判断即可.
【详解】
.
A：因为
，所以由
，因此本选项说法不正确；
B：由上可知：
，
当
时，
，
因此函数
在
上为增函数，所以本选项说法不正确；
C：因为
，
所以直线
不是函数
图象的一条对称轴，因此本选项说法不正确；
D：因为
，
所以点
是函数
图象的一个对称中心，因此本选项说法正确，
故选：D
6．（河北省保定市高中2024-2025 学年高二下学期7 月期末调研考试数学试题）若函数
在
上单调递减，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】等价转化为
在
上恒成立，计算即可.
【详解】由题可知：函数
在
上单调递减，则
在
上
恒成立，
所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立，所以
.
故选：A
7．（24-25 高二下·安徽蚌埠·期末）函数
在
上
的最大值和最小值之和为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．4050
【答案】C
【分析】由题意得
即可得解.
【详解】因为
，所以
在关于原点对称的区间
上恒有意
义，
且
，
所以
在
上的图象关于原点对称，
所以函数
在
上的最大值和最小值之和为8.
故选：C.
8．（24-25 高二下·广东揭阳·期末）已知函数
是
的一个零点，则当
时，
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题中零点求出
的值，再化简
，最后根据
的范围求出
其值域.
【详解】
是
的一个零点.
，解得：
.
.
.
.
.
，
，
所以，
，即
的值域为
.
故选：
.
9．（多选）（24-25 高一下·广东揭阳·期末）设函数
，则下列结论正
确的是（ ）
A．
是
的一个周期
B．
的图象关于直线
对称
C．
的一个零点为
D．
在区间
上单调递减
【答案】AC
【分析】化简
的解析，根据三角函数的周期性、对称性、零点、单调性等知识求得正
确答案.
【详解】因为函数
，所以它的一个周期为
，故A 正
确；
令
，求得
，故B 错误；
，令
，
求得
，故
的一个零点为
，故C 正确；
当
时，
，而函数
在
上单调递减，
在
上单调递增，所以
在
上没有单调性，故D 错误．
故选：AC．
10．（多选）（24-25 高二下·云南·期末）已知函数
，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的图象关于
轴对称
C．
的值域为[0,2]
D．将函数
的图象向上平移2 个单位长度可以得到
的图象
【答案】AD
【分析】根据
即可根据周期公式判断A，根据偶函数性质即可求解B，根
据三角函数性质即可求解C，根据平移的性质即可求解D.
【详解】因为
，所以
的最小正周期为
，A 正确；
，故
不是偶函数，图象不关于
轴对称，
错误；
因为
，所以
的值域为
，C 错误；
将函数
的图象向上平移2 个单位长度可以得到
的图象，D 正确．
故选：AD
11．（24-25 高一下·北京平谷·期末）将函数
图像向左平移
个单位长
度，得到的图像关于点
中心对称，则
的一个取值为
【答案】
（答案不唯一，只要满足
即可）
【分析】先利用平移变换法则求得解析式，然后根据正弦函数对称中心列式求得
，即可得解.
【详解】将函数
图像向左平移
个单位长度，得到
，
由题意
，所以
，
当
时，
.
故答案为：
（答案不唯一，只要满足
即可）
12．（24-25 高一下·湖北武汉·期末）若点
是函数
图像的一个对称中
心，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据余弦函数的对称中心可列出等式，进而求解.
【详解】
是
图象的一个对称中心，
，
，
，
，
当
时，
，
故答案为：
13．（24-25 高一下·四川成都·期末）设函数
，
.
(1)求函数
的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数
在区间
上的最小值和最大值，并求出取最值时x 的值.
【答案】(1)最小正周期
；单调递增区间为
.
(2)最大值为
，此时
；最小值为
，此时
.
【分析】（1）由题意可得
，然后可其最小
正周期，利用整体代换法求其递增区间；
（2）由
时，利用整体代换法求得
，从而可得
，
从而可求解.
【详解】（1）
，
则
的最小正周期为
，
当
，
时
单调递增，解得
，
，
故函数
的单调递增区间为
.
（2）当
时，
，所以
，
当
，即
时，
取得最大值
；
当
，即
时，
取得最小值
.
故最大值为
，此时
；最小值为
，此时
.
14．（24-25 高一下·云南楚雄·期末）将函数
的图象向右平移
个单位长
度，得到函数
的图象．
(1)求
的解析式；
(2)求
的单调递减区间；
(3)求
在
上的值域．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用平移变换可求得
的解析式；
（2）结合正弦函数的单调性，利用整体法可求函数的单调递增区间；
（3）由已知得
，结合正弦函数的图象可求得函数的值域.
【详解】（1）由题意得
．
（2）由
，
得
，
所以
的单调递减区间为
．
（3）由
，得
，
由正弦函数的图象可知
，
．
故
在
上的值域为
．
15．（25-26 高三上·全国·阶段练习）已知函数
．
(1)画出该函数图象的简图．
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．
(3)判断函数
的奇偶性．
【答案】(1)答案见解析；
(2)是周期函数，最小正周期是
；
(3)非奇非偶函数．
【详解】解：（1）
，函数图象如图
所示．
（2）由图象知该函数是周期函数，其图象每隔
重复一次，故函数的最小正周期是
．
（3）因为函数图象既不关于原点对称，也不关于y 轴对称，所以函数
是非奇非偶函数．
B 相遇高考
1．（2025·全国一卷·高考真题）若点
是函数
的图像的一个对称
中心，则a 的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解.
【详解】根据正切函数的性质，
的对称中心横坐标满足
，
即
的对称中心是
，
即
，
又
，则
时
最小，最小值是
，
即
.
故选：B
2．（多选）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数
和
，下
列说法中正确的有（ ）
A．
与
有相同的零点
B．
与
有相同的最大值
C．
与
有相同的最小正周期
D．
与
的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
【详解】A 选项，令
，解得
，即为
零点，
令
，解得
，即为
零点，
显然
零点不同，A 选项错误；
B 选项，显然
，B 选项正确；
C 选项，根据周期公式，
的周期均为
，C 选项正确；
D 选项，根据正弦函数的性质
的对称轴满足
，
的对称轴满足
，
显然
图像的对称轴不同，D 选项错误.
故选：BC
C 素养提升
1．（24-25 高一下·北京西城·期末）已知函数
的定义域为
．若存在周期均为
的两
个不同的偶函数
，
，使得
，则称
具有性质P．
(1)判断
，
是否具有性质P，并说明理由；
(2)已知
具有性质P，且
不恒为0．设
．证
明：若M 为有限集，则M 中的元素个数为偶数．
【答案】(1)答案见详解
(2)证明见详解
【分析】（1）对
，由性质
得定义举例说明；对
，结合
的周期为
，
利用反证法证明；
（2）若
，结合
的周期为
，可得
也是
的周期，且
，利用反证法证明
，由此得证.
【详解】（1）
具有性质
，理由如下：
令
，
，显然
和
是两个周期均为
的不同的偶函数，
且
，所以
具有性质
.
不具有性质
，理由如下：
假设
具有性质
，由性质
的定义可得
的周期为
，
但
，
，
所以
，矛盾.
所以
不具有性质
.
（2）若
，则
，
所以
，又
的周期为
，即
，
，
所以
也是
的周期，且
，
所以
，
假设
，则对任意
，
，
则
，
所以
，即
，
故对任意
，
成立，矛盾.
所以
，
故若
为有限集，则
中的元素个数为偶数.
2．（24-25 高一下·江西抚州·期末）已知函数
，若存在实数
，
，使得对
于定义域内的任意实数
，均有
成立，则称函数
为“可
平衡”函数；有序数对
称为函数
的“平衡”数对．
(1)若
，求函数
的“平衡”数对；
(2)若
，判断
是否为“可平衡”函数，并说明理由；
(3)若
，且
、
均为函数
的“平衡”数对，
求
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
是“可平衡”函数，理由见解析；
(3)
【分析】（1）根据“平衡”数对的定义建立方程，根据恒成立求解即可；
（2）
时，假设
是 “可平衡”函数，列出等式，利用三角函数化简，即
可求解；
（3）根据“平衡”数对的定义将
用关于
的三角函数表达，然后求解即可.
【详解】（1）因为
为“可平衡”函数，
所以对于任意实数
，均有
成立，
即
对于定义域内的任意实数
恒成立，
故只有
，
符合题意，所以函数
的“平衡”数对为
.
（2）
时，
，
，
若
是“可平衡”函数，则
，
所以
，解得
，
所以
存在，所以
是“可平衡”函数.
（3）
，
，
因为
，所以
，
，
，
令
，则
，
在
上单调递增，
所以
.
3．（24-25 高一下·上海徐汇·阶段练习）已知函数
，函数
，设
.
(1)求证：
是函数
的一个周期；
(2)当
时，求：
在区间
上的最大值；
(3)若函数
在区间
内恰好有奇数个零点，请直接写出所有满足条件的实数k 的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
；
(3)
或
或
.
【分析】（1）求证
即可得证；
（2）利用换元法结合二次函数性质进行求解即可；
（3）根据绝对值性质，利用分类讨论思想、换元法，结合正弦函数性质进行求解即可.
【详解】（1）证明：函数
，
则
，
所以
是函数
的一个周期；
（2）当
，
时，
，
令
，因为
，
所以
，所以
，
又
，故
，
所以
，
所以当
，
单调递增，
所以有
.
（3）当
时，
由
可得：
，
令
，因为
，所以
，
因此
，即
，因为
，
所以
，
因此
，该二次函数的对称轴为：
，
因此当
时，该二次函数单调递减，
所以当
时，即
时，有一解，
当
时，即
时，有一解，
当
时，即
时，有二解，
当
时，
由
可得：
，
令
，因为
，所以
，
因此
，即
，因为
，
所以
，
因此
，该二次函数的对称轴为：
，
因此当
时，该二次函数单调递增，
所以当
时，即
时，有一解，
当
时，即
时，有一解，
当
时，即
时，有二解，
综上所述：当函数F（x）在区间
内恰好有奇数个零点，
或
或
.
