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第 04 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 (分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（24-25高二上·全国·课后作业）以直线 恒过的定点为圆心，半
径为 的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】直线过定点问题、由圆心（或半径）求圆的方程
【分析】根据直线过定点可得圆心坐标，再结合半径可得圆的方程.
【详解】由 ，得 ，
令 ，则 ，
即直线 恒过定点 ，
则圆的方程为 ，即 ，
故选：D.
2．（22-23高二上·河北保定·期末）直线 与圆 交于
两点，则 的面积为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】三角形面积公式及其应用、求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、
圆的弦长与中点弦
【分析】依题意，作出图形，求出圆心坐标和半径，过圆心 作 于 ，分别
计算 和 ，即可求得 的面积.
【详解】如图，由圆 配方得， ，知圆心为 ,半径为 ，
过点 作 于 ，由 到直线 的距离为 ,
则 ,
故 的面积为 .
故选：B.
3．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）若方程 表示圆，则 的取值范围
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系
【分析】根据圆的一般式满足的条件即可代入列不等式求解.
【详解】由题意可得 故 ，
解得 ，
故选：A
4．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）直线 被圆 所截得
的弦长为 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】已知点到直线距离求参数、已知圆的弦长求方程或参数
【分析】先求出圆心到直线 的距离，结合点到直线的距离公式，即可得出 的值.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
由垂径定理，得点到直线距离为 ，
根据点到直线距离公式，知圆心 到直线 的距离 ，
化简可得 ，解得 .
故选：A.
5．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知直线 与圆 相切，
则 的值（ ）
A．与a有关，与b有关 B．与a有关，与b无关
C．与a无关，与b有关 D．与a无关，与b无关
【答案】D
【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】先求得圆的圆心坐标为 和半径为 ，结合题意圆心到直线的距离等于半径，
即 ，化简即可得到答案.
【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
因为直线 与圆 相切，
则圆心到直线的距离等于半径，即 ，
化简得 ，可知 ，
故选：D.
6．（23-24高二上·贵州六盘水·阶段练习）已知过原点的直线 与圆 相
交，则直线 的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数
【分析】先设直线方程，然后利用直线与圆的位置关系建立不等式求解即可.【详解】设直线方程为 ，由题可知圆心到直线的距离小于等于半径，
圆 圆心为 ，半径 ，
所以有
故选：B
7．（2024高二·全国·专题练习）过点 引圆 的切线，则切线方
程为（ ）
A．
B．
C． 或
D． 或
【答案】D
【知识点】过圆外一点的圆的切线方程
【分析】分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论；当斜率不存在时，直线与x轴垂直，只
需判断圆心到直线的距离是否等于半径即可；当斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到
直线的距离等于半径求出斜率即可.
【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为 ，
此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为 ，
即 ，
∵直线与圆相切，
∴圆心到直线的距离等于半径，
即 ，解得 ，
∴所求切线方程为 .
综上，切线方程为 或 .
故选：D.
8．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆C： ，直线l：
．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线过定点问题、圆的弦长与中点弦、直线与圆的位置关系求距离的最值【分析】由题意可证直线l恒过的定点 在圆内，当 时直线l被圆C截得的弦
长最小，结合勾股定理计算即可求解.
【详解】直线l： ，
令 ，解得 ，所以直线l恒过定点 ，
圆C： 的圆心为 ，半径为 ，
且 ，即P在圆内，
当 时，圆心C到直线l的距离最大为 ，
此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为 ．
故选：A．
二、多选题
9．（24-25高二上·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A．方程 表示圆心为 的圆
B．方程 表示圆心为 的圆
C．方程 表示半径为 的圆
D．方程 表示半径为 的圆
【答案】AC
【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、由圆的一般方程确定圆心和半径
【分析】由圆的方程的满足条件逐项判断即可.
【详解】由 知方程 表示圆心为
的圆，A正确；
，当 时表示圆，当 时表示
点，当 不表示任何图形，B错误；
因为 ，所以方程 表示圆，
方程 可化为 ，所以圆半径 ，C正确；
方程 可化为 表示点 ，不是圆，D错误．
故选：AC10．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知直线 和圆
，则下列选项正确的是（ ）
A．直线 恒过点
B．圆 与圆 有三条公切线
C．直线 被圆 截得的最短弦长为
D．当 时，圆 上存在无数对关于直线 对称的点
【答案】ACD
【知识点】直线过定点问题、已知圆的弦长求方程或参数、由圆的位置关系确定参数或范
围
【分析】根据定点的特征即可求解A，根据两圆的位置关系即可求解B，根据垂直时即可结
合圆的弦长公式求解C，根据直线经过圆心即可求解D.
【详解】对于A，由直线 的方程 ，可知直线 恒经过定点 ，故A正确；
对于B，由圆 的方程 ，可得圆心 ，半径 ，又由
，由于 ，
所以圆 与圆 相交，圆 与圆 有两条公切线，故B错误；
对于C，由 ，根据圆的性质，可得当直线 和直线 垂直时，此时截得的弦长
最短，最短弦长为 ，故C正确；
对于D，当 时，直线 ，将圆心 代入直线 的方程 ，可
得 ，
所以圆 上存在无数对关于直线 对称的点，故D正确，
故选:ACD.
三、填空题
11．（24-25高二上·陕西咸阳·阶段练习）若方程 表示圆，则实数 的
取值范围为 .
【答案】
【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系
【分析】根据圆的一般方程条件 ，计算即可得到答案.
【详解】根据题意，方程 表示圆，
则 ，解得 .
所以实数 的取值范围为 .故答案为： .
12．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）圆 ： 与圆 ：
相交于 、 两点，则 ．
【答案】4
【知识点】相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长
【分析】先求出相交弦所在直线的方程，然后根据圆的弦长的求法求解即可.
【详解】由圆 ： 与圆 ： ，
两圆相减得公共弦 所在直线方程为： ，
有圆 ： ，可得圆心 ，半径 ，
所以圆心 到直线 的距离 ，
所以 .
故答案为：4.
四、解答题
13．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知 三个顶点的坐标分别是
.
(1)求 的面积
(2)求 外接圆的方程
【答案】(1)
(2)
【知识点】由斜率判断两条直线垂直、由圆心（或半径）求圆的方程
【分析】（1）利用斜率可得 ，则 ，由已知数据求解即可；
（2）由 ， 外接圆是以线段 为直径的圆，求出圆心和半径即可得外接圆
的方程.
【详解】（1） 三个顶点的坐标分别是 ，
直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，
则 ，即 .
， ，.
（2）由 ， 外接圆是以线段 为直径的圆，
线段 的中点为 ，半径 ，
所以 外接圆的方程是 .
14．（23-24高二下·四川·阶段练习）已知圆C和直线 ，若
圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线 和 的交点．
(1)求圆C的标准方程；
(2)过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且 ，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2) 或 .
【知识点】求直线交点坐标、由圆心（或半径）求圆的方程、过圆外一点的圆的切线方
程、已知圆的弦长求方程或参数
【分析】（1）根据题意联立直线 和 的直线方程，求得交点 ，进而求得半径
，即可得解；
（2）根据题意，结合垂径定理求得圆心到直线 的距离 ，讨论直线l的斜
率不存在和存在两种情况进行讨论，即可得解.
【详解】（1）首先由 可得 ，
所以直线 和 相交于点 ，
所以圆C的半径 ，
所以圆C的标准方程为 .
（2）当直线l的斜率不存在时，方程为 ，代入圆C方程为 可得 ，
此时 ，符合题意，
当直线l的斜率存在时，设直线方程为 ，
根据题意圆心到直线 的距离为 ，
所以 ，解得 ，此时直线方程为 ，所以直线l的方程为 或 .
B能力提升
1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆 和圆
交于两点，点 在圆 上运动，点 在圆 上运动，则下列说法
正确的是（ ）
A．圆 和圆 关于直线 对称
B．圆 和圆 的公共弦长为
C． 的取值范围为
D．若 为直线 上的动点，则 的最小值为
【答案】D
【知识点】判断圆与圆的位置关系、两圆的公共弦长、由圆的位置关系确定参数或范围、
相交圆的公共弦方程
【分析】求出圆心和半径，再结合中垂线知识可判断A，利用等等这些距离公式结合勾股
定理可判断B，由题意可知，当点 和 重合时， 的值最小，当 ， ， ， 四点
共线时， 的值最大，进而可判断C，求出 关于直线 对称点 的坐标，再
结合两点间距离公式可判断D.
【详解】对于A， 和圆 ，
圆心和半径分别是 ，
则两圆心中点为 ，
若圆 和圆 关于直线 对称，则直线是 的中垂线，
但两圆心中点 不在直线 上，故A错误；
对于B， 到直线 的距离 ，
故公共弦长为 ，B错误；
对于C，圆心距为 ，当点 和 重合时， 的值最小，
当 四点共线时， 的值最大为 ，
故 的取值范围为 ，C错误；对于D，如图，设 关于直线 对称点为 ，
则 解得 即 关于直线 对称点为 ，
连接 交直线于点 ，此时 最小，
，
即 的最小值为 ，D正确.
故选：D.
2．（24-25高三上·全国·阶段练习）在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，圆
，点 为 轴上一动点.现由点 向点 发射一道粗细不计的光
线，光线经 轴反射后与圆 有交点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、用和、差角的正切公式化简、求值、已知切线
求参数
【分析】作点 关于 轴的对称点 ，方法一、利用直线与圆的关系计算圆心到反
射光线的距离即可；方法二、利用反射光线与圆相切作临近值，借助两点距离公式、正切
的和差角公式计算反射光线的斜率范围，再利用截距的意义计算即可.
【详解】方法一：作点 关于 轴的对称点 ，则直线 与圆 有交点．
又 ，所以直线 的方程为 ，即 ．由题知圆 的圆心为 ，半径为1，
直线 与圆 有交点，即圆心 到直线 的距离小于等于1，
所以 ，解得 ．
方法二：作点 关于 轴的对称点 ，则直线 与圆 有交点，
临界情况为直线 与圆 相切．
设切点为 ，令 ，易得 ，
所以 ．
因为直线 的斜率为 ，
所以直线 的斜率 ．
易得直线 的方程为 ．所以 ．
故选：A
【点睛】思路点睛：对于光线的反射问题一般作对称点由入射光线得出反射光线所在直
线，再利用直线与圆的位置关系计算即可，法二、计算反射光线与圆相切时的斜率从而得
出反射光线的斜率范围，再结合直线的截距意义计算，计算略显复杂，但也是一种很好的
方向.
3．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知实数 满足 ，则 的最大
值为 .
【答案】
【知识点】求分式型目标函数的最值、由直线与圆的位置关系求参数【分析】依题意可得 ，从而得到点 在圆 上，
再由 表示点 与点 连线的斜率，结合图象及直线与圆的位置关系求出
的最值，即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以点 在圆 上，其中圆心为 ，半径为 ，
又 ，其中 表示点 与点 连线的斜率，
又 ，所以点 在圆外，
由图可知，当直线与圆相切时， 取得最值，设过点 的直线 的方程为
，
即 ，则 ，解得 或 ，
即 的最大值为 ，最小值为 ，
所以 的最大值为 .
故答案为：
C综合素养（新定义解答题）
1．（23-24高二上·河北保定·期中）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外
心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐
标系中， 满足 ，顶点 、 ，且其“欧拉线”与圆
相切.(1)求 的“欧拉线”方程；
(2)若圆M与圆 有公共点，求a的范围；
(3)若点 在 的“欧拉线”上，求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】用两点间的距离公式求函数最值、由圆的位置关系确定参数或范围、直线的点
斜式方程及辨析、求点关于直线的对称点
【分析】（1）根据题意，得出等腰三角形欧拉线为底边上的垂直平分线，利用点斜式求出
直线方程；
（2）因两圆有公共点，利用两圆的圆心距与半径的关系求出的范围
（3）依题意，转化为直线上的动点到两定点的距离之和的最小值，根据点关于直线对称求
出对称点即可得结果.
【详解】（1）因为 ，所以 是等腰三角形，
由三线合一得： 的外心、重心、垂心均在边 的垂直平分线上，
设 的欧拉线为 ，则 过 的中点，且与直线 垂直，
由 可得： 的中点 ，即 ，所以
，
故 的方程为 .
（2）因为 与圆 相切，故 ，
圆 的圆心坐标为 ，半径 ，
则要想圆 与圆 有公共点，
只需两圆圆心的距离小于等于半径之和，大于等于半径之差的绝对值，
故 ，所以 .
（3）因为 ，
所以该式子是表示点 到点 、点 的距离之和，
又 ，
所以上述式子表示直线 上的点 到点 、点 的距离之和的最小
值.设点 关于直线 的对称点为 ，
则有 解得 ，即 .
所以 ，所以直线 上的点 到点 、点 的距离之和的最小
值为 .
