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第七章立体几何与空间向量
§7.6 空间向量的概念与运算
【考情分析·探规律】
考点
3 年考情（2021-2024）
命题趋势
空间向量的
概念与运算
2024·北京、2024·全国甲卷
2024·天津、2024·新课标Ⅱ卷
2023·北京、2023·全国乙卷
2023·新课标Ⅰ卷、2022·天津
2022·浙江、2022·新高考全国Ⅱ卷
2022·全国甲卷、2022·全国乙卷
2022·北京
掌握空间向量的线性运算及其
坐标表示，掌握空间向量的数量积
及其坐标表示，能用向量的数量积
判断向量的共线和垂直；理解直线
的方向向量及平面的法向量，能用
向量方法证明立体几何中有关线面
位置关系的一些简单定理。
【知识梳理】
1.空间向量的有关概念
名称
定义
空间向量
在空间中，具有大小和方向的量
相等向量
方向相同且模相
等
的向量
相反向量
方向相反且模相等的向量
共线向量
(或平行向量)
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向
量
共面向量
平行于同一个平面的向量
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数λ，
使得a ＝
λ b .
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b 不共线，那么向量p 与向量a，b 共面的充要条
件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a ＋
y b .
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量p，存
在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝x a ＋
y b ＋
z c ，其中，{a，b，c}叫做空间的一个
基底.
3.空间向量的数量积
(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，
则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则
称a 与b 互相垂直，记作a⊥b.
(2)两向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b 的数量积，
记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(3)空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4.空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
夹角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cos〈a，b〉＝
5.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a 的有向线段所在直线与直线l 平行或重合，则
称此向量a 为直线l 的方向向量.
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l 的方向向量a，则向量a 叫做平面α 的法向量.
6.空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别
为u1，u2
l1∥l2
u1∥u2⇔u1＝λu2
l1⊥l2
u1⊥u2⇔u1·u2＝0
直线l 的方向向量为u，平
面α 的法向量为n
l∥α
u⊥n⇔u·n＝0
l⊥α
u∥n⇔u＝λn
平面α，β 的法向量分别为
n1，n2
α∥β
n1∥n2⇔n1＝λn2
α⊥β
n1⊥n2⇔n1·n2＝0
【名师点拨】
1.空间向量的线性运算和数量积运算可类比平面向量的线性运算和数量积运算.
2.空间向量的坐标运算和坐标原点的选取无关.
3.实数0 和任意向量相乘都为零向量.
4.实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算.
5.在利用MN＝xAB＋yAC证明MN∥平面ABC 时，必须说明M 点或N 点不在平面ABC
内.
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线的方向向量是唯一确定的.( )
(2)若直线a 的方向向量和平面α 的法向量平行，则a∥α.( )
(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c 中至多有一个零向量.( )
(4)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角.( )
(5)若两平面的法向量平行，则不重合的两平面平行.( )
2.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC 与BD 的交点为点M，设⃗AB=a，⃗AD
=b，⃗A A1=c，则下列向量中与⃗C1 M相等的向量是( )
A.-1
2a+1
2b+c
B.1
2a+1
2b+c
C.-1
2a-1
2b-c
D.-1
2a-1
2b+c
3.若平面α 外的直线l 的方向向量为a=(1，0，-2)，平面α 的法向量为m=(8，-1，4)，
则( )
A.l⊥α
B.l∥α
C.a∥m
D.l 与α 斜交
4.已知空间向量a=(λ，1，2)，b=(2，λ+1，λ)，若a∥b，则实数λ= .
【名师点拨】
1.牢记空间中三点共线、四点共面的充要条件
(1)在平面中A，B，C 三点共线的充要条件是：⃗OA=x⃗OB+y⃗OC(其中x+y=1)，O 为平面
内任意一点.
(2)在空间中P，A，B，C 四点共面的充要条件是：⃗OP=x⃗OA+y⃗OB+z⃗OC(其中
x+y+z=1)，O 为空间任意一点.
2.解题时防范以下几个易误点
(1)向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b=b·a，a·(b+c)=a·b+a·c 成立，但不满足结
合律，即(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.
(2)由于0 与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0 不能作为基向量.
(3)直线的方向向量和平面的法向量均不为零向量且不唯一.
【必练核心题型】
题型一 空间向量的线性运算
【典例】1.已知向量⃗AB=(1，a，-2)，⃗AC=(-3，6，b)，若A，B，C 三点共线，则a-
b 等于( )
A.-8
B.-2
C.2
D.8
【典例】2.在三棱柱ABC-A1B1C1中，E 是BC 的中点，⃗AG=2⃗GE，则⃗GC1等于( )
A.1
3⃗AB-2
3⃗AC +⃗A A1
B.1
3⃗AB+ 2
3⃗AC +⃗A A1
C.-1
3⃗AB+ 2
3⃗AC +⃗A A1
D.-1
3⃗AB+ 2
3⃗AC-⃗A A1
【变式训练】
变式1.在正四面体ABCD 中，F 是AC 的中点，E 是DF 的中点，若⃗DA=a，⃗DB=b，⃗
DC=c，则⃗BE等于( )
A.1
4 a-b+1
4 c
B.1
2a-b+1
2c
C.1
4 a+b+1
4 c
D.1
2a-b+c
题型二 空间向量基本定理及其应用
【典例】1.(多选)下列说法正确的是( )
A.若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线
B.若G 是四面体OABC 的底面△ABC 的重心，则⃗OG=1
3 (⃗OA +⃗OB+⃗OC)
C.若⃗OG=2
5⃗OA-3
5⃗OB+ 4
5⃗OC，则A，B，C，G 四点共面
D.若向量p=mx+ny+kz(其中x，y，z 是三个不共面的向量，m，n，k∈R)，则称p 在
基底{x，y，z}下的坐标为(m，n，k).若p 在单位正交基底{a，b，c}下的坐标为(1，
2，3)，则p 在基底{a-b，a+b，c}下的坐标为(−1
2 ，3
2 ，3)
【变式训练】
变式1.O 为空间任意一点，若⃗AP=-1
4⃗OA + 1
8⃗OB+t⃗OC，若A，B，C，P 四点共面，
则实数t 等于( )
A.1
B.9
8
C.1
8
D.1
4
题型三 空间向量数量积及其应用
【典例】1.(多选)已知空间中A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(-1，3，1)三点，则( )
A.⃗AB与⃗AC是共线向量
B.与向量⃗AB方向相同的单位向量是(
2❑√5
5
，−
❑√5
5 ，0)
C.⃗AB与⃗BC夹角的余弦值是-
❑√55
11
D.平面ABC 的一个法向量是(1，-2，5)
【典例】2.已知圆锥SO 的底面半径为2，点P 为底面圆周上任意一点，点Q 为侧面
(异于顶点和底面圆周)上任意一点，则⃗OP·⃗OQ的取值范围为( )
A.(-4，4)
B.[-4，4]
C.(-2，2)
D.[-2，2]
【变式训练】
1.已知空间向量a=(-2，-1，1)，b=(3，4，5)，则下列结论正确的是( )
A.(a+b)∥a
B.a 与b 夹角的余弦值为
❑√3
6
C.2a⊥(5a+6b)
D.4|a|=❑√3|b|
题型四 向量法证明平行、垂直
【典例】1.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面
PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=
❑√2
2 AD，设E，F 分别为PC，BD 的中点.求证：
(1)EF∥平面PAD；
(2)平面PAB⊥平面PDC.
【变式训练】如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2❑√5，AA1=
❑√7，BB1=2❑√7，点E 和F 分别为BC 和A1C 的中点.求证：
(1)EF∥平面A1B1BA；
(2)平面AEA1⊥平面BCB1.
【限时训练】（限时：60 分钟）
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.在空间四边形ABCD 中，E，F 分别为BC，CD 的中点，则⃗AF-1
2 (⃗AB+⃗AC)等于(
)
A.-⃗EF
B.⃗BD
C.⃗EF
D.-⃗BD
2.已知a=(1，m，3)，b=(2，4，n)，且a∥b，则m+n 等于( )
A.4
B.6
C.8
D.10
3.设m 为实数，若直线l 垂直于平面α，且l 的方向向量为(m，2，4)，平面α 的法向量
为(2，4，8)，则m 的值为( )
A.1
B.2
C.-20
D.-10
4.已知a=(1，0，2)，b=(3，-2，1)，c=(-1，m，3)，若a，b，c 三个向量共面，则实数
m 等于( )
A.-1
B.2
C.3
D.5
5.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，BD=3，⃗A D1·⃗DC-⃗A B1·⃗BC=4，则cos
〈⃗A A1，⃗BD〉等于( )
A.2
3
B.-2
3
C.3
4
D.-3
4
6.(2025·日照模拟)已知棱长为1 的正方体ABCD-A1B1C1D1，以正方体中心为球心的球O
与正方体的各条棱相切，若点P 在球O 的正方体外部(含正方体表面)运动，则⃗PA·⃗PB
的最大值为( )
A.2
B.7
4
C.3
4
D.1
4
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.下列命题正确的是( )
A.平面α，β 的法向量分别为n1=(0，1，3)，n2=(1，2，6)，则α∥β
B.直线l 的方向向量为a=(1，-1，2)，直线m 的方向向量为b=(2，1，−1
2)，则l 与
m 垂直
C.直线l 的方向向量为a=(0，1，-1)，平面α 的法向量为n=(1，-1，-1)，则l∥α
D.平面α 经过A(1，0，-1)，B(0，1，0)，C(-1，2，0)三点，向量n=(1，u，t)是平面α
的一个法向量，则u+t=1
8.下列说法正确的是( )
A.在空间直角坐标系Oxyz 中，点(3，-4，5)关于Oxy 平面对称的点为(3，-4，-5)
B.对空间任意一点O 与不共线的A，B，C 三点，若⃗OP=x⃗OA+y⃗OB+z⃗OC，其中x，y，
z∈R 且x+y+z=1，则P，A，B，C 四点共面
C.已知a=(0，1，1)，b=(0，0，-1)，则a 在b 上的投影向量为(0，0，-1)
D.向量p 在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，则向量p 在基底{a+b，a-b，c}下的坐
标为(3，1，3)
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.在空间直角坐标系中，已知A(1，1，0)，B(-1，0，2)，点C 满足⃗AC=3⃗AB，则点C
的坐标为 .
10.已知三棱锥P-ABC 的体积为6，M 是空间中一点，⃗PM=- 1
15⃗PA + 2
15⃗PB+ 4
15⃗PC，
则三棱锥A-MBC 的体积是 .
四、解答题(共27 分)
11.(13 分)如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且
PA=AD=2，E，F，H 分别是线段PA，PD，AB 的中点.求证：
(1)PB∥平面EFH；(5 分)
(2)PD⊥平面AHF.(8 分)
12.(14 分)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=CC1，⃗CA=a，⃗CB=b，⃗C C1
=c，〈a，b〉=〈a，c〉=2π
3 ，〈b，c〉=π
2 ，N 是AB 的中点.
(1)用a，b，c 表示向量⃗A1 N；(5 分)
(2)在线段C1B1上是否存在点M，使AM⊥A1N？若存在，求出M 的位置，若不存在，
请说明理由.(9 分)
【尖子拔高训练】13 题5 分，14 题6 分，共11 分
13.1941 年中国共产党在严重的困难面前，号召根据地军民，自力更生，艰苦奋斗，尤
其是通过开展大生产运动，最终走出了困境.如图就是当时缠线用的线拐子，在结构简
图中线段AB 与CD 所在直线异面垂直，E，F 分别为AB，CD 的中点，且EF⊥AB，
EF⊥CD，线拐子使用时将丝线从点A 出发，依次经过D，B，C 又回到点A，这样一
直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”.图中AB=EF=CD=30 cm，则丝线
缠一圈的长度为( )
A.90❑√2 cm
B.90❑√3 cm
C.60❑√6 cm
D.80❑√3 cm
14.(多选)(2025·齐齐哈尔模拟)设Ox，Oy，Oz 是空间中两两夹角均为θ(θ∈(0，π
2])
的三条数轴，e1，e2，e3分别是与x，y，z 轴正方向同向的单位向量，若⃗OP
=xe1+ye2+ze3(x，y，z∈R)，则把有序数对(x，y，z)θ叫做⃗OP在坐标系Oxyz 中的坐标，
则下列结论正确的是( )
A.若a=(-1，3，-7)θ，b=(3，-2，4)θ，则a+b=(2，1，3)θ
B.若a=(2，6，−3)π
2，b=(3，−1，0)π
2，则a·b=0
C.若a=(x，y，0)θ，b=(1，2，0)θ，则当且仅当x∶y=1∶2 时，θ=π
6
D.若⃗OA=(1，0，0)π
3
，⃗OB=(0，1，0)π
3
，⃗OC=(0，0，1)π
3，则二面角O-AB-C
的余弦值为1
3
