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第二章 函数与基本初等函数（单元测试）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
，
，
，则，，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知某AI 智能软件处理相关数据量（单位：
）与所需时间（单位：
）之间的关系为
，当要处理的数据量从
增加到
时，处理的时间增加了
，则要处理的数据量为
时，所需的处理时间为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知幂函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
是奇函数
D．
的值域为
f (- x)=(- x)
2
3 =
3√(- x)
2=
3√x
2= f ( x)
5．函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知
且
，函数
对任意实数，
，都有
成立，则实数的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．定义
为
中的最小值，设
，则
的最大值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5
8．我们知道，函数
的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数
为奇函数，由此可以推广
得到：函数
的图象关于点
成中心对称的充要条件是函数
为奇函数．利用推广
结论，已知函数
，则
的值为（ ）
A．
4048
B．4048
C．
4050
D．4050
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．判断下列对应关系是集合A 到集合B 的函数（ ）
A．
，
；
B．
，
；
C．
，
；
D．
，
.
10．已知函数
的定义域为
， 且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数
，下列说法正确的是（ ）
A．若
有两个零点，则
B．
只有一个零点
C．若
有两个零点
，则
D．若
有四个零点，则
.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知函数
，若
，则
______.
13．已知函数
（
，
）的图象所过的定点在直线
上，则
的最
小值为______.
14．已知函数
，给出下列四个结论：
①若
恰有2 个零点；
②存在负数
，使得
恰有1 个零点；
③存在负数
，使得
恰有3 个零点；
④存在正数
.，使得
恰有3 个零点.
其中所有正确结论的序号是__________.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
（1）计算：
．
（2）计算：
.
（3）已知
，求
的值．
16．（15 分）
已知函数
的解析式为
(1)画出这个函数的图象，并写出
的最大值；
(2)求
的值
(3)解不等式
17．（15 分）
某公司生产某产品，原生产量为每年
万件，为适应市场需求，计划改进技术并扩大生产．据测算，
生产该产品的年固定成本为
万元，每生产
万件，需另投入可变成本
万元，且
．由市场调研知，该产品每件的售价为
元，且全年产品当年可全部售完．
(1)求年利润
（万元）与年产量（万件）的函数解析式（利润＝销售收入－固定成本－可变成
本）；
(2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
18．（17 分）
已知函数
，
.
(1)是否存在实数，使得
为偶函数？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由.
(2)若
是奇函数，
（i）用定义证明
在
上的单调性；
（ii）若存在
，使得不等式
有解，求实数
的取值范围.
19．（17 分）
设P，Q 是两个非空数集，若定义在
上的函数
对任意
当
时，
，
则称
为P 到Q 的双界函数.
(1)设
，
，
.
（ⅰ）证明：当
时，
是P 到Q 的双界函数；
（ⅱ）若
是P 到Q 的双界函数，求实数k 的取值范围.
(2)若
，
，
是P 到Q 的双界函数，当
时，
，求
在
上的最小值.
(3)设集合
其中
，
.若
，
是P 到Q 的双界函数，
证明：
是A 到B 的双界函数.
