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第 07 讲 函数的图象(精讲）
目录
第07讲 函数的图象(精讲）...........................................1
第一部分：知识点必背................................................2
第二部分：高考真题回归..............................................4
第三部分：高频考点一遍过............................................6
高频考点一：画出函数的图象.......................................6
高频考点二：函数图象的识别......................................15
高频考点三：函数图象的应用......................................20
角度1：研究函数的性质........................................20
角度2：确定零点个数..........................................22
角度3：解不等式..............................................23
角度4：求参数的取值范围......................................25
第四部分：数学文化题...............................................29
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1、平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”）
①
②
③
④
注：左右平移只能单独一个 加或者减，注意当 前系数不为1,需将系数提取到外面.
2、对称变换
① 的图象 的图象；
② 的图象 的图象；
③ 的图象 的图象；
④ ( ，且 )的图象 ( ，且 )的图象.
3、伸缩变换
① .
② .
4、翻折变换（绝对值变换）① 的图象 的图象；
（口诀；以 轴为界，保留 轴上方的图象；将 轴下方的图象翻折到 轴上方）
② 的图象 的图象.
（口诀；以 轴为界，去掉 轴左侧的图象，保留 轴右侧的图象；将 轴右侧图象翻折到 轴左侧；本
质是个偶函数）
5、图象识别技巧（按使用频率优先级排序）
①特殊值法（观察图象，寻找图象中出现的特殊值）
②单调性法（ ； ； ， ；通过求导判断单调性）
③奇偶性法
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数
④极限（左右极限）（ ； ； ； ；）
⑤零点法
⑥极大值极小值法
第二部分：高考真题回归
1．（2022·天津·高考真题）函数 的图像为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】函数 的定义域为 ，
且 ，
函数 为奇函数，A选项错误；
又当 时， ，C选项错误；
当 时， 函数单调递增，故B选项错误；
故选：D.
2．（2022·全国（乙卷文）·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该
函数是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设 ，则 ，故排除B;
设 ，当 时， ，
所以 ，故排除C;
设 ，则 ，故排除D.
故选：A.
3．（2022·全国（甲卷理）·高考真题）函数 在区间 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【详解】令 ，
则 ，
所以 为奇函数，排除BD；
又当 时， ，所以 ，排除C.
故选：A.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：画出函数的图象
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）函数 向右平移1个单位，再向上平移2个单位的大
致图像为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】先作出函数 的图像，再向右平移1个单位，再向上平移2个单位得解.
如图所示：故答案为C
例题2．（2023·全国·高三对口高考）作出下列函数的图像：
(1) (2) ； (3) ； (4) ；
(5) ； (6) ； (7) ．
【详解】（1）函数 ，则其图象可看作由反比例函数 的图象，
先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其图象如图示：
（2） ，其图象如图：（3）设 ，其图象如图：
（4）设 ，其图象如图：
（5）设 ，其图象可看作由函数 的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单
位得到，
而 ，其图象可由 的图象保留 时的图象，然后将该部分关于y轴对称得
到，
则 图象如图示：（6） 的图象可由函数 的图象保留x轴上方的部分不变，
将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，图象如图：
（7）设 ，则其图象可由 的图象向左平移1个单位，
再保留x轴上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，如图：
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． 和
C． D． 和
【答案】B
【详解】 ，
作出其图象如图所示：由图象可知，函数的增区间为 和 .
故选:B
2．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一统考期末）函数 ，若函数 ，有三个不同
的零点，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【详解】当 时，根据对勾函数可得 在 上单调递增，在 上单调递减，故此时最
小值 ；
当 时，根据 在 上单调递减，故此时最小值 ；
作出对应的图象，如图所示
函数 有三个不同的零点，可看作 与 有三个不同的交点，
从图象可得到实数m的取值范围是
故答案为：
3．（2023秋·山东菏泽·高一校考期末）已知函数 ，试画出 的图象，并根据图象解决
下列两个问题．（1）写出函数 的单调区间；
（2）求函数 在区间 上的最大值．
【答案】（1）单调递增区间为 ， ；单调递减区间为 ；（2） .
【详解】 的图象如图所示．
(1) 在 和 上是增函数，在 上是减函数，
∴ 单调递增区间为 ， ；单调递减区间为 ；
(2)∵ ， ，
∴ 在区间 上的最大值为 .
4．（2023·高一课时练习）已知函数 .
（1）用分段函数的形式表示该函数;
（2）在所给的坐标系中画出该函数的图像,并根据图像直接写出该函数的定义域、值域(不要求写作图及解
答过程)【答案】（1） （2）图见解析，定义域 ，值域
【详解】（1）
当 , ;
当 ,
（2）由（1）得:
画出函数的图像,如图:
根据函数图像可知: 定义域 ,值域 .
5．（2023·全国·高三专题练习）利用图象判断下列函数的奇偶性：
(1)
(2)
(3) ；
(4) ；(5) .
【答案】(1)奇函数
(2)偶函数
(3)偶函数
(4)非奇非偶函数
(5)偶函数
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
对于函数 ，
当 ，为二次函数，是一条抛物线，开口向下，对称轴为 ，
当 ，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为 ，
画出函数 的图象，如图所示，
函数图象关于原点对称，所以函数 为奇函数；
（2）函数 的定义域为 ，
对于函数 ，
当 ，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为 ，
当 ，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为 ，
画出函数 的图象，如图所示，
函数图象关于y轴对称，故 为偶函数；（3）先作出 的图象，保留 图象中x≥0的部分，
再作出 的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，
即得 的图象，如图实线部分．
由图知 的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数.
（4）将函数 的图象向左平移一个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，
即可得到函数 的图象，如图，
由图知 的图象既不关于y轴对称，也不关于x轴对称，
所以该函数为非奇非偶函数；
（5）函数 ，
当 ，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为 ，
当 ，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为 ，
画出函数 的图象，如图，由图知 的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数.
高频考点二：函数图象的识别
典型例题
例题1．（2023秋·宁夏吴忠·高一统考期中）函数 的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由函数 的定义域为 ,所以A.C选项错误;
当 ,函数 为一次函数,故B选项错误,D选项正确;
故选:D.
例题2．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考学业考试）已知函数
，则函数 的图像是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【详解】由函数 解析式可知，当 时， 为二次函数一部分，
当 时， 为反比例函数一部分，结合图像即可得到C正确
故选:C
例题3．（2023·河南焦作·统考模拟预测）函数 的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意知函数 的定义域为 ，
因为 ，所以 为奇函数，故排除A；
因为 ，所以排除B；
因为 ，所以排除D；
故选：C.
例题4．（2023·浙江·校联考模拟预测）函数 的图像是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】图像过点 ， ，排除AD；当 时， ，排除C.
故选：B.
例题5．（多选）（2023秋·湖南娄底·高三校联考期末）函数 的图象的大致形状是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【详解】解：因为 ，
当 时， 在 上单调递增，且当 趋于 时， 趋于 ；
在 上单调递减，当 趋于 时， 趋于 ,故排除D；
当 时， 在 上单调递减，当 趋于 时， 趋于 ； 在 上单调递增，当
趋于 时， 趋于 ,故排除C.
故选：AB.练透核心考点
1．（2023春·青海西宁·高三统考开学考试）函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】函数定义域为R，因为函数 ，
所以函数 为偶函数，故A，C错误；
又 ，即函数 过原点，故B错误；
故选：D.
2．（2023秋·黑龙江大庆·高三铁人中学校考期末）函数 的部分图像大致为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】可得 ，
令 ，定义域为 ，且 ，则 为奇函数，图象关于原点对称，
是由 向右平移2个单位所得， 的图象关于 对称，故BC错误；
当 时， ， ，故D错误.
故选：A.
3．（2023秋·云南德宏·高一统考期末）函数 在 上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，
所以函数 是定义在 上的偶函数，排除选项C；
令 可得 ，所以 或 或 ，
所以函数 的零点有 ，排除A；
当 时， ，排除选项B；
选项D符合以上特征，
即数 在 上的图象大致为选项D中的图象.
故选：D．
4．（2023·全国·高三专题练习）函数 的部分图像大致为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】对任意的 ， ，则函数 的定义域为 ，
因为 ，
，则函数 为偶函数，排除CD选项，
又因为 ，当且仅当 时，等号成立，排除B选项.
故选：A.
5．（2023秋·湖南岳阳·高二统考期末）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】函数 的定义域为 ，选项A不满足；
当 时， ，有 ，选项B不满足；
当 时， ，则恒有 ，选项C不满足；
显然选项D符合题意.
故选：D高频考点三：函数图象的应用
角度1：研究函数的性质
典型例题
例题1．（2023秋·云南昆明·高一统考期末）给定函数 ， ， .
(1)在同一直角坐标系中画出函数 和 的图象；
(2) ，用 表示 ， 中的最大者，记为 ，试判断 在区间
的单调性.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【详解】（1） ， 图象如图所示，
（2）由（1）及 的定义得， 在 单调递减，在 单调递增，在 单调递减所以当 时， 在 单调递减，
当 时， 在 单调递减，在 单调递增，
当 时， 在 单调递减，在 单调递增，在 单调递减.
例题2．（2023秋·江西上饶·高一统考期末）已知函数 是定义在 上的偶函数，且当 时，
，现已画出函数 在 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象，完成以下问题.
(1)补充完整图象，写出函数 的解析式和其单调区间；
【答案】(1)图象见解析; 解析式为 ;
的减区间: ;增区间:
【详解】（1）如图，根据偶函数的图象关于 轴对称，可作出 的图象；
令 ，则 ，
函数 是定义在 上的偶函数，
解析式为
由图象知 的减区间: ;增区间:角度2：确定零点个数
典型例题
例题1．（2023春·湖北·高一校联考阶段练习）已知 为定义在 上的奇函数，当 时， 单
调递增，且 ， ， ，则函数 的零点个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【详解】当 时， 单调递增，且 ，且 为定义在 上的奇函数,
所以 ,可得 且 在 上单调递增,
由 ，得 ．
又因为 ， ,可得 ,
为定义在 上的奇函数,又可得 ,
根据题意作出满足要求的 的大致图像,
由图知，直线 与 的图像有4个公共点，
所以 有4个零点．
故选：A.
角度3：解不等式
典型例题
例题1．（2023春·湖北·高一随州市第一中学校联考阶段练习）已知 ，则实数
的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】对于 ，有 ，
当 时，对数函数 在 上为减函数，
所以 ，可得 ，
当 时，对数函数 在 上为增函数，
所以 ，可得 ；
所以对于 ，有 或 ；
对于 ，有 ，
因为 在 上为减函数，所以 ；
对于 ，有 ，
因为 在 上为增函数，所以 ；
综上： 或 ，即 .
故选：A.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则不等式 的解集是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：依题意， 等价于 ，
在同一坐标系中作出 ， 的图象，如图所示：如图可得 的解集为： .
故选：D.
角度4：求参数的取值范围
典型例题
例题1．（2023春·上海宝山·高一校考阶段练习）已知函数 是定义域为 的偶函数，当
时， ，若关于x的方程 有且仅有5个不同实数根，则
______．
【答案】
【详解】如图，作出函数 的图象，
令 ，
由图可知，当 或 时，方程 有两个解，
当 时，方程 有三个解，
当 时，方程 有四个解，
因为关于x的方程 有且仅有5个不同实数根，
所以关于 方程 的方程其中一个根 ，另一个根 或 ，
又因 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
练透核心考点
1．（2023秋·宁夏吴忠·高一统考期中）关于 的方程 有四个实数解，则 的取值范围是
______________
【答案】
【详解】设 ，则函数 的图象如图所示：
其中 ，
若关于 的方程 有四个实数解，函数 与直线 的交点有4个交点，
由图可得 ，所以 的取值范围是 .
故答案为： .
2．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一乌市八中校考开学考试）若指数函数 的图象经过点 ，则不
等式 的解集是______________________．
【答案】
【详解】由题意设函数 （ 且 ），因为 的图象经过点 ，所以 ，解得 ，
所以 ，
因为 ，即 ，
所以由 在 上递减得 ，解得 ，
故答案为：
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)画出函数 的图象，并写出其单调递增区间；
(2)若方程 有四个解，试求实数 的取值范围.
【答案】(1)图见解析， 和
(2)
(1)
由题意得： ，令 ，解得： 或 ，可得函数 图象,
如下图所示
由图象可知， 单调递增区间为 和 ，
(2)由题意可知，方程 有四个解转化为函数 与 有四个不同的交点，分别作出函数
与 的图象，如图所示
由图象可知， .
所以实数 的取值范围为 .
4．（2023·高一课时练习）设函数 .
(1)某同学认为，无论实数 取何值， 都不可能是奇函数，该同学的观点正确吗？请说明你的理由；
(2)若 是偶函数，求实数 的值；
(3)在（2）的情况下，求函数 的单调递增区间.
【答案】(1)观点正确，理由见解析
(2)
(3) 和 （ 和 也正确）
【详解】（1）该同学的观点正确，理由如下：
，若 为奇函数，则有 ，
，显然 无实数解， 不可能是奇函数.
（2）若 为偶函数，则有 ，
即 ，同时平方得
又x不恒为0，
.（3）由（2）知 ，其图象如下图所示，
由图象，知 的单调递增区间为 和 ，写成 和 也正确.
第四部分：数学文化题
1．（2022·全国·高三专题练习）高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕仅以他的名字“高
斯”命名的成果就多达110个，为数学家中之最．对于高斯函数 ，其中 表示不超过 的最大整
数，如 ， ， 表示实数 的非负纯小数，即 ，如 ， ．
若函数 （ ，且 ）有且仅有 个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数 有且仅有3个零点，
即 的图象与函数 的图象有且仅有 个交点．
而 ，
画出函数 的图象，
易知当 时， 与 的图象最多有1个交点，故 ，
作出函数 的大致图象，结合题意可得 ，解得： ，所以实数 的取值范围是 ，
故选：D．
2．（2022·全国·高三专题练习）我国著名数学家华罗庚曾说．“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形
结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征
已知函数 在 的大致图象如图所示，则函数 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】根据函数图象可得其对应的函数为非奇非偶函数，而A，C中的函数为偶函数，故排除A，C.
设题干中函数图象与 轴交点的横坐标分别为 ，且 ，且 .
对于B，令 ，即 ，作出 和 的函数图象，如图所示：由图象可知，函数 的图象与 轴交点的横坐标满足 ，且 ，符合题意；
对D，令 ，即 ，作出 和 的函数图象，如图所示：
由图象可知，函数 的图象与 轴交点的横坐标满足 ，且 ，故D不符合题意.
故选：B.
3．（2022·天津·高三专题练习）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数
形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来琢磨函数图象的特征.函数
在 的图像大致为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【详解】 ，为奇函数，排除A
， ， ，
故选：D
4．（多选）（2022·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王
子”的称号.设 ，用 表示不超过 的最大整数， 也被称为“高斯函数”，例如：
， .已知函数 ，下列说法中正确的是（ ）
A． 是周期函数 B． 的值域是
C． 在 上是减函数 D． ，
【答案】AC
【详解】由题意可知 ， ，
可画出函数图像，如图：
可得到函数 是周期为1的函数，且值域为 ，在 上单调递减，故选项AC正确，B错误；对于
D，取 ，则 ，故D错误.
故选：AC．5．（2022·浙江·高三专题练习）对实数a和b，定义运算“ ”： 设函数
．若函数 恰有两个零点，则实数c的取值范围是___________．
【答案】
【详解】因为 ，
所以
由图可知，当 或 时，函数 与 的图象有两个公共点，
的取值范围是 .
故答案为：
