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第四章 三角函数与解三角形（举一反三综合训练）
（全国通用）
（考试时间：120 分钟；满分：150 分）
注意事项：
1.本试卷分第I 卷(选择题)和第
卷
Ⅱ
(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填
写在答题卡上。
2.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第
卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
Ⅱ
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 分）（2025·河北·模拟预测）已知α ∈(0,π )，sinα +cosα =2❑√2
5
，则sinα −cosα =（ ）
A．
❑√42
5
B．−
❑√42
5
C．
❑√21
5
D．−
❑√21
5
2．（5 分）（2025·福建福州·模拟预测）已知a, b, c分别为△ABC的三个内角A , B , C的对边，若
sinC −sin B
sin A
=a−b
c +b
，则C =（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．5π
12
3．（5 分）（2025·四川成都·模拟预测）已知sin(α −β)cosα −cos(β −α )sinα =3
5
，β是第三象限角，
则sin(β +5π
4 )的值为（ ）
A．
❑√2
10
B．7 ❑√2
10
C．−
❑√2
10
D．−7 ❑√2
10
4．（5 分）（2025·河南新乡·模拟预测）如图所示的
月牙形
阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其
“
”
中一个是△ABC的外接圆的圆弧，另一个是以AB 为直径的圆的一部分圆弧，已知∠ACB =2π
3
，
AC =BC =1，则该月牙形即阴影部分面积为（ ）
A．
❑√3
4 +π
24
B．
❑√3
4 −π
24
C．1
4 +π
24
D．3 ❑√3
4
−π
8
5．（5 分）（2024·山西晋中·模拟预测）如图所示的音乐喷泉曲线，我们叫葫芦曲线（像湖面上高低起伏
的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），每过相同的间隔，它的振幅就
变化一次，且过点M(
3π
4 , 3
2)
，其对应的方程为|y)=(2−1
2[
2 x
π ))|sin ωx)（x ≥0，1<ω<3），其中
[x)为不超过x 的最大整数.若该葫芦曲线上一点N 的横坐标为7π
6
，则点N 的纵坐标为（ ）
A．±1
B．±
❑√2
2
C．± 1
2
D．±
❑√3
2
6．（5 分）（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）函数f ( x)=2sin(2ωx +π
3 )(0<ω<1)的图象如图所示，将
其向左平移π
6
个单位长度，得到y =g( x)的图象，则下列说法错误的是（ ）
A．ω=1
2
B．函数f ( x)的图象关于点(−π
3 ,0)对称
C．函数y =g( x)的图象关于直线x =π
4 对称
D．函数y =g(2 x +π
3 )在[−π
9 ,π
9 )上单调递减
7．（5 分）（2025·湖南长沙·二模）已知△ABC的面积为6 ❑√3，A =60
∘，AB =3，B的内角平分线交边
AC于点D，则S△ABD
S△CBD
的值为（ ）
A．3
7
B．2
7
C．7
2
D．7
3
8．（5 分）（2025·海南·模拟预测）函数f ( x)=cos(ωx +φ)(ω>0,π
2 <φ<3π
2 )，若f ( x)的一个单调
递增区间为[−2
3 , 4
3 ]，且f (0)=−1
2
，下面说法正确的是（ ）
A．ω=π
B．φ =2π
3
C．f ( x)在(0,π )上有2 个零点
D．f (−1)=−1
2
二、多项选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（6 分）（2025·福建福州·模拟预测）已知角α , β的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，β 终边
经过点P(−sinα ,cosα ),tanα =2， 则（ ）
A．tan β =−1
2
B．β 终边在第二象限
C．sin (α −β)=1
D．cos(α +β)=−4
5
10．（6 分）（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数f ( x)=2sin x cos x +2cos
2 x −1，则（ ）
A．函数f ( x)的最小值为−❑√2
B．函数f ( x)的一个对称中心为(
3 π
8
,0)
C．函数f ( x)在区间(
π
8 ,3 π
8 )单调递减
D．函数f ( x)的图象可由y =❑√2sin 2 x的图象向左平移π
4
个单位长度得到
11．（6 分）（2025·河北邢台·三模）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则下列说法正确
的有（ ）
A．若a
2+b
2<c
2，则△ABC是钝角三角形
B．若a=❑√13，b=3，A =π
3
，则△ABC的周长为7+❑√13
C．若A =π
6
，b
2+c
2−16=❑√3bc，则△ABC面积的最大值为4+2❑√3
D．若c =2，b=3，A =π
3 ，则BC边上的中线长为
❑√7
2
第II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（5 分）（2025·云南玉溪·模拟预测）若角α的终边经过点P(3,4)，则sin2α =
．
13．（5 分）（2025·河北唐山·三模）已知函数f (x)=3sin(ωx +π
4 )−3
2
(ω>0)在区间(0,π )上恰好存在
5 个零点，则正整数ω= .
14．（5 分）（2025·福建厦门·三模）锐角△ABC中，角A ,B ,C所对应的边分别为a,b,c，满足
a
2=b(b+c)，a+b=3，则△ABC的周长的取值范围为
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13 分）（2025·天津河北·模拟预测）已知cosα =−3
5
，α 是第三象限角．
(1)求sin α和tan α的值；
(2)求cos(α −π
3 )的值．
16．（15 分）（2025·湖北武汉·三模）已知函数f (x)=2sin(ωx −π
6 ),ω>0，
3 x−π
6
0
π
2
π
x1
2π
x
x2
2π
9
7π
18
5π
9
x3
f (x)
0
x4
0
−2
0
(1)若ω=3，
（
）根据如上表格，直接写出
ⅰ
x1, x2, x3, x4的值；
（
）利用上述表格，使用
五点法
画出函数
ⅱ
“
”
f (x)在[x2, x3)的图象；
(2)若函数f (x)在[0,π )上恰有两个最值点，求ω的取值范围.
17．（15 分）（2025·河北保定·模拟预测）已知函数f (x)=sin
2 x +❑√3cos xcos(
π
2 −x)．
(1)求函数f (x)的对称中心及对称轴方程；
(2)当x∈[0, 7π
12 )时，求函数f (x)的最大值和最小值．
18．（17 分）（2025·全国·二模）在△ABC中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
sin B (acosC +c cos A)=bcos B.
(1)求B；
(2)设D 为边BC的中点，若cosC =3
5
，△ABC的面积为14，求AD的长
19．（17 分）（2025·全国·二模）已知函数f (x)=sin(ωx +φ)(ω>0,π
2 <φ<π )的部分图象如图所示，
图象与y轴的交点为(0,
❑√3
2 )
，且f (x)在区间(0,π )上恰有一个极大值和一个极小值.
(1)求φ的值及ω的取值范围；
(2)若ω是整数，将f (x)的图象向右平移11π
24
个单位长度得到g(x)的图象，求
ℎ(x)=g(x−π
8 )+g(
1
2 x +π
8 )的最大值.
