第四章 三角函数与解三角形（举一反三综合训练）
（全国通用）
（考试时间：120 分钟；满分：150 分）
注意事项：
1.本试卷分第I 卷(选择题)和第
卷
Ⅱ
(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填
写在答题卡上。
2.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第
卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
Ⅱ
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 分）（2025·河北·模拟预测）已知α ∈(0,π )，sinα +cosα =2❑√2
5
，则sinα −cosα =（ ）
A．
❑√42
5
B．−
❑√42
5
C．
❑√21
5
D．−
❑√21
5
【答案】A
【解题思路】将题给等式两边同时平方得到2sinα cosα =−17
25
，结合α范围可判断sin α ,cosα的符号，
再利用同角三角函数基本关系可即求得sinα −cosα.
【解答过程】(sinα +cosα )
2=1+2sinα cosα = 8
25 ⇒2sinα cosα =−17
25
，
故(sinα −cosα )
2=1−2sinα cosα =42
25
，
又∵sinα cosα <0且α ∈(0,π )⇒sinα >0，故cosα <0，
∴sinα −cosα >0，故sinα −cosα =
❑√42
5
.
故选：A.
2．（5 分）（2025·福建福州·模拟预测）已知a, b, c分别为△ABC的三个内角A , B , C的对边，若
sinC −sin B
sin A
=a−b
c +b
，则C =（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．5π
12
【答案】C
【解题思路】根据正弦定理，由角化边，得到a
2+b
2−c
2=ab，再根据余弦定理求出C.
【解答过程】根据已知条件sinC −sin B
sin A
=a−b
c +b
，得c−b
a
=a−b
c +b
，
a
2+b
2−c
2=ab，
∴cosC =a
2+b
2−c
2
2ab
= ab
2ab =1
2
，
C =π
3
,
故选：C.
3．（5 分）（2025·四川成都·模拟预测）已知sin(α −β)cosα −cos(β −α )sinα =3
5
，β是第三象限角，
则sin(β +5π
4 )的值为（ ）
A．
❑√2
10
B．7 ❑√2
10
C．−
❑√2
10
D．−7 ❑√2
10
【答案】B
【解题思路】首先根据两角差的正弦公式得sin β =−3
5
，再根据同角三角函数关系式以及两角和的正弦公
式，即可求解.
【解答过程】sin(α −β)cosα −cos(β −α )sinα =sin[(α −β)−α)=−sin β =3
5
，
∴sin β =−3
5
，又β是第三象限角，∴cos β =−4
5
．
从而sin(β +5π
4 )=sin β cos 5π
4 +cos β sin 5π
4 =(−3
5 −4
5)×(−
❑√2
2 )=7 ❑√2
10
.
故选：B.
4．（5 分）（2025·河南新乡·模拟预测）如图所示的
月牙形
阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其
“
”
中一个是△ABC的外接圆的圆弧，另一个是以AB 为直径的圆的一部分圆弧，已知∠ACB =2π
3
，
AC =BC =1，则该月牙形即阴影部分面积为（ ）
A．
❑√3
4 +π
24
B．
❑√3
4 −π
24
C．1
4 +π
24
D．3 ❑√3
4
−π
8
【答案】A
【解题思路】根据圆和扇形面积的计算方法，分别求出弓形的面积和半圆的面积，作差可得月牙形面积.
【解答过程】
如图所示，根据已知和图形知AB =
❑√A C
2+BC
2−2 AC ⋅BC cos∠ACB =❑√3
，
设以△ACB为外接圆的圆心为O，直径2r由正弦定理得2r = AB
sin 2π
3
=
❑√3
❑√3
2
=2，即r =1，
在圆O中，根据圆心角和圆周角的关系，可知∠AOB =2π −2∠ACB
2
=2π
3
，
由扇形面积公式可得S弓形ACB=S扇形−S△AOB=1
2 ⋅r
2⋅2π
3 −1
2 ⋅r ⋅r ⋅sin 2π
3 =π
3 −
❑√3
4
，
易知以AB直径的半圆的半径为R =
❑√3
2
，即S半圆=1
2 π R
2=1
2 π ⋅(
❑√3
2 )
2
=3π
8
，于是
S月牙=3π
8 −(
π
3 −
❑√3
4 )=
❑√3
4 +π
24
，
故选：A.
5．（5 分）（2024·山西晋中·模拟预测）如图所示的音乐喷泉曲线，我们叫葫芦曲线（像湖面上高低起伏
的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），每过相同的间隔，它的振幅就
变化一次，且过点M(
3π
4 , 3
2)
，其对应的方程为|y)=(2−1
2[
2 x
π ))|sin ωx)（x ≥0，1<ω<3），其中
[x)为不超过x 的最大整数.若该葫芦曲线上一点N 的横坐标为7π
6
，则点N 的纵坐标为（ ）
A．±1
B．±
❑√2
2
C．± 1
2
D．±
❑√3
2
【答案】D
【解题思路】先代入M(
3π
4 , 3
2)
，求出ω=2，从而|y)=(2−1
2[
2 x
π ))|sin 2 x)，再代入x =7π
6
，求出
点N 的纵坐标.
【解答过程】由题意得
|
3
2)=(2−1
2[
2× 3
4 π
π
))|sin 3ω
4 π )
，即3
2|sin 3ω
4 π )=3
2
，
所以|sin 3ω
4 π )=1⇒sin 3ω
4 π =±1，
因为1<ω<3，所以3
4 π <3ω
4 π <9
4 π ，
故3ω
4 π =3
2 π ，解得ω=2，
所以|y)=(2−1
2[
2 x
π ))|sin2 x)，
将x =7π
6
代入得，|y)=(2−1
2[
2
π × 7π
6 ))|sin 7π
3 )=(2−1
2 ×2)|sinπ
3 )=
❑√3
2
，
故y =±
❑√3
2
，
所以点N 的纵坐标为±
❑√3
2
.
故选：D.
6．（5 分）（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）函数f ( x)=2sin(2ωx +π
3 )(0<ω<1)的图象如图所示，将
其向左平移π
6
个单位长度，得到y =g( x)的图象，则下列说法错误的是（ ）
A．ω=1
2
B．函数f ( x)的图象关于点(−π
3 ,0)对称
C．函数y =g( x)的图象关于直线x =π
4 对称
D．函数y =g(2 x +π
3 )在[−π
9 ,π
9 )上单调递减
【答案】C
【解题思路】利用函数f ( x)的图象过点(
π
6 ,2)，代入解析式中即可求得ω的值，判断A 选项；根据ω的
值可写出函数f ( x)的解析式，再写出对称中心即可判断B 选项；通过图象平移得到y =g( x)的解析式，进
而可求得对称轴，判断C 选项；利用y =g( x)的解析式写出y =g(2 x +π
3 )的解析式，可判断单调性.
【解答过程】对于A 选项，由图可知，函数f ( x)的图象过点(
π
6 ,2)，
∴f(
π
6 )=2sin(
ωπ
3
+π
3 )=2，∴sin(
ωπ
3
+π
3 )=1，
∴ωπ
3
+π
3 =π
2 +2k π ,k ∈Z，解得ω=1
2 +6k ,k ∈Z，
∵0<ω<1，∴ω=1
2
，故A 正确；
对于B 选项，f ( x)=2sin(x +π
3 )，令x +π
3 =k π ,k ∈Z，则x =−π
3 +k π ,k ∈Z，
∴f (x)的图象关于(−π
3 +k π ,0) (k ∈Z)对称，
当k =0时，函数f (x)关于(−π
3 ,0)对称，故B 正确；
对于C 选项，将f (x)向左平移π
6 个单位长度，得到g(x)=2sin(x +π
6 +π
3 )=2sin(x +π
2 )=2cos x，
则g(x)的对称轴为x =k π ,k ∈Z，故C 错误；
对于D 选项，函数y =g(2 x +π
3 )=2cos(2 x +π
3 )，
当x∈[−π
9 ,π
9 )时，2 x +π
3 ∈[
π
9 ,5 π
9 )⊆[0,π )，
∴函数y =g(2 x +π
3 )在[−π
9 ,π
9 )上单调递减，故D 正确.
故选：C.
7．（5 分）（2025·湖南长沙·二模）已知△ABC的面积为6 ❑√3，A =60
∘，AB =3，B的内角平分线交边
AC于点D，则S△ABD
S△CBD
的值为（ ）
A．3
7
B．2
7
C．7
2
D．7
3
【答案】A
【解题思路】根据三角形面积得到AC =8，在△ABC中，由余弦定理得BC =7，因为BD平分∠ABC，利
用三角形面积公式得到S△ABD
S△BCD
=AB
BC =3
7
.
【解答过程】因为△ABC的面积为6 ❑√3，A =60
∘，AB =3，
所以1
2 AB⋅AC sin A =1
2 ×3 AC sin60
∘=6 ❑√3，解得AC =8.
在△ABC中，由余弦定理得
BC
2=A B
2+A C
2−2 AB⋅AC cos A =9+64−2×3×8cos60
∘=49，
解得BC =7.
因为BD平分∠ABC，所以S△ABD
S△BCD
=
1
2 AB⋅BDsin∠ABD
1
2 BC ⋅BDsin∠CBD
=AB
BC =3
7
.
故选：A.
8．（5 分）（2025·海南·模拟预测）函数f ( x)=cos(ωx +φ)(ω>0,π
2 <φ<3π
2 )，若f ( x)的一个单调
递增区间为[−2
3 , 4
3 ]，且f (0)=−1
2
，下面说法正确的是（ ）
A．ω=π
B．φ=2π
3
C．f ( x)在(0,π )上有2 个零点
D．f (−1)=−1
2
【答案】C
【解题思路】利用单调区间求出ω判断A；由f (0)=−1
2
求出φ判断B；求出在(0,π )上的零点判断C；求
出函数值判断D.
【解答过程】对于A，由f ( x)的一个单调递增区间为[−2
3 , 4
3 ]，得最小正周期T =2[ 4
3 −(−2
3 )]=4，
ω=2π
T
=π
2
，A 错误；
对于B，由f (0)=−1
2 ,π
2 <φ<3π
2
，得φ =2π
3
或4π
3
，而x∈[−2
3 , 4
3 ]，
当φ =2π
3
时，π
2 x +φ∈[π
3 ,4 π
3 ]，f ( x)在[−2
3 , 4
3 ]不单调；当φ =4π
3
时，
π
2 x +φ∈[π ,2π ]，符合题意，f ( x)=cos(π
2 x +4π
3 )，B 错误；
对于C，由f ( x)=cos(π
2 x +4π
3 )=0，得π
2 x +4π
3
=3 π
2 +k π ,k ∈Z，
解得x =1
3 +2k ,k ∈Z，当x∈(0,π )时，x =1
3
或x =7
3
，C 正确；
对于D，f (−1)=cos 5π
6 =−
❑√3
2
，D 错误.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（6 分）（2025·福建福州·模拟预测）已知角α , β的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，β 终边
经过点P(−sinα ,cosα ),tanα =2， 则（ ）
A．tan β =−1
2
B．β 终边在第二象限
C．sin (α −β)=1
D．cos(α +β)=−4
5
【答案】AD
【解题思路】利用三角函数定义即可判断A；判断α所在象限，即可判断B；根据角所在象限，利用两角
和差的正余弦公式，即可判断CD.
【解答过程】由题意可得tan β =cosα
−sinα =
1
−tanα =−1
2
， A 正确；
由于tanα =2，故α可在第一象限或第三象限，
α在第一象限时，sinα >0,cosα >0，则P(−sinα ,cosα )在第二象限，
α在第三象限时，sinα <0,cosα <0，则P(−sinα ,cosα )在第四象限，
即β 终边在第二象限或第四象限，B 错误；
由于tanα =2，α在第一象限时，sinα = 2
❑√5 ,cosα = 1
❑√5
，
此时β在第二象限，tan β =−1
2，则sin β = 1
❑√5 ,cos β =−2
❑√5
，
故sin (α −β)= 2
❑√5 ×(−2
❑√5)−1
❑√5 × 1
❑√5 =−1；
cos(α +β)= 1
❑√5 ×(−2
❑√5)−2
❑√5 × 1
❑√5 =−4
5
；
α在第三象限时，sinα =−2
❑√5 ,cosα =−1
❑√5
，
此时β在第四象限，tan β =−1
2，则sin β =−1
❑√5 ,cos β = 2
❑√5
，
故sin (α −β)=−2
❑√5 × 2
❑√5 −(−1
❑√5)×(−1
❑√5)=−1，
cos(α +β)=(−1
❑√5)× 2
❑√5 −(−2
❑√5)×(−1
❑√5)=−4
5
，C 错误，D 正确；
故选：AD.
10．（6 分）（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数f ( x)=2sin x cos x +2cos
2 x−1，则（ ）
A．函数f ( x)的最小值为−❑√2
B．函数f ( x)的一个对称中心为(
3 π
8
,0)
C．函数f ( x)在区间(
π
8 ,3 π
8 )单调递减
D．函数f ( x)的图象可由y =❑√2sin 2 x的图象向左平移π
4
个单位长度得到
【答案】ABC
【解题思路】由三角恒等变换化简得f (x)=❑√2sin(2 x +π
4 )，逐项验证即可判断.
【解答过程】由题意有f ( x)=2sin x cos x +2cos
2 x−1=sin 2 x +cos2 x =❑√2sin(2 x +π
4 )，
对于A：f (x)的最小值为−❑√2，故A 正确；
对于B：f(
3π
8 )=❑√2sin(2× 3π
8 +π
4 )=❑√2sinπ =0，故B 正确；
对于C：由π
8 <x<3π
8
可得π
2 <2 x +π
4 <π ，由y =sin x在(
π
2 ,π )单调递减，故C 正确；
对于D：由y =❑√2sin 2 x的图象向左平移π
4
个单位得到y =❑√2sin[2(x +π
4 ))=❑√2sin(2 x +π
2 )
，
显然与f (x)=❑√2sin(2 x +π
4 )不是同一函数，故D 错误.
故选：ABC.
11．（6 分）（2025·河北邢台·三模）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则下列说法正确
的有（ ）
A．若a
2+b
2<c
2，则△ABC是钝角三角形
B．若a=❑√13，b=3，A =π
3
，则△ABC的周长为7+❑√13
C．若A =π
6
，b
2+c
2−16=❑√3bc，则△ABC面积的最大值为4+2❑√3
D．若c =2，b=3，A =π
3 ，则BC边上的中线长为
❑√7
2
【答案】AB
【解题思路】由余弦定理得cosC <0，得到△ABC是钝角三角形，可判定A 正确；由余弦定理，列出方
程，求得c =4，可判定B 正确；由余弦定理和基本不等式，求得bc≤16(2+❑√3)，得到△ABC面积的最
大值，可判定C 错误；设BC边上的中线为AD，则2⃗AD =⃗AB+⃗AC，结合向量的运算法则，求得BC边上
的中线长，可判定D 错误.
【解答过程】对于A 中，由余弦定理得cosC =a
2+b
2−c
2
2ab
<0，因为0<C <π ，所以∠C为钝角，
所以△ABC是钝角三角形，故A 正确；
对于B 中，由a
2=b
2+c
2−2bc cos A =9+c
2−2×3c cosπ
3 =13，可得c
2−3c−4 =0，
解得c =4或c =−1（舍去），所以△ABC的周长为7+❑√13，所以B 正确；
对于C 中，因为b
2+c
2−16=❑√3bc≥2bc−16，所以bc≤16(2+❑√3)，
当且仅当b=c =2❑√2+2❑√6时取等号，所以S△ABC =1
2 bc sin A =1
4 bc≤8+4 ❑√3，
所以△ABC面积的最大值为8+4 ❑√3，所以C 错误；
对于D 中，设BC边上的中线为AD，则2⃗AD =⃗AB+⃗AC，
两边平方可得4⃗AD
2=⃗AB
2+⃗AC
2+2⃗AB⋅⃗AC =2
2+3
2+2×2×3× 1
2，解得|⃗AD| =
❑√19
2
，所以D 错误.
故选：AB.
第II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（5 分）（2025·云南玉溪·模拟预测）若角α的终边经过点P(3,4)，则sin 2α =
．
【答案】24
25
【解题思路】根据角的终边经过的点的坐标，结合公式计算出该角的正弦值和余弦值，再运用二倍角的正
弦公式即可.
【解答过程】若角α的终边经过点P(3,4)，则sin α =
4
❑√3
2+4
2 =4
5 ，cosα =
3
❑√3
2+4
2 =3
5，
sin2α =2sin α cosα =2× 4
5 × 3
5 =24
25
.
故答案为：24
25
.
13．（5 分）（2025·河北唐山·三模）已知函数f (x)=3sin(ωx +π
4 )−3
2
(ω>0)在区间(0,π )上恰好存在
5 个零点，则正整数ω= .
【答案】5
【解题思路】令f (x)=0，得到sin(ωx +π
4 )=1
2，并求出ωx +π
4 ∈(
π
4 ,ωπ +π
4 )，数形结合得到
29π
6
<ωπ +π
4 ≤37π
6
，求出答案.
【解答过程】令f (x)=0，即sin(ωx +π
4 )=1
2，当x∈(0,π )时，ωx +π
4 ∈(
π
4 ,ωπ +π
4 )，
因为sin(ωx +π
4 )=1
2，故ωx +π
4 =π
6 +2k π 或5π
6 +2k π ，其中k ∈Z，
从小到大，设函数零点分别为x1, x2, x3, x4, x5，
则有ω x1+π
4 =5π
6
，ω x2+π
4 =13π
6
，ω x3+π
4 =17π
6
，
ω x4+π
4 =25π
6
，ω x5+π
4 =29π
6
，
由题意知29π
6
<ωπ +π
4 ≤37π
6
，解得55
12 <ω≤71
12
，故正整数ω=5.
故答案为：5.
14．（5 分）（2025·福建厦门·三模）锐角△ABC中，角A ,B ,C所对应的边分别为a,b,c，满足
a
2=b(b+c)，a+b=3，则△ABC的周长的取值范围为
.
【答案】(3 ❑√2,3 ❑√3)
【解题思路】由题意得A =2B，结合正弦定理得a+b+c =3+12cos
2B−3
2cos B+1
，根据△ABC是锐角三角形求
出cos B的取值范围，通过换元法即可求解.
【解答过程】因为a
2=b(b+c)，a
2=b
2+c
2−2bc cos A，所以bc =c
2−2bc cos A，故b=c−2bcos A，
所以sin B =sinC −2sin Bcos A =sin ( A +B)−2sin Bcos A =sin A cos B−sin Bcos A，
即sin B =sin ( A −B)，
因为A ,B∈(0,π )，所以A −B∈(−π ,π )，sin B =sin ( A −B)>0，
所以A −B∈(0,π )，故B =A −B或B+A −B =π （舍），即A =2B，
由正弦定理可得
a+b
sin A +sin B =
3
sin A +sin B = c
sinC
，
所以a+b+c =3+
3sinC
sin A +sin B =3+3sin ( A +B)
sin A +sin B =3+3(sin A cos B+cos A sin B)
sin A +sin B
=3+3(sin 2Bcos B+cos2Bsin B)
sin 2B+sin B
=3+6sin Bcos
2B+3(2cos
2B−1)sin B
2sin Bcos B+sin B
=3+12cos
2B−3
2cos B+1
，
因为△ABC是锐角三角形，所以{
0<B<π
2
0<2B<π
2
0<C =π −3 B<π
2)
，解得π
6 <B<π
4
，
令t =2cos B+1∈(❑√2+1,❑√3+1)，
则a+b+c =3+12cos
2B−3
2cos B+1 =3+
12(
t −1
2 )
2
−3
t
=3+3t −6=3t −3∈(3 ❑√2,3 ❑√3)，
所以△ABC的周长的取值范围为(3 ❑√2,3 ❑√3).
故答案为：(3 ❑√2,3 ❑√3).
四、解答题：本题共5 小题，共77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13 分）（2025·天津河北·模拟预测）已知cosα =−3
5
，α 是第三象限角．
(1)求sin α和tan α的值；
(2)求cos(α −π
3 )的值．
【答案】(1)sin α =−4
5
，tan α =4
3
；
(2)−3+4 ❑√3
10
.
【解题思路】（1）应用平方关系、商数关系分别求出sin α和tan α；
（2）应用差角的余弦公式求值即可.
【解答过程】（1）由cosα =−3
5
，α 是第三象限角，则sin α =−
❑√1−cos
2α =−4
5
，
所以tan α =sin α
cosα =4
3
；
（2）cos(α −π
3 )=cosα cosπ
3 +sin α sinπ
3 =(−3
5 )× 1
2 +(−4
5 )×
❑√3
2 =−3+4 ❑√3
10
.
16．（15 分）（2025·湖北武汉·三模）已知函数f (x)=2sin(ωx −π
6 ),ω>0，
3 x−π
6
0
π
2
π
x1
2π
x
x2
2π
9
7π
18
5π
9
x3
f (x)
0
x4
0
−2
0
(1)若ω=3，
（
）根据如上表格，直接写出
ⅰ
x1, x2, x3, x4的值；
（
）利用上述表格，使用
五点法
画出函数
ⅱ
“
”
f (x)在[x2, x3)的图象；
(2)若函数f (x)在[0,π )上恰有两个最值点，求ω的取值范围.
【答案】(1)（
）
ⅰ
x1=3π
2 , x2=π
18 , x3=13π
18 , x4=2；（
）图象见解析；
ⅱ
(2)(0, 4
3)∪(
4
3 , 8
3).
【解题思路】（1）（i）根据表格数据求x1, x2, x3, x4；（ii）应用五点法画出函数图象；
（2）由题设ωx −π
6 ∈[−π
6 ,π ω−π
6 )，讨论f (x)在x =−π
6 、x =ωπ −π
6 、x =3π
2
取得最小值，
分别求出对应参数范围，即可得.
【解答过程】（1）（
）由表格
ⅰ
x1=3× 5π
9 −π
6 =3π
2
，3 x2−π
6 =0⇒x2=π
18
，
3 x3−π
6 =2π ⇒x3=13π
18
，x4=f ( 2π
9 )=2sinπ
2 =2；
（
）五点法画出函数图象如下，
ⅱ
（2）当x∈[0,π )时，ωx −π
6 ∈[−π
6 ,π ω−π
6 )，
当f (x)在x =−π
6 取得最小值时，ωπ −π
6 <7π
6
，解得0<ω<4
3
，
当f (x)在x =ωπ −π
6 取得最小值时，7π
6 <ωπ −π
6 ≤3π
2
，解得4
3 <ω≤5
3
，
当f (x)分别在x =3π
2
取得最小值时，3π
2 <ωπ −π
6 <5π
2
，解得5
3 <ω<8
3
，
综上：ω的取值范围为(0, 4
3)∪(
4
3 , 8
3).
17．（15 分）（2025·河北保定·模拟预测）已知函数f (x)=sin
2 x +❑√3cos xcos(
π
2 −x)．
(1)求函数f (x)的对称中心及对称轴方程；
(2)当x∈[0, 7π
12 )时，求函数f (x)的最大值和最小值．
【答案】(1)对称中心为(
π
12 +k
′π
2
, 1
2)(k
′∈Z)，对称轴方程为：x =π
3 +k π
2
(k ∈Z)；
(2)最大值为3
2
，最小值为0．
【解题思路】（1）先用半角公式降次，再利用辅助角公式可化简为f (x)=sin(2 x−π
6 )+1
2，利用正弦
函数的对称性，求解即可．
（2）当x∈[0, 7π
12 )时，2 x−π
6 ∈[−π
6 ,π )，可得sin(2 x−π
6 )∈[−1
2 ,1)，即可得出函数的最
值．
【解答过程】（1）f (x)=sin
2 x +❑√3cos xsin x =1−cos2 x
2
+
❑√3sin2 x
2
=
❑√3
2 sin2 x−1
2 cos2 x +1
2
=sin(2 x−π
6 )+1
2，
令2 x−π
6 =π
2 +k π (k ∈Z)，解得x =π
3 +k π
2
(k ∈Z)，
∴对称轴方程为：x =π
3 +k π
2
(k ∈Z)．
令2 x−π
6 =k
′π (k
′∈Z)，解得x =π
12 +k
′π
2
(k
′∈Z)，
∴函数f (x)的对称中心为(
π
12 +k
′π
2
, 1
2)(k
′∈Z)．
（2）当x∈[0, 7π
12 )时，2 x−π
6 ∈[−π
6 ,π )，
由正弦函数的性质可知，sin(2 x−π
6 )的最大值为1，最小值为−1
2，
∴函数f (x)=sin(2 x−π
6 )+1
2的最大值为3
2，最小值为0．
18．（17 分）（2025·全国·二模）在△ABC中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
sin B (acosC +c cos A)=bcos B.
(1)求B；
(2)设D 为边BC的中点，若cosC =3
5
，△ABC的面积为14，求AD的长
【答案】(1)B =π
4
(2)AD =
❑√65
2
【解题思路】（1）先由正弦定理边化角已知条件，再由两角和正弦公式和诱导公式化简已知条件即可求
解；
（2）先由题设求出sin A，接着由正弦定理求出b=5
7 a，进而由面积公式S△ABC =1
2 absinC求出a=7，再
在三角形ACD中由余弦定理A D
2=C D
2+A C
2−2CD⋅AC ⋅cosC即可计算求解.
【解答过程】（1）由正弦定理可得sin B (sin A cosC +sinC cos A)=sin Bcos B，
即sin Bsin ( A +C)=sin Bcos B.
在△ABC中，由A +B+C =π ，得sin ( A +C)=sin (π −B)=sin B，
所以sin
2B =sin Bcos B，又B∈(0,π )，sin B≠0，所以tan B =1，所以B =π
4
.
（2）因为cosC =3
5
，0<C <π，所以sinC =4
5
，
所以sin A =sin (B+C)=sin BcosC +cos BsinC =7 ❑√2
10
，
所以a
b =sin A
sin B =7
5
，即b=5
7 a，
因为S△ABC =1
2 absinC =1
2 ×a× 5
7 a× 4
5 =14，即a
2=49，所以a=7，
在三角形ACD中，由余弦定理可得
A D
2=C D
2+A C
2−2CD⋅AC ⋅cosC =(
7
2)
2
+25−2× 7
2 ×5× 3
5 =65
4 ，
所以AD =
❑√65
2
.
19．（17 分）（2025·全国·二模）已知函数f (x)=sin(ωx +φ)(ω>0,π
2 <φ<π )的部分图象如图所示，
图象与y轴的交点为(0,
❑√3
2 )
，且f (x)在区间(0,π )上恰有一个极大值和一个极小值.
(1)求φ的值及ω的取值范围；
(2)若ω是整数，将f (x)的图象向右平移11π
24
个单位长度得到g(x)的图象，求
ℎ(x)=g(x−π
8 )+g(
1
2 x +π
8 )的最大值.
【答案】(1)φ =2 π
3 ，ω∈(
11
6 ,17
6 )；
(2)2
【解题思路】（1）将(0,
❑√3
2 )
代入解析式，求出φ =2 π
3
，并求出ωx +2 π
3 ∈(
2 π
3 ,ωπ +2 π
3 )
，数形
结合得到不等式，求出ω的取值范围；
（2）在（1）基础上，得到ω=2，求出平移后的解析式，得到ℎ(x)=2(sin x +1
4)
2
−9
8，结合
sin x∈[−1,1)求出最大值.
【解答过程】（1）将(0,
❑√3
2 )
代入解析式得sinφ =
❑√3
2
，
又π
2 <φ<π ，故φ=2 π
3 ，又ω>0，当x∈(0,π )时，ωx +2 π
3 ∈(
2 π
3 ,ωπ +2 π
3 )，
因为f (x)在区间(0,π )上恰有一个极大值和一个极小值，
故ωπ +2 π
3 ∈(
5 π
2 ,7 π
2 )，解得ω∈(
11
6 ,17
6 )；
（2）ω是整数，又ω∈(
11
6 ,17
6 )，故ω=2，所以f (x)=sin(2 x +2 π
3 )，
f (x)的图象向右平移11π
24 个单位长度得到g(x)=sin(2 x−11π
12 +2 π
3 )=sin(2 x−π
4 )，
所以ℎ(x)=g(x−π
8 )+g(
1
2 x +π
8 )=sin(2 x−π
4 −π
4 )+sin[2(
1
2 x +π
8 )−π
4 )
，
=sin(2 x−π
2 )+sin x =−cos2 x +sin x =2sin
2 x +sin x−1=2(sin x +1
4)
2
−9
8 ，
又sin x∈[−1,1)，故当sin x =1，即x =π
2 +2k π ,k ∈Z时，
ℎ(x)=2(sin x +1
4)
2
−9
8 取得最大值，最大值为2×(1+1
4)
2
−9
8 =2.
