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解三角形：正余弦定理的综合应用、边角互化与解三角形专项训练
考点目录
正余弦定理的综合应用
边角互化与解三角形
考点一 正余弦定理的综合应用
例1．（25-26 高三上·河北衡水·期末·多选）已知锐角三角形ABC 的内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】由题意得
，所以
，则
.
由题设及基本不等式可得
解得
，又
，所以
，
可得
，即解得
，故A 错误.
将
代入
，
可得
，即
，所以
，故B 正确；
由正弦定理得
，且
，
得
.
又
为锐角三角形，所以
，解得
，
所以
，则
，故C 正确；
由余弦定理得
，
又
，可得
，则
，故D 正确.
考点二 边角互化与解三角形
故选：BCD.
例2．（25-26 高三上·广东江门·月考·多选）已知
的面积为
，若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】对于A，由二倍角公式，
，
则
，故A 正确；
对于C，由A 分析可得
，下证
.
因
，则
.
则
，
.
从而
，由正弦定理边角互化可得
.
若
，则
.
注意到
，
，则
，
又三角形中至多1 个钝角，则
，
均为锐角.
又
，正弦函数在
上单调递增，
则
，
.
从而
，这与
矛盾.
故
.从而
，
,
,
，
.
则
，易得
，不妨设
，则
.
从而
，故C 错误.
对于BD，因
，则
，
从而
，则
，
则
，
.
从而
，故B 错误，D 正确.
故选：AD
例3．（24-25 高一下·内蒙古锡林郭勒盟·期中）锐角三角形
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
；
(2)若
，求
的周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为
，
由正弦定理得
，
又因为
，所以
，
所以
，
因为
为锐角三角形，可得
，所以
，
所以
，可得
.
（2）解：设
外接圆的半径为，
由（1）知
，因为
，可得
，
所以
，
则
，
因为
为锐角三角形，可得
，解得
，
可得
，所以
，则
，
即
，所以
的周长
，
所以
的周长的取值范围为
.
例4．（25-26 高三上·甘肃兰州·期末）在
中，角
所对的边分别为
，且满足
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
的周长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，
所以
，
因为
，所以
，
即
，即
，
所以
，
因为
，所以
，
；
（2）由余弦定理
及
，
得
，即
，
即
，又
，即
，
所以
，即
，当且仅当
时，等号成立，
所以周长
，
所以周长最大值为
．
变式1．（25-26 高三上·河南南阳·期末·多选）记锐角
的内角
的对边分别为
，已知
，
则（ ）
A．
B．
C．
的最大值为
D．
的最小值为
【答案】ABD
【详解】对于A，由余弦定理得
，
因为
，可得
，
整理得
，即
，所以A 正确；
对于B，因为
，由正弦定理得
，
又因为
，可得
，
所以
，即
，
所以
，所以B 正确；
对于C，由
且
为锐角三角形，设
，则
，
又由
，可得
，
可得
，解得
，
因为
，
因为
，可得
，当且仅当
时，即
时等号成立，
又因为
，所以等号不成立，则
，
所以
，所以C 不正确；
对于D，由选项C 得
，其中
，
设
，可得
，令
，解得
或
（舍去），
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以当
时，
取得最小值，最小值为
，
所以
的最小值为
，所以D 正确.
故选：ABD.
变式2．（2026·河北邢台·一模·多选）在锐角三角形
中，角
所对的边分别为
且
则（ ）
A．
B．
C．的取值范围为
D．
的取值范围为
【答案】AD
【详解】对于A B，
，
整理得：
，
是锐角三角形，
,则
，
,
由基本不等式得：
，
当且仅当
时等号成立，
，
，又
，
，
，即
时，
，故A 正确，B 错误；
对于C，
，
,
,
，
,
是锐角三角形，
,
，
，
的取值范围为
，故C 错误；
对于D，由余弦定理得：
，
即
，
的取值范围为
，
，
当
时，
，当
时，
，故D 正确.
故选：AD
变式3．（25-26 高三上·湖南长沙·月考）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，
，
.
(1)求角
；
(2)若
，求
的周长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由
得
，
由正弦定理得：
，
又
，
，则有
，即
，
又
，所以
.
（2）由
且
，则有
，
由余弦定理
得
，
即
，
由
，解得
，
所以周长为
.
变式4．（25-26 高二上·辽宁朝阳·期末）在
中，内角
的对边分别为
，且
.
(1)求
；
(2)若
，
，点
是边
上的一点，且
，求
和
的面积.
【答案】(1)
(2)
；
【详解】（1）依题意，由正弦定理得
，其中
为
的外接圆半径；所以
；
又在
中，
，所以
，所以
；
又
，所以
，即
；
所以
，化简得
；又
，所以
，即
，又
，所以
.
（2）方法1：由（1）知，
，又
，所以
，即
，
；
在
中，由正弦定理得
，所以
；
又
，
，所以
，即
，即
，化
简得
，即
；
又因为
，所以
，所以
，所以
，同理
；
由余弦定理得
，所以
；
在
中，由
，得
；
所以
；
在
中，
，所以
；
由正弦定理得
，即
，解得
；
所以
的面积为
.
方法2：由（1）知，
，又
，所以
，即
，
；
在
中，由余弦定理得
，所以
；
由正弦定理得
，即
，解得
；
在
中，由
，得
，
为钝角，所以角
为锐角，所以
；
又
，所以
；
由正弦定理得
，即
，解得
；
所以
的面积为
.
