重点06 指数不等式与集合
目录
1
知识点01 指数与指数运算........................................................................2
2
知识点02 指数不等式................................................................................2
3
知识点03 指数不等式和集合....................................................................4
4
题型一、指数运算.....................................................................................4
5
题型二、指数不等式.................................................................................6
6
题型三、指数不等式与集合的交并补.....................................................7
1 知识点01 指数与指数运算
(1)
指数的概念：
指数是幂运算a
n(a≠0)中的一个参数，a为底数，n为指数，指数位于底数的
右上角，幂运算表示指数个底数相乘.
(2)
正整数指数幂
a
n=a⋅a⋅a⋅⋯⋅a
⏞
n个
(n∈N
*)
(3)
指数运算公式
①a
ma
n=a
m+n(a>0，m，n∈Q)；
②a
m
a
n =a
m-n(a>0，m，n∈Q)
③(a
m)
n=a
mn(a>0，m，n∈Q)；
④(ab)
m=a
mb
m(a>0，b>0，m∈Q)；
⑤n√a
m=a
m
n (a>0，m，n∈Q)．
⑥零指数幂：a
0=1(a≠0)
⑦负整数指数幂：a
-n= 1
a
n (a≠0，n∈N
*)
⑧负分数指数幂：a
- m
n = 1
a
m
n
= 1
n√a
m (a≠0，m∈N
*，n∈N
*)
⑨0的正分数指数幂等于0
⑩0的负分数指数幂没有意义
2 知识点02 指数不等式
(1)
指数不等式的计算步骤
①将不等号两边转换为底数相同的指数
②判断底数a的取值范围（a>1或者0<a<1）
③若0<a<1，则不等号需要变方向；若a>1，则不等号不需要变方向
(2)
底数a>1
【例题1】 2
x<4
换底数，令底数相同： 2
x<2
2
底数a>1，不等号不用变方向：x<2
【例题2】 2
x≥1
换底数，令底数相同： 2
x≥2
0
底数a>1，不等号不用变方向：x ≥0
【例题3】 2
x-1≥0
移项： 2
x≥1
换底数，令底数相同： 2
x≥2
0
底数a>1，不等号不用变方向：x ≥0
【例题4】2
x> 1
2
换底数，令底数相同： 2
x≥2
-1
底数a>1，不等号不用变方向：x ≥-1
【例题5】9-3
x≥0
移项： 9≥3
x
换底数，令底数相同： 3
2≥3
x
底数a>1，不等号不用变方向：x ≤2
【例题6】1
2 <2
x<16
换底数，令底数相同： 2
-1<2
x<2
4
底数a>1，不等号不用变方向：-1< x<4
【例题7】2
x -1<4
换底数，令底数相同： 2
x -1<2
2
底数a>1，不等号不用变方向： x -1<2
解得： x<3
(3)
底数0<a<1
【例题8】(
1
2)
x
>1
换底数，令底数相同： (
1
2)
x
>(
1
2)
0
底数0<a<1，不等号变方向：x<0
【例题9】(
1
2)
x
>2
换底数，令底数相同： (
1
2)
x
>(
1
2)
-1
底数0<a<1，不等号变方向：x<-1
【例题10】(
1
2)
x
<4
换底数，令底数相同： (
1
2)
x
<(
1
2)
-2
底数0<a<1，不等号变方向：x>-2
【例题11】(
1
4)
x -1
>1
换底数，令底数相同： (
1
4)
x -1
>(
1
4)
0
底数0<a<1，不等号变方向：x -1<0
【例题12】( 1
3 )
x -9>0
移项： ( 1
3 )
x>9
换底数，令底数相同： ( 1
3 )
x>( 1
3 )
-2
底数0<a<1，不等号变方向：x<-2
3 知识点03 指数不等式和集合
1.设集合M ={x|x
2+2 x -15≤0}，N ={x|2
x +1>1}，则M ∩N =（ ）
A．(-5,1)
B．-1,3
C．-7,3)
D．(-5,3)
2.已知集合A ={x∣x
2-2 x -3<0},B ={x∣2
x -2>1}，则A ∩(∁R B)=（ ）
A．{x∣1< x ≤2}
B．{x∣2≤x<3}
C．{x∣-1< x ≤2}
D．
3.若A ={x|2
x<4}，B ={x∈N||x -1|<2}，则A ∩B =（ ）
A．{x|-1< x<2}
B．{0,1}
C．{1}
D．{x|-1< x<3}
4 题型一、指数运算
1．下列运算结果中，正确的是（ ）
A．a
2⋅a
3=a
5
B．(-a
2)
3=(-a
3)
2
C．(❑√a-1)
0=1
D．(-a
2)
4=a
6
2．计算(π
❑√3)
-
❑√3
3 的结果是（ ）
A．π
B．❑√π
C．- π
D．1
π
3．下列计算正确的是（ ）
A．3m
2+2m=5m
3
B．(m
2n)
3=m
5n
3
C．(m+n)(m-n)=m
2+n
2
D．5 ❑√3+2❑√3=7 ❑√3
4．若2
m=5，4
n=3，则4
3n-m的值是（ ）
A．0.9
B．1.08
C．2
D．4
5．下列运算正确的是（ ）
A．a
2+a
3=a
5
B．a
3⋅a
4=a
12
C．(a
3)
4=a
7 D．a
3÷ a
2=a
6．❑√25
3×(
25
4 )
- 3
2 =（ ）
A．4
B．8
C．125
8
D．8
125
7．设a>0，下列计算中正确的是（ ）
A．a
3
2 ⋅a
2
3 =a
B．a
3
2 ÷ a
2
3 =a
C．a
- 4⋅a
4=0
D．(a
3
2 )
2
3 =a
8．(5 1
16 )
0.5
+(-1)
5÷( 3
4 )
-2
+(2 10
27 )
- 2
3 =（ ）
A．- 9
4
B．4
9
C．9
4
D．- 4
9
9．已知3
m=2,3
n=5，则3
2m-3n=（ ）
A．2
125
B．4
125
C．4
25
D．4
5
10．将
3√4⋅❑√2化成分数指数幂的形式是（ ）
A．2
7
6
B．2
17
6
C．2
1
3
D．2
5
6
11．下列各式计算正确的是（ ）
A．(-1)
0=1
B．a
1
2 ⋅a
2=a
C．4
2
4 =8
D．a
2
3 ÷ a
- 1
3 =a
1
3
12．将5
2
3写成根式，正确的是（ ）
A．❑√5
3
B．❑√
3√5
C．
3√5
2
D．
5√
2
3
13．设a>0，则下列运算中正确的是（ ）
A．a
4
3 a
3
4 =a
B．a÷ a
2
3 =a
3
2
C．a
2
3 a
- 2
3 =0
D．(a
1
4)
4
=a
14．8
2
3 =（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
15．已知a>0，则a
1
3 a
2
3 =（ ）
A．a
1
6
B．a
1
3
C．a
1
2
D．a
5 题型二、指数不等式
1.计算不等式：2
x> 1
2
2.计算不等式：2
x -16≤0
3.计算不等式：2
x -2>1
4.计算不等式：2
x -1<4
5.计算不等式：2
x +1≥4
6.计算不等式：2
x -1<1
7.计算不等式：2
x≥1
4
8.计算不等式：2
x -1< 1
4
9.计算不等式：2
y -1-1>3
10.计算不等式：(
1
3)
x
≥3
11.计算不等式：(
1
4)
x -1
>1
12.计算不等式：(
1
2)
x
2+ x -12
≥1
13.计算不等式：2<(
1
2)
x
<4
14.计算不等式：1
2 <2
x<16
15.计算不等式：1
2 ≤2
x<❑√2
16.计算不等式：(
1
4)
x
2-8
>4
-2 x
17.计算不等式：e
x -3> 1
e
2
18.计算不等式：e
x
2- x<1
19.计算不等式：e
x -2≤1
20.计算不等式：( 1
3 )
x
-9>0
21.计算不等式：1≤3
x<81
6 题型三、指数不等式与集合的交并补
1．已知集合A ={x∣x
2-2 x -3<0},B ={x∣2
x -2>1}，则A ∩(∁R B)=（ ）
A．{x∣1< x ≤2}
B．{x∣2≤x<3}
C．{x∣-1< x ≤2}
D．{x∣1< x<3}
2．设集合M =¿，N =¿，则M ∩N =（ ）
A．(-5,1)
B．(-1,3]
C．[-7,3)
D．(-5,3)
3．已知集合A =¿，B ={x| x
2+2 x -3<0}，则A ∩B =（ ）
A．(0,3)
B．(0,1)
C．(-3,+ ∞)
D．(-1,+∞)
4．已知集合A ={x∈Z|-1< x<7}，B ={x|2
x>8}，则A ∩∁R B =（ ）
A．{x|-1< x<3}
B．{x|-1< x ≤3}
C．{0,1,2}
D．{0,1,2,3}
5．设集合A ={x∈N |2
x≤16}，B = {-5,-3,-1,1,3,5}，则A ∪B =（ ）
A．{x|-5,-3,-1,1,3,5}
B．{x|0< x ≤5}
C．{-5,-3,-1,0,1,2,3,4,5}
D．{x|-5≤x ≤5}
6．已知集合A =¿，则A ∩B =（ ）
A．¿
B．¿
C．¿
D．¿
7．设集合M =¿，N ={x| x
2-2 x<0}，则M ∩N等于（ ）
A．{x|-1< x<3}
B．{x|-1< x<2}
C．{x|0< x<1}
D．{x|0< x<2}
8．已知集合A ={x|x
2-1≤0},B ={x|1≤2
x≤4}，则A ∩B =（ ）
A．(0,1]
B．[0,1]
C．[-1,0)
D．[-1,0]
9．已知集合A = {-2,-1,1,2},B ={x∣3
x<1}，则A ∩B =（ ）
A．{-2,-1} B．{1,2}
C．{-2,-1,1}
D．{-2,-1,2}
10．已知集合A =¿，B =¿，则A ∪(∁R B)=（ ）
A．(-1,3]
B．[-1,3]
C．(-∞,3)
D．(-∞,3]
11．已知集合A =¿，集合B =¿，则A ∩B =（ ）
A．(0,2)
B．[-2,3)
C．[0,2)
D．[-2,0)
12．若集合A ={x| x
2-2 x ≤0}，B ={x|2
x<8, x∈N
*}，则A ∩B的子集的个
数为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
13．已知集合M ={x|| x -1∣<2}, N ={x∣2
x>4}，则M ∩N =（ ）
A．(-2,3) B．(2,3)
C．(3,+ ∞)
D．(-1,3)
14．设集合A =¿，B =¿，则∁B A =（ ）
A．[1,3)
B．[1,3]
C．[-1,3)
D．[-1,3]
15．设集合A ={x∈N|x ≤1}，B ={x|2
x>0.5}，则集合A ∩B =（ ）
A．(-1,1] B．[0,1]
C．{0,1}
D．{-1,0}
