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专题5.3.4 频率与概率&5.3.5 随机事件的独立性
教学目标
1．理解频率的稳定性的含义，明确频率与概率的关系，掌握用频率估计概率的方
法。
2．理解相互独立事件的定义，知晓若A 与B 相互独立，则
与
，
与
，
与
也相互独立。
3．熟记相互独立事件不同情形下的概率计算公式，能运用公式解决概率计算问题。
教学重难点
重点：频率稳定性的理解及频率估计概率的应用；相互独立事件的定义；相关概率计
算公式的运用。
难点：区分相互独立事件与互斥事件；灵活运用公式计算相互独立事件不同情形下的
概率。
知识点01 频率的稳定性
大量试验证明,在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件
发生的频率具有随机性.一般地,随着试验次数
的______,频率偏离概率的幅度会______,即事件
发生的频率
会逐渐______于事件
发生的
______
.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率
估计概率
【即学即练】
1．抛一枚硬币100 次，有49 次正面朝上，则事件“反面朝上”的概率和频率分别是（ ）
A．0.5，0.5
B．0.51，0.51
C．0.49，0.49
D．0.5，0.51
2．下列说法中正确的是（ ）
A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
B．在n 次随机试验中，一个随机事件A 发生的频率具有确定性
C．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1
D．随着试验次数n 的增大，一个随机事件A 发生的频率会逐渐稳定于事件A 发生的概率
知识点02 相互独立
对任意两个事件
与
,如果
______成立,则称事件A 与事件B 相互独立,简称为独立.
（1）如果
与
相互独立,则
与
，
与
，
与
也相互独立.
（2）与相互独立事件
有关的概率的计算公式如下表:
事件
相互独立
概率计算公式
同时发生
同时不发生
______
至少有一个不发
生
______
至少有一个发生
______
恰有一个发生
【即学即练】
1．已知
为互斥事件，且
，则
.
2．（多选）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件
“第一枚反面向上”，事件
“第二枚正面向上”，
则下列说法正确的是（ ）
A．
与
互斥
B．
C．
与
对立
D．
与
相互独立
题型01 频率与概率的辨析
【例1】根据统计，某篮球运动员在1000 次投篮中，命中的次数为860 次，则该运动员（ ）
A．投篮10 次至少有8 次命中
B．投篮命中的频率为0.86
C．投篮命中的概率为0.86
D．投篮100 次有86 次命中
【例2】一个不透明的盒子中装有若干个红球和5 个黑球，这些球除颜色外均相同.每次将球充分搅匀后，
任意摸出1 个球记下颜色后再放回盒子.经过重复摸球足够多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.1 左
右，则据此估计盒子中红球的个数约为（ ）
A．40 个
B．45 个
C．50 个
D．55 个
【变式1-1】某种彩票中奖的概率为
，有以下理解：
①买10000 张彩票一定能中奖；
②买10000 张彩票只能中奖1 次；
③若买9999 张彩票未中奖，则第10000 张必中奖；
④买一张彩票中奖的可能性是
．
其中正确理解的序号为 ．
【变式1-2】小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了5 次，每次朝上的点数都是2，则下列说法正确
的是（ ）
A．朝上的点数是2 的概率和频率均为1
B．若抛掷30000 次，则朝上的点数是2 的概率为1
C．抛掷第6 次，朝上的点数一定不是2
D．抛掷60000 次，朝上的点数为2 的次数大约为10000 次
【变式1-3】（多选）若将100 枚硬币（均为正反两面）平放在桌面上，开始时有8 枚硬币反面向上，重复
执行以下操作：每次操作任选其中3 枚硬币翻面（1 枚硬币可重复翻面），若经过
次上述操作后，所有硬
币均为反面向上，则
的值可以为（ ）
A．45
B．54
C．63
D．72
题型02 用频率估计概率
【例3】天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%．我们通过设计模拟实验的方法求概
率．由计算机产生1~5 的随机数，当出现随机数1，3，5 时，表示该天下雨，利用计算机产生20 组随机数：
423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，
314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4】某花店每天以每枝5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10 元的价格出售.如果当天卖
不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.
(1)若花店一天购进17 枝玫瑰花，求当天的利润
(单位：元)关于当天需求量
(单位:枝，
)的函数解
析式.
(2)花店记录了100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
若花店一天购进17 枝玫瑰花，以100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不
少于75 元的概率.
【变式2-1】在滑翔伞定点比赛中，飞行员在降落时一般会踩中半径为16cm 的电子靶，以距靶心距离的远
近作为打分依据．若某次比赛中规定：降落时距靶心的距离小于8cm，会获得“优秀飞行员”称号．现随
机抽取了100 名飞行员此次比赛降落时距靶心距离（单位：cm）的数据如下表：
降落时距靶心距离（单位：
cm）
人数
18
21
39
22
用频率估计概率，若随机抽取1 人，则此人为“优秀飞行员”的概率为（ ）
A．0.18
B．0.21
C．0.39
D．0.40
【变式2-2】为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的
随机调查，向被调查者提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗?（2）在过路口时你是否闯过红灯?要求被
调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题.被调查
者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有调查者本人知道回
答了哪一个问题，所以都如实地作了回答.结果被调查的1200 人（学号从1 至1200）中有366 人回答了
“是”.由此可以估计这1200 人中闯过红灯的人数是 .
【变式2-3】“校园手机”现象越来越受到社会的关注，暑假期间，小明随机调查了城区若干名同学和家
长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下统计图：
(1)这次的调查对象中，家长有多少人？并补全图①.
(2)求图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数，并补全图②.
(3)从这次接受调查的同学中，随机抽查一个学生恰好抽到持“无所谓”态度的概率是多少？
题型03 求独立事件的概率
【例5】如图，某电子元件由A，B，C 三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测
试，A，B，C 三种部件不能正常工作的概率分别为
，
，
，各个部件是否正常工作相互独立．A，B 同
时正常工作或C 正常工作，则该电子元件能正常工作，那么该电子元件能正常工作的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【例6】某单位入职面试中有三道题目，有三次答题机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则
就一直抽题到第3 次为止.若求职者小王答对每道题目的概率都是0.7，则他最终通过面试的概率为 .
【变式3-1】某中学的“信息”“足球”“摄影”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社
团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“信息”“足球”“摄影”三个社团考核的概率依次为
，m，n，且他是否通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都通过的概率为
，至少通过一个社团
考核的概率为
，则
.
【变式3-2】乒乓球比赛一般是11 分制，每赢一球得1 分，当某局打成
平后，每球交换发球权，先
多得2 分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，
乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方
平后，甲先发球，两人又打了
个
球该局比赛结束．则事件“
且甲获胜”的概率为 ．
【变式3-3】袋子中有4 个大小质地完全相同的球，其中2 个红球，2 个黄球，从中不放回地依次随机摸出
2 个球，事件
表示“第一次摸得红球”，事件
表示“第二次摸得黄球”，
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间及上述事件
；
(2)计算
，并判断事件
和事件
是否相互独立，并说明理由.
先判独立：通过题干情境（如放回抽样、独立行为）或定义
，确认事件是否独
立，避免与互斥混淆。
拆事件选公式：按所求类型匹配公式，如“同时发生”用
，“至少一个发生”用
，“恰一个发生”用
。
题型04 事件独立性的判断
【例7】先后两次掷一枚质地均匀的骰子，设事件
两次掷出的点数之和是5，设事件
第二次掷出的点
数是偶数，设事件
第一次掷出的点数是5，设事件
至少出现一个奇数点，下列说法不正确的是
（ ）
A．
与
互斥
B．
C．
与
对立
D．
与
相互独立
【例8】（多选）先后抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A 表示“第1 枚正面向上”，事件B 表示“第2
枚反面向上”，事件C 表示“恰有1 枚正面向上”，事件D 表示“两枚都正面向上”，则（ ）
A．A 与B 相互独立
B．A 与C 相互独立
C．A 与D 相互独立
D．B 与D 互斥
【变式4-1】（多选）连续抛掷一枚质地均匀的硬币
次，记录这
次实验的结果.设事件
表示“
次实
验结果中，既出现正面又出现反面”，事件
表示“
次实验结果中，至多出现一次正面”，则下列结论
正确的有 （ ）.
A．若
，则
与
互斥
B．若
，则
与
不相互独立
C．若
，则
与
不互斥
D．若
，则
与
相互独立
【变式4-2】同时抛掷一白一红两枚质地均匀的骰子，用
表示白色骰子的点数，
表示红色骰子的点数，
设事件
“
”，事件
“
为偶数”，事件
“
”，则下列结论正确的是（ ）
A．
与
对立
B．
C．
与
相互独立
D．
与
相互独立
【变式4-3】有4 张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1 张卡片，
表示事件“第一次取出的卡片上的数字为3”，
表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，
表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，
表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则
（ ）
A．
与
为相互独立事件
B．
与
为互斥事件
C．
与
为相互独立事件
D．
与
为对立事件
题型05 独立事件与互斥、对立事件的综合
【例9】甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（先赢得三局比赛的队伍获胜，比赛结束）.根据两队
比赛的历史数据分析，甲、乙两队在第一局比赛中取胜的概率均为
，但受心理等因素的影响，前一局比
赛的结果对后一场比赛会产生影响，若比赛结束时场次不超过四局，甲队在某一局比赛取胜，则下一局比
赛取胜的概率比上一局取胜的概率增加
，反之，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率降低
，
若比赛进入第五局决胜局，则不论第四局胜负如何，该局甲取胜的概率为
.
(1)求比赛三局结束的概率；
(2)求乙
取胜，比赛结束的概率.
【例10】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．
已知甲每轮猜对的概率为
，乙每轮猜对的概率为
，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结
果也互不影响．
(1)求“星队”在两轮活动中共猜对3 个成语的概率；
(2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率．
【变式5-1】溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受社会的关注和重视，为了普及安全教育，
某市组织了一次有关安全知识的竞赛.在某次淘汰赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3 人）狭路相逢，规
定每队每人回答一个问题，答对得1 分，答错得0 分.假设甲队每人回答正确的概率分别为
，
，
，乙
队每人回答正确的概率均为
，且各人回答正确与否相互之间没有影响.
(1)分别求乙队总得分为3 分与1 分的概率；
(2)求甲队得分与乙队得分为
的概率.
【变式5-2】甲、乙、丙三人组成一个小组代表学校参加一个“诗词大会”闯关活动团体赛.三人各自独立
闯关，在第一轮比赛中甲闯关成功的概率为
，甲、乙都闯关成功的概率为
，甲、丙都闯关成功的概率
为
，每人闯关成功记
分，三人得分之和记为小组团体总分.
(1)求乙、丙各自闯关成功的概率；
(2)求在第一轮比赛中团体总分为
分的概率；
(3)若团体总分不小于
分，则小组可参加下一轮比赛，求该小组参加下一轮比赛的概率.
【变式5-3】已知
，
，
，
四名选手参加某项比赛，其中
，
为种子选手，
，
为非种子选手，
种子选手对非种子选手种子选手获胜的概率为
，种子选手之间的获胜的概率为
，非种子选手之间获胜
的概率为
．比赛规则：第一轮两两对战，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮的胜者为冠军.
(1)若你是主办方，则第一轮选手的对战安排一共有多少不同的方案？
(2)选手
与选手
相遇的概率为多少？
(3)以下两种方案，哪一种种子选手夺冠的概率更大？
方案一：第一轮比赛种子选手与非种子选手比赛；
方案二：第一轮比赛种子选手与种子选手比赛．
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．某种福利彩票的中奖概率为
，那么买1000 张这种彩票一定能中奖.
B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率.
C．某医院治疗一种疾病的治愈率为
，前9 个病人没有治愈，则第10 个病人一定治愈.
D．某市气象台预报“明天本市降水概率为
”，指的是该市气象台专家中，有
认为明天会降
水，30%认为不降水.
2．某学校乒乓球比赛，学生甲和学生乙比赛3 局（采取三局两胜制），假设每局比赛甲获胜的概率是
0.7，乙获胜的概率是0.3，利用计算机模拟试验，计算机产生
之间的随机数，当出现随机数
时，
表示一局甲获胜，其概率是0.7.由于要比赛3 局，所以每3 个随机数为一组，例如，产生20 组随机数；
603
099
316
696
851
916
062
107
493
977
329
906
355
860
375
107
347
467
822
166
根据随机数估计甲获胜的概率为（ ）
A．0.9
B．0.95
C．0.8
D．0.85
3．如图，拨动十二支招福游戏盘的指针，黑色的指针会等可能地随机指向十二支中的某一支.当黑色的指
针指向辰或巳时，可获得“福气满满”的称号.甲、乙分别拨动指针一次，且甲、乙参加游戏的结果相互独
立，则至少有一人获得“福气满满”的称号的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝
的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等
可能的．若甲、乙、丙各投壶1 次，则这3 人中恰有1 人投中的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．有4 个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1 个球.甲表示事件
“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的
数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项错误的是（ ）
A．甲与丙相互独立
B．甲与乙相互独立
C．丙与丁互斥
D．
乙与丁互斥
6．从数字1，2，3，4 中随机取出一个数字，记事件A＝“取出的数字为1 或2”，B＝“取出的数字为1 或
3”，C＝“取出的数字为1 或4”，则下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．事件A，B，C 两两独立
D．
二、多选题
7．下列命题正确的是（ ）
A．随机事件A 的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
B．抛掷骰子100 次，得点数是1 的结果是18 次，则出现1 点的频率是
C．有一批产品，其次品率为0.05，若从中任取200 件产品，则一定有190 件正品，10 件次品
D．抛掷一枚质地均匀的硬币100 次，有51 次出现了正面，则可得抛掷一次该硬币出现正面的概率是
0.51
8．将一颗质地均匀的正方体骰子抛掷1 次，记试验的样本空间是
，事件
，则（ ）
A．
与
是互斥事件
B．事件
与
相互独立
C．
D．
三、填空题
9．“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种
现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50 人中，有15 人持认
可态度，其余持反对态度，若该地区有9600 人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有 人.
10．高二（6）班和高二（7）班进行班级篮球赛，采用3 场2 胜制（每场无平局，某个班级先赢得两场比
赛比赛结束），已知（6）班实力强劲，其每场获胜的概率为
，则最终（7）班能够赢得比赛的概率是
.
11．甲、乙、丙3 名学生各自回答同一个问题，回答正确与否互不影响.已知：①甲回答正确的概率为
;
3
②名学生至少有1 人回答正确的概率为
;③乙回答正确且丙回答错误的概率为
.则甲、乙、丙均回答正
确的概率为 .
四、解答题
12．人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论．
为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200 字作为样本语料库A，其中
“一”出现了30 次，统计“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下：
“一”与其后面一个
字（或标点）的搭配
情况
频数
“一个”
6
“一些”
4
“一群”
2
“一条”
2
其他
假设用频率估计概率．
(1)求
的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率；
(2)在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2 个“一”，其中搭配“一个”出现的次数仅为1 次，求它的概率；
(3)另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800 字作为样本语料库B 进行统计，“一”出现了24 次，“一
格”出现了2 次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面
更合适?（结论不要求证明）
13．某班级举行“数学文化节”活动，其中有一个“双人答题闯关环节”规则如下：甲、乙两人分别从包
含道传统文化题和
道数学历史题的题袋中随机抽取
道题作答（抽出的题不放回）.已知甲先抽，乙后
抽，且每道题被抽中的机会均等.
(1)求甲抽到的
道题中恰好是道传统文化题和道数学历史题的概率；
(2)若甲答对每道题的概率均为
，乙答对每道题的概率均为
，且两人答题是否正确相互独立，求甲、
乙两人答对题目总数不少于道的概率.
14．Matlab 是一种数学软件，用于数据分析、深度学习、图象处理与计算机视觉、无线通信、信号处理、
人工智能机器人等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab 专业知识考试，
试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为
，乙同学答对每题的概率都为
，且在考
试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙同时答对的概率为
，恰有一人答对的概率为
.
(1)求
和
的值；
(2)若两题都答对者可被评为“优秀”，求甲、乙至少有一人被评为“优秀”的概率.
