重难点19 数列的单调性、周期性、最值性质及其应用
【全国通用】
【题型1 数列的单调性及其应用】..........................................................................................................................4
【题型2 数列的周期性及其应用】..........................................................................................................................4
【题型3 数列的最大（小）项】..............................................................................................................................5
【题型4 求数列前n 项和Sn的最值】......................................................................................................................5
【题型5 定义法求数列的最值】..............................................................................................................................6
【题型6 函数法求数列的最值】..............................................................................................................................6
1、数列的单调性、周期性、最值性质及其应用
数列的性质及其应用是高考的热点问题，也是重点问题，主要包括数列的单调性问题、数列的周期性
问题以及数列的最值问题这几类问题.
从近几年的高考情况来看，对数列的性质的考查也是高考的一个重要趋势，所以在高考复习时要注意
加强对数列的性质的理解，对数列的几类性质问题学会求解.
知识点
1
数列的概念与基本知识
1．数列的定义
一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一个位
置上的数叫做这个数列的第1 项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2 项，用a2表示
⋯⋯第n 个位置上的数叫做这个数列的第n 项，用an表示.其中第1 项也叫做首项.
2．数列的分类
分类标准
名称
含义
举例
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
1,2,3,…,n
无穷数列
项数无限的数列
1,0,1,0,1,0,…
按项的变化趋势
递增数列
从第2 项起，每一项都大于它的前一
项的数列
3,4,5,6,…,n+2
递减数列
从第2 项起，每一项都小于它的前一
项的数列
-1,-2,-3,…,-n
常数列
各项相等的数列
0,0,0,0,…
摆动数列
从第2 项起，有些项大于它的前一
项，有些项小于它的前一项的数列
1,-2,3,-4,…
3．数列的通项公式
如果数列{an}的第n 项an与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数
列的通项公式.
4．数列的递推公式
(1)递推公式的概念
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推
公式.
(2)对数列递推公式的理解
①与
不一定所有数列都有通项公式
一样，并不是所有的数列都有递推公式
“
”
.
②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n 的恒等式.如果
用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.
③用递推公式求出一个数列，必须给出：
基础
数列
——
{an}的第1 项(或前几项)；
递推关系
数列
——
{an}的任意一项an与它的前一项an-1 (
)(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用
等式来表示.
5．数列表示方法及其比较
优点
缺点
通项
公
式法
便于求出数列中任意指定的一项，
利于对数列性质进行研究
一些数列用通项公式表示比较
困难
列
表法
内容具体、方法简单，给定项的序
号，易得相应项
确切表示一个无穷数列或项数
比较多的有穷数列时比较困难
图象法
能直观形象地表示出随着序号的变
化，相应项的变化趋势
数列项数较多时用图象表示比
较困难
递推公式法
可以揭示数列的一些性质，如前后
几项之间的关系
不容易了解数列的全貌，计算
也不方便
6．数列的前n 项和
数列{an}从第1 项起到第n 项止的各项之和，称为数列{an}的前n 项和，记作
，即
.
如果数列{an}的前n 项和Sn与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个
数列的前n 项和公式.
=
.
知识点
2
数列的性质
1．数列的性质
(1)单调性
如果对所有的
，都有
，那么称数列{an}为递增数列；如果对所有的
，都有
，那么称数列{an}为递减数列.
(2)周期性
如果对所有的
，都有
(k 为正整数)，那么称{an}是以k 为周期的周期数列.
(3)有界性
如果对所有的
，都有
，那么称{an}为有界数列，否则称{an}为无界数列.
知识点
3
数列的性质有关问题的解题策略
1．数列的单调性的判断方法
(1)作差比较法：
数列{an}是递增数列；
数列{an}是递减数列；
数列{an}是
常数列.
(2)作商比较法：
①当an>0 时，
数列{an}是递增数列；
数列{an}是递减数列；
数列{an}
是常数列；
②当an<0 时，
数列{an}是递减数列；
数列{an}是递增数列；
数列{an}
是常数列；
(3)图象法：
结合相应函数的图象直观判断：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调
性，再将函数的单调性对应到数列中去，进而得出数列的单调性，即可得解.
2．数列周期性问题的解题策略：
解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关
项的值或前n 项和.
3．求数列最大项与最小项的常用方法
(1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大 (小)项，否则，利
用作差法.
(2)利用
确定最大项，利用
确定最小项.
【方法技巧与总结】
1．在数列{an}中，若an最大，则
；若an最小，则
.
【题型1 数列的单调性及其应用】
【例1】（2025·天津·二模）已知{an)是一个无穷数列，“a2>a1
是
”
“{an)为递增数列
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式1-1】（2025·贵州黔南·三模）数列{cn)满足cn={
a
n−1,n>2,
(3−a)n+2,n≤2
(n∈N
*))
，若数列{cn)单调递
增，则实数a的取值范围为（ ）
A．[2,3)
B．(1,3)
C．(1,2)
D．(2,3)
【变式1-2】（2025·江西·二模）已知数列{an)的首项a1为常数且a1≠2
3
，an+1+2an= 4
n(n∈N
*)，若数列
{an)是递增数列，则a1
的取值范围为（ ）
A．(−2
3 , 2
3)
B．(−2
3 , 2
3)∪(
2
3 , 4
3)
C．(0, 2
3)
D．(0, 2
3)∪(
2
3 , 4
3)
【变式1-3】（2025·湖北·模拟预测）已知△ABC的面积为1，取△ABC各边的中点A1,B1,C1作
△A1B1C1，然后再取△A1B1C1各边的中点A2,B2,C2作△A2B2C2,⋯依此方法一直继续下去.记
△An BnCn(n∈N
*)的面积为an
，数列{an)的前n项和为Sn
，则（ ）
A．数列{2
nan)为常数列
B．数列{2
nan)为递增数列
C．数列{ Sn
n }为递减数列
D．数列{ Sn
n }为递增数列
【题型2 数列的周期性及其应用】
【例2】（2025·全国·模拟预测）数列{an)满足an+1=
1
1−an
，a3= 4，则a2025=（ ）
A．−1
3
B．2025
C．4
D．2024
【变式2-1】（2025·辽宁·模拟预测）已知数列{an)满足anan+ 4=−1
4 ,a4= 1
2
，则a200=（ ）
A．1
2
B．−1
2
C．0
D．−1
4
【变式2-2】（2025·天津南开·二模）若数列{an)满足a1=2,a2=1，且an+2={
an+1−an,
an+1≥an,
an−an+1,
an+1<an,)
则{an)
的前2025 项的和为（ ）
A．1350
B．1352
C．2025
D．2026
【变式2-3】（2025·上海嘉定·二模）设数列{an)满足an=sin(
nπ
3 )+(−1)
ncos(
nπ
4 )，记其前n 项和为
Sn，前n 项积为T n．则下列结论正确的是（ ）
A．数列{Sn)和数列{T n)均不是周期数列
B．数列{Sn)是周期数列，数列{T n)不是周期数列
C．数列{Sn)不是周期数列，数列{T n)是周期数列
D．数列{Sn)和数列{T n)均为周期数列
【题型3 数列的最大（小）项】
【例3】（2025·浙江温州·模拟预测）已知数列{an)满足a1=−1
5 , 1
an+1
−1
an
=2，则数列{an)中的最小项为
（ ）
A．a2
B．a3
C．a4
D．a5
【变式3-1】（2025·上海·三模）已知数列{an)的通项公式为an=(
3
4)
n−1
[(
3
4)
n−1
−1)
，n∈N
*，则关于数
列{an)的最值叙述正确的是（）
A．既有最大项也有最小项
B．只有最大项没有最小项
C．没有最大项只有最小项
D．没有最大项也没有最小项
【变式3-2】（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列{an)的通项公式为an={
7
2n−7 ,n≤5
1
7 n
2−1
7
(a−1)n,n≥6)
，若a7
是{an)中唯一的最小项，则实数a的取值范围是（ ）
A．(14,16)
B．(15,16)
C．[15,16)
D．(14,16)
【变式3-3】（2025·江西·二模）已知等差数列{an)与等比数列{bn)的首项均为−1，且a2=8b4=1，则数列
{anbn)（ ）
A．既有最大项又有最小项
B．只有最大项没有最小项
C．只有最小项没有最大项
D．没有最大项也没有最小项
【题型4 求数列前n 项和Sn的最值】
【例4】（2025·安徽马鞍山·一模）已知数列{an)的通项公式为an= n−3
2n−17
，前n 项和为Sn，则Sn取得最
小时n 的值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【变式4-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知数列1,1,3,1,3,9,1,3,9,27,1,3,9,27,81,⋯⋯，若该数列的
前n项和为Sn，则满足Sn>1600的最小正整数n的值为（ ）
A．26
B．27
C．28
D．29
【变式4-2】（24-25 高三上·四川成都·阶段练习）若数列{an)满足an=(❑√2)
n−128
n
，其前n项和为Sn，则
（ ）
A．Sn既无最大值，又无最小值
B．当且仅当n=1时，Sn取得最小值
C．当且仅当n=8时，Sn取得最小值
D．∀n∈N
∗，Sn≥S7
【变式4-3】（2025·北京海淀·三模）已知数列{an)的通项公式为an= 2n−7
2n−15
，前n 项和为Sn，前n 项积为
T n.则下列结论正确的个数为（ ）
①an既有最小值，又有最大值，
②满足anan+1an+2<0的n 的值共有6 个；
③使Sn取得最小值的n 为7；
④T n有最小值，无最大值；
A．1
B．2
C．3
D．4
【题型5 定义法求数列的最值】
【例5】（24-25 高二下·辽宁·期中）已知数列{an)的通项公式为an=n+ 2025
n+1
，它的前50项中最小项是
（ ）
A．a50
B．a46
C．a45
D．a44
【变式5-1】（2024·辽宁大连·一模）数列{an)中，a1=5,a2=9 ，若数列{an+n
2)是等差数列，则{an)最大
项为（ ）
A．3
B．3或4
C．45
4
D．11
【变式5-2】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知数列{an)的前n项和为Sn
，且2Sn=3n
2+17n，若
bn=an⋅(
10
11)
n
，则数列{bn)的最大项为（ ）
A．第5 项
B．第6 项
C．第7 项
D．第8 项
【变式5-3】（2025 高三·全国·专题练习）已知数列{an)的通项公式为an= 9
n(n+1)
10
n
，则此数列的最大项为
（ ）
A．10
9
B．9
10
C．9
9
10
9
D．9
9
10
8
【题型6 函数法求数列的最值】
【例6】（24-25 高二·全国·课后作业）已知数列{an)满足an=
n
n
2+6
，n为正整数，则该数列的最大值是
（ ）
A．1
2
B．1
5
C．1
6
D．5
31
【变式6-1】（24-25 高二下·江西景德镇·期末）已知数列的通项公式an=−n
2+3n+ 3
4
，则数列{an)的最大
值是（ ）
A．3
B．2
C．11
4
D．3
4
【变式6-2】（2025·辽宁·一模）已知在数列{an)中，a1=a,a∈(0,1),an+1=a
an，则{an)的前
2k −1(k ∈N
*,k ≥3)项中的最大项为（ ）
A．a1
B．a2
C．ak
D．a2k −1
【变式6-3】（24-25 高二下·辽宁辽阳·期末）在数列{an)中，an=
n
n
2+14
，则an的最大值是（ ）
A．
❑√14
28
B．1
8
C．3
23
D．2
15
一、单选题
1．（2025·湖南·模拟预测）在数列{an)中，a1=3，且an+1= 1+an
1−an
，则a2025=（ ）
A．3
B．-2
C．−1
3
D．1
2
2．（2025·吉林通化·一模）数列{an}的通项公式为an= n−❑√2023
n−❑√2024
，该数列的前50 项中最大项是（ ）
A．a1
B．a44
C．a45
D．a50
3．（2025·河南·模拟预测）已知数列{a)满足a1=−1，a2=−8，且对任意n∈N
∗，anan+1+2an+1=an+m
，则a2025=（ ）
A．−8
B．−1
C．3
2
D．5
2
4．（2025·北京平谷·一模）在等比数列{an)中，a1+a2=−16,a2+a3= 16
3
，记T n=a1a2⋯an(n=1,2,⋯)
，则数列{T n)（ ）
A．无最大项，有最小项
B．有最大项，无最小项
C．有最大项，有最小项
D．无最大项，无最小项
5．（2025·湖北·二模）若数列{an)满足a1=2，an+1= 1+an
1−an
(n∈N
∗)，则该数列的前2 025 项的乘积是
（ ）
A．−2
B．−1
C．2
D．1
6．（2025·全国·模拟预测）已知数列{an)的前n项和为Sn
，前n项积为T n
，若an+ Sn=1000，则使T n
取得最
大值时n的值为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
7．（2025·湖南湘潭·一模）已知函数f (x)={
a
x−4, x ≥5
−x
2+2ax−19, x<5)
，数列{an)满足an= f (n)，n∈N
∗，
则“{an)为递增数列
是
”
“4≤a<5
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
8．（2025·北京房山·一模）已知数列{an)的各项均为正数，且满足an+1
2
−an= λ（λ是常数，n=1,2,3,⋯
），则下列四个结论中正确的是（ ）
A．若λ =0，则数列{ln an)是等比数列
B．若λ>0，则数列{an)是递增数列
C．若数列{an)是常数列，则λ≥−1
4
D．若数列{an)是周期数列，则最小正周期可能为2
二、多选题
9．（2025·黑龙江大庆·一模）已知数列{an)的前n项和为Sn，a1=9，an=an+1+3，则下列说法正确的是
（ ）
A．a5−a1=−12
B．{an)是递增数列
C．当n>4时，an<0
D．当n=3或4 时，Sn取得最大值
10．（2025·辽宁·三模）已知数列{an)满足a1=m(0<m<1),an+1=an+
an
2
2024 ,n∈N
∗，则（ ）
A．当m= 1
3
时，a2025<1
B．当m= 1
2
时，a2025>1
C．当m= 2
3
时，a2025<1
D．当m= 3
4
时，a2025>1
11．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知数列{an)的各项均为正数，且满足an+1
2
−an= λ（λ是常数，
n=1,2,3,⋅⋅⋅），则下列四个结论中正确的是（ ）
A．若λ =0且a1≠1，则数列{ln an)是等比数列
B．若λ>0，则数列{an)是递增数列
C．若数列{an)是常数列，则λ≥−1
4
D．若数列{an)是周期数列，则最小正周期可能为2
三、填空题
12．（2025·湖北鄂州·一模）设正整数数列{an)满足an+2⋅an+1⋅an=10(n≥1)，a3=5，则a623=
.
13．（2025·全国·模拟预测）已知数列{an)满足：an={
(2−a)n−1,n<5
a
n−4,n≥5 )(n∈N
∗,a>0)，数列{an)是递增
数列，则实数a的取值范围为
．
14．（2025·海南·模拟预测）已知首项为2 数列{an)的前n项和为Sn
，且Sn+1=2Sn+2
n+1．若Sn>n
2+30n
，则n的最小值为
．
四、解答题
15．（2025 高三·全国·专题练习）数列{an)满足a1=1,a2=−2,an+2= an+1
2
−5
an
,n=1,2,3,⋯，求
a1+a2+⋯+a2017的值．
16．（2025·江苏南通·模拟预测）已知数列{an)的前n项和为Sn，{ Sn
n }是首项和公差均为1 的等差数列.
(1)求数列{an)的通项公式；
(2)若bn=2
n−5an
，求bn
的最小值.
17．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知等差数列{an)满足公差d >0,a3+a8= 4 ,a4a7=−5．
(1)求an；
(2)记数列{an)的前n项和为Sn
，若bn= Sn
nan
，求数列{bn)中的最小项．
18．（25-26 高三上·北京·开学考试）已知公差为正数的等差数列{an)满足a1=1,2a1,a3−1,a4+1成等比数
列．
(1)求{an)的通项公式；
(2)若a2，a5分别是等比数列{bn)的第1 项和第2 项，求使数列{ 1
bn
}的前n 项和T n< 99
200的最大正整数n．
19．（2025·云南·模拟预测）已知数列{an)的前n 项积为T n
，满足T n=1×3×5×⋯×(2n−1)，其中
n∈N
∗．
(1)求{an)的通项公式；
(2)已知{an)的前n 项和为Sn
，数列{bn)是公比大于1 的等比数列，且b1=a1
，b3= S5
，cn=(❑√2)
an+1−λbn+1
，若数列{cn)是递减数列，求实数λ的取值范围．
