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重难点专训03 函数中的新定义问题
题
解
方法及技巧提炼............................................................................................................................1
题型通法及变式提升............................................................................................................................2
题
函数
型一：狄利克雷
........................................................................................................................................2
题
函数
型二：黎曼
................................................................................................................................................3
题
函数
型三：最值
................................................................................................................................................4
题
函数
型四：利普希兹条件
................................................................................................................................5
题型五：k 倍距增/
函数
减
....................................................................................................................................6
题
函数
型六：迭代
................................................................................................................................................7
题
定义新
型七：
运算............................................................................................................................................8
题
定义新
型八：
概念............................................................................................................................................9
题
定义新
型九：
性质..........................................................................................................................................10
重难专题分层过关练.......................................................................................................................... 11
巩固过关...............................................................................................................................................................11
新
创
提升...............................................................................................................................................................14
1、解答新定义型创新题的基本思路是：
（1）正确理解新定义；
（2）根据新定义建立关系式；
（3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；
（4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果．
2、解决函数新定义问题
首先需通过举例转化抽象概念：选取简单数值（如 0、1、特殊函数）代入新定义，观察运算结果或
对应关系，将抽象规则具象化，帮助快速把握核心逻辑；同时尝试用自己的语言转述定义，若能清晰描述
其本质（如运算方式、对应法则），则说明理解到位，避免因表述模糊导致偏差。
接着要衔接已有知识：分析新定义与课本中函数性质（如单调性、奇偶性）、运算（如复合函数、分
段函数）的联系与区别，若为课本知识的推广，需明确其适用范围及与原有概念的差异（如定义域拓展、
规则变化）。
最后结合新定义的本质特征，套用或迁移熟悉的解题方法（如数形结合），按定义逐步推导，验证结
果是否符合所有限制条件，确保逻辑严谨。
题型一：
函数
狄利克雷
典例1-1．波恩哈德·黎曼是德国著名数学家，黎曼函数是他发现并提出的，其解析式为：
，若函数
是定义在实数集上的偶函数，且
对任意x 都有
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
典例1-2．黎曼函数（Riemann function）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出，其基本定义
是：
（注：分子与分母是互质数的分数，称为既约分数），若
是奇函数，且
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1-1．（多选）波恩哈德·黎曼是德国著名的数学家，他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，
开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为
，其解析式为：
，下列关于黎曼函数的说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．关于
的不等式
的解集为
变式1-2．黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的
应用，黎曼函数定义在
上，
．
(1)求
，
，
；
(2)请用描述法写出满足方程
的解集；
(3)解不等式
；
题型二：
函数
黎曼
典例2-1．记实数
中的最大数为
，最小数为
，则关于函数
的说法中正确的是（ ）
A．方程
有三个根
B．
的单调减区间为
和
C．
的最大值为
D．
的最小值为
典例2-2．定义
，设函数
，
，记函数
，
且函数
在区间
的值域为
，则
的最大值为（）
A．1
B．
C．
D．2
变式2-1．设
，函数
的最小值为－1，则
.
变式2-2．对于实数
，
，
，记
为
，
，
中的最大者，例如：
，
．若非负实数
，
满足
，则
的最小值为 ．
题型三：
函数
最值
典例3-1．已知函数
的定义域为
，若存在常数
，使得对
内的任意
，
，都有
，则称
是“
利普希兹条件函数”.
(1)判断函数
是否为“
利普希兹条件函数，并说明理由；
”
(2)若函数
是周期为2 的“
利普希兹条件函数，证明：对定义域内任意的
”
，均有
.
典例3-2．利普希兹条件是数学中一个关于函数光滑性的重要概念，设
定义在
上的函数，若对于
中任意两点
，都有
，则称
是“
-利普希兹条件函
数”.
(1)判断函数
，
在
上是否为“1-利普希兹条件函数；
”
(2)若函数
是“
-利普希兹条件函数，求
”
的最小值；
(3)设
，若存在
，使
是“2024-利普希兹条件函数，且关于
”
的方程
在
上有两个不相等实根，求
的取值范围.
变式3-1．已知函数
，
，若存在常数k（
），使得对定义域D 内的任意
（
），
都有
成立，则称函数
在其定义域D 上是“k-利普希兹条件函数”
(1)判断函数①
，②
是否是“1-利普希兹条件函数，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
”
(2)若函数
（
）是“k-利普希兹条件函数，求常数
”
k 的最小值；
(3)若
是定义在闭区间
上的“2-利普希兹条件函数，且
”
，求证：对任意的
都有
．
变式3-2．若存在常数
，使得对定义域
内的任意
，都有
成
立，则称函数
在其定义域
上是“
利普希兹条件函数．
”
(1)请写出一个“
利普希兹条件函数（要求明确函数的表达式、
”
的值及定义域
）；
(2)若函数
是“
利普希兹条件函数，求常数
”
的取值范围；
(3)判断函数
是否是“
利普希兹条件函数，若是，请证明，若不是，请说明理由
”
.
题型四：
函数
利普希兹条件
典例4-1．对正整数
，函数
是小于或等于
的正整数中与
互质的数的数目．此函数以其首名研究者
欧拉命名，故称欧拉函数．例如
，则
（ ）
A．52
B．53
C．54
D．55
典例4-2．（多选）若正整数
的公约数只有1，则称
互质.设
为正整数，则函数
表示小于或等
于
且与
互质的正整数的个数，例如，
.函数
以其首位研究者欧拉命名，
称为欧拉函数.下列关于欧拉函数的命题正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-1．（多选）欧拉函数是初等数论中的重要内容．对于一个正整数n，欧拉函数
表示小于或等
于n且与n互质的正整数的数目．换句话说，
是所有不超过n且与n互素的数的总数．如：
，
．则以下是真命题的有（ ）
A．
的定义域为
，其值域也是
B．
在其定义域上单调递增，无极值点
C．不存在
，使得方程
有无数解
D．
，当且仅当n是素数时等号成立
变式4-2．（多选）已知欧拉函数
，其中
的值等于所有不超过
且与
互质的正整数的
个数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五：k 倍距增/
函数
减
典例5-1．已知函数
的定义域为
，若
，都有
，则称函数
为“ 距增
”
函数．若函数
，且
是
上的“3 距增函数，则实数
”
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
典例5-2．若对于定义域内的任意
，都有
，其中
为正常数，则称函数
为“
距增函
”
数，这种性质在数学和物理中都有广泛的应用．
(1)若
，试判断
是否为“2 距增函数；
”
(2)假设函数
为“2 距增函数，求
”
的最小值．
变式5-1．定义：若对定义域内任意
，都有
（
为正常数），则称函数
为“
距减函
”
数.
(1)若
，判断
是否为“1 距减函数，并说明理由；
”
(2)若
是“
距减函数，求实数
”
的取值范围；
(3)已知
，其中
，若
是“2 距减函数，求实数
”
的取值范围及
的最大值.
变式5-2．定义：若对定义域内任意
，都有
（
为正常数），则称函数
为“
距增函
”
数.
(1)若
，试判断
是否为“1 距增函数，并说明理由；
”
(2)若
是“
距增函数，求
”
的取值范围；
(3)若
，其中
，且为“2 距增函数，求
”
的最小值.
题型六：
函数
迭代
典例6-1．记
，若
（
且
），则称
是
的n
次迭代函数．若
，则
（ ）
A．
B．
C．2022
D．2023
典例6-2．（多选）设函数
的定义域为
，若
，记
为
在
上的2 次迭
代，
为
在
上的3 次迭代，依次类推，
为
在
上的
次迭代，即
，则（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
能被17 整除
D．若
，则
变式6-1．已知函数
，
表示函数
的
次迭代函数，
，
.
(1)若
，求
，
，
，
；
(2)若存在正整数
，使得对于任意的正整数
，均有
成立，则称函数
是
次迭代周期函
数，正整数
为函数
的选代周期.若
，求
的选代周期.
变式6-2．设
，如果函数
：
的值域也是
，则称之为一个泛函数，并定义其迭代
函数列
：
，
.
(1)请用列表法补全如下函数列；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
1
7
5
3
4
9
10
(2)求证：对任意一个
，存在正整数
（
是与有关的一个数），使得
；
(3)类比排序不等式：
，
，把
中的10 个元素按顺序排成一列记为
，使得10 项数列
：
，
，
，
，
…
的所有项和最
小，并计算出最小值
及此时对应的
.
题型七：定义新运算
典例7-1．已知a，
，定义运算“
：
”
，设函数
，
，若函
数
的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
典例7-2．设
，定义运算“
和
”
“
如下：
”
.若正数m，n，p，q 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
变式7-1．（多选）定义两个实数间的一种新运算“*”：
，
．当
时，记
．对于任意实数
，给出如下结论，正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
变式7-2．对于实数
和
，定义运算“*”：
，设
，若函数
（
）恰有三个非零的零点
，
，
，则
的取值范围是 .
题型八：定义新概念
典例8-1．（多选）设函数
在
上有定义，对于任一给定的正数
，定义函数
，则称函数
为
的“
界函数．若给定函数
”
，
，
则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
典例8-2．定义：若函数
对定义域内的每一个值
，在其定义域内都有唯一的
，使得
成立，则称该函数
为伴随函数．
“
”
(1)判断
是否为伴随函数并说明理由；
“
”
(2)若函数
在定义域
上为伴随函数，求
“
”
的值；
(3)已知函数
在定义域
上为伴随函数，若
“
”
，
，恒有
，求
的取值范围．
变式8-1．欧拉对函数的发展做出了巨大的贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数
研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入了倒函数的定义：对于函数
“
”
，如果对于其定义域
中任
意给定的实数
，都有
，并且
，就称函数
为倒函数
“
”.
(1)判断函数
是不是倒函数，并说明理由；
(2)若函数
是定义在
上的倒函数，且当
时，
，求函数
的解析式.
变式8-2．对于函数
，若在定义域内存在实数
，满足
，则称
为局部反比例对称
“
函数．
”
(1)用定义证明函数
在
为单调递增函数；
(2)已知函数
，试判断是不是局部反比例对称函数．并说明理由；
“
”
(3)若
是定义在区间
上的局部反比例对称函数，求实数
“
”
的取值范围．
题型九：定义新性质
典例9-1．若函数
满足：对任意
，都有
则称函数
具
有性质P．请判断下列两个命题的真假性（ ）
①已知函数
具有性质P，且值域是一个开区间Ⅰ，则
是奇函数；
②已知函数
具有性质P，
，若
在R 上严格增，则
是奇函数.
A．①真②真
B．①假②假
C．①假②真
D．①真②假
典例9-2．函数
的定义域为
，若存在正实数
，对任意的
，总有
，则称
函数
具有性质
.
(1)分别判断函数
与
是否具有性质
，并说明理由；
(2)已知
为二次函数，且具有性质
，求证：
是偶函数；
变式9-1．对于定义域为A 的函数
，如果存在
，对任意的
，都有
，那么称函数
具有性质
．
(1)判断函数
是否具有性质
，并说明理由；
(2)若函数
具有性质
，求证：
为定值；
(3)若函数
具有性质
，求ab 的最小值．
变式9-2．定义：给定函数
，若存在实数
，当
有意义时，
总成立，则称函数
具有“
性质．
”
(1)判断函数
是否具有“
性质，若是，写出
”
的值，若不是，请说明理由；
(2)求证：函数
（
且
）不具有“
性质；
”
(3)设定义域为
的奇函数
具有“
性质，且当
”
时，
若对
，函数
有5 个零点，求实数的取值范围．
巩固过关
1．德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始数的发现改变了数学家们
对 函数是连续的的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数
“
”
，
有以下四个命题，其中假命题是 （ ）
A．函数
是奇函数
B．
，
，
C．函数
是偶函数
D．
，
，
2．（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的称号，他和阿基米德、牛
“
”
顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的高斯函数为：设
“
”
，用
表示不超过x 的最大整数，则
称为高斯函数.例如：
，
.已知函数
，
，则下列叙述
中正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
是奇函数
C．
在
上是增函数
D．
的值域是
3．（多选）对任意实数
，用
表示函数
和
中的最小值，记为
，则 （ ）
A．
有最大值，无最小值
B．当
的最大值为
C．不等式
的解集为
D．
的单调递增区间为
4．（多选）定义
且
．则下列关于函数
的四个结论，正确的是
（ ）
A．函数
的定义域为
，值域为
B．函数
是偶函数且在
上是增函数
C．对任意的
，都有
（k 为常数且
）成立
D．函数
有2 个不同零点
5．设函数
和
，若两函数在区间
上的单调性相同，则把区间
叫作
的
稳定区间，已知区间
“
”
为函数
的稳定区间，则实数
“
”
的取值范围为 ．
6．若闭区间
满足：①函数
在
上单调；②函数
在
上的值域为
，
，
则称区间
为函数
的
次方收缩区间．函数
的
次方的一个收缩区间为 ；若函数
存在
次方收缩区间，则k 的取值范围是 ．
7．若函数
满足条件：在定义域内存在
，使得
成立，则称
具有性质
；反之，若
不存在，则称
不具有性质
.
(1)判断函数
是否具有性质
，若具有性质
，求出对应
的值；若不具有性质
，说明
理由；
(2)证明：函数
具有性质
；
(3)已知函数
具有性质
，求a 的取值范围.
8．若存在常数
、
，使得函数
对于
同时满足：
，
，则称函数
为“
类函数．
”
(1)判断函数
是否为“
类函数？如果是，写出一组
”
的值；如果不是，请说明理由；
(2)函数
是“
类函数，且当
”
时，
．证明：
是周期函数，并求出
在
上的解析式；
9．设
是定义域为
的函数，如果对任意
，
均成立，则
称
是平缓函数．
(1)若
，试判断
是否为平缓函数？并说明理由；
(2)若函数
是平缓函数，且
是以1 为周期的周期函数，证明：对任意的
，均有
．
10．已知函数
在区间
上有定义，如果对于任意
，都有
，则称
为上凸函数．若
为上凸函数，则
（
为任意大于2 的正整数，
）．
(1)证明：
为上凸函数；
(2)证明：
．
新
创
提升
1．探索新定义 定义一种新的运算“
：
”
，都有
．
(1)对于任意实数
，试判断
与
的大小关系；
(2)已知函数
，
，
，
若
在
上的值域是函数
在
上的值域的充分不必要条件，求实数
的取值范围．
2．已知函数
的定义域为
，若
，使得
对
都成立，则称
为
型函数．
(1)证明：每一个指数函数
（
且
）都是
型函数；
(2)若函数
是
型函数，求实数
的值；
(3)已知函数
在定义域
上的函数值恒大于0，且
为
型函数，当
时，
．若
在
上恒成立，求实数
的取值范围．
3．若函数
满足：对于任意
是一个三角形的三边长，都有
，
，
也是某个三角形
的三边长，则称
为保三角形函数
“
”.
(1)判断
，
是否为保三角形函数，并说明理由；
“
”
(2)如果
是定义在
上的周期函数，且值域为
，判断
是否为保三角形函数，并进行证明
“
”
.
4．定义：若函数
满足
，
，
为常数，且
，则称
为
上的“
倍型线性函数．
”
(1)判断
是否为
上的“
倍型线性函数，并说明理由
”
(2)若
为
上的“ 倍型线性函数，求
”
的取值范围
(3)若
是定义域为
的偶函数，且
为定义域上的“
倍型线性函数，证明：
”
，
．
5．若存在实数对
，使得等式
对定义域中每一个实数
都成立，则称函数
为“
型函数”.
(1)若函数
是“
型函数，求
”
的值；
(2)若函数
是“
型函数，求
”
和
的值；
(3)已知函数
，函数
是“
型函数，对应的实数对
”
为
，当
时，
.若对任意
时，都存在
，使得
，求实数
的取值范围.
