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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题33 不等式第二缉
1．【2018 年贵州预赛】若实数a 使得不等式|x -2a|+|2 x -a|≥a
2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值
范围是_______．
2．【2018 年广西预赛】设a∈R，若x>0时均有( x
2+ax -5)(ax -1)≥0成立，则a=______．
3．【2018 年湖北预赛】设正实数x、y满足x
2+ y
2+ 1
x + 1
y = 27
4
，则P = 15
x - 3
4 y
的最小值为______.
4．【2018 年甘肃预赛】设x , y满足¿只在点A (2,0)处取得最小值，则实数a的取值范围是______．
5．【2018 年甘肃预赛】若正实数x , y满足y >2 x，则y
2-2 xy + x
2
xy -2 x
2
的最小值是______．
6．【2018 年吉林预赛】若实数a,b满足¿，则a+2b
2a+b
的最大值为_________.
7．【2018 年天津预赛】实数x、y 满足x
2+ y
2=20，则xy +8 x + y的最大值是____________
8．【2018 年河南预赛】已知a、b、c均为正数，则min{
1
a , 2
b , 4
c ,
3√abc}
的最大值为______．
9．【2018 年河北预赛】若实数x、y、z 满足x
2+ y
2+ z
2=3，x +2 y -2 z = 4，则zmax+ zmin=_____.
10．【2018 年河北预赛】已知x⩾1，y ⩾1 且lg
2 x +lg
2 y =lg10 x
2+lg10 y
2，则u=lg xy的最大值为
________.
11．【2018 年辽宁预赛】若正实数x、y 满足x
3+ y
3=(4 x -5 y) y，则y 的最大值为_____.
12．【2018 年江西预赛】设x，y ，z∈R
*，满足x + y + z = xyz，则函数
f (x , y , z)= x
2( yz -1)+ y
2(zx -1)+ z
2(xy -1)的最小值是______．
13．【2018 年山西预赛】若正整数n 使得❑√3恒介于1+ 3
n 与1+
3
n+1
之间，则n=________.
14．【2018 年湖南预赛】设a+b=1,b>0,a≠0，则1
|a| + 2|a|
b
的最小值为_____.
15．【2018 年福建预赛】最近网络上有一篇文章很火．源于一道常见题目：（见图），这貌似易解的题目，
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里面竟然蕴藏了深奥的大道理．（本题不作为本次考试的试题，本次试题如下）
设a，b∈{2,3,4,5,6,7,8}，则
a
10b+a +
b
10a+b
的最大值为______．
16．【2017 高中数学联赛B 卷（第01 试）】若正整数a、b、c 满足2017≥10a≥100b≥1000c，则数组(a，
b，c)的个数为
.
17．【2017 年天津预赛】如果不等式x
3-ax +1≥0对一切x∈[-1,1]成立,则实数a的取值范围是
.
18．【2017 年河北预赛】已知x , y ∈R ,2 x
2+3 y
2≤12,则|x +2 y|的最大值为
.
19．【2017 年吉林预赛】在平面直角坐标系中,由不等式|x|+|y|+|x + y|≤2确定的图形的面积为
.
20．【2017 年吉林预赛】已知x , y , z∈Z,且x + y + z =3, x
3+ y
3+ z
3=3,则x
2+ y
2+ z
2=
.
21．【2017 年山东预赛】设a,b,c是非负实数,满足a+b+c =8,ab+bc+ca=16.设m= min{ab,bc ,ca},
则m的最大值为
.
22．【2017 年山东预赛】已知x , y , z∈R+,且x
2+ y
2+ xy =1, y
2+ z
2+ yz =2, x
2+ z
2+ xz =3.则x + y + z =
.
23．【2017 年福建预赛】A ,B ,C为圆O上不同的三点,且∠AOB =120
∘,点C在劣弧^
AB内(点C与A ,B不重
合),若⃗OC = λ⃗OA + μ⃗OB(λ , μ∈R),则λ+ μ的取值范围为
.
24．【2017 年河南预赛】实数x、y满足4 x
2-5 xy + 4 y
2=5.若S = x
2+ y
2,记S的最大值为p,S的最小值为
q,则1
p + 1
q =
.
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25．【2017 年河南预赛】若a≥b≥c ,a+b+c =0,且x1, x2为二次方程a x
2+bx +c =0的两实根,则|x1
2- x2
2|的
最大值与最小值的和为
.
26．【2017 年湖北预赛】已知正实数a、b满足ab(a+b)= 4,则2a+b的最小值为
.
27．【2017 年四川预赛】已知实数x1, x2, x3
满足: x1
2+ x2
2+ x3
2+ x1 x2+ x2 x3=2,则|x2|的最大值是
.
28．【2017 年陕西预赛】设a,b,c是互不相同的正整数,则
abc
a+b+c
的最小值为
.
29．【2017 年甘肃预赛】已知a>0, x , y满足约束条件{
x ≥1,
x + y ≤3,
y ≥a(x -3).
若z =2 x + y的最小值为1,则a=
.
30．【2017 年广西预赛】不等式(x -2)
❑√x
2-2 x -3≥0的解集是
.
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