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第12 讲 对数与对数函数 课前必备知识 课标要求 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为常用对数或自 然对数；了解对数在简化运算中的作用.2.通过实例，了解对数函数的概念和图象，理解对 数函数的单调性，掌握对数函数图象经过的特殊点.3.了解指数函数与对数函数互为反函 数． 知识梳理 1．对数 (1)对数的定义 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作__x ＝ log aN__，其中 __a__叫做对数的底数，__N__叫做真数． (2)指数式与对数式的关系 ax＝N⇔__logaN ＝ x __(a>0，a≠1，N>0). (3)几个常用等式 log ① a1＝__0__；②logaa＝__1__；③alogaN＝__N__． (4)对数运算的性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 log ① a(MN)＝__logaM ＋ log aN__； log ② a＝__logaM － log aN__； log ③ aMn＝__n log aM__(n∈R). (5)换底公式：logab＝____(a>0，且a≠1，b>0；c>0，且c≠1). 2．对数函数 (1)对数函数的定义 函数__y ＝ log ax ( a >0 ，且 a ≠1) __叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是__(0 ，＋ ∞ ) __． (2)对数函数的图象 (3)对数函数的性质 ①定义域：__(0 ，＋ ∞ ) __． ②值域：__( － ∞ ，＋ ∞ ) __． ③图象过定点__(1 ， 0) __，即x＝__1__时，y＝__0__． ④当__a >1 __时，y＝logax 在(0，＋∞)上是增函数； 当__0< a <1 __时，y＝logax 在(0，＋∞)上是减函数． 3．指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的关系 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)和对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为__反函数__，它们 的图象关于直线__y ＝ x __对称． 常用结论 1．换底公式的两个重要结论 (1)logab＝； (2)logambn＝logab. 其中a>0，且a≠1；b>0，且b≠1；m，n∈R. 2．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与y＝log \f(1,a x 的图象关于x 轴对称． 3．对数函数y＝logax 的底数a>1 时，a 越大，增长越慢，图象在x 轴上方越靠近x 轴 (x>1 时)；0<a<1 时，a 越小，图象在x 轴下方越靠近x 轴(x>1). 课前训练 1．函数y＝loga(x－2)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点__________． 2．(教材母题必修习题4.4T1 改编)函数y＝＋lg (5－2x)的定义域是___________． 3．(教材母题必修复习参考题4T5)已知f(x)＝|lg x|，若a＝f()，b＝f()，c＝f(3)，则( ) A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．b>a>c 4．(2025·山东潍坊期中)已知指数函数y＝ax，对数函数y＝logbx 的图象如图所示，则 下列关系成立的是( ) A．0<a<b<1 B．0<a<1<b C．0<b<1<a D．a<0<1<b 5．(2024·辽宁丹东一模)若2a＝3，3b＝5，5c＝4，则log4abc＝________． 课堂核心考点 考点1 对数的运算 【例1】 (1)(教材母题必修习题4.3 改编)化简求值： lg 5·lg 20 ① ＋(lg 2)2； ②若18a＝5，log189＝b，用a，b 表示log3645. (2)(2024·全国模拟预测)在一个空房间中大声讲话会产生回音，这个现象叫做“混 响”．用声强来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为W0，则经过t 秒后这段 声音的声强变为W(t)＝W0e-，其中τ 是一个常数．把混响时间TR定义为声音的声强衰减到原来 的10-6所需的时间，则TR约为(参考数据：ln 2≈0.7，ln 5≈1.6)( ) A．6.72τ B．8.3τ C．13.8τ D．148τ 对数运算的常用方法与技巧 (1)将指数式与对数式进行互化，构造同底数的对数或指数式． (2)逆用对数的运算性质，将同底数对数的和、差、倍化简合并． (3)当对数的底数不同但真数相同时，可以取倒数，将其化为同底数的对数再进行运 算． (4)通过换底公式的运用，转化对数的底数，再进行化简合并． 变式探究 1．(log62)2＋(log63)2＋3log62×(log6－log62)＝________． 2．2022 年11 月29 日23 时08 分，长征二号F 遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心点 火发射．在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度v 满足公式：v＝ w ln (1＋)，其中M 为火箭推进剂质量，m 为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，w 为火箭 发动机喷流相对火箭的速度．当M＝3m 时，v＝5.544 km/s.在保持w 不变的情况下，若m ＝25 t，假设要使v 超过第一宇宙速度达到8 km/s，则M 至少约为(结果精确到1，参考数 据：e2≈7.389，ln 2≈0.693)( ) A．135 t B．160 t C．185 t D．210 t 考点2 对数函数的图象及应用 【例2】 (1)(多选)(2025·河南模拟)已知函数f(x)＝|ln x|，0<a<b，且f(a)＝f(b)，则下列 说法正确的是( ) A．ab＝1 B．ab＝10 C．a＋2b 的最小值为2 D．(a＋1)2＋(b＋1)2>8 (2)函数int (x)是计算机程序中一个重要函数，它表示不超过x 的最大整数，例如int (－ 3.9)＝－4，int (2.4)＝2.已知函数f(x)＝(a>0，且a≠1)，若f(x)的图象上恰有3 对点关于原点 对称，则实数a 的取值范围是__________． 对数函数图象的应用技巧 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点等排除不符 合要求的选项． (2)对于一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调区间、值 域、零点等问题时，可利用数形结合的思想． (3)对于一些与对数型方程、不等式等内容有关的问题，通常转化为相应的函数图象问 题，利用数形结合进行求解． 变式探究 3．已知x1，x2分别是函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x－2 的零点，则ex1＋ln x2的值 为( ) A．e2＋ln 2 B．e＋ln 2 C．2 D．4 4．已知函数f(x)＝则f(x)≤x 的解集为( ) A．(－∞，0] B．(－1，0] C．(－1，0] [1 ∪ ，＋∞) D．[1，＋∞) 考点3 对数函数的性质及其应用 【例3】 (1)(2024·全国模拟预测)已知a＝()a，()b＝logab，ac＝log\f(1,2c，则实数a， b，c 的大小关系为( ) A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b (2)(2024·全国模拟预测)已知定义在(－∞，0) (0 ∪ ，＋∞)上的函数f(x)，对于定义域内 任意的x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则不等式f(x)<log2的解 集为___________． (1)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的 单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数 必须为正的限制条件． (2)对数函数性质的应用多用在复合函数的单调性上，即求形如y＝logaf(x)的复合函数 的单调区间，其一般步骤为：①求定义域，即满足f(x)>0 的x 的取值集合；②将复合函数 分解成基本初等函数y＝logau 及u＝f(x)；③分别确定这两个函数的单调区间；④若这两个 函数同增或同减，则y＝logaf(x)为增函数，若一增一减，则y＝logaf(x)为减函数，即“同增 异减”． 变式探究 5．(2024·浙江二模)若函数f(x)＝ln (ex＋1)＋ax 为偶函数，则a＝( ) A．－ B．0 C． D．1 6 ．已知f(x) ＝是( －∞，＋∞) 上的减函数，那么实数a 的取值范围是 ________________． 7．已知55<84，134<85.设a＝log138，b＝log53，c＝log85，则a，b，c 的大小关系为( ) A．c<a<b B．b<c<a C．b<a<c D．a<b<c
