文档文本内容
5.3.1 等比数列
课程标准
学习目标
（1）理解等比数列的定义；
（2）掌握等比数列的通项公式及应用；
（3）掌握等比数列的判定方法；
（4）理解等比中项的概念，并能简单应用；
（5）掌握等比数列的有关性质，并能解决一些
简单问题。
（1）能叙述等比数列和等比中项定义，能够应
用定义判断一个数列是否为等比数列；
（2）探索并记忆等比数列的通项公式，能够应
用它解决等比数列的问题；
（3）能在具体问题情境中发现等比数列的关
系，并能用有关知识解决相应的问题。
知识点01 等比数列的概念
1、等比数列的定义
如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常
数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示
．
2、对等比数列概念的理解
（1）“从第2 项起”，是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与前一项的比，前后次序不能点
到，另外等比数列中至少含有三项；
（2）定义中的“同一常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略，这是因为如果一个数列从第2 项
起，每一项与它的前一项的比都是一个与n 无关的常数，但是如果这些常数不相同，那么此数列也不是等
比数列，当且仅当这些常数相同时，数列才是等比数列；
（3）若一个数列不是从第2 项其，而是从第3 项起或第
项起，每一项与它的前一项的
比等于同一常数，则此数列不是等比数列；
（4）由定义可知，等比数列的任一项都不为0，且公比
；
（5）不为0 的常数列是特殊的等比数列，其公比为1。
【即学即练1】（2023·高二课时练习）（多选）下面四个选项中，正确的有（ ）
A．由第1 项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数列
B．常数列b，b，…，b 一定为等比数列
C．等比数列
中，若公比
，则此数列各项相等
D．等比数列中，各项与公比都不能为零
知识点02 等比数列的通项公式及其推广
1、等比数列的通项公式：等比数列
的首项为
，公比为
，则通项公式为：
.
2、通项公式的推广：
或
【即学即练2】（2023·高二课时练习）在等比数列
中，
，公比
．若
，则
的值为
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
知识点03 等比数列的单调性
等比数列
的首项为
，公比为
（1）当
，
或
，
时，数列为递增数列；
（2）当
，
或
，
时，数列为递减数列；
（3）当
时，数列为常数列；
（4）当
时，数列为摆动数列。
【即学即练3】（2023·北京·高二北京八中校考期中）已知
是等比数列，则“
”是“
是增
数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
知识点04 等比中项
1、等比中项定义：如果在a 与b 中间插入一个数G，使a，G，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比
中项，即G 是a 与b 的等比中项
a，G，b 成等比数列
2、对等比中项概念的理解
（1）G 是a 与b 的等比中项，则a 与b 的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项．
此时，
，即等比中项有两个，且互为相反数．
（2）
时，G 不一定是a 与b 的等比中项．例如02＝5×0，但0，0，5 不是等比数列；
（3）在等比数列
中，从第2 项起，每一项是它相邻两项的等比中项；
（4）与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，
即在等比数列
中，
3、等差中项与等比中项区别
（1）任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0 时才
存在等比中项；
（2）任意两数的等差中项是唯一的，而若两数有等比中项，则等比中项有两个，且互为相反数。
【即学即练4】（2023·浙江嘉兴·高二统考期末）已知实数
是2、8 的等比中项，则
（ ）
A．
B．
C．4 D．5
知识点05 等比数列的性质
1、“子数列”性质
（1）对于无穷等比数列
，若将其前
项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为
，公比为
；
若取出所有的
的倍数项，组成的数列仍未等比数列，首项为
，公比为
；
（2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，
即
，
，
，…仍是等比数列，公比为
2、“下标和”性质：在等比数列
中，若
，则
；
（1）特别地，
时，
；
当
时，
（2）若数列
是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积，
即
3、两等比数列合成数列的性质：若数列
，
是项数相同的等比数列，
是不等于0 的常数，
则数列
、
、
也是等比数列；
【即学即练5】（2024·湖南常德·高二常德市一中校考期末）各项均为正数的等比数列
中，若
，则
（ ）
A．9 B．10 C．11 D．
【题型一：等比数列的概念】
例1．（2022·贵州毕节·高三统考期中）下列三个数依次成等比数列的是（ ）
A．1，4，8 B．
，2，4 C．9，6，4 D．4，6，8
变式1-1．（2019·高二单元测试）下列各组数成等比数列的是（ ）
①，
，
，
②
，
，
，
③
，
，
，
④
，
，
，
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
变式1-2．（2023·上海浦东新·高二南汇中学校考期末）若
成等比数列，则下列三个数列：（1）
;（2）
;（3）
，必成等比数列的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
变式1-3．（2023·辽宁抚顺·高二校联考期末）已知数列
，则“
”是“
为等比数
列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条
件
变式1-4．（2022·河北唐山·高二统考期末）若
，
，成等比数列且公比为
，那么
，
，
（ ）
A．不一定是等比数列 B．一定不是等比数列
C．一定是等比数列，且公比为
D．一定是等比数列，且公比为
【方法技巧与总结】
判定等比数列，要抓住3 个要点：①从第二项起；②要判定每一项，不能有例外；③每一项与前一项的比
是同一个常数，且不能为0.
【题型二：等比数列的通项及基本量】
例2．（2024·安徽滁州·高二安徽省滁州中学校考期末）在等比数列
中，
，
，则公比
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-1．（2023·全国·高二期末）已知数列
是等比数列，且
，
，则
（
）
A．28 B．63 C．189 D．289
变式2-2．（2023·江苏宿迁·高二校考期中）已知等比数列
满足
，若
，则
（ ）
A．
B． C． D．
变式2-3．（2024·江苏南京·高二南京师大附中校考期末）若等比数列
的各项均为正数，且
，
，
成等差数列，则
（ ）
A．
B．3 C．9 D．27
变式2-4．（2024·广东广州·高二统考期末）已知各项均为正数的等比数列
满足
，则
的公比为 .
【方法技巧与总结】
等比数列的通项公式
涉及4 个量
，
，
，
，只要知道其中任意三个就能求出另外一
个，在这四个量中，
和
是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解，求解时要
注意
。
【题型三：等比数列的性质及应用】
例3．（2024·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考期末）已知正项等比数列
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-1．（2024·河北石家庄·高二石家庄市第二十二中学校考期末）已知等比数列{an}的公比
，
则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．9
变式3-2．（2023·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）在等比数列
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．32 D．64
变式3-3．（2023·江苏·高二专题练习）已知数列
是正项等比数列，数列
满足
.若
，则
（ ）
A．24 B．27 C．36 D．40
变式3-4．（2024·湖北武汉·高二校联考期末）（多选）已知等比数列
的公比为
，前
项积为
，若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
应用等比数列性质解题时的2 个注意点
（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，
特别是性质“若
，则有
”，可以减少运算量，提高解题速
度．
（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意
设而不求思想的运用．
【题型四：等比数列的证明】
例4．（2023·北京丰台·高二统考期中）已知数列
满足
，且
．
（1）设数列
满足
，证明：
是等比数列；
（2）求数列
的通项公式．
变式4-1．（2023·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）已知数列
的首项
，
.
（1）证明：数列
为等比数列；
（2）求数列
的通项公式.
变式4-2．（2023·高二课时练习）已知数列
满足
，
．
（1）求
的值；
（2）证明数列
是等比数列，并求出数列
的通项公式．
变式4-3．（2023·天津北辰·高二校考期末）已知数列
的前
项和为
，且
.在数列
中，
，
.
（1）求
的通项公式；
（2）证明：
是等比数列.
变式4-4．（2023·全国·高二专题练习）已知
是各项均为正数的等差数列，
、
、
成等差
数列，又
，
，
，……证明：
为等比数列．
【方法技巧与总结】
等比数列的判定方法
1、定义法：
（常数）
为等比数列；
2、中项法：
（
）
为等比数列；
3、通项公式法：
（
，
为常数）
为等比数列.
【题型五：灵活设元求解等比数列】
例5．（2023·高二课时练习）已知4 个数成等比数列，其乘积为1，第2 项与第3 项之和为－
，则此4
个数为 ．
变式5-1．（2023·高二课时练习）有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是
，后三个数依
次成等差数列，它们的积为
，求出这四个数．
变式5-2．（2023·高二课时练习）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一
个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数为 ．
变式5-3．（2023·高二课时练习）互不相等的三个数之积为－8，这三个数适当排列后可成为等比数列，
也可排成等差数列，求这三个数．
变式5-4．（2022·高二课时练习）四个数中前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，若首末两数之和
为14，中间两数之和为12，求这四个数．
【方法技巧与总结】
解决已知三个数或四个数成等比数列的问题，灵活地设项至关重要，一般地：
（1）三个数成等比数列设为
，
，
；
推广到一般：奇数个数成等比数列列为…，
，
，
，
；
，…
（2）四个符号相同的数成等比数列设为
，
，
，
；
推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为…，
，
，
，
，
；
，…
（3）四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为
，
，
，
【题型六：等比数列的单调性与最值】
例6．（2024·河北保定·高二统考期末）（多选）已知等比数列
的首项为
，公比为
，则下列能判
断
为递增数列的有（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6-1．（2023·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学统考期末）已知
是递增的等比数列，且
，
则其公比
满足（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6-2．（2024·北京顺义·高二统考期末）已知等比数列
的首项
，公比为q，记
（
），则“
”是“数列
为递减数列”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条
件
变式6-3．（2023·福建莆田·高二莆田二中校联考阶段练习）（多选）设等比数列
的公比为
，前
项
积为
，并目满足条件
，
，
，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．
的最大值为
D．
变式6-4．（2024·全国·高二期末）（多选）已知数列
是各项均为正数的等比数列，
是公差大于0
的等差数列，且
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
数列的单调性是通过连续两项的大小关系判断的，同时在解决数列相关问题时特别是要注意数列的函数本
质，当然也要意识到数列与连续函数的区别。注意到这两点，与数列的单调性有关的问题便会迎刃而解。
一、单选题
1．（2024·湖南岳阳·高二统考期末）数列
是等比数列，
，公比
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2022·陕西榆林·高二校考期中）已知数列
的通项公式为
，则数列
是（ ）
A．以1 为首项，
为公比的等比数列 B．以3 为首项，
为公比的等比数列
C．以1 为首项，3 为公比的等比数列 D．以3 为首项，3 为公比的等比数列
3．（2024·四川攀枝花·高二统考期末）公比为2 的等比数列
的各项都是正数，且
，则
（ ）
A．32 B．16 C．4 D．2
4．（2024·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学期末）若递增等比数列
满足
，
，则此数列的公比
（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
5．（2023·高二课时练习）已知等比数列
中，
，
是方程
的两根，则
的值为（ ）
A．32 B．64 C．256 D．
6．（2024·贵州毕节·高二统考期末）已知等比数列
的第二项为1，则“
”是“
”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条
件
7．（2023·河北沧州·高二河北省吴桥中学校考阶段练习）设数列
的公比为
，则“
且
”是“
是递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条
件
8．（2024·福建漳州·高二统考期末）已知正项等比数列
的前
项积为
，且
，则下列结论正确
的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
二、多选题
9．（2023·广东韶关·高二校考期中）设公比为
的等比数列
，若
，则（ ）
A．
B．当
时，
C．
和
的等比中项为4 D．
10．（2022·江苏南通·高二统考期中）已知数列
为等比数列，则（ ）
A．数列
，
，
成等比数列
B．数列
，
，
成等比数列
C．数列
，
，
成等比数列
D．数列
，
，
成等比数列
11．（2024·重庆·高二统考期末）设
，已知数列
为等比数列，则（ ）
A．
一定为等比数列 B．
一定为等比数列
C．当
时，
一定为等比数列 D．当
时，
可能为等比数列
12．（2024·陕西西安·高二陕西师大附中校考期末）等比数列
的各项均为正数，公比为
，其前
项
的乘积记为
．若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．当且仅当
时，
三、填空题
13．（2024·广东茂名·高二统考期末）在各项均为正数的等比数列
中，
，则
.
14．（2024·安徽合肥·高二合肥市第八中学校考期末）在正项等比数列
中，若
，
．
15．（2024·河北保定·高二保定一中校考阶段练习）在等比数列
中，
，
是方程
的
两根，则
的值为 ．
16．（2024·广东深圳·高二统考期末）已知数
满足
，则数列
的通项公式
．
四、解答题
17．（2024·福建福州·高二校联考期末）已知数列
满足
，设
.
（1）求
；
（2）判断数列
是否为等比数列，并说明理由；
（3）求
的通项公式.
18．（2023·高二课时练习）已知数列
为等比数列．
（1）若
，
，求
的值；
（2）若
，
，求
的值．
19．（2023·高二课时练习）（1）在2 和9 之间插入两个数，使前三个数成等差数列，后三个数成等比数
列，试写出这个数列；
（2）在320 与5 中间插入5 个数，使这7 个数成等比数列，求这个等比数列．
20．（2024·贵州安顺·高二统考期末）已知数列
中，
，
（
，
），且
是
和
的等差中项．
（1）求实数
的值；
（2）求证：数列
是等比数列，并求出
的通项公式．
21．（2024·云南昆明·高二昆明市第三中学校考期末）在正项等比数列
中，
，
．
（1）求
的通项公式；
（2）若数列
满足：
，求数列
的最大项．
22．（2023·江西萍乡·高二统考期中）在数列
中，
，
.
（1）证明：
为等比数列.
（2）设
，若
是递增数列，求的取值范围.
