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5.3.1 等比数列
课程标准
学习目标
（1）理解等比数列的定义；
（2）掌握等比数列的通项公式及应用；
（3）掌握等比数列的判定方法；
（4）理解等比中项的概念，并能简单应用；
（5）掌握等比数列的有关性质，并能解决一些
简单问题。
（1）能叙述等比数列和等比中项定义，能够应
用定义判断一个数列是否为等比数列；
（2）探索并记忆等比数列的通项公式，能够应
用它解决等比数列的问题；
（3）能在具体问题情境中发现等比数列的关
系，并能用有关知识解决相应的问题。
知识点01 等比数列的概念
1、等比数列的定义
如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常
数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示
．
2、对等比数列概念的理解
（1）“从第2 项起”，是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与前一项的比，前后次序不能点
到，另外等比数列中至少含有三项；
（2）定义中的“同一常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略，这是因为如果一个数列从第2 项
起，每一项与它的前一项的比都是一个与n 无关的常数，但是如果这些常数不相同，那么此数列也不是等
比数列，当且仅当这些常数相同时，数列才是等比数列；
（3）若一个数列不是从第2 项其，而是从第3 项起或第
项起，每一项与它的前一项的
比等于同一常数，则此数列不是等比数列；
（4）由定义可知，等比数列的任一项都不为0，且公比
；
（5）不为0 的常数列是特殊的等比数列，其公比为1。
【即学即练1】（2023·高二课时练习）（多选）下面四个选项中，正确的有（ ）
A．由第1 项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数列
B．常数列b，b，…，b 一定为等比数列
C．等比数列
中，若公比
，则此数列各项相等
D．等比数列中，各项与公比都不能为零
【答案】CD
【解析】当乘以的常数为0 时，不是等比数列，故A 错误；
时不是等比数列，故B 错误；
由等比数列的定义，若
，则
，即
，故C 正确；
由等比数列的定义可得各项与公比均不能为0，
若有一项为0，则比值没有意义，故D 正确.故选：CD.
知识点02 等比数列的通项公式及其推广
1、等比数列的通项公式：等比数列
的首项为
，公比为
，则通项公式为：
.
2、通项公式的推广：
或
【即学即练2】（2023·高二课时练习）在等比数列
中，
，公比
．若
，则
的值为
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【解析】因
为等比数列，
，公比
，所以
，
当
时
，得
，故选：D
知识点03 等比数列的单调性
等比数列
的首项为
，公比为
（1）当
，
或
，
时，数列为递增数列；
（2）当
，
或
，
时，数列为递减数列；
（3）当
时，数列为常数列；
（4）当
时，数列为摆动数列。
【即学即练3】（2023·北京·高二北京八中校考期中）已知
是等比数列，则“
”是“
是增
数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由数列
是等比数列，可假设
，
则
，
可知
，但数列
不是递增数列，
若数列
是递增等比数列，由定义可知，
，故
“
”是“
是递增数列”的必要不充分条件故选：B
知识点04 等比中项
1、等比中项定义：如果在a 与b 中间插入一个数G，使a，G，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比
中项，即G 是a 与b 的等比中项
a，G，b 成等比数列
2、对等比中项概念的理解
（1）G 是a 与b 的等比中项，则a 与b 的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项．
此时，
，即等比中项有两个，且互为相反数．
（2）
时，G 不一定是a 与b 的等比中项．例如02＝5×0，但0，0，5 不是等比数列；
（3）在等比数列
中，从第2 项起，每一项是它相邻两项的等比中项；
（4）与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，
即在等比数列
中，
3、等差中项与等比中项区别
（1）任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0 时才
存在等比中项；
（2）任意两数的等差中项是唯一的，而若两数有等比中项，则等比中项有两个，且互为相反数。
【即学即练4】（2023·浙江嘉兴·高二统考期末）已知实数
是2、8 的等比中项，则
（ ）
A．
B．
C．4 D．5
【答案】A
【解析】因为实数
是2、8 的等比中项，所以
，得
，故选：A
知识点05 等比数列的性质
1、“子数列”性质
（1）对于无穷等比数列
，若将其前
项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为
，公比为
；
若取出所有的
的倍数项，组成的数列仍未等比数列，首项为
，公比为
；
（2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，
即
，
，
，…仍是等比数列，公比为
2、“下标和”性质：在等比数列
中，若
，则
；
（1）特别地，
时，
；
当
时，
（2）若数列
是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积，
即
3、两等比数列合成数列的性质：若数列
，
是项数相同的等比数列，
是不等于0 的常数，
则数列
、
、
也是等比数列；
【即学即练5】（2024·湖南常德·高二常德市一中校考期末）各项均为正数的等比数列
中，若
，则
（ ）
A．9 B．10 C．11 D．
【答案】B
【解析】在各项均为正数的等比数列
中，
，
因为
，所以
所以
，故选：B.
【题型一：等比数列的概念】
例1．（2022·贵州毕节·高三统考期中）下列三个数依次成等比数列的是（ ）
A．1，4，8 B．
，2，4 C．9，6，4 D．4，6，8
【答案】C
【解析】
，A 选项错误；
，B 选项错误.
因为
，所以9，6，4 依次成等比数列，C 选项正确.
，D 选项错误.故选：C
变式1-1．（2019·高二单元测试）下列各组数成等比数列的是（ ）
①，
，
，
②
，
，
，
③
，
，
，
④
，
，
，
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【解析】①首项为1，公比为
，是等比数列；
②首项为
，公比为
，是等比数列；
③当
时，不是等比数列；
④首项为
，公比为
，是等比数列，所以①②④成等比数列.故选：C.
变式1-2．（2023·上海浦东新·高二南汇中学校考期末）若
成等比数列，则下列三个数列：（1）
;（2）
;（3）
，必成等比数列的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
成等比数列，设公比为
，则
均不为0，且
，
，故
成等比数列，且公比为
，
因此
成等比数列，且公比为
，
，
当
时，成等比数列，且公比为
，但当
时，不是等比数列，故选：C
变式1-3．（2023·辽宁抚顺·高二校联考期末）已知数列
，则“
”是“
为等比数
列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条
件
【答案】B
【解析】若
为等比数列，则
一定成立；
若
，则
不一定为等比数列，比如
所以“
”是“
为等比数列”的必要不充分条件.故选：B.
变式1-4．（2022·河北唐山·高二统考期末）若
，
，成等比数列且公比为
，那么
，
，
（ ）
A．不一定是等比数列 B．一定不是等比数列
C．一定是等比数列，且公比为
D．一定是等比数列，且公比为
【答案】C
【解析】因为
，
，成等比数列且公比为
，所以
，
，可得
，
，
由等比数列的中项可判断得
，
，
成等比数列，并且公比为
.故选：C
【方法技巧与总结】
判定等比数列，要抓住3 个要点：①从第二项起；②要判定每一项，不能有例外；③每一项与前一项的比
是同一个常数，且不能为0.
【题型二：等比数列的通项及基本量】
例2．（2024·安徽滁州·高二安徽省滁州中学校考期末）在等比数列
中，
，
，则公比
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题知
，解得
.故选：A
变式2-1．（2023·全国·高二期末）已知数列
是等比数列，且
，
，则
（
）
A．28 B．63 C．189 D．289
【答案】C
【解析】设等比数列
的公比为
,由
，
则
，解得
,
故
.故选：C
变式2-2．（2023·江苏宿迁·高二校考期中）已知等比数列
满足
，若
，则
（ ）
A．
B． C． D．
【答案】C
【解析】因为等比数列
满足
，设等比数列
的公比为
，
所以
，则
，
解得：
.故选：C.
变式2-3．（2024·江苏南京·高二南京师大附中校考期末）若等比数列
的各项均为正数，且
，
，
成等差数列，则
（ ）
A．
B．3 C．9 D．27
【答案】D
【解析】设数列
的公比为
，
由
，
，
成等差数列，故
，
即有
，化简得
，解得
或
（舍），
故
.故选：D.
变式2-4．（2024·广东广州·高二统考期末）已知各项均为正数的等比数列
满足
，则
的公比为 .
【答案】
【解析】设等比数列
的公比为
，对任意的
，
，则
，
因为
，则
，可得
，
因为
，解得
，因此，数列
的公比为
.
【方法技巧与总结】
等比数列的通项公式
涉及4 个量
，
，
，
，只要知道其中任意三个就能求出另外一
个，在这四个量中，
和
是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解，求解时要
注意
。
【题型三：等比数列的性质及应用】
例3．（2024·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考期末）已知正项等比数列
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】正项等比数列
中，
，则
，
，则
，
又
，即
，解得
.故选：B
变式3-1．（2024·河北石家庄·高二石家庄市第二十二中学校考期末）已知等比数列{an}的公比
，
则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．9
【答案】D
【解析】等比数列{an}的公比
，
则
．故选：D．
变式3-2．（2023·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）在等比数列
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．32 D．64
【答案】C
【解析】设等比数列
的公比为
，
则
，即
，解得
，
所以
．故选：C．
变式3-3．（2023·江苏·高二专题练习）已知数列
是正项等比数列，数列
满足
.若
，则
（ ）
A．24 B．27 C．36 D．40
【答案】B
【解析】数列
是正项等比数列，
，
由
，得
，得
，
.故选：B.
变式3-4．（2024·湖北武汉·高二校联考期末）（多选）已知等比数列
的公比为
，前
项积为
，若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】由已知
，又
，
，
所以
，
，A 正确，B 错误；
，
，
，
所以
，C 正确，D 错误.故选：AC.
【方法技巧与总结】
应用等比数列性质解题时的2 个注意点
（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，
特别是性质“若
，则有
”，可以减少运算量，提高解题速
度．
（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意
设而不求思想的运用．
【题型四：等比数列的证明】
例4．（2023·北京丰台·高二统考期中）已知数列
满足
，且
．
（1）设数列
满足
，证明：
是等比数列；
（2）求数列
的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）
，
，
，
，
因为
，故
，
．
是首项
，公比
的等比数列．
（2）由（1）知，
，又
，
所以
，所以
．
故数列
的通项公式为
．
变式4-1．（2023·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）已知数列
的首项
，
.
（1）证明：数列
为等比数列；
（2）求数列
的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）因为
，所以
，
即
，
且
，
所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列.
（2）由（1）可求得
，
所以
，即
.
变式4-2．（2023·高二课时练习）已知数列
满足
，
．
（1）求
的值；
（2）证明数列
是等比数列，并求出数列
的通项公式．
【答案】（1）
；（2）证明见解析，
.
【解析】（1）数列
满足
，
所以
，
.
（2）由
，得
，即
，
而
，
所以数列
是首项为
，公比为3 的等比数列，
，
所以
.
变式4-3．（2023·天津北辰·高二校考期末）已知数列
的前
项和为
，且
.在数列
中，
，
.
（1）求
的通项公式；
（2）证明：
是等比数列.
【答案】（1）
；（2）证明见解析
【解析】（1）因为数列
的前
项和为
，且
.
当
时，
，
当
时，
，
也满足
，故对任意的
，
.
（2）当
时，
，可得
，所以，
，
且
，则
，
，
，
以此类推可知，对任意的
，
，所以，
，
因此，数列
是公比为
的等比数列.
变式4-4．（2023·全国·高二专题练习）已知
是各项均为正数的等差数列，
、
、
成等差
数列，又
，
，
，……证明：
为等比数列．
【答案】证明见解析.
【解析】证明：因为
、
、
成等差数列，
所以
，即
，
又设等差数列
的公差为
，则
，
这样
，从而
，
若
，此时
是各项均为正数的常数列，故
，
此时
也为常数列，且
，
这时，
为公比为等比数列.
若
，则
，
，
，且
，
这时，
是首项
，公比为
的等比数列．
综上所述，
为等比数列.
【方法技巧与总结】
等比数列的判定方法
1、定义法：
（常数）
为等比数列；
2、中项法：
（
）
为等比数列；
3、通项公式法：
（
，
为常数）
为等比数列.
【题型五：灵活设元求解等比数列】
例5．（2023·高二课时练习）已知4 个数成等比数列，其乘积为1，第2 项与第3 项之和为－
，则此4
个数为 ．
【答案】
或
【解析】设此4 个数为
.
则
，且
①，所以
，
当
时，
，代入①式化简可得
，此方程无解；
当
时，
，代入①式化简可得
，解得
或
.
当
时，
；当
时，
.
所以这4 个数为
或
.
变式5-1．（2023·高二课时练习）有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是
，后三个数依
次成等差数列，它们的积为
，求出这四个数．
【答案】这四个数为
或
【解析】由题意设此四个数为
，
则有
，解得
或
.
所以这四个数为
或
.
变式5-2．（2023·高二课时练习）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一
个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数为 ．
【答案】0，4，8，16 或15，9，3，1
【解析】解法1：设这四个数依次为
，a，
，
，
由条件得
解得
或
所以当
，
时，所求的四个数分别为0，4，8，16；
当
，
时，所求的四个数分别为15，9，3，1．
故所求的四个数分别为0，4，8，16 或15，9，3，1．
解法2：设这四个数依次为
，
，a，
，
由条件得
解得
或
当
，
时，所求的四个数分别为0，4，8，16；
当
，
时，所求的四个数分别为15，9，3，1．
故所求的四个数分别为0，4，8，16 或15，9，3，1．
变式5-3．（2023·高二课时练习）互不相等的三个数之积为－8，这三个数适当排列后可成为等比数列，
也可排成等差数列，求这三个数．
【答案】这三个数为－2，1，4.
【解析】设三个数为
，a，aq，
∴a3＝－8，即a＝－2，∴三个数为－
，－2，－2q.
（1）若－2 为－
和－2q 的等差中项，则
＋2q＝4，
∴q2－2q＋1＝0，q＝1，与已知矛盾；
（2）若－2q 为－
与－2 的等差中项，则
＋1＝2q，
2q2－q－1＝0，q＝－
或q＝1(舍去)，
∴三个数为4，－2，1；
（3）若－
为－2q 与－2 的等差中项，则q＋1＝
，
∴q2＋q－2＝0，∴q＝－2 或q＝1(舍去)，
∴三个数为1，－2，4.
综合（1）（2）（3）可知，这三个数为－2，1，4.
变式5-4．（2022·高二课时练习）四个数中前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，若首末两数之和
为14，中间两数之和为12，求这四个数．
【答案】2，4，8，12 或
，
，
，
【解析】设四个数依次为
、
、
、
．
则
，解得
或
．
故所求的四个位数依次为2，4，8，12 或
，
，
，
．
【方法技巧与总结】
解决已知三个数或四个数成等比数列的问题，灵活地设项至关重要，一般地：
（1）三个数成等比数列设为
，
，
；
推广到一般：奇数个数成等比数列列为…，
，
，
，
；
，…
（2）四个符号相同的数成等比数列设为
，
，
，
；
推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为…，
，
，
，
，
；
，…
（3）四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为
，
，
，
【题型六：等比数列的单调性与最值】
例6．（2024·河北保定·高二统考期末）（多选）已知等比数列
的首项为
，公比为
，则下列能判
断
为递增数列的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】由等比数列
的首项为
，公比为
，
对于A 中，若
，可得
，所以
为递减数列，所以A 错误；
对于B 中，若
，可得
，所以
为递增数列，所以B 正确；
对于C 中，若
，可得
，所以
为递减数列，所以C 错误；
对于D 中，若
，可得
，所以
为递增数列，所以D 正确.故选：
BD.
变式6-1．（2023·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学统考期末）已知
是递增的等比数列，且
，
则其公比
满足（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
是等比数列，故
，当
时，
各项正负项间隔,为摆动数列,故
,显然
，
由
得
，又
是递增的等比数列，故
为递减数列,
由指数函数的单调性知
.故选:D
变式6-2．（2024·北京顺义·高二统考期末）已知等比数列
的首项
，公比为q，记
（
），则“
”是“数列
为递减数列”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条
件
【答案】C
【解析】由题意，
，
，
当
时，
对于
不一定恒成立，例如
；
当
为递减数列时，
且
对于
恒成立，
又因为
，所以得
，
因此“
”是“数列
为递减数列”的必要不充分条件，故选：C.
变式6-3．（2023·福建莆田·高二莆田二中校联考阶段练习）（多选）设等比数列
的公比为
，前
项
积为
，并目满足条件
，
，
，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．
的最大值为
D．
【答案】BC
【解析】对于A，由
，且
，则
，
，
若
时，由
，则
，
，所以
，
与已知条件矛盾，所以
，故A 正确；
对于B，结合选项A 可得
，所以
，故B 不正确；
对于C，结合选项A 可得等比数列
的公比为
，所以数列
为单调递减数列，
又结合选项A 可得
，所以
的最大值为
，故C 不正确；
对于D，结合选项A 可得
，所以
，故D 正确．故选：BC．
变式6-4．（2024·全国·高二期末）（多选）已知数列
是各项均为正数的等比数列，
是公差大于0
的等差数列，且
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】设
的公比为
，
的公差为
，
所以，
，
，
所以，由
可知
为单调递增数列，即
因为
，
，
，
所以
，即
，数列
为单调递增数列，
作出函数
，
的图象如图所示，
由上述图象可知，当
时，两函数图象在
处相交，
所以，当
时，
，当
或
时，
.故选：BCD.
【方法技巧与总结】
数列的单调性是通过连续两项的大小关系判断的，同时在解决数列相关问题时特别是要注意数列的函数本
质，当然也要意识到数列与连续函数的区别。注意到这两点，与数列的单调性有关的问题便会迎刃而解。
一、单选题
1．（2024·湖南岳阳·高二统考期末）数列
是等比数列，
，公比
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为数列
是等比数列，
，公比
，则
.故选：C.
2．（2022·陕西榆林·高二校考期中）已知数列
的通项公式为
，则数列
是（ ）
A．以1 为首项，
为公比的等比数列 B．以3 为首项，
为公比的等比数列
C．以1 为首项，3 为公比的等比数列 D．以3 为首项，3 为公比的等比数列
【答案】A
【解析】因为
，
，所以数列
是以1 为首项，
为公比的等比数列.故选：A
3．（2024·四川攀枝花·高二统考期末）公比为2 的等比数列
的各项都是正数，且
，则
（ ）
A．32 B．16 C．4 D．2
【答案】D
【解析】由公比为2 的等比数列
的各项都是正数，且
，
根据等比数列的性质，可得
，所以
，则
.故选：D.
4．（2024·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学期末）若递增等比数列
满足
，
，则此数列的公比
（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】C
【解析】因为数列
是等比数列，则
，可得
，
所以，
，可得
，
即
，即
，解得
或
，
当
时，
，此时，数列
为递减数列，不合乎题意；
当
时，
，此时，数列
为递增数列，合乎题意.
综上所述，
.故选：C.
5．（2023·高二课时练习）已知等比数列
中，
，
是方程
的两根，则
的值为（ ）
A．32 B．64 C．256 D．
【答案】B
【解析】因为
是方程
的两根，所以
，∴
，
又
，∴
，∴
.故选：B.
6．（2024·贵州毕节·高二统考期末）已知等比数列
的第二项为1，则“
”是“
”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条
件
【答案】A
【解析】因为等比数列
的第二项为1，所以数列的偶数项一定为正，
若
，则
，即
，
此时
，故
，即充分性成立；
若
，则
，所以
或
，
此时
或
，所以
不一定成立，即必要性不成立.故选：A.
7．（2023·河北沧州·高二河北省吴桥中学校考阶段练习）设数列
的公比为
，则“
且
”是“
是递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条
件
【答案】A
【解析】由等比数列的通项公式可得，
，
当
且
时，则
，且
单调递减，则
是递减数列，故充分性满
足；
当
是递减数列，可得
或
，故必要性不满足；
所以“
且
”是“
是递减数列”的充分不必要条件.故选：A
8．（2024·福建漳州·高二统考期末）已知正项等比数列
的前
项积为
，且
，则下列结论正确
的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】B
【解析】由已知数列各项均为正，因此乘积
也为正，公比
，若
，则
，
由等比数列性质知
，所以
，故选项A 错误；
又
，因为
，所以
，所以
，
则
，故
先增后减，所以
，故选项B 正确；
若
，则
，又
，无法判断
与1 的大小，即无法判断
与1 的大小，
故
与
大小没法判断，故选项CD 错误.故选：B
二、多选题
9．（2023·广东韶关·高二校考期中）设公比为
的等比数列
，若
，则（ ）
A．
B．当
时，
C．
和
的等比中项为4 D．
【答案】AB
【解析】A 选项，由等比数列性质可得
，即
，故A 正确；
B 选项，当
时，
，所以
，故B 正确；
C 选项，因为
，所以
和
的等比中项为4 或-4，故C 错误；
D 选项，当
时，
，故
，D 不正确.故选：AB
10．（2022·江苏南通·高二统考期中）已知数列
为等比数列，则（ ）
A．数列
，
，
成等比数列
B．数列
，
，
成等比数列
C．数列
，
，
成等比数列
D．数列
，
，
成等比数列
【答案】BD
【解析】设等比数列
的公比为
，
A.由等比数列的性质知
，
，当
时，
，故A 错误；
B.可知数列
，
，
每项都不为0，且
，故B 正确．
C.当数列
为1，
，1，
，1……时，
，故C 错误；
D.数列
，
，
的每一项都不为0，
且
，故D 确.故选：BD
11．（2024·重庆·高二统考期末）设
，已知数列
为等比数列，则（ ）
A．
一定为等比数列 B．
一定为等比数列
C．当
时，
一定为等比数列 D．当
时，
可能为等比数列
【答案】ABD
【解析】设
的公比为
，
A 选项，
，故
一定为等比数列，A 正确；
B 选项，
，故
一定为等比数列，B 正确；
C 选项，不妨设
，此时公比为1，则
，故
不是等比数列，C 错误；
D 选项，不妨设
，此时
，
所以当
时，
可能为公比为1 的等比数列，D 正确.故选：ABD
12．（2024·陕西西安·高二陕西师大附中校考期末）等比数列
的各项均为正数，公比为
，其前
项
的乘积记为
．若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．当且仅当
时，
【答案】ABC
【解析】正项等比数列
前n 项之积
，由
得：
，
于是得
，解得
，所以
，
因为
，所以
，
，故A 正确；
因为
，
，即
，
因为等比数列
的各项均为正数，所以
，故B 正确；
，因为
，
当
时，
取得最大值，所以
，故C 正确；
由
， 当
时，即
，解得
或
（舍），
所以
时，
，故D 错误，故选：ABC.
三、填空题
13．（2024·广东茂名·高二统考期末）在各项均为正数的等比数列
中，
，则
.
【答案】3
【解析】
.
14．（2024·安徽合肥·高二合肥市第八中学校考期末）在正项等比数列
中，若
，
．
【答案】5
【解析】正项等比数列
中，
，
，
解得
，舍去负值，所以
.
15．（2024·河北保定·高二保定一中校考阶段练习）在等比数列
中，
，
是方程
的
两根，则
的值为 ．
【答案】
【解析】由
，
是方程
的两根，得
，显然
，
则
，在等比数列
中，
同号，即
，
又
，
，所以
.
16．（2024·广东深圳·高二统考期末）已知数
满足
，则数列
的通项公式
．
【答案】
【解析】由
可得：
，
又
,
，
所以
是以
为首项，为公比的等比数列，
所以
，所以
.
四、解答题
17．（2024·福建福州·高二校联考期末）已知数列
满足
，设
.
（1）求
；
（2）判断数列
是否为等比数列，并说明理由；
（3）求
的通项公式.
【答案】（1）
；（2）
是首项为1，公比为2 的等比数列，理由见解析；（3）
【解析】（1）由条件可得
，
将
代入得，
，又
，得到
，
将
代入得，
，所以
.
又
，所以
.
（2）
是首项为1，公比为2 的等比数列，理由如下，
由条件可得
，又
，所以
，又
，
所以
是首项为1，公比为2 的等比数列.
（3）由（2）可得
，所以
.
18．（2023·高二课时练习）已知数列
为等比数列．
（1）若
，
，求
的值；
（2）若
，
，求
的值．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）设等比数列
的公比为
，
则
，因为
，
所以
，即
，则
，解得：
而
.
（2）设等比数列
的公比为
，
，解得：
，
.
所以
.
19．（2023·高二课时练习）（1）在2 和9 之间插入两个数，使前三个数成等差数列，后三个数成等比数
列，试写出这个数列；
（2）在320 与5 中间插入5 个数，使这7 个数成等比数列，求这个等比数列．
【答案】（1）
或
，（2）
或
【解析】（1）设插入的两个数分别为
，即这四个数为
，
因为前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，
所以
，解得
，或
，
所以这个数列为
或
，
（2）设这个等比数列的公比为
，由题意得
，
所以
，得
，得
，或
，
当
时，
，
，
，
，
，
当
时，
，
，
，
，
，
所以这个等比数列为
，或
.
20．（2024·贵州安顺·高二统考期末）已知数列
中，
，
（
，
），且
是
和
的等差中项．
（1）求实数
的值；
（2）求证：数列
是等比数列，并求出
的通项公式．
【答案】（1）
；（2）证明见解析，
【解析】（1）根据题意有
，
因为
是
和
的等差中项，所以
，解得
．
（2）由（1）知
，所以
，
又
，所以
（常数），
所以数列
是以1 为首项，以3 为公比的等比数列．
则
，所以
．
21．（2024·云南昆明·高二昆明市第三中学校考期末）在正项等比数列
中，
，
．
（1）求
的通项公式；
（2）若数列
满足：
，求数列
的最大项．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）设正项等比数列
的公比为
，
，
由题意可得
，
因为
，所以
，解得
或
（舍去），
所以等比数列
的首项为
，公比为
，通项公式
.
（2）由（1）得
，所以
，
令
解得
，
所以当
时，
，即
，
又
，
，
，
所以数列
的最大项为
.
22．（2023·江西萍乡·高二统考期中）在数列
中，
，
.
（1）证明：
为等比数列.
（2）设
，若
是递增数列，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）因为
，所以
，
因为
，所以
，则
，
则
是以1 为首项，4 为公比的等比数列.
（2）由（1）可得，
，即
.
，则
，
故
，
因为
是递增数列，所以
，即
.
当
为奇数时，
，即
，
由于
，易知
单调递减，所以
；
当
为偶数时，
，即
，
由于
，易知
单调递增，所以
.
综上，的取值范围为
.
