专题09导数压轴大题二：极值点偏移（学生版）_2027版高中《压轴培优讲义》高二上学期（人教A版选择性必修第二册）

专题09 导数压轴大题二：极值点偏移
函数的极值点偏移问题，是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多
元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等
式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数．
极值点偏移问题大体可分为加法型、减法型、乘积型、平方和型及倒数和型5 个类型，考查学生化归
与转化思想，逻辑思维能力、运算求解能力，
一．极值点偏移加法型的一般题设形式：
1．若函数
( )
f x 存在两个零点
1x ，
2x 且
1
2
x
x

，求证：
1
2
0
2
x
x
x


（
0x 为函数
( )
f x 的极值点）；
2．若函数
( )
f x 中存在
1x ，
2x 且
1
2
x
x

满足
1
2
( )
(
)
f x
f x

，求证：
1
2
0
2
x
x
x


（
0x 为函数
( )
f x 的极
值点）；
3．若函数
( )
f x 存在两个零点
1x ，
2x 且
1
2
x
x

，令
1
2
0
2
x
x
x


，求证：
0
(
)
0
f
x


；
4．若函数
( )
f x 中存在
1x ，
2x 且
1
2
x
x

满足
1
2
( )
(
)
f x
f x

，令
1
2
0
2
x
x
x


，求证：
0
(
)
0
f
x


．
二．证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：
（1）证明
1
2
2
x
x
a


（或
1
2
2
x
x
a


）：
①首先构造函数



2
g x
f x
f
a
x



，求导，确定函数

y
f x

和函数

y
g x

的单调性；
②确定两个零点
1
2
x
a
x


，且



1
2
f x
f x

，由函数值

1
g x
与

g a
的大小关系，得










1
1
1
2
1
2
2
g x
f
x
f
a
x
f
x
f
a
x






与零进行大小比较；
③再由函数

y
f x

在区间

,a 上的单调性得到
2
x 与
1
2a
x

的大小，从而证明相应问题；
（2）证明
2
1
2
x x
a

（或
2
1
2
x x
a

）（
1
x 、
2
x 都为正数）：
①首先构造函数

2
a
g x
f x
f
x








，求导，确定函数

y
f x

和函数

y
g x

的单调性；
②确定两个零点
1
2
x
a
x


，且



1
2
f x
f x

，由函数值

1
g x
与

g a
的大小关系，得
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



2
2
1
1
2
1
1
a
a
g x
f x
f
f x
f
x
x
















与零进行大小比较；
③再由函数

y
f x

在区间

,a 上的单调性得到
2
x 与
2
1
a
x 的大小，从而证明相应问题；
（3）应用对数平均不等式
1
2
1
2
1
2
1
2
ln
ln
2
x
x
x
x
x x
x
x





证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到
1
2
1
2
ln
ln
x
x
x
x


；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
三．极值点偏移加法型判定方法与证明
对于可导函数
( )
y
f x

，在区间( , )
a b 上只有一个极大（小）值点
0x ，方程
( )
0
f x 
的解分别为
1x ，
2x ，
且
1
2
a
x
x
b



，
（1）若
1
0
2
( )
(2
)
f x
f
x
x


，则
1
2
0
( )
2
x
x
x


，即函数
( )
y
f x

在区间
1
2
( ,
)
x x
上极（小）大值点
0x 右
（左）偏；
（2）若
1
0
2
( )
(2
)
f x
f
x
x


，则
1
2
0
( )
2
x
x
x


，即函数
( )
y
f x

在区间
1
2
( ,
)
x x
上极（小）大值点
0x 右
（左）偏．
证明：（1）因为对于可导函数
( )
y
f x

，在区间( , )
a b 上只有一个极大（小）值点
0x ，则函数
( )
f x 的单调
递增（减）区间为
0
( ,
)
a x
，单调递减（增）区间为
0
(
, )
x b ，由于
1
2
a
x
x
b



，有
1
0
x
x

，且
0
2
0
2x
x
x


，
又
1
0
2
( )
(2
)
f x
f
x
x


，故
1
0
2
( )2
x
x
x


，所以
1
2
0
( )
2
x
x
x


，即函数极（小）大值点
0x 右（左）偏；
（2）证明略．
左快右慢（极值点左偏
1
2
2
x
x
m



）
左慢右快（极值点右偏
1
2
2
x
x
m



）
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左快右慢（极值点左偏
1
2
2
x
x
m



）
左慢右快（极值点右偏
1
2
2
x
x
m



）
题型一
极值点偏移加法型
1
2
x
x

1．已知函数
3
1
( )
2
8ln
6
f x
x
ax
x



．
（1）若函数
( )
f x 在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围；
（2）若函数
( )
f x 存在两个极值点
1
2
,
x x ，求证：
1
2
4
x
x


．
2．已知a 为常数，函数

2
x
f x
e
ax



.
（1）讨论函数

f
x 的单调性；
（2）若函数

f
x 有两个不同的零点


1
2
1
2
,
x x
x
x

.
（i）求实数a 的取值范围；
（ii）证明：
1
2
2
x
x


.
3．已知函数

2
3
2
ln x
f x
x
a








，a 为实数．
(1)当
2
3
a 
时，求函数在
1
x 处的切线方程；
(2)求函数

f
x 的单调区间；
(3)若函数

f
x 在
e
x处取得极值，

f
x

是函数

f
x 的导函数，且



1
2
f
x
f
x



，
1
2
x
x

，证明：
1
2
2
e
x
x



．
4．已知函数



2
(
1)
)
1
(
x
f
x
x
e
a x
a
R





.
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（1）讨论函数

f
x 的单调性；
（2）当函数

f
x 仅有两个零点
1
x ，
2
x 时.
（i）求实数a 的取值范围；
（ii）求证：
1
2
0
x
x


.
练习题：
1．已知函数
( )
ln |
1|


a
f x
x
x ，
R
a 
是常数．
(1)求曲线
( )
y
f x

在点



2
2
f,
处的切线方程，并证明对任意
R
a 
，切线经过定点；
(2)证明：a<0 时，设
1
x 、
2
x 是
( )
f x 的两个零点，且
1
2
2
x
x


．
2．已知函数
2
( )
2ln
x
f x
x
a


( a
R

且
0
a 
)．
（1）讨论函数
( )
f x 的单调性；
（2）若函数
( )
f x 有两个零点
1
x 、
2
x (
1
2
x
x

)，且
2
a
e

，证明：
1
2
2
x
x
e


．
3．已知函数
( )
ex
m
f x
x


．
(1)讨论
( )
f x 的单调性；
(2)若
1
2
x
x

，且




1
2
2
f
x
f
x


，证明：0
e
m


，且
1
2
2
x
x


．
4．设

x
f x
xe

(e 为自然对数的底数)，


2
1


g x
x
．
(I)记



f x
F x
g x

，讨论函数

F x 单调性；
(II)令




G x
af x
g x
a
R



，若函数G(x)有两个零点．
(i)求参数a 的取值范围；
(ii)设

1
2
,
x x
G x
是
的两个零点，证明
1
2
2
0
x
x



．
题型二极佳点偏移减法型
2
1
x
x

1．已知函数

ln
f x
x
ax


（1）讨论

f
x 的单调性；
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（2）若
1
x ，
2
x ，

1
2
x
x

是

f
x 的两个零点.证明：
（i）
1
2
2
x
x
a


；
（ii）
2
1
2 1
ea
x
x
a



.
2．



2
ln e
1
2
4
x a
x
x
f x
b






有两个零点


1
2
1
2
,
x x
x
x

．
(1)
0
a 
时，求b 的范围；
(2)
1
b = - 且
5
4
a 
时，求证：
2
1
2 5
4
x
x
a



．
3．已知函数



e
2
1
x
f x
x
a




，




2
1
2
g x
x
a
x
a





（其中e
2.71828

是自然对数的底数）
(1)试讨论函数

f
x 的零点个数；
(2)当
1
a 时，设函数


h x
f x
g x


的两个极值点为
1
x 、
2
x 且
1
2
x
x

，求证：
2
1
e
e
4
2
x
x
a



.
4．已知函数
2
( )
(
1)
(
1)ln ,
2
2
x
f x
a x
a
x a





.
（1）求函数

f
x 的单调区间；
（2）若


1
f m
f

且
1
m ，证明：
(1,
)
x
m

，(
1)ln
1
a
x
x


；
（3）记方程
2
4
3ln
4
2
x
x
x


的三个实根为
1
x ，
2
x ，
3x ，若
1
2
3
x
x
x


，证明：
3
2
2 3
x
x


.
练习题：
1．已知函数
2
( )
e (1
)(
0)
x
f x
ax
a



（e为自然对数的底数）.
(1)求函数
( )
f x 的单调区间；
(2)当
1
a 时，
( )
y
f x

在点(1,0) 处的切线方程为
( )
y
g x

，设方程
( )
(
0)
f x
t t


有两个实数根
1
2
1
2
,
(
)
x x
x
x

，
求证：
（i）
( )
( )
f x
g x

；
（ii）
2
1
1
2
(1
)
2e
x
x
t




.
2．已知函数



2
2
1
e 1 e
e
e
2
x
f x
x
x
x




．
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(1)求函数

f
x 的单调区间与极值．
(2)若






1
2
3
1
2
3
f
x
f
x
f
x
x
x
x




，求证：
3
1
e 1
2
x
x

．
3．已知函数f(x)＝lnx+1，

f
x

是f(x)的导函数．
(1)令函数


g x
f
x
f
x



，求g(x)的最小值；
(2)若关于x 的方程


f x f
x
a


恰有两个不同的实根x1，x2．
①写出实数a 的取值范围（不需要证明）；
②证明：|x2﹣x1|＞1
a ﹣1．
4．已知函数
2
1
( )
ln (
)
2
f x
x
ax
x a
R




.
（1）若
( )
f x 在定义域上不单调，求a 的取值范围；
（2）设
1 ,
,
a
e
m n
e


分别是
( )
f x 的极大值和极小值，且S
m
n


，求S 的取值范围.
题型三极值点偏移乘积型
1 2
x x
1．已知函数
2
1
( )
(2
1)
2ln (
R)
2
f x
ax
a
x
x a





.
(1)若
( )
f x 有唯一极值，求a 的取值范围；
(2)当
0
a 
时，若
1
2
( )
(
)
f x
f x

，
1
2
x
x

，求证：
1
2
4
x x 
.
2．已知函数



2
1
ln
0
2
f x
x
x
ax
a



.
(1)若函数

f
x 在定义域内为减函数,求实数a 的取值范围;
(2)若函数

f
x 有两个极值点


1
2
1
2
,
x x
x
x

,证明：
1
2
1
x x
a

.
3．已知( )
2
sin
ln
f x
x
x
a
x



．
(1)当
1
a 时，讨论函数
( )
f x 的极值点个数；
(2)若存在
1
x ，
2
1
2
(0
)
x
x
x


，使
1
2
( )
(
)
f x
f x

，求证：
1
2 
x x
a ．
4．已知函数

ln
f
x
a
x

，
ex
g x
b

（e 为自然对数的底数）
(1)当
e
a 
时，恰好存在一条过原点的直线与

f
x ，
g x 都相切，求b 的值；
(2)若
1
b ，方程


0
xg x
f
x
ax



有两个根
1
2
x
x
，
，（
1
2
0
x
x


），求证：


1
2
2
1
2
e
x
x
x
x




．
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练习题：
1．已知函数

2
e
2
2
x
a
f
x
x
ax



，aR ，其中e为自然对数的底数．
(1)若

f
x 有两个极值点，求a 的取值范围；
(2)记

f
x 有两个极值点为
1
x 、
2
x ，试证明：


1
2
1
2
2
3
x x
x
x


．
2．已知函数

e
ln
x
f x
x
x
a
x




.若
( )
f x 有两个零点
1
2
,
x x ，证明：
1
2
1
x x .
3．已知函数
2
( )
e
ln
x
f x
x
x
x
ax




．
(1)证明：若
1
a
e

，则
( )
0
f x 
；
(2)证明：若
( )
f x 有两个零点
1
x ，
2
x ，则
1
2
1
x x ．
4．已知函数

2
ln
,
R
f
x
x
x
ax
x a




．
(1)若函数

f
x 是减函数，求a 的取值范围；
(2)若

f
x 有两个零点
1
2
,
x x ，且
2
1
2
x
x

，证明：
1
2
2
8
e
x x 
．
题型四极值点偏移平方型
2
2
1
2
x
x

1．已知函数

1 lnx
f x
ax


，
0
a 
．
(1)若

1
f x ≤，求a 的取值范围；
(2)证明：若存在
1
x ，
2
x ，使得



1
2
f x
f x

，则
2
2
1
2
2
x
x


．
2．在平面直角坐标系xOy 中，Rt OAB

的直角顶点A 在x 轴上，另一个顶点B 在函数

lnx
f
x
x

图象上
(1)当顶点B 在x 轴上方时，求Rt OAB

以x 轴为旋转轴，边AB 和边OB 旋转一周形成的面所围成的几何体
的体积的最大值；
(2)已知函数
2
2
e
e
1
ax
x
ax
g x
x




，关于x 的方程


f x
g x

有两个不等实根
1
2
x
x
，


1
2
x
x

.
（i）求实数a 的取值范围;
（ii）证明：
2
2
1
2
2
e
x
x


.
3．已知函数

ln x
f
x
ax
x


.
(1)若

1
f
x ，求实数a 的取值范围；
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(2)若

f
x 有2 个不同的零点
1
2
,
x x （
1
2
x
x

），求证：
2
2
1
2
12
2
3
5
x
x
a


.
4．已知函数
ln
1
( )
x
f x
x


，
e
( ) 
x
g x
x ．
(1)若对任意的
,
(0,
)
m n
都有
( )
( )
f m
t
g n

，求实数t 的取值范围；
(2)若
1
2
,
(0,
)
x x 
且
1
2
x
x

，
1
2
1
2
2
1
e
x
x
x
x
x
x


，证明：
3
3
1
2
2
x
x


．
练习题：
1．已知aR ，
( )
ax
f x
x e


，（其中e 为自然对数的底数）.
（1）求函数
( )
y
f x

的单调区间；
（2）若
0
a 
，函数
( )
y
f x
a


有两个零点x ，
2
x ，求证：
2
2
1
2
2
x
x
e


.
2．已知函数

ln
1
x
f
x
ax


.
(1)讨论

f
x 的单调性；
(2)若



2
1
1
2
e
e
x
x
x
x

（e 是自然对数的底数），且
1 > 0
x
，
2
0
x 
，
1
2
x
x

，证明：
2
2
1
2
2
x
x


.
3．已知函数





ln
1
1
1
f x
x
a
x
a




．
（1）讨论函数

f
x 的单调性．
（2）已知

f
x 有两个不同的零点
1
x 、
2
x ．
（ⅰ）求实数a 的取值范围；
（ⅱ）求证：
2
2
1
2
0
2
x
x
f 








（

f
x

为

f
x 的导函数）．
4．已知函数

2
ln
f x
x
ax


.
(1)讨论函数

f
x 的单调性：
(2)若
1
2
,
x x 是方程

0
f
x 
的两不等实根，求证：
2
2
1
2
2e
x
x


；
题型五极值点偏移倒数和
1
2
1
1
x
x

与其他变形
1．已知函数


( )
2
ln
f x
e
x
x


，其中
2.71828
e 
为自然对数的底数.
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（1）讨论函数
( )
f x 的单调性；
（2）若


1
2
,
0,1
x x 
，且


2
1
1
2
1
2
1
2
ln
ln
2
ln
ln
x
x
x
x
ex x
x
x



，证明：
1
2
1
1
2
2
1
e
e
x
x



.
2．已知
1
( )
,
( )
(
1)
1
x
x
f x
e
g x
a x
x





．
（1）求
( )
y
f x

的单调区间；
（2）当
0
a 
时，若关于x的方程
( )
( )
0
f x
g x


存在两个正实数根


1
2
1
2
,
x x
x
x

，证明：
2
a
e

且
1
2
1
2
x x
x
x


．
3．已知
ln
h x
x
ax


(1)若
h x 有两个零点，求a 的取值范围；
(2)若方程
e
ln
x
ax
x
x



有两个实根
1
x 、
2
x ，且
2
1
x
x

，证明：
1
2
1
2
e
e
0
2
x
x
x
x
h







.
4．已知函数

ln x
f x
a
x
a


，
ex
g x
ax
a


．（e
2.71828

为自然对数的底数）
(1)当
1
a 时，求函数

y
f x

的极大值；
(2)已知
1
x ，


2
0,
x 
，且满足




1
2
f
x
g x

，求证：
2
1
e
2
x
x
a
a


．
练习题：
1．已知函数

2
f x
ax

，


1
ln
g x
x
x


.
(1)若对于任意


0,
x
，都有

f x
g x

，求实数a 的取值范围；
(2)若函数

y
g x
m


有两个零点
1
2
,
x x ，求证：
1
2
1
1
2
x
x


.
2．已知函数



1
ln
f x
x
a
x


，a
R

.
(1)讨论f（x）的单调性；
(2)若
1
0, 2
x





时，都有1
f x ，求实数a 的取值范围；
(3)若有不相等的两个正实数
1
x ，
2
x 满足
2
2
1
1
1 ln
1 ln
x
x
x
x



，证明：
1
2
1
2
x
x
ex x


.
3．已知函数

ln
f
x
x
a
x


．
(1)若

1
f
x 
恒成立，求实数a 的值：
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(2)若
1 > 0
x
，
2
0
x 
，
1
2
1
2
e
ln
x
x
x
x



，证明：
1
2
e
2
x
x


．
4．已知函数



ln
2
f
x
x
a x



（aR ）．
(1)试讨论函数

f
x 的单调性；
(2)若函数

f
x 有两个零点
1
x ，
2
x （
1
2
x
x

），求证：
1
2
3
3
2
x
x
a
a




．
1.
已知函数

x
f
x
e
ax



.
（I）讨论

f
x 的单调性；
（II）若

f
x 有两个零点
1
x 、
2
x ，且
1
2
 
x
x

.证明：
（i）
2
1
0
x


；
（ii）
1
2
ln
2
x
x
a


.
2.
已知函数

2
ln
,
R
a
f
x
x
a
x



．若函数

f
x 有两个不相等的零点
1
2
,
x x ．
(1)求a 的取值范围；
(2)证明：
1
2
4
x
x
a


．
3.
已知函数
( )
ln
f x
x
x
a



有两个不同的零点
1
2
,
x x .
(1)求实数a 的取值范围；
(2)求证：
1
2
2
x
x


.
4.
已知函数

ln
1
a
f
x
x
x


，
R
a 
是常数．
（1）求曲线

y
f x

在点



2
2
f
，
处的切线方程，并证明对任意
R
a 
，切线经过定点；
（2）证明：
0
a 
时，

f
x 有两个零点
1
x 、
2
x ，且
1
2
2
x
x


．
5.
已知函数

2
2ln
x
f x
x
a


（aR 且
0
a 
）．
(1)
2
a 
，求函数

f
x 在



2
2
f,
处的切线方程．
(2)讨论函数

f
x 的单调性；
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(3)若函数

f
x 有两个零点
1
2
x
x
、


1
2
x
x

，且
2e
a 
，证明：
1
2
2e
x
x


．
6.
已知函数




2
1
ln
1
2
f
x
x
ax
a
x a




R .
(1)当
1
a 时，求函数

y
f x

的零点个数.
(2)若关于x 的方程

2
1
2
f x
ax

有两个不同实根
1
2
,
x x ，求实数a 的取值范围并证明
2
1
2
x
x
e


.
7.
设



2
1
1
ln
2
f
x
ax
a
x
x




，aR .
(1)当
2
a 
时，求

f
x 的极值；
(2)若
0
x

有

0
f
x 
恒成立，求a 的取值范围；
(3)当
0
a 
时，若



1
2
f x
f x

，求证：
1
2
1
x x .
8.
已知函数

ln (
0)
a
f
x
ax
x a
x




(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为
1
y
x

，求实数a 的值；
(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围.
(3)已知

a
g x
f x
x


有两个零点
1
x ，
2
x ，求实数a 的取值范围并证明
2
1 2
e
x x 
.
9.
已知函数



ln
f
x
x
x
a


，

f x
g x
a
ax
x



．
(1)当
1
x 
时，

ln
2
f x
x


≥
恒成立，求a 的取值范围．
(2)若
g x 的两个相异零点为
1
x ，
2
x ，求证：
2
1 2
e
x x 
．
10.
(多选题)已知函数

ex
f x
x


，
ln
g x
x
x


，则下列说法正确的是（
）
A．


ln
f
x 在

1,上是增函数
B．
1
x
，不等式




2
ln
f ax
f
x

恒成立，则正实数a 的最小值为2
e
C．若
g x
t
有两个根
1
x ，
1
x ，则
1
2
1
x x


D．若






1
2
2
f
x
g x
t t



，且
2
1
0
x
x


，则
2
1
lnt
x
x

的最大值为1
e
11.
(多选题)已知函数

2
ln
2
a
f
x
x x
x


有两个极值点
1
x ，
2
1
2
(
)
x x
x

，则（
）
A．a 的取值范围为（－∞，1）
B．
1
2
2
x
x


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C．
1
2
1
1
2
x
x


D．
2
1
1
1
x
x
a



12.
已知函数

2
e
2
2
x
a
f
x
x
ax



，aR ，其中e为自然对数的底数．
(1)若

f
x 有两个极值点，求a 的取值范围；
(2)记

f
x 有两个极值点为
1
x 、
2
x ，试证明：


1
2
1
2
2
3
x x
x
x


．
13.
已知函数

ln
f
x
a
x

，
ex
g x
b

（e 为自然对数的底数）
(1)当
e
a 
时，恰好存在一条过原点的直线与

f
x ，
g x 都相切，求b 的值；
(2)若
1
b ，方程


0
xg x
f
x
ax



有两个根
1
2
x
x
，
，（
1
2
0
x
x


），求证：


1
2
2
1
2
e
x
x
x
x




．
14.
已知函数



1
ln
,
0
f x
x
a x
a



.
(1)讨论

f
x 的单调性；
(2)若
1
0, 2
x






时，都有1
f x ，求实数a 的取值范围；
(3)若有不相等的两个正实数
1
2
,
x x 满足
2
2
1
1
1 ln
1 ln
x
x
x
x



，求证：
1
2
1
2
e
x
x
x x


.
15.
已知函数

e
ln
x
f
x
x
a
x
a



，其中
0
a 
．
(1)若
2e
a 
，求

f
x 的极值：
(2)令函数

g x
f
x
ax
a



，若存在
1
x ，
2
x 使得



1
2
g x
g x

，证明：
1
2
1
2
e
e
2
x
x
x
x
a


．
16.
已知函数





ln
2
f x
a
x
x a
R




.
(1)讨论
( )
f x 的单调性和最值；
(2)若关于x 的方程
2
1
e
ln
(
0)
2
x
m
m
m
m
x




有两个不等的实数根
1
2
,
x x ，求证：
1
2
2
e
e
x
x
m
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