第一章 整式的乘除
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一、与幂有关的运算
类型一、同底数幂的乘法
类型二、幂的乘方与积的乘方
类型三、同底数幂的除法
二、整式的乘法
类型一、多项式乘法的及其应用
类型二、平方差公式及其应用
类型三、完全公式及其应用
类型四、配方法的应用
一、与幂有关的运算
类型一、同底数幂的乘法
1．已知
，
，
，现给出3 个数a，b，c 之间的四个关系式：①
；②
；
③
；④
．其中，正确的关系式是 （填序号）．
【答案】①②③
【分析】根据同底数幂的乘法法则即可求出a、b、c 的关系，代入各式验证即可．
【详解】解：∵
，
，
．
∴
，
，
，
∴a+2＝b+1＝c，
即b＝a+1，c＝b+1，c＝a+2，
于是有：①a+c＝a+a+2＝2a+2，2b＝2a+2，
所以a+c＝2b，因此①正确；
②a+b＝a+a+1＝2a+1，2c
3
﹣＝2a+4
3
﹣＝2a+1，
所以a+b＝2c
3
﹣，因此②正确；
③b+c＝a+1+a+2＝2a+3，因此③正确；
④b＝a+1，因此④不正确；
综上所述，正确的结论有：①②③三个，
故选：C．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法法则，得出a、b、c 的关系．
2．已知一列数：-2，4，-8，16，-32，64，-128，……，将这列数按如右图所示的规律排成一个数阵，其
中，4 在第一个拐弯处，-8 在第二个拐弯处，-32 在第三个拐弯处，-128 在第四个拐弯处，……，则第六个
拐弯处的数是 ，第一百个拐弯处的数是 ．
【答案】
【分析】设第n 个拐弯处的数为
，由已知数据可以分析得到当
时，n 为奇数，
，当
n 为偶数，
，由此进行计算即可．
2
3
a
【详解】解：设第n 个拐弯处的数为
由题意知：
，
，
，
，
观察可得：
，
，
，
∴当
且n 为奇数时，
，当n 为偶数时，
,
∴
，即第六个拐弯处的数是
．
故答案为：
∴第一百个拐弯处的数是
故答案为：
【点睛】本题考查数字的规律探索以及同底数幂相乘的计算法则，能够由已知数据得到通项公式是解题关
键．
3．如图，正方形的边长为
，将此正方形按照下面的方法进行剪贴：第一次操作，先沿正方形的对
边中点连线剪开，然后粘贴为一个长方形，其中叠合部分长为1，则此长方形的周长为 ，第二次操
作，再沿所得长方形的对边（长方形的宽）中点连线剪开，然后粘贴为一个新的长方形，其中叠合部分长
为l，……如此继续下去，第n 次操作后得到的长方形的周长为 ．
【答案】
【分析】先求出长方形的长与宽，再根据长方形的周长公式即可得；然后利用同样的方法求出第二次、第
三次操作后得到的长方形的周长，归纳类推出一般规律即可得．
【详解】解：第一次操作后得到的长方形的宽为
，长为
，
则第一次得到的长方形的周长为
，
第二次操作后得到的长方形的宽为
，长为
，
第三次操作后得到的长方形的宽为
，长为
，
归纳类推得：第
次操作后得到的长方形的宽为
，
观察发现，第一次操作后得到的长方形的长为
，
第二次操作后得到的长方形的长为
，
第三次操作后得到的长方形的长为
，
归纳类推得：第
次操作后得到的长方形的长为
，
则第
次操作后得到的长方形的周长为
，
故答案为：
，
．
【点睛】本题考查了图形规律探索、同底数幂的乘法，正确归纳类推出长与宽的一般规律是解题关键．
4．为了求1+2+22+23+…+22014的值，可令S=1+2+22+23+…+22014，则2S=2+22+23+24+…+22015，因此2S﹣
S=22015
1
﹣，所以1+2+22+23+…+22014=22015
1
﹣，仿照以上推理，计算1+5+52+53+…+52018= ．
【答案】
【分析】根据题目所给计算方法，令S=1+5+52+53+…+52012，再两边同时乘以5，求出5S，用5S
S
﹣，求出
4S 的值，进而求出S 的值．
【详解】解：令S=1+5+52+53+…+52018，
则5S=5+52+53+…+52018+52019，
5S
S=
1+5
﹣
﹣
2019，
4S=52019
1
﹣，
则S=
．
故答案为
．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，利用错位相减法，消掉相关值，是解题的关键．
5．现有若干张卡片，分别写有1，
，4，
，16，
，……，小明从中取出三张卡片，要满足三张卡
片上的数字乘积为
，其中三数之和的最大值记为A，最小值记为B，则
的值等于 ．
【答案】
【分析】由题意知，卡片数字为
，
，
，
，
，
，……，则使三数之和最大
的三个数为
，
，
，即
，使三数之和最小的三个数为
，
，
，即
，然后代入计算求解即可．
【详解】解：由题意知，卡片数字为
，
，
，
，
，
，……
∵三张卡片上的数字乘积为
，
∴使三数之和最大的三个数为
，
，
，
∴
，
∴使三数之和最小的三个数为
，
，
，
∴
，
∴
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，有理数的加减运算．解题的关键在于确定使三数之和最大的三个数
于使三数之和最小的三个数．
6．（1）已知：
则
的值是_____
（2）如果记
那么
_____
（3）若
则x=_____
（4）若
则
_____
【答案】（1）2001
（2）
（3）
（4）﹣120
【分析】（1）根据题意，得到
；再将原式进行变形即可得出答案
（2）先设原式等于m，利用2m－m 求出原式的值，最后将a 代入即可
（3）根据幂的乘方运算公式对原式进行变形，然后进而的出答案
（4）采用赋值法进行计算
【详解】（1）由题意得：
；
∴
=
=
=
=
=
=2001
（2）设
，则
；
∴
，即
∴原式=
（3）
=
∙
=
=192
∴
∴
∴
（4）当x=1 时，1=
……①
当x=
1
﹣时，
=
……②
当x=0 时，1=
①＋②=
=
即
=
∴
=
＋1=
120
﹣
【点睛】本题主要考查了代数式的变形求值，掌握各类代数式求值的特点是解题关键
7．阅读下面的文字,回答后面的问题：
求
的值.
解：令
将等式两边同时乘以5 得到:
②-①得:
∴
即
问题:(1)求
的值；
(2)求
的值.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据已知材料的方法解答即可（2）先把式子化简成与题干中的式子一致的形式再解答.
【详解】解：（1）令
将等式两边同时乘以2 得到:
②-①得:
∴即
（2）
令
将等式两边同时乘以3 得到:
②-①得:
【点睛】此题重点考查学生对同底数幂的乘法的应用，能根据材料正确找到做题方法是解题关键.
8．阅读下列材料：小明为了计算
的值，采用以下方法：
设
①
则
②
②
①得，
．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）
______；
（2）求
______；
（3）求
的和；（请写出计算过程）
（4）求
的和（其中
且
）．（请写出计算过程）
【答案】（1）221−2；（2）2-
；（3）
；（4）
+
【分析】（1）根据阅读材料可得：设s＝
①，则2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②−①即可得
结果；
（2）设s＝
①，
s＝
②，②−①即可得结果；
（3）设s＝
①，-2s＝
②，②−①即可得结果；
（4）设s＝
①，as＝
②，②−①得as-s=-a-
，同理：求得-
，进而即可求解．
【详解】解：根据阅读材料可知：
（1）设s＝
①，
2s＝22＋23＋…＋220＋221②，
②−①得，2s−s＝s＝221−2；
故答案为：221−2；
（2）设s＝
①，
s＝
②，
②−①得，
s−s＝-
s＝
-1，
∴s＝2-
，
故答案为：2-
；
（3）设s＝
①
-2s＝
②
②−①得，-2s−s＝-3s＝(−2)101
+2
∴s＝
；
（4）设s＝
①，
as＝
②，
②-①得：as-s=-a-
，
设m=-a-
③，
am=-
④，
④-③得：am-m=a-
，
∴m=
，
∴as-s=
+
，
∴s=
+
．
【点睛】本题考查了规律型实数的运算，解决本题的关键是理解阅读材料进行计算．
−
9．在某多媒体电子杂志的一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边
长为a，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为
的小正方形，如此连续作几次，便可构成一朵绚丽多
彩的雪花图案（如图（3））．下列步骤：
（1）作一个正方形，设边长为a（如图（1）），此正方形的面积为 ；
（2）对正方形进行第1 次分形：将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为
的小正方形，得到图（2），
此图形的周长为 ；
（3）重复上述的作法，图（1）经过第 次分形后得到图（3）的图形；
（4）观察探究：上述分形过程中，经过n 次分形得到的图形周长是 ，面积是 ．
【答案】
2
【分析】（1）根据正方形的面积公式即可求解；
（2）观察图形，发现对正方形每进行1 次变化，周长增加1 倍，故可求解；
（3）根据正方形雪花图案的形成过程，观察图形，可知对正方形每进行1 次分形，周长增加1 倍，由图
（3）的图形，得出图（1）经过第2 次分形后即可得到；
（4）观察图形，发现对正方形每进行1 次分形，周长增加1 倍；每增加一个小正方形同时又减少一个相同
的小正方形，即面积不变．
【详解】（1）作一个正方形，设边长为a（如图（1）），此正方形的面积为
；
（2）对正方形进行第1 次分形：将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为
的小正方形，得到图（2），
原图形的周长为4a，
观察图形，发现对正方形每进行1 次变化，周长增加1 倍，故此时图形的周长为
；
（3）重复上述的作法，图（1）经过第2 次分形后得到图（3）的图形；
（4）观察探究：上述分形过程中，对正方形每进行1 次分形，周长增加1 倍；每增加一个小正方形同时又
减少一个相同的小正方形，即面积不变．
∴经过n 次分形得到的图形周长是4a×2n=
，面积是
．
故答案为
；
；2；
；
．
【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，主要培养学生的观察能力和概括能力，观察出后一个图形的
周长比它的前一个增加1 倍是解题的关键，本题有一定难度．
类型二、幂的乘方与积的乘方
10．已知整数
满足
且
，则
的值为 ．
【答案】2
【分析】根据3 不是10000 的公约数，可得b=0，由
和
即可得到a，b，c，d 的值，故可
求解．
【详解】∵
，3 不是10000 的公约数，
∴
则b=0
∴
∵整数
满足
∴
符合题意
∴a=-2，b=0，c=3，d=4
∴
=-8+0+6+4=2
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则及特点．
11．已知6x=192，32y=192，则（-2019）（x-1）（y-1）-1= .
【答案】1
【分析】由6x=192，32y=192，推出6x=192=32×6，32y=192=32×6，推出6x-1=32，32y-1=6，可得（6x-1）
y-1=32y-1=6，推出（x-1）（y-1）=1，最后计算即可解答．
【详解】解：∵6x=192，32y=192，
∴6x=192=32×6，32y=192=32×6，
∴6x-1=32，32y-1=6，
∴（6x-1）
y-1=32y-1=6，
∴（x-1）（y-1）=1，
∴（-2019）（x-1）（y-1）-1=（-2019）
0 =1，
故答案为1.
【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是灵活运用知识解决问题.
12．如果10b=n，那么b 为n 的“劳格数”，记为b=d（n）．由定义可知：10b=n 与b=d（n）表示b、n 两
个量之间的同一关系．
(1)根据“劳格数”的定义，填空：d（10）=____ ，d（10-2）=______；
(2)“劳格数”有如下运算性质：
若m、n 为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（
）=d（m）-d（n）；根据运算性质，填空：
=________．（a 为正数）
(3)若d（2）=0.3010，分别计算d（4）；d（5）．
【答案】(1)1，﹣2
(2)3
(3)0.6020，0.699．
【分析】（1）由“劳格数”的定义运算转化为同底数幂解答即可；
（2）根据幂的乘方公式转化求解即可；
（3）根据积的乘方公式、幂的乘方转化求解即可.
【详解】（1）解：∵10b＝10，
∴b＝1，
∴d（10）＝1；
10b＝10
2
﹣，∴b＝﹣2，
∴d（10
2
﹣）＝﹣2；
故答案为1，﹣2；
（2）解：∵d（mn）=d（m）+d（n），d（
）=d（m）-d（n）
∴
故答案为3；
（3）解：∵d（2）＝0.3010，
∴d（4）＝2d（2）＝0.6020，
d（5）＝d（
）＝d（10）﹣d（2）＝1
0.3010
﹣
＝0.699．
【点睛】本题考查新定义，有理数的运算；理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积
的乘方运算是解题的关键.
13．如果
，那么我们规定
．例如：因为
，所以
．
(1)
______ ；若
，则
______ ；
(2)已知
，
，
，若
，求
的值；
(3)若
，
，令
．
①求
的值；
②求的值．
【答案】(1)4，64
(2)
(3)①
；②
【分析】（1）由
，可直接得出
；由
，可得出
；
（2）由题意可得出
，
，
．根据
，得出
，即
，进而即可求出
；
（3）①由题意可得出
，
，再根据
，
，即可
求出
；②根据
，即得出
，结合题意可得出
．由①知
，
即得出
，进而得出
，即说明
，代入
中求值即可．
【详解】（1）解：
，
；
，且
，
．
故答案为：
，
；
（2）解：
，
，
，若
，
，
，
．
，
，即
，
；
（3）解：①
，
，
，
，
，
，
；
②
，
，
．
由①知：
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查有理数的乘方，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关
键．
14．阅读下列材料,并解决下面的问题:
我们知道,加减运算是互逆运算,乘除运算也是互逆运算,其实乘方运算也有逆运算,如我们规定式子
可
以变形为
也可以变形为
.在式子
中,3 叫做以2 为底8 的对数,记为
一
般地,若
则
叫做以
为底
的对数,记为
且具有性质:
其中
且
根据上面的规定,请解决下面问题:
(1)计算:
_______(请直接写出结果)；
(2)已知
请你用含
的代数式来表示
其中
(请写出必要的过程).
【答案】（1）0;2（2）
【分析】（1）根据材料给出的运算法则计算即可（2）先变形
再带入
即可
【详解】解：（1）
（2）已知
所以
【点睛】此题考查幂的乘方和积的乘方的应用以及学生分析理解的能力，正确理解题意是解题的关键.
15．找规律：观察算式
13＝1
13+23＝9
13+23+33＝36
13+23+33+43＝100
…
（1）按规律填空）
13+23+33+43+…+103＝ ；
13+23+33+43+…+n3＝ ．
（2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程）
（3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程）
【答案】（1）
；
；（2）1622600；（3）
【分析】（1）观察等式右边都是平方数，且底数正好是等式左边各底数的和，依此规律类推可分别解决
以上两个问题；
（2）由于上面的等式都是从底数是1 开始的，所以可以把该式子前面的部分从1 开始补上，再把补上的部
分减掉即可；
（3）该式中的底数并不是题干中所给出的从1 开始的连续整数，因此不能直接用上述规律解题，但该式中
的底数却都是从1 开始的连续整数的2 倍，因此提出2 后，各项都含有
，逆用乘法分配律即可解决问题．
【详解】解：（1）13+23+33+43+…+103＝（1+2+3+4+…+10）
2＝
；
13+23+33+43+…+n3＝（1+2+3+4+…+n）
2＝
；
（2）113+123+133+143+…+503＝（13+23+33+43+…+503）-（13+23+33+43+…+103）
＝
＝1622600；
（3）23+43+63+…+983+1003＝（2×1）
3+（2×2）
3+（2×3）
2+（2×4）
3+…+（2×50）
3＝23×（13+23+33+43+…
+503）
＝23×
＝
．
【点睛】本题属于数式规律题，考查了学生对数的观察和分析的能力，首先学生应对平方数有一定的认识
和感知力，这样才能迈出解决问题的第一步，其次学生要学会对不同的数进行关联，通过它们的和差积商
中的一种或多种组合找到它们的联系，才能得出这道题的规律，建议在学习过程中多积累相关经验，发散
思维，提高解决该类问题的效率．
类型三、同底数幂的除法
16．设m，n 是正整数，且
，若
与
的末两位数字相同，则
的最小值为（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】B
【分析】由题意可知
是100 的倍数，从而分析得到
的末尾数字是01，设
（t 为正整数），由
，分析判断即可得到正确答案．
【详解】解：由题意知，
是100 的倍数
∵
与100 互质
∴
是100 的倍数
∴
的末尾数字是01
∴
的数值一定是偶数，且m，n 是正整数，
设：
（t 为正整数）
则：
∵
的末尾两位数字为61，
的末尾两位数字为41，
的末尾两位数字为21，
末尾两位数字为01
∴t 的最小值为5，
∴
的最小值为10
故答案为：B
【点睛】本题考查幂的乘方，牢记相关的知识点并能灵活应用是解题的关键．
17．对于整数a、b 定义运算：
（其中m、n 为常数），如
．
(1)填空：当
，
时，
__________；
(2)若
，
，求
的值．
【答案】(1)3
(2)81
【分析】（1）根据新定义的运算方法计算即可；
（2）根据条件结合新定义的运算方法判断出
，
，可得结论．
【详解】（1）解：
，
故答案为：3；
（2）
，
，
，
，
整理得：
，
，解得：
，
．
【点睛】本题考查新定义运算和幂的运算法则，包括幂的乘方，同底数幂相乘的逆用，同底数幂相除的逆
用，实数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用幂的运算法则解决问题．
18．观察下面三行单项式：
x，
，
，
，
，
，
；①
，
，
，
，
，
，
；②
，
，
，
，
，
，
；③
根据你发现的规律，解答下列问题：
（1）第①行的第8 个单项式为_______；
（2）第②行的第9 个单项式为_______；第③行的第10 个单项式为_______；
（3）取每行的第9 个单项式，令这三个单项式的和为
当
时，求
的值．
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
．
【分析】（1）观察第①行的前四个单项式，归纳类推出一般规律即可得；
（2）分别观察第②行和第③行的前四个单项式，归纳类推出一般规律即可得；
（3）先计算整式的加减进行化简，再将x 的值代入即可得．
【详解】（1）第①行的第1 个单项式为
，
第①行的第2 个单项式为
，
第①行的第3 个单项式为
，
第①行的第4 个单项式为
，
归纳类推得：第①行的第n 个单项式为
，其中n 为正整数，
则第①行的第8 个单项式为
，
故答案为：
；
（2）第②行的第1 个单项式为
，
第②行的第2 个单项式为
，
第②行的第3 个单项式为
，
第②行的第4 个单项式为
，
归纳类推得：第②行的第n 个单项式为
，其中n 为正整数，
则第②行的第9 个单项式为
，
第③行的第1 个单项式为
，
第③行的第2 个单项式为
，
第③行的第3 个单项式为
，
第③行的第4 个单项式为
，
归纳类推得：第③行的第n 个单项式为
，其中n 为正整数，
则第③行的第10 个单项式为
，
故答案为：
，
；
（3）由题意得：
，
当
时，
，
，
，
则
，
，
．
【点睛】本题考查了单项式的规律型问题、整式的化简求值，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
19．阅读理解：
我们通常学习的数都是十进制数，使用的数码共有10 个：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，表示具体数时
采用“逢十进一”的原则，比如：
，（这里我们规定：a≠0 时，
），又如：
．而现代的计算机和依赖计算机的设备都使用二进制数，用
到的数码只有两个：0 和1，表示具体数时“逢二进一”．二进制数和十进制数可以互相转化，二进制数的
运算也和十进制数的运算类似．
①我们可以把十进制整数转化成二进制整数．比如：
，
所以103 用二进制数码表示是1100111，记为
；
②也可以把十进制分数或者小数转化为二进制小数，比如：
，所以
可以表
示成二进制小数
，记为
．
这里还可以把分子1 和分母8 都转化为二进制数，在二进制下用分了除以分母得到
的二进制小数表示：
由于
，
，所以
，而
可以类比十进制数一样做除法，只
是商和余数都只能是0 或1：
，所以=
；
③与十进制数类似，二进制也有循环小数，比如：
，由
，可知
．
问题解决：
(1)将十进制数35 化成二进制数为：（______）．二进制小数
化为十进制分数是______．
(2)将十进制分数化成二进制小数：
；
．
(3)在十进制中，循环小数都可以化为分数，比如：将
化为分数形式．
设
（A） 则
（B）．
得：
即
，于是得到
．
同样，二进中的循环小数也可以用类似的方法化为十进制分数．
请二进制循环小数
化成十进制分数，保留计算过程．
【答案】(1)
，
；
(2)
，
；
(3)
．
【分析】（1）根据十进制与二进制间的关系求解即可；
（2）根据十进制与二进制间的关系求解即可；
（3）
，进而得
，根据二进制与十进制间的关系解方程即可．
【详解】（1）解：
，
∴
，
，
故答案为：
，
；
（2）解：∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
故答案为：
，
；
（3）解：设
，则
，
∴
，
即
．
【点睛】本题主要考查了乘方，二进制与十进制间的转化，一元一次方程的应用，有理数的混合运算，熟
练掌握二进制与十进制的转化方法是解题的关键．
20．阅读下列材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1 项，记为
，依此
类推，排在第
位的数称为第
项，记为
．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母
表示
．如：数列1，3，9，27，
为等比数列，
其中
，公比为
．然后解决下列问题．
(1)等比数列3，6，12，
的公比
为 ，第4 项是 ．
(2)如果已知一个等比数列的第一项（设为
和公比（设为
，则根据定义我们可依次写出这个数列的每
一项：
，
，
，
，
．由此可得第
项
（用
和
的代数式表示）．
(3)若一等比数列的公比
，第2 项是10，求它的第1 项与第4 项．
(4)已知一等比数列的第3 项为12，第6 项为96，求这个等比数列的第10 项．
【答案】(1)2，24
(2)
(3)第1 项是5，第4 项是40
(4)1536
【分析】（1）根据第一项是3，第二项是6 求出公比为2，再根据第三项是12 求出第四项为24；
（2）发现的q 的幂指数为项数减1，第n 项
；
（3）用第二项的10 除以公比2 得第一项是5，第四项为
；
（4）设这个等比数列的第一项为
，公比为q，根据第三项为12，第六项为96 列方程组求出第一项为
3，公共比为2，再求第十项是1536．
【详解】（1）根据题意知公比
，第4 项是
，
故答案为：2，24；
（2）根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：
，
，
，
．由此可得第
项
，
故答案为：
；
（3）根据题意知， 第1 项为10÷2=5，第4 项为
；
（4）设这个等比数列的第一项为
，公比为q，
根据题意知
，
，即
，
则
，
这个等比数列的第10 项为
．
【点睛】本题考查了等比数列的概念，理解等比数列的概念，熟练运用等比数列的概念和性质进行计算是
解决本题的关键．
二、整式的乘法
类型一、多项式乘法的及其应用
21．若实数x，y，z 满足
，求
（ ）
A．5
B．10
C．15
D．20
【答案】B
【分析】令
，分别求出
，
，
，
，最后根据
分别代入化简求解即可．
【详解】解：令
，则
∵
，
∴
，整理得：
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
，
∴
，
∵
，即
∴
，
∴
，
∵
，
，
∵
∵
，
∴
，解得：
，
∴
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是用换元法，将各个式子进行改写化简．
22．关于
的多项式：
，其中
为正整数，若各项系数各不相
同且均不为0，我们称这样的多项式为“亲缘多项式”．
①
是“亲缘多项式”．
②若多项式
和
均为“亲缘多项式”，则
也是“亲缘多项式”．
③多项式
是“亲缘多项式”且
．
④关于
的多项式
，若
，
，
为正整数，则
为“亲缘多项式”．
以上说法中正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】①将
展开，进行判断即可；②合并同类项后，进行判断即可；③计算出
，进行判
断即可；④利用特殊值法进行判断即可．
【详解】解：①
，各项系数各不相同且均不为0，
是“亲缘多项式”，故①正确；
②
，并
不能确定各项系数各不相同且均不为0，
不是“亲缘多项式”，故②错误；
③
，
是“亲缘多项式”，
，
，
；故③正确；
④当
，
，
时：
，三次项和一次项的系数相同，不是“亲缘多
项式”，故④错误；
综上：正确的有2 个；
故选：B．
【点睛】本题考查整式的运算．理解并掌握“亲缘多项式”的定义是解题的关键．
23．在矩形
内将两张边长分别为
和
的正方形纸片按图1 和图2 两种方式放置（图1 和图2
中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1 中阴影
部分的面积为
，图2 中阴影部分的面积为
．当
时，
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用面积的和差分别表示出
和
，然后利用整式的混合运算计算它们的差．
【详解】解：
，
，
．
故选：
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟悉相关运算法则是解题的关键．
24．建党100 周年主题活动中，702 班浔浔设计了如图1 的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为
的正方形
四周分别放置四个边长为
的小正方形，构造了一个大正方形
，并画出阴影部分
图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作
，每一个边长为
的小正方形面积记作
，若
，则
的值是 ．
【答案】
【分析】根据图形中阴影部分均为三角形，利用三角形面积公式，找到底和高可求出
与
面积，
求
面积使用正方形面积减去三个三角形面积，可求得
，
，利用已知条件进行多项式的化简即
可得出答案．
【详解】如图所示，对需要的交点标注字母：
，
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
化简得：
，
∴
，
故答案为：
．
【点睛】题目考察阴影部分面积的实质是对多项式之间的化简求值，求出各部分阴影面积是题目难点．
25．阅读以下材料：
已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，
若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，
例如
，所以
和
与
和
都是“幸福数对”.
解决如下问题：
(1)请判断
与
是否是“幸福数对”？并说明理由：
(2)为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为
，个位数字为
，且
；另
一个数的十位数字为，个位数字为
，且
，试说明
，
，，
之间满足怎样的数量关系，并写
出证明过程；
(3)若有一个两位数，十位数字为
，个位数字为
；另一个两位数，十位数字为
，个位数字为
．若这两个数为“幸福数对”，求出这两个两位数．
【答案】(1)
与
是“幸福数对”，理由见解析
(2)
；证明见解析
(3)
和
【分析】本题考查了多项式乘以多项式和新定义“幸福数对”，根据多项式乘以多项式进行计算即可求解．
（1）根据定义即可得到答案；
（2）根据定义得：
，化简得
；
（3）根据定义列等式，化简解方程可得
的值，从而得出答案．
【详解】（1）解：∵
，
，
∴
，
∴
与
是“幸福数对”
（2）解：
理由如下，依题意，
，
，
，
，
，
∴
．
即
（3）解：由（2）可得
即
∴
解得：
，
则
，
；
，
∴这两个两位数分别为：
和
．
26．对于代数式，不同的表达形式能表现出它不同的性质，若代数式
，代数式
，改变x 的值，代数式A，B 有不同的取值，如下表：
x
0
1
2
3
4
0
3
8
15
2
4
35
0
3
8
1
5
24
观察表格发现：当
时，
，当
时，
，我们把这种现
象称为代数式B 参照代数式A 取值延后，相应的延后值为1．
(1)若代数式D 参照代数式A 取值延后，相应的延后值为2，求代数式D；
(2)若代数式
参照代数式A 的取值延后，求相应的延后值；
(3)若代数式
参照代数式
取值延后，求
的值．
【答案】(1)
；
(2)3；
(3)
．
【分析】（1）根据题意，延后值为2，即将
改为
，化简即可；
（2）设延后值为k，将延后的代数式等于
，使得各项系数相等，解方程即可；
（3）设延后值为m，使得各项系数相等，解方程即可．
【详解】（1）解：根据题意，
（2）解：设相应的延后值为k，得：
，
化简得：
，
，解得
，
当
时，
成立，
∴相应的延后值是3．
（3）解：设相应的延后值为m，得：
，
化简得：
，
，
将
代入
，可得
∴
．
【点睛】本题考查了代数式求值，多项式的系数中字母求值，理解题意，清楚的列出代数式，并进行求解
是解题的关键．
27．若整式A 只含有字母x，且A 的次数不超过3 次，令A＝ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d 为整数，在平
面直角坐标系中，我们定义：M（b+d，a+b+c+d）为整式A 的关联点，我们规定次数超过3 次的整式没有
关联点．例如，若整式A＝2x2
5
﹣x+4，则a＝0，b＝2，c＝﹣5，d＝4，故A 的关联点为（6，1）．
（1）若A＝x3+x2
2
﹣x+4，则A 的关联点坐标为 ．
（2）若整式B 是只含有字母x 的整式，整式C 是B 与（x
2
﹣）（x+2）的乘积，若整式C 的关联点为
（6，﹣3），求整式B 的表达式．
（3）若整式D＝x
3
﹣，整式E 是只含有字母x 的一次多项式，整式F 是整式D 与整式E 的平方的乘积，若
整式F 的关联点为（﹣200，0），请直接写出整式E 的表达式．
【答案】（1）（5，4）；（2）B＝3x－2；（3）
或
．
【分析】（1）根据整式得出a＝1，b＝1，c＝﹣2，d＝4，根据关联点的定义得出b+d＝5，a+b+c+d＝4，
即可得出A 的关联点坐标；
（2）根据题意得出B 中x 的次数为1 次，设B＝nx+m，计算出
，进而表达出a，
b，c，d 的值，再根据C 的关联点为（6，﹣3），列出关于b+d，a+b+c+d 的等式，解出m、n 的值即可；
（3）设
，根据题意求出
，进而表达出a，b，c，d
的值，再根据F 的关联点为（﹣200，0），列出关于b+d，a+b+c+d 的等式，解出m、n 的值即可．
【详解】解：（1）∵A＝x3+x2
2
﹣x+4，
∴a＝1，b＝1，c＝﹣2，d＝4，
∴b+d＝5，a+b+c+d＝4，
A 的关联点坐标为：（5，4），
故答案为：（5，4），
（2）∵整式B 是只含有字母x 的整式，整式C 是B 与（x
2
﹣）（x+2）的乘积，
（x
2
﹣）（x+2）＝x2－4 是二次多项式，且C 的次数不能超过3 次，
∴B 中x 的次数为1 次，
∴设B＝nx+m，
∴
，
∴a＝n，b＝m，c＝﹣4n，d＝﹣4m，
∵整式C 的关联点为（6，﹣3），
∴
，
，
解得：
，
，
∴B＝3x－2，
（3）根据题意：设
，
∴
，
∴
，
∵整式F 的关联点为（﹣200，0），
∴
，
，
，
，
∴
，
把
代入
，得
，
解得：
，
∴
，
，
∴
或
．
【点睛】本题考查了整式的乘法和规律探索，解题的关键是理解题意，灵活运用关联点的定义解决问题．
28．如图，
，点D 是线段
上的一个动点，在
右侧以
为边作正方形
；若
，
，连接
．
(1)请用含k，m 的代数式表示
；
(2)若
，梯形
的面积是三角形
面积的4 倍，求k 的值；
(3)下列三个条件：①
；②
；③
，依次为易、中、难，对应的满分值为1 分、
2 分、3 分，选择其中一个条件，求三角形
的面积（用含k 的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)当选择：①
；②
时，
的面积为
；当选择；③
时，
的
面积为
或
【分析】（1）观察图形，找出
，
和
之间的数量关系，求出答案；
（2）根据已知条件求出梯形
的面积和
的面积，然后根据梯形
的面积是三角形
面
积的4 倍，列出等式，再代入求值即可；
（3）选择条件①，根据
的面积
梯形
的面积
的面积
的面积，列出式子，进
行计算；选择条件②，先求出
，再根据条件①的思路求解；选择条件③，分两种情况、根据图形面
积间的关系求解即可．
【详解】（1）
，
，
，
；
（2）
，
，
，四边形
是正方形，
，
，
，
梯形
的面积为：
，
的面积为
，梯形
的面积是三角形
面积的4 倍，
，
整理可得
，
把
代入
得：
，
解得：
；
（3）若选择：①
，由（1）
，
，
，
解得：
，
，
，
，
，
梯形
的面积为：
，
的面积为：
，
的面积为：
，
的面积
梯形
的面积
的面积
的面积，
的面积为：
；
若选择：②
，由（1）
，
，
，
解得：
，
，
，
，
，
梯形
的面积为：
，
的面积为：
，
的面积为：
，
的面积
梯形
的面积
的面积
的面积，
的面积为：
；
若选择：③
，分两种情况讨论：
（i）点
在
的外部，由（1）
，
，
，
∵
，
∴
。
解得：
，
∴
，
，
，
，
，
梯形
的面积为：
，
的面积为：
，
的面积为：
，
的面积
梯形
的面积
的面积
的面积，
的面积为：
；
（ii）点
在
的内部，
如图所示：由（1）
，
，
，
，即
，
∴
，
，
，
，
，
的面积
，
的面积
，
的面积
，正方形
的面积
，
的面积
的面积
的面积
的面积
正方形
的面积，
的面积
，
综上可知：当选择：①
；②
时，
的面积为
；当选择；③
时，
的面积为
或
．
【点睛】本题主要考查了整式乘法的应用、一元一次方程的应用，解题关键是理解线段与线段之间数量关
系以及图形与图形之间的联系．
29．如图，长为
，宽为
的大长方形被分割为小块，除阴影A，B 两块外，其余块是形状、大小完全
相同的小长方形，其较短一边长为
．
(1)分别用含
，
的代数式表示阴影A，B 两块的周长，并计算阴影A，
两块的周长和．
(2)分别用含
，
的代数式表示阴影A，B 两块的面积，并计算阴影A，
的面积差．
(3)当
取何值时，阴影A 与阴影
的面积差不会随着
的变化而变化，并求出这个值．
【答案】(1)阴影A 的周长为：
，∴阴影
的周长为：
，则其周长和为：
；
(2)阴影A 的面积为：
，阴影
的面积为：
，阴影A，
的面积差为：
；
(3)当y=5 时，阴影A 与阴影
的面积差不会随着
的变化而变化，这个值是100．
【分析】（1）由图可知阴影A 的长为（
），宽为（
），阴影
的长为
，宽为
，从而可求解；
（2）结合（1），利用长方形的面积公式进行求解即可；
（3）根据题意，使含x 的项提公因式x，再令另一个因式的系数为，从而可求解．
【详解】（1）解：（1）由题意得：阴影A 的长为（
），宽为（
），
∴阴影A 的周长为：
∵阴影
的长为
，宽为
，
∴阴影
的周长为：
，
∴其周长和为：
；
（2）∵阴影A 的长为（
），宽为（
），
∴阴影A 的面积为：
．
∵阴影
的长为
，宽为
，
∴阴影
的面积为：
，
∴阴影A，
的面积差为：
．
（3）∵阴影A 与阴影
的面积差不会随着
的变化而变化，
阴影A，
的面积差
．
∴当
，即
时，阴影A 与阴影
的面积差不会随着
的变化而变化．
此时：阴影A，
的面积差
．
【点睛】本题主要考查列代数式，代数式求值，与某个字母无关型问题，解答的关键是根据图表示出两个
长方形的长与宽．
30．［知识回顾]
有这样一类题：
代数式
的值与x 的取值无关，求a 的值；
通常的解题方法；
把x，y 看作字母，a 看作系数合并同类项，因为代数式的值与x 的取值无关，所以含x 项的系数为0，即原
式
，所以
，即
．
［理解应用]
(1)若关于x 的多项式
的值与x 的取值无关，求m 的值；
(2)已知
的值与x 无关，求y 的值；
(3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7 张图1 中的纸片按照图2 方式不重叠地放在
大长方形ABCD 内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为
，左下角的
面积为
，当AB 的长变化时，
的值始终保持不变，求a 与b 的等量关系．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
【分析】（1）根据含
项的系数为0 建立方程，解方程即可得；
（2）先根据整式的加减求出
的值，再根据含
项的系数为0 建立方程，解方程即可得；
（3）设
，先求出
，从而可得
，再根据“当
的长变化时，
的值始终保持不
变”可知
的值与
的值无关，由此即可得．
【详解】（1）解：
，
关于
的多项式
的值与
的取值无关，
，
解得
；
（2）令
，
原式=
，
的值与
无关，
，
解得
；
（3）解：设
，
由图可知，
，
，
则
，
当
的长变化时，
的值始终保持不变，
的值与
的值无关，
，
．
【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加
减乘法的运算法则是解题关键．
31．如图，有一个边长为
的大正方形和两个边长为
的小正方形，分别将它们按照图1 和图2 的形式摆
放．
（1）用含有
的代数式分别表示阴影面积：
________，
________，
________；（不需要化
简）
（2）如图3，四边形
和
均为正方形，且点
在一条直线上，若
长为
，
长为
5，则：①求阴影部分的面积（用含
的代数式表示）；②当
时，阴影部分面积为多少？
【答案】（1）
，
，
；（2）①
，②
【分析】（1）用含a 和b 的代数式表示出两个小正方形的边长，然后根据面积公式即可得
、
；小长
方形的长为b，宽为
，根据面积公式即可得出
；
（2）阴影部分的面积等于
，代入数据即可．
【详解】解：（1）由题意得：
故答案为：
，
，
；
（2）①
．
②当
时，
．
【点睛】本题考查的知识点是列代数式，解第一问的关键是根据已知条件找出阴影部分图形的边长或长和
宽，解决第二问的关键是将不规则图形面积用常见图形的面积表示出来．
32．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1 可以得到
，请解答下列问题：
（1）写出图2 中所表示的数学等式______；
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若
，则
_____；
（3）小明同学用图3 中x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张边长分别为
的长方形纸
片拼出一个面积为
长方形图形，则
_______．
（4）如图4 所示，将两个边长分别为a 和b 的正方形拼在一起，
三点在同一直线上，连接
和
，若两正方形的边长满足
，你能求出阴影部分的面积吗？
【答案】（1）（a+b+c）
2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）155；（3）9；（4）42
【分析】（1）由大正方形等于9 个长方形面积的和；
（2）将所求式子转化为
，代入已知条件即可；
（3）将式子化简为
，即可确定
、
、的值；
（4）阴影部分的面积等于两个正方形面积减去两个直角三角形面积．
【详解】解：（1）由图可知大正方形面积为
，大正方形由9 个长方形组成，则有
；
故答案为
；
（2）由（1）可得
，
，
，
；
故答案为155；
（3）
，
，
，
，
；
故答案为9；
（4）由已知，阴影部分的面积等于两个正方形面积减去两个直角三角形面积，
即
，
，
，
．
【点睛】本题考查因式分解的应用；熟练掌握因式分解的方法，能够利用正方形与三角形面积灵活处理不
规则图形面积是解题的关键．
33．如图1，O 为数轴原点，在数轴上摆放一个长方形ABCD，使得AB、CD 的中点E、G 恰好落在数轴上，
AB＝16，BC＝EG＝6，点H 为数轴上的点，HE＝2GO，HO＝3EG．
（1）点H 所表示的数为 ；
（2）若动点M 以每秒3 个单位的速度从H 出发沿折线H→E→B→C 运动，动点N 同时以每秒2 个单位的
速度从点O 出发沿折线O→G→D 运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设两个点运动时
间为t 秒，记M、N、A 三点所形成的三角形的面积为S，试用时间t 表示S；
（3）如图2，点F 对应的数为﹣13，蚂蚁甲以每秒5 个单位的速度从点F 开始沿折线F→E→B→C 运动，
同时蚂蚁乙从点O 出发沿折线O→G→D→A 运动，乙在线段OG、DA 上的速度是每秒4 个单位，在线段
GD 上的速度则是每秒7 个单位．当一只蚂蚁到达终点时，另一只蚂蚁也随之停止运动，记运动时间为t，
是否存在某一时刻t 使得两只蚂蚁在长方形ABCD 上走过的路程恰好相等？若存在，请直接写出t 的值；若
不存在，请说明理由．
【答案】（1）-18；（2）当
时，
；当
时，
；当
时，
；当
时，
；（3）
或
．
【分析】（1）根据HO＝3EG 可得HO=18，H 点在负半轴，由此即可确定点H 坐标；
（2）根据点M、N 的运动速度确定点所在不同线段进行讨论，再分别由所构成三角形求面积即可；
（3）根据两只蚂蚁走过的路程恰好相等，设未知数列方程即可解答．
【详解】解：（1）∵HO＝3EG，EG＝6，
∴HO＝18，
∴点H 表示的数是-18；
故答案为：-18；
（2）∵HE＝2GO，
∴2GO+EG+GO=18，
又∵EG＝6，HO＝18，
∴GO=4，HE=8，
在长方形ABCD 中故，AB＝CD=16，AD=BC=EG=6，
∴
，
，
∵动点N 同时以每秒2 个单位的速度从点O 出发沿折线O→G→D 运动，
∴∴当
时，点N 在线段GO 上，
；
当
时，点N 在线段GD 上，
．
∵动点M 以每秒3 个单位的速度从H 出发沿折线H→E→B→C 运动，运动时间不超过6 秒，
∴当
时，点M 在线段HE 上，
；
当
时，点M 在线段BE 上，
；
当
时，点M 在线段BC 上，
；
I、当
时，点M、N 在数轴上，如解图1：
此时三角形面积
，
∴
，即
；
II、当
时，点M 在HE 上，点N 在DG 上，如解图2：
此时三角形面积
，
∴
，即
；
III、当
时，点M 在BE 上，点N 在DG 上，如解图3：
此时三角形面积
，
∴
，即
；
IV、当
时，点M 在BE 上，点N 在DG 上，如解图3：
此时三角形面积
，
∴
，即
；
综上所述：当
时，
；当
时，
；当
时，
；当
时，
；
（3）∵点F 对应的数为﹣13，点E 对应的数是-（6+4）=-10，
∴EF=3，
∴折线F→E→B→C 长=17，，
∵蚂蚁甲以每秒5 个单位的速度从点F 开始沿折线F→E→B→C 运动，
∴
，
∵蚂蚁乙从点O 出发沿折线O→G→D→A 运动，乙在线段OG、DA 上的速度是每秒4 个单位，在线段GD
上的速度则是每秒7 个单位．
∴蚂蚁乙从起点O 走到点G 用时1 秒，走到点D 共用时
秒，走到点A 共用时
秒，
∴当
时，蚂蚁乙在线段OG 上，此时不合题意；
当
时，蚂蚁乙在线段GD 上，依题意得：
，解得：
；
当
时，蚂蚁乙在线段DA 上，依题意得：
，解得：
经检验：
，
均符合题意；
故当
或
时，两只蚂蚁在长方形ABCD 上走过的路程恰好相等．
【点睛】本题主要考查了利用整式乘法求三角形面积和一元一次方程的应用，解题关键是用时间与速度的
关系表示线段长，根据点在折线上运动时，所处的线段不同进行讨论解答是本题的难点，要注意画图和分
析．
类型二、平方差公式及其应用
34．对于一个三位数，其十位数字等于个位数字与百位数字的差的两倍，则我们称这样的数为“倍差数”，
则最小的“倍差数”为 若一个数
能够写成
（
，
均为正整数，且
），
则我们称这样的数为“不完全平方差数”，记
．例如
，
所以
或
．若一个小于
的三位数
（其中
，
，且
，
，
均为整数）既是一个“不完全平方差数”，也是一个“倍差数”，则满足条件的
的最大值为
．
【答案】
【分析】根据新定义，可得百位数最小为1，再根据新定义确定十位数与个位数，即可得出最小的倍差数；
由三位数
小于
，
，得到
的值，根据情况讨论，可得答案．
【详解】解：依题意，最小的“倍差数”百位数最小为1，当十位为0 时，则个位为1，
∴最小的“倍差数”是
∵三位数
小于
，
，
，
，
又∵
是“倍差数”，
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
，
，
∴
或
，
∴
或
；
而
不是“不完全平方差数”，
∴
的最大值
．
故答案为：
，
．
【点睛】本题考查再新定义的情境下的整式的乘法运算，掌握平方差公式的应用，弄懂新定义的含义是解
题的关键．
35．计算：
．
【答案】
【分析】利用平方差公式将
变形为
，通过相邻的项约分化简即可求解．
【详解】解：
故答案为：
．
【点睛】本题考查利用平方差公式进行简便运算，解题的关键是将
变形为
．
36．若正整数
满足
，这样的三个整数
（如：
或
）我们称它们为一
组“完美勾股数” ．当
时，共有 组这样的“完美勾股数” ．
【答案】
【分析】由于
，
，大于等于小于
的非偶数完全平方数有
，一共个，可得共有组这样的“完美勾股数”．
【详解】解：∵
∴
，
∵
，n 为正整数，
∴
为大于等于小于
的非偶数完全平方数，
这样的数有：
，一共个，
∴共有组这样的“完美勾股数”．
故答案为：8．
【点睛】考查了勾股数，关键是熟悉“完美勾股数”的定义，得到“完美勾股数”最小的数是非偶数完全
平方数．
37．一个个位不为零的四位自然数n，如果千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，则称n
为“隐等数”，将这个“隐等数”反序排列（即千位与个位对调，百位与十位对调）得到一个新数m，记
．
(1)请任意写出一个“隐等数”n，并计算
的值．
(2)若某个“隐等数”n 的千位与十位上的数字之和为6，
为正数，且
能表示为两个连续偶数的
平方差，求满足条件的所有“隐等数”n．
【答案】(1)
；
；
(2)
或
；
【分析】（1）根据“隐等数”的定义求解即可；
（2）设“隐等数”n 的千位数、百位数分别为
，可得
，再根据
能够表示为两个
连续偶数的平方差，确定出
的值即可解答．
【详解】（1）解：设
，由“隐等数”的定义可得
为“隐等数”
则
；
（2）设“隐等数”n 的千位数、百位数分别为
由千位与十位上的数字之和为6 可得十位数为
，个位数为
则
，
，
则
∵
为正数，且
能表示为两个连续偶数的平方差
可设
（
为自然数），
∴
，即
为4 的奇数倍，
∵n 的千位和十位上的数字之和为6
∴
，
∴
∴
，即
∴
，
或
，
或
．
【点睛】此题考查了整式运算的应用，平方差公式，解题的关键是理清思路，理解题意以及熟练掌握平方
差公式．
38．阅读：在计算
的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再
到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫
做特殊到一般．如下所示：
【观察】①
；
②
；
③
；
……
(1)【归纳】由此可得：
________；
(2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：
_______；
(3)计算：
______；
(4)若
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
．
【分析】（1）利用已知得出式子变化规律，进而得出答案；
（2）利用（2）中变化规律进而得出答案；
（3）将
转化为
，再利用（2）中变化规律进而得出答案；
（4）利用（2）中变化规律得出x 的值，进而得出答案．
【详解】（1）解：①
；
②
；
③
；
……；
∴
，
故答案为：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
故答案为：
；
（4）解：∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
【点睛】此题主要考查了平方差公式以及数字变化规律，正确得出式子之间的变化规律是解题关键．
39．材料一：如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那我们称这个正整数为连续平方差数，若
，则96 是连续平方差数；
材料二：对于一个三位自然数M，去掉个位数字后成为一个两位数
，去掉百位数字后成为一个两位数
，若
为整数，则称M 是一个关于9 的对称数，若
，则
称545 是关于9 的对称数．
(1)请判断56 是否是连续平方差数，如果是请找出差为56 的连续的两个奇数；
(2)证明任何一个连续平方差数一定是8 的倍数；
(3)已知一个三位数既是连续平方差数，又是关于9 的对称数，求满足条件的所有三位数．
【答案】(1)是连续平方差数
(2)见解析
(3)424，616，656，848，920，960．
【分析】（1）根据连续平方差数的定义即可判断；
（2）设连续的两个奇数分别为
，利用平方差公式展开，即可得出结论；
（3）设这个三位数为
（
均为小于10 的自然数，且
），根据两个新定义及
（2）的结论，运用数的整除性得出满足条件的字母值，从而得到满足条件的所有三位数．
【详解】（1）解：56 是连续平方差数，理由如下：
，
故56 是连续平方差数；
（2）证明：设连续的两个奇数分别为
，
则
，
∴任何一个连续平方差数一定是8 的倍数；
（3）解：设这个三位数为
（
均为小于10 的自然数，且
），
则
是整数，且
是整数，a＞b，
∴满足条件的
有：
，此时三位数为424；
或 5，此时三位数为616 或656；
，此时三位数为848；
,此时三位数为960；
，此时三位数为920．
综上所述，满足条件的所有三位数有424，616，656，848,920，960．
【点睛】此题考查了约数与倍数，因式分解和平方差公式的内容，根据连续平方差数的特点是解题的关键．
40．根据以下10 个乘积，回答问题：
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
（1）试将以上各乘积分别写成一个平方差的形式，并写出其中一个的思考过程
（2）将以上10 个乘积按照从小到大排列起来
（3）若用
，
，
，....
，表示n 个乘积，其中
为正数，试由
（1）（2）猜测一个一般性的结论．（不要求写证明）
【答案】（1）11×29=202-92（2）见解析（3）见解析
【分析】（1）根据要求求出两数的平均数，再写成平方差的形式即可．（2）减去的数越大，乘积就越小，
据此规律填写即可．（3）根据排列的顺序可得，两数相差越大，积越小．
【详解】（1）11×29=202-92；12×28=202-82；13×27=202-72；
14×26=202-62；15×25=202-52；16×24=202-42；
17×23=202-32；18×22=202-22；19×21=202-12；
20×20=202-02
例如，11×29；假设11×29=□2-○2，
因为□
2-○2=（□+○）（□-○）；
所以，可以令□-○=11，□+○=29．
解得，□=20，○=9．故11×29=202-92．
或11×29=（20-9）（20+9）=202-92
（2）这10 个乘积按照从小到大的顺序依次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜
18×22＜19×21＜20×20
（3）①若a+b=40，a，b 是自然数，则ab≤202=400．
②若a+b=40，则ab≤202=400．
③若a+b=m，a，b 是自然数，则ab≤(
)2
④若a+b=m，则ab≤(
)2．
⑤若a，b 的和为定值，则ab 的最大值为(
)2．
⑥若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=an+bn=40．且|a1-b1|≥|a2-b2|≥|a3-b3|≥…≥|an-bn|，
则 a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn．
⑦若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=an+bn=m．且|a1-b1|≥|a2-b2|≥|a3-b3|≥…≥|an-bn|，
则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn．
⑧若a+b=m，a，b 差的绝对值越大，则它们的积就越小．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算，找出规律是解答本题的关键．
41． 数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现．
(1)填表：【数的角度】
a
b
a＋b
a－b
a2－b2
2
1
3
1
3
3
－2
1
5
(2)【形的角度】如图①，在边长为a 的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，怎样计算图
中阴影部分的面积？小明和小红分别用不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看
成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为 ；小红的方法：若沿图①中的虚线
将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为 ．
(3)【发现规律】猜想：a＋b、 a－b 、a2－b2这三个代数式之间的等量关系是 ．
(4)【运用规律】运用上述规律计算：502－492＋482－472＋462－452…＋22－1．
【答案】(1)5，
(2)
(3)
(4)1275
【分析】(1)a=3，b=-2 时，
;
时，a-b=
．
(2)小空1 大正方形面积为a2，小正方形的面积为b2，作差即可．
小空2 把长方形的长和宽分别用含有a、b 的代数式表示出来，再按照长方形面积公式计算即可．
(3)根据第(2)小题发现的规律写出等量关系即可．
(4)每两个数为一组按照根据第（3）小题写出的规律进行变形，问题即可解决．
【详解】（1）
a
b
a＋b
a－b
a2－b2
2
1
3
1
3
3
－2
1
5
5
（2）小明的方法:大正方形面积为a2，小正方形的面积为b2，，
∴阴影部分的面积为a2-b2；
小红的方法：长方形的长为a+b，宽为a-b，
∴阴影部分的面积为(a+b)(a-b)．
故答案为：
（3）a＋b、 a－b 、a2－b2这三个代数式之间的等量关系是
．
（4）502－492＋482－472＋462－452…＋22－1
=(502－492)＋(482－472)＋(462－452 )…＋(22－1)
=(50+49) ×(50-49)+(48+47) ×（48-47）+(46+45) ×(46-45) …+(2+1) ×(2-1)
=50+49+48+47+46+45+…+2+1
=
=1275
【点睛】本题是一道综合性题目，通过代数计算填表和面积法两种方式发现规律：平方差公式．然后再运
用规律进行计算，提高了学生应用数学的能力，解题的关键是发现规律．
42．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式．例如由图1 可
以得到
．请回答下列问题：
（1）写出图2 中所表示的数学等式是 ；
（2）如图3，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现
什么?(用含有
，
的式子表示) ；
（3）通过上述的等量关系，我们可知: 当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小，则积越 （填
“ 大”“或“小”）；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小，则和越 （填“ 大”或
“小”）．
【答案】（1）
；（2）
；
（3）大 小
【分析】（1）图2 面积有两种求法，可以由长为2a+b，宽为a+2b 的矩形面积求出，也可以由两个边长为
a 与边长为b 的两正方形，及4 个长为a，宽为b 的矩形面积之和求出，表示即可；
（2）阴影部分的面积可以由边长为x+y 的大正方形的面积减去边长为x-y 的小正方形面积求出，也可以由
4 个长为x，宽为y 的矩形面积之和求出，表示出即可；
（3）两正数和一定，则和的平方一定，根据等式
，得到被减数一定，差的绝对值越
小，即为减数越小，得到差越大，即积越大；当两正数积一定时，即差一定，差的绝对值越小，得到减数
越小，可得出被减数越小；
【详解】（1）看图可知，
（2）
（3）当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小则积越大；当两个正数的积一定时，它们的差的绝
对值越小则和越小.
【点睛】本题考点：整式的混合运算，此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．
43．已知，如图1，我们在2018 年某月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右
两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”)该十字星的十字差为
，再选择其它位置的十字星，可以发现“十字差”仍为48．
（1）如图2，将正整数依次填入5 列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应
的“十字差”也是一个定值，则这个定值为 ．
（2）若将正整数依次填入6 列的长方形数表中，不同位置十字星的“十字差”是一个定值吗?如果是，请
求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（3）若将正整数依次填入k 列的长方形数表中(k≥3)，继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列
数
有关的定值，请用
表示出这个定值，并证明你的结论．
【答案】（1）24；（2）是，这个定值是35，理由见解析；（3）定值为
，证明见解析.
【分析】（1）根据题意求出相应的“十字差”，即可确定出所求定值；
（2）设十字星中心的数为x，则十字星左右两数分别为x-1，x+1，上下两数分别为x-6，x+6，进而表示出
十字差，化简即可得证；
（3）设十字星中心的数为y，表示出十字星左右两数，上下两数，进而表示出十字差，化简即可得证．
【详解】解：（1）根据题意得：
，
故答案为：24；
（2）是，这个定值是35．理由如下：
设十字星中心的数为
，则十字星左右两数分别为
，
，上下两数分别为
，
，
十字差为：
．
故不同位置十字星的“十字差”是一个定值，这个定值为35；
(3)定值为
，证明如下：
设设十字星中心的数为y，则十字星左右两数分别为
，
，上下两数分别为
，
，
十字差为：
，
故这个定值为
．
【点睛】此题考查了整式运算的实际应用，正确理解题意以及熟练掌握运算法则是解本题的关键．
类型三、完全公式及其应用
44．已知多项式
，多项式
．
①若多项式
是完全平方式，则
或
②
③若
，
，则
④若
，则
⑤代数式
的最小值为2022
以上结论正确的个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】①利用完全平方公式的形式求解；
②利用整式的加减运算和配方法求解；
③利用完全平方和和完全平方差公式求解；
④利用完全平方和和完全平方差公式求解；
⑤利用完全平方公式和配方法求解．
【详解】解：①
多项式
是完全平方式，
，故结论正确；
②
，
而
，
，故结论正确；
③
，
，
，
，
根据②
故结论错误；
④
，
；故结论正确；
⑤
，
，
，
当
，
时有最小值为2022，
但是根据②
，
结论错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式和配方法的应用，同时也利用非负数的性质求最值，题目比较难．
45．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形
化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义
来解决问题．
定义：若一个整数能表示成
（a，b 为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5 是“完美数”，理由：因为
，所以5 是“完美数”．
解决问题：
(1)已知29 是“完美数”，请将它写成
（a，b 为整数）的形式：______；
(2)若
可配方成
（m，n 为常数），则
______；
(3)探究问题：已知
，求
的值．
(4)已知
（x，y 是整数，k 是常数），要使S 为“完美数”，试求出k 的值．
【答案】(1)
(2)2
(3)-1
(4)
【分析】（1）根据“完美数”的定义判断即可；
（2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；
（3）配方后根据非负数的性质可得x 和y 的值，进行计算即可；
（4）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义即可求解．
【详解】（1）解：∵29 是“完美数”，
∴29=52+22；
（2）解：∵x2-4x+5
=（x2-4x+4）+1
=（x-2）
2+1，
又∵x2-4x+5=（x-m）
2+n，
∴m=2，n=1，
∴mn=2×1=2．
故答案为：2；
（3）解：x2+y2-2x+4y+5=0，
x2-2x+1+（y2+4y+4）=0，
（x-1）
2+（y+2）
2=0，
∴x-1=0，y+2=0，
解得x=1，y=-2，
∴x+y=1+（-2）=-1；
（4）解：当k=13 时，S 是“完美数”，
理由如下：S=x2+4y2+4x-12y+13
=x2+4x+4+4y2-12y+9
=（x+2）
2+（2y-3）
2，
∵x，y 是整数，
∴x+2，2y-3 也是整数，
∴S 是一个“完美数”．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
46．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
例如，由图1 可以得到：
(1)由图2 可以得到：_____
(2)利用图2 所得的等式解答下列问题：
①若实数a，b，c 满足
，
，求
的值；
②若实数x，y，z 满足
，
，求
的值．
【答案】(1)
(2)①
；②
【分析】（1）本题考查了完全平方公式的几何背景，通过不同的方法计算图2 中几何图形的面积，即通过
大正方形面积等于六个小正方形面积之和建立等式，即可解题．
（2）本题考查幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法和除法运算，以及因式分解的运用，先将
用幂的形式表示出来，再结合（1）的方法即可求解．
【详解】（1）解：由图知，
．
（2）解：①由图2 得
，
∵
，
，
，
，
∴
．
②∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
又
，
2
4
8
4
x
y
z
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
a
b
c
ab
bc
ac
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
a
b
c
ab
bc
ac
11
a
b
c
38
ab
bc
ac
2
2
11
121
a
b
c
2
2
2
38 2
76
ab
bc
ac
2
2
2
2
2
121 76
45
a
b
c
a
b
c
ab
bc
ac
2
4
8
4
x
y
z
2
3
2
2
2
2
2
x
y
z
2
3
2
2
2
x
y
z
2
3
2
x
y
z
2
2
2
2
(
2
3 )
4
9
2 2
3
6
x
y
z
x
y
z
xy
xz
yz
2
2
2
4
9
44
x
y
z
∴
，
∴
．
47．现有如图1 的8 张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是
、
、．用其中4 张纸片拼成如
图2 的大正方形（空白部分是边长分别为
和
的正方形）；用另外4 张纸片拼成如图3 的大正方形（中
间的空白部分是边长为的正方形）．
(1)观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2 和图3 的大正方形的面积都可以表示
为
，结论①；
图2 中的大正方形的面积又可以用含字母
、
的代数式表示为：______，结论②
图3 中的大正方形的面积又可以用含字母
、
、的代数式表示为：______，结论③．
(2)思考：
结合结论①和结论②，可以得到个等式______
结合结论②和结论③，可以得到个等式______
(3)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作
、
、
，
且．
，求
的值．
(4)延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），直角边
，斜边
，
求图中阴影部分面积和．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)6
2
2
44
2 2
3
6
xy
xz
yz
2
3
6
20
xy
xz
yz
a
b
c
a
b
c
2
(
)
a
b
a
b
a
b
c
1S
2
S
3
S
1
2
3
20
S
S
S
2
S
3,
4
a
b
5
c
2
2
2
2
,
2
a
b
ab c
ab
2
2
2
2
2
2
2
,
a
b
a
b
ab a
b
c
2
10
S
【分析】（1）图2 的大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上两个正方形的面积，图3 的大正方形
的面积等于四个直角三角形的面积加上中间空白正方形的面积；
（2）根据两种方法表示的大正方形的面积相等整理即可得解；
（3）根据结论②求出
，然后进行计算即可得解；
（4）根据结论③求出阴影部分的面积等于直角三角形的面积，然后列式计算即可得解．
【详解】（1）解：图2 大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上两个正方形的面积，
∴图2 面积为：
；
图3 大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间空白正方形的面积，
∴图3 面积可表示为：
；
故答案为：
；
（2）解：结合结论①和结论②，可以得到一个等式：
；
结合结论②和结论③，可以得到一个等式：
，即
．
故答案为：
．
（3）解：
，
，
，
，
，
解得
；
（4）解：由（3）可知：
，
∴阴影部分面积和为：
，
，
1
3
2
S
S
S
2
2
2
2
1
4
2
2
a
b
ab
a
b
ab
2
2
1
4
2
2
c
ab
c
ab
2
2
2
2
,
2
a
b
ab c
ab
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
2
2
2
a
b
c
ab
2
2
2
a
b
c
2
2
2
2
2
2
2
,
a
b
a
b
ab a
b
c
2
2
2
2
2
2
2
1
3
1
,
,
2
8
2
8
8
1
2
2
1
2
2
S
a
S
S
b
b
c
c
a
2
2
2
a
b
c
2
2
2
2
2
1
3
2
8
8
8
8
a
b
b
a
c
S
S
S
1
2
3
20
S
S
S
2
2
20
S
2
10
S
1
3
2
S
S
S
1
3
2
1
1
2
2
S
S
ab
S
ab
3,
4
a
b
∴阴影部分面积和为：1
2 ×3×4 =6．
【点睛】本题考查了列代数式，整式的运算的运用，完全平方公式的几何背景，读懂题目材料的信息并用
两种方法准确表示出同一个图形的面积是解题的关键．
48．结合图形我们可以通过两种不同的方法计算面积，从而可以得到一个数学等式．
(1)如图1，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______；
(2)我们可以利用（1）中的关系进行求值，例如，若x 满足
，可设
，
，则
，
．则
______．
(3)若x 满足
，则
的值为______；
(4)小玲想利用图2 中x 张A 纸片，y 张B 纸片，z 张C 纸片拼出一个面积为
的大长方形，则
______；
(5)如图3，已知正方形
的边长为x，E，F 分别是
、
上的点，且
，
，长方形
的面积是24，分别以
、
为边作正方形，求阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）方法一是直接将两个正方形的面积相加，方法二是用大的正方形面积减去两个长方形的面
积，即可得到等式；
（2）根据（1）中得到的关系式直接代入即可得到结果；
（3）根据（2）中的方法可得到结果；
2
5
1
x
x
2
x
a
5
x
b
1
ab
3
a
b
2
2
a
b
10
5
3
x
x
2
2
10
5
x
x
3a
b
a
b
x
y
z
ABCD
AD
DC
1
AE
3
CF
EMFD
MF
DF
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
7
19
8
20
（4）根据得到的大长方形的面积展开，可以得到一个关系式，由关系式中可知道用的纸张分别是多少，
计算其和即可；
（5）先根据阴影部分构造出来等式，然后根据两次完全平方公式得到结果．
【详解】（1）解：方法一：阴影部分是两个正方形的面积和，即
；
方法二：阴影部分也可以看作边长为
的面积减去两个长为
，宽为
的长方形面积，即
，
两种方法可得出：
；
（2）解：由（1）可得
，
∵
，
，
∴
；
（3）解：设
，
，
∵x 满足
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
的值为
；
（4）解：
，
A 纸片的面积为
，B 纸片面积为
，C 纸片面积为
，
根据
可知要拼出一个面积为
的大长方形，需要3 张A 纸片，1 张B 纸片，4 张C
纸片，
则
；
（5）解：由图知
，
，
2
2
a
b
a
b
a
b
2
2
a
b
ab
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
1
ab
3
a
b
2
2
2
2
2
3
2 1
7
a
b
a
b
ab
10
x
a
5
x
b
10
5
3
x
x
3
ab
10
5
5
a
b
x
x
2
2
2
2
2
5
2 3
19
a
b
a
b
ab
2
2
10
5
x
x
19
2
2
2
2
3
3
3
3
4
a
b
a
b
a
ab
ab
b
a
ab
b
2
a
2
b
ab
2
2
3
4
a
ab
b
3a
b
a
b
3 1
4
8
x
y
z
1
ED
x
3
DF
x
∴
，
∵长方形
的面积是24，
∴
，
设
，
，
则
，
，
由
，得
，
∴
，
∴
，
即
，
∴阴影部分的面积为
．
【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用、多项式乘多项式、完全平方公式的变形适用，熟
练掌握完全平方公式以及能够用换元法解题是解题的关键．
49．数学活动课上，老师准备了图1 中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2 所示的正方形．
(1)请用两种不同的方法表示图2 中阴影部分的面积和．
方法1：___________；
方法2：___________．
(2)请你直接写出三个代数式：
，
，
之间的等量关系．
根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
(3)已知
，
，求
___________．
(4)已知
，求
的值．
2
2
1
3
S
x
x
阴影
EMFD
1
3
24
x
x
1
x
a
3
x
b
2
a
b
24
ab
2
2
4
a
b
a
b
ab
2
2
2
4 24
100
a
b
10
a
b
2
2
10 2
20
a
b
a
b
a
b
2
2
1
3
20
x
x
20
2
a
b
2
2
a
b
ab
5
m
n
2
2
20
m
n
2
m
n
2
2
2021
2023
34
x
x
2
2022
x
【答案】(1)
，
(2)
(3)
(4)16
【分析】（1）利用阴影部分直接求和和总面积减去空白部分面积两种方法列出正确结果；
（2）由图2 中阴影部分的面积表示可得：
；
（3）由
可得
，故
，
，即可得出结果；
（4）设
，
，可得
，从而利用
及
的值
可求得此题结果．
【详解】（1）解：阴影两部分求和为
，用总面积减去空白部分面积为
，
故答案为：
，
；
（2）解：由题意得，
；
（3）解：由（2）题结论
可得
，
，
时，
，
2
2
a
b
2
(
)
2
a
b
ab
2
2
2
(
)
2
a
b
a
b
ab
2
(
)
15
m
n
2
2
2
(
)
2
a
b
a
b
ab
2
2
2
(
)
2
a
b
a
b
ab
2
2
2
(
)
(
)
2
a
b
a
b
ab
2
2
2
(
)
(
)
2
m
n
m
n
mn
2
2
2
(
)
2
m
n
m
mn
n
2021
a
x
2023
b
x
2
2
2
2
(
)
2
[2(
2022)]
a
b
a
ab
b
x
2
2
a
b
ab
2
2
a
b
2
(
)
2
a
b
ab
2
2
a
b
2
(
)
2
a
b
ab
2
2
2
(
)
2
a
b
a
b
ab
2
2
2
(
)
2
a
b
a
b
ab
2
2
2
(
)
(
)
2
a
b
a
b
ab
5
m
n
2
2
20
m
n
2
2
2
(
)
(
)
2
m
n
m
n
mn
25
20
2
5
2
；
；
（4）解：设
，
，
可得
，
，
，
又
，
且由
，
可得
，
．
【点睛】此题考查了完全平方公式的应用能力，关键是能根据完全平方公式的几何背景准确列式，并能运
用公式解决相关问题．
50．用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面
积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积．
(1)如图1 所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法
计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______；
(2)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为
的大正方形，试用不同形
2
(
)
m
n
2
2
2
m
mn
n
5
20
2
2
20
5
15
2021
a
x
2023
b
x
2(
2022)
a
b
x
2022
2
a
b
x
2
2
2
2
2
(
2022)
(
)
2
4
a
b
a
ab
b
x
2
2
2
(
)
[(
2021)
(
2023)]
2
4
a
b
x
x
2
2
2
(
)
2
a
b
a
ab
b
2
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
(
2021)
(
2023)
[(
2021)
(
2023)]
34
4
30
ab
a
b
a
b
x
x
x
x
2
2
2
2
2
34
30
64
(
2022)
(
)
16
2
4
4
4
a
b
a
ab
b
x
a
b
c
式表示这个大正方形的面积，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为______；
(3)利用（2）中的结论解决以下问题：已知
，
，求
的值；
(4)如图3，由两个边长分别为m，n 的正方形拼在一起，点B，C，E 在同一直线上，连接BD、BF，若
，
，请利用（1）中的结论，求图3 中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)21
(4)36
【分析】（1）根据大正方形的边长为
，而大正方形由两个边长为a，b 的正方形和两个长为b，宽
为a 的长方形组成即可得出答案；
（2）分别表示出大正方形中每一个小正方形的面积及长方形的面积，然后根据这些小正方形的面积及长
方形的面积等于大正方形的面积即可得出答案；
（3）由（2）得结论可得
，然后将
代入进行计算即可得出结论；
（4）分别求出
，
，
，再根据又
得
，然后由（1）可知：
，从而得
，再将
进行计算即可得出答案．
【详解】（1）依题意得：
；
故答案为：
．
（2）依题意得：
；
故答案为：
．
5
a
b
c
2
ab
bc
ac
2
2
2
a
b
c
12
m
n
24
mn
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
ab
ac
bc
a
b
c
a
b
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
a
b
c
ab
bc
ac
5
2
a
b
c
ab
bc
ac
，
2
1
2
BCD
S
m
△
2
CEFG
S
n
正方形
1
2
BEF
S
m
n n
=
BCD
BEF
CEFG
S
S
S
S
阴影
正方形
△
△
2
2
1
2
S
m
n
mn
阴影=
2
2
2
2
m
n
m
n
mn
2
2
2
3
m
n
mn
m
n
mn
12
24
m
n
mn
，
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
ab
bc
ac
a
b
c
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
ab
bc
ac
a
b
c
（3）由（2）可知：
，
∴
，
即：
，
又∵
∴
；
（4）
．
当
，
时，
原式
．
【点睛】此题主要考查了集合背景下的完全平方公式及其应用，理解题意，准确识图，熟练掌握完全平方
公式的结构特征是解答此题的关键．
51．【知识生成】
【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1 可以得到
，基于此，请解答下列问题：
【直接应用】（1）若
，
，求
的值；
【类比应用】（2）填空：①若
，则
；
②若
，则
；
【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板
如图2 所示放置，其中
，
，
在一
直线上，连接
，
．若
，
，求一块直角三角板的面积．
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
ab
bc
ac
a
b
c
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
a
b
c
ab
bc
ac
2
2
2
2
2
a
b
c
a
b
c
ab
bc
ac
5
2
a
b
c
ab
bc
ac
，
，
2
2
2
25
2 2
21
a
b
c
BCD
BEF
CEFG
S
S
S
S
阴影
正方形
△
△
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
m
n
m
n n
m
n
mn
n
2
2
2
1
1
3
2
2
m
n
mn
m
n
mn
12
m
n
24
mn
2
2
1
1
1
3
12
3 24
72
36
2
2
2
m
n
mn
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
3
x
y
2
2
5
x
y
xy
3
1
x
x
2
2
3
x
x
3
4
1
x
x
2
2
3
4
x
x
(
90 )
AOB
COD
A
O
D
AC
BD
16
AD
68
AOC
BOD
S
S
△
△
【答案】（1）
；（2）①7；②3；（3）30．
【分析】（1）根据完全平方公式的变形可得答案；
（2）①设
，
，则
，
，由
进行计算即可；
②设
，
，则
，
，由
进行计
算即可；
（3）设
，
，由题意可得，
，
，由
求出
的值
即可．
【详解】解：（1）
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
答：
；
（2）①设
，
，则
，
，
，
2
xy
x
m
3
x
n
1
mn
3
m
n
2
2
2
2
2
3
2
x
x
m
n
m
n
mn
3
x
a
4
x
b
3
4
1
ab
x
x
1
a
b
2
2
2
2
2
3
4
2
x
x
a
b
a
b
ab
AO
p
DO
q
16
p
q
2
2
136
p
q
2
2
2
2pq
p
q
p
q
1
2 pq
3
x
y
2
9
x
y
2
2
2
9
x
xy
y
2
2
5
x
y
9
5
2
2
xy
2
xy
x
m
3
x
n
1
mn
3
m
n
2
2
2
2
3
x
x
m
n
2
2
m
n
mn
9
2
7
故答案为：7；
②设
，
，则
，
，
，
故答案为：3；
（3）设
，
，
，
，
，
，
即
，
，
，
即
，
，
答：一块直角三角板的面积为30．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答
的前提，掌握完全平方公式的变形是正确解答的关键．
52．对于任意四个有理数
，可以组成两个有理数对
与
，我们规定：
．例如：
．
(1)若
是一个完全平方式，求常数
的值；
3
x
a
4
x
b
3
4
1
ab
x
x
1
a
b
2
2
2
2
2
3
4
2
x
x
a
b
a
b
ab
1
2
3
AO
p
DO
q
16
AD
68
AOC
BOD
S
S
△
△
16
p
q
2
2
1
1
68
2
2
p
q
16
p
q
2
2
136
p
q
2
2
2
2pq
p
q
p
q
2
16
136
60
pq
1
30
2
S
pq
直角三角板
a
b
c
d
、、、
( , )
a b
( , )
c d
2
2
,
,
a b
c d
a
d
bc
2
2
1,2
3,4
1
4
2 3
11
,
,
x kx
y
y
k
(2)若
，且
，求
的值；
(3)在（2）的条件下，将长方形
及长方形
按照如图方式放置，其中点
分别在边
上，连接
，若
，
，
，
，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)4
(3)136
【分析】（1）由题目中的规定可知
，根据完全平方公式的特征确定答案即可；
（2）根据题目中的规定求出
等号左边部分，可得
，再借助完
全平方公式，将
代入求解即可；
（3）根据三角形面积公式将阴影部分的面积表示出来，得到含
，
的整式，再代入求值即可．
【详解】（1）解：根据题意，可得
，
∵
是一个完全平方式，
∴
，
解得
；
（2）根据题意，可得
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
；
2
10
x
y
2
2
3
,2
3
3,
3
84
x
y
x
y
x
y
xy
ABCD
CEFG
E
G
、
CD
BC
、
BD
BF
DF
EG
、
、
、
2
AB
x
8
BC
x
CE
y
4
CG
y
2
2
2
,
,
x kx
y
y
x
kxy
y
2
2
3
,2
3
3,
3
84
x
y
x
y
x
y
2
2
4
84
x
y
2
10
x
y
2x
y
xy
2
2
2
2
,
,
(
)
x kx
y
y
x
y
kx y
x
kxy
y
,
,
x kx
y
y
2
kxy
xy
2
k
2
2
3
,2
3
3,
3
x
y
x
y
x
y
2
2
2
2
(3
)
(
3 )
3(2
3
)
x
y
x
y
x
y
2
2
2
2
2
2
(9
6
)
(
6
9
)
(6
9
)
x
xy
y
x
xy
y
x
y
2
2
4x
y
84
2
10
x
y
2
2
2
(2
)
4
4
100
x
y
x
xy
y
4
100
84
16
xy
4
xy
（3）由（2）可知，
，
，
∵四边形
和四边形
均为长方形，
∴
，
，
，
，
∴
，
，
∴阴影部分的面积为
．
【点睛】本题主要考查了整式混合运算、完全平方公式的应用、代数式求值等知识，熟练掌握完全平方公
式并灵活运用是解题关键．
53．【阅读材料】
“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：北师大版七年级下册教材在学习“完全平方公式”
时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式：
（如图1）．利用
“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】
根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
2
10
x
y
4
xy
ABCD
CEFG
2
CD
AB
x
8
BC
AD
x
4
CG
EF
y
CE
FG
y
2
DE
x
y
8
4
BG
x
y
BCD
BFG
DEF
CEG
S
S
S
S
S
1
1
1
1
2
2
2
2
BC CD
BG FG
EF DE
CG CE
1
1
1
1
8
2
(8
4 )
4 (2
)
4
2
2
2
2
x
x
x
y
y
y
x
y
y y
2
2
2
2
8
4
2
4
2
2
x
xy
y
xy
y
y
2
2
8
8
2
x
xy
y
2
2(2
)
16
x
y
xy
2
2 10
16 4
136
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
(1)由图2 可得等式： ；由图3 可得等式： ；
(2)利用图3 得到的结论，解决问题：若
，
，则
；
(3)如图4，若用其中x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张边长分别为a，b 的长方形纸片拼
出一个面积为
长方形（无空隙、无重叠地拼接）．
①请画出拼出后的长方形；
②
；
(4)如图4，若有3 张边长为a 的正方形纸片，4 张边长分别为a，b 的长方形纸片，5 张边长为b 的正方形纸
片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地
拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为 ．
【答案】(1)
(2)155
(3)①见解析；②9
(4)
【分析】（1）用两种不同的方法表示出大长方形的面积，以及大正方形的面积，即可得出结论；
（2）利用（1）中的结论进行求解即可；
（3）①根据
，得到大长方形是由2 张边长为a 的正
方形，2 张边长为b 的正方形，5 张边长分别为a、b 的长方形纸片拼成，画图即可；②根据①可知
的
值，代入求解即可；
（4）根据拼接成的是正方形，得到选取的纸片的面积和必须构成完全平方式，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：由图2 知，∵大长方形的面积
，
大长方形的面积
3 个小正方形的面积+3 个小长方形的面积
，
∴
；
由图3 知，∵大正方形的面积
，
大正方形的面积＝3 个正方形的面积+2 个小长方形的面积+2 个小长方形的面积+2 个小长方形的面积
15
a
b
c
35
ab
ac
bc
2
2
2
a
b
c
2
2
a
b
a
b
x
y
z
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
,
a
b
a
b
a
b
ab a
b
c
a
b
c
ab
ac
bc
2
a
b
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
5
2
a
b
a
b
a
ab
ab
b
a
ab
b
, ,
x y z
2a
b
a
b
2
2
2
2
2
3
2
3
a
a
b
ab
a
b
ab
2
2
2
2
3
a
b
a
b
a
b
ab
2
a
b
c
2
2
2
2
2
2
a
b
c
ab
ac
bc
，
∴
；
故答案为：
，
．
（2）∵由（1）知：
，
∴
，
，
把
代入，
．
故答案为：155．
（3）①∵
，
可以看成2 张边长为a 的正方形，2 张边长为b 的正方形，5 张边长分别为a、b 的长方形纸
片拼成的大长方形的面积，
如图：
②由①知：
，
∴
．
故答案为：9．
（4）3 张边长为a 的正方形纸片的面积为
，4 张边长分别为
的长方形纸片的面积为
，5 张边长为
b 的正方形纸片的面积为
，要想从中取出若干张纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则选
取的纸片的面积和必须构成完全平方式，
∴可以选取1 张边长为a 的正方形纸片、2 张边长分别为
的长方形纸片、1 张边长为b 的正方形纸片，
2
2
2
2
2
2
a
b
c
ab
ac
bc
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
a
b
c
ab
ac
bc
2
2
2
2
3
a
b
a
b
a
b
ab
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
a
b
c
ab
ac
bc
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
a
b
c
ab
ac
bc
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
a
b
c
ab
ac
bc
2
2
a
b
c
ab
ac
bc
15,
35
a
b
c
ab
ac
bc
2
2
2
2
15
2 35
225
70
155
a
b
c
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
5
2
a
b
a
b
a
ab
ab
b
a
ab
b
2
2
2
5
2
a
ab
b
2,
2,
5
x
y
z
9
x
y
z
2
3a
ab
4ab
2
5b
a
b
，
此时围成的正方形面积为
，此时正方形的边长
，
也可以选取1 张边长为a 的正方形纸片、4 张边长分别为
的长方形纸片、4 张边长为b 的正方形纸片，
此时围成的正方形面积为
，此时正方形的边长
，
∴拼成的正方形的边长最长为
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景以及多项式乘多项式与几何图形的面积．熟练掌握完全平方公
式以及多项式乘以多项式的法则，是解题的关键．
54．在整式乘法的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究代数式的变形问题．借助直观、形象的几
何图形，加深对照式乘法的认识和理解，感悟代数与几何的内在联系．如图1，现有边长分别为a，b 的正
方形Ⅰ号和Ⅱ号，以及长为a．宽为b 的长方形Ⅲ号卡片足够多，我们可以选取适量的卡片拼接成几何图
形（卡片间不重叠、无缝隙）．解答下列问题：
(1)图2 的长方形是由图1 中的卡片拼接而成，则这个几何图形表示的等式是______；
(2)若想用几何图形表示等式
，图3 给出了所拼接的几何图形的一部分，请你补
全图形；
(3)若用图1 中的卡片拼得一个面积为
的长方形，求共用了多少张卡片？
(4)设
，
，Ⅰ号、Ⅱ号和Ⅲ号每种卡片各有9 张．从其中取若干张卡片（每种卡片至少取1 张），
若把取出的这些卡片拼成一个正方形，当所拼正方形的边长最大时，请直接写出所用卡片的最少数量．
【答案】(1)
；
(2)见解析；
(3)共用了84 张卡片；
(4)16 张．
2
2
2
2
a
ab
b
a
b
a
b
ab
2
2
2
4
4
2
a
ab
b
a
b
2
a
b
2
a
b
2
a
b
2
2
2
2
3
a
b
a
b
a
ab
b
3
4
5
7
a
b
a
b
3
a
1
b
2
2
4
3
3
a
a
b
a
a
b
b
b
【分析】（1）得出图2 中长方形的长为
，宽为
，由面积公式可得答案；
（2）根据等式
，所拼成的长方形的长为
，宽为
，需要Ⅰ卡片2 张，
Ⅱ卡片1 张，Ⅲ卡片3 张，在所给定的图3 中补全即可；
（3）计算出
，再根据Ⅰ卡片，Ⅱ卡片，Ⅲ卡片的面积可得数量；
（4）根据所拼成的是边长最大的正方形，再结合三种卡片的数量，可得最大正方形的边长为
，计算
出
，即可得出需要卡片的张数．
【详解】（1）图2 是长为
，宽为
的长方形，因此面积为
，
故答案为：
；
（2）用几何图形表示等式
，即需要卡片Ⅰ2 张，卡片Ⅱ1 张，卡片Ⅲ3 张，
所以所拼成的图形如下：（不唯一）
（3）
，
所以Ⅰ号卡片用了15 张，Ⅱ号卡片用了28 张，Ⅲ号卡片用了41 张，共用了84 张卡片；
（4）根据题意可得，所拼成的正方形边长最大，即卡片Ⅰ用的要尽可能的多，每条边上最多是3 个，又由
于三种卡片均要使用，因此正方形的边上还应有卡片Ⅱ，所以边长可以为
，但边长为
时，卡片的数量不足，因此最大边长为
，
所以所拼成的最大正方形的面积为
，
即Ⅰ号卡片用9 张，Ⅱ号卡片用6 张，Ⅲ号卡片用1 张，共用16 张卡片，
答：把取出的这些卡片拼成一个正方形，当所拼正方形的边长最大时，请直接写出所用卡片的最少数量是
16 张．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的计算方法以及完全
3
a
b
a
b
2
2
2
2
3
a
b
a
b
a
ab
b
2a
b
a
b
2
2
3
4
5
7
15
41
28
a
b
a
b
a
ab
b
3a
b
2
2
2
3
9
6
a
b
a
ab
b
3
a
b
a
b
2
2
4
3
3
a
a
b
a
a
b
b
b
2
2
4
3
3
a
a
b
a
a
b
b
b
2
2
2
2
3
a
b
a
b
a
ab
b
2
2
3
4
5
7
15
41
28
a
b
a
b
a
ab
b
3
3
2 3
3
a
b a
b a
b
，
，
3
2 3
3
a
b a
b
，
3a
b
2
2
2
3
9
6
a
b
a
ab
b
平方公式的结果特征是正确解答的前提．
55．阅读理解：
若
满足
，求
的值．
解：设
，
，
则
，
．
∴
；
类比探究：
（1）若
满足
，求
的值．
（2）若
满足
，求
的值．友情提示（2）中的
可通过逆
用积的乘方公式变成
．
（3）若
满足
，求
的值．
解决问题：
（4）如图，正方形
和长方形
重叠，重叠部分是长方形
其面积是
，分别延长
、
交
和
于
、
两点，构成的四边形
和
都是正方形，四边形
是长方形设
，
，
，
，延长
至
，使
，延长
至
，使
，过点
、
作
、
垂线，两垂线交于点
，求正方形
的面积（结果是一个具体的
数值）
【答案】（1）2560；（2）31；（3）1026；（4）3636
x
60
40
20
x
x
2
2
60
40
x
x
60
x
a
40
x
b
20
ab
60
40
20
a
b
x
x
2
2
60
40
x
x
2
2
a
b
2
(
)
2
a
b
ab
2
20
2 20
360
x
70
20
30
x
x
2
2
(70
)
(
20)
x
x
x
9
3
4
2
5
2
x
x
2
2
3
4
4 2
5
x
x
2
4 2
5
x
2
2 2
5
x
x
2
2
2023
2020
2061
x
x
2023
2020
x
x
AEGO
KLMC
BEFC
300
FC
BC
AO
OG
D
H
ABCD
CFGH
ODCH
.
CM
x
3
3
KC
CM
x
54
KB
20
FM
AO
P
2
OP
OD
AE
R
2
RE
BE
P
R
AP
AR
N
ARNP
.
【分析】（1）根据例题的解题思路进行计算，即可解答；
（2）将
转化为
，即
，再根据例题的解题思路
进行计算，即可解答；
（3）根据例题的解题思路进行计算，即可解答；
（4）根据已知可得
，
，从而可得
，再根据题意得：
，
，从而可得
，进而可得
，
然后利用（3）的解题思路进行计算，即可解答．
【详解】解：（1）设
，
，
则
，
，
，
的值为2560；
（2）∵
，
，
，
设
，
，
则
，
，
9
3
4
2
5
2
x
x
3
4
2 2
5
9
x
x
3
4
4
10
9
x
x
3
54
BC
x
20
CF
x
3
54
20
300
BC CF
x
x
3
54
AB
BC
x
20
CF
BE
x
3
3
20
BR
BE
x
3
54
3
60
AR
x
x
70
x
a
20
x
b
30
ab
70
20
50
a
b
x
x
2
2
(70
)
(
20)
x
x
2
2
a
b
2
(
)
2
a
b
ab
2
50
2
30
2500
60
2560
2
2
(70
)
(
20)
x
x
9
3
4
2
5
2
x
x
3
4
2 2
5
9
x
x
3
4
4
10
9
x
x
3
4x
m
4
10
x
n
3
4
4
10
7
m
n
x
x
9
mn
2
2
(3
4 )
4(2
5)
x
x
2
2
(3
4 )
[2 2
5 ]
x
x
，
的值为
；
（3）设
，
，
则
，
，
，
，
的值为
；
（4）∵
，
，
，
，
，
，
长方形
的面积是
，
，
由题意得：
，
，
，
，
，
2
2
(3
4 )
(4
10)
x
x
2
2
m
n
2
(
)
2
m
n
mn
2
( 7)
2 9
49 18
31
2
2
(3
4 )
4(2
5)
x
x
31
2023
x
p
2020
x
q
2023
2020
3
p
q
x
x
2
2
2061
p
q
2
2
2
2
(
)
pq
p
q
p
q
2
2061 3
2061 9
2052
2023
2020
1026
x
x
pq
2023
2020
x
x
1026
CM
x
3
3
KC
CM
x
54
KB
20
FM
3
54
BC
KC
KB
x
20
CF
CM
FM
x
BEFC
300
3
54
20
300
BC CF
x
x
3
54
AB
BC
x
20
CF
BE
x
2
ER
BE
3
3
20
BR
BE
x
3
54
3
20
3
54
3
60
AR
AB
BR
x
x
x
x
，
，
，
设
，
，
则
，
，
正方形
的面积
，
正方形
的面积为3636．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，理解例题的解题思路是解题的关键．
56．知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．
例如：由图①可以得到
，基于此，请解答下列问题：
(1)直接应用：若
，
，直接写出
的值为___________；
(2)类比应用：填空：
①若
，则
___________；
②若
，则
___________；
(3)知识迁移：如图②，一农家乐准备在原有长方形用地（即长方形
）上进行装修和扩建，先用长为
120m 的装饰性篱笆围起该长方形用地，再以
，
为边分别向外扩建正方形
、正方形
的
空地，并在这两块正方形空地上建造功能性花园，该功能性花园面积和为
，求原有长方形用地
的面积．
3
54
20
300
x
x
3
54
3
20
900
x
x
3
54
3
60
900
x
x
3
54
x
a
3
60
x
b
3
54
3
60
6
a
b
x
x
900
ab
ARNP
2
AR
2
[ 3
54
3
60 ]
x
x
2
(
)
a
b
2
(
)
4
a
b
ab
2
6
4 900
36
3600
3636
ARNP
2
2
2
(
)
2
a
b
a
ab
b
5
xy
7
x
y
2
2
x
y
(4
)
2
x
x
2
2
(
4)
x
x
(
3)(
5)
2
x
x
2
2
(
3)
(
5)
x
x
ABCD
AD
CD
ADGH
DCEF
2
2000m
ABCD
【答案】(1)
(2)①
②
(3)
【分析】（1）
，即可求解；
（2）①
，即可求解；②可求
，
即可求解；
（3）设
，
，可得
，可求
，可得
，
即可求解．
【详解】（1）解：
，
，
故答案：
．
（2）解：①
，
，
，
故答案：
；
②因为
，
39
12
8
2
800m
2
2
x
y
2
2
x
y
xy
2
2
(
4)
x
x
2
2
(4
)
x
x
2
4
2
4
x
x
x
x
(
3)(5
)
2
x
x
2
2
(
3)
(
5)
x
x
2
(
3)
(5
)
(
3)(5
)
2
x
x
x
x
m
AB
x
m
BC
y
2(
)
120
x
y
2
2
2000
x
y
2
2
2
2
(
)
xy
x
y
x
y
2
2
x
y
2
2
x
y
xy
2
7
2 5
39
39
2
2
(
4)
x
x
2
2
(4
)
x
x
2
4
2
4
x
x
x
x
2
4
2 2
12
12
(
3)(
5)
2
x
x
所以
，
，
，
，
故答案：．
（3）解：设
，
，
则
，所以
；
由题意得
，
因为
，
所以
，
所以
．
所以原有长方形用地
的面积为
．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何应用，掌握
、
、
、
之间的关系是解题
的关键．
57．如图1 是一个长为
、宽为
的长方形，沿图1 中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小
长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
(
3)(5
)
2
x
x
2
2
(
3)
(
5)
x
x
2
2
(
3)
(5
)
x
x
2
(
3)
(5
)
(
3)(5
)
2
x
x
x
x
2
2
2
2
8
8
m
AB
x
m
BC
y
2(
)
120
x
y
60
x
y
2
2
2000
x
y
2
2
2
(
)
2
x
y
x
xy
y
2
2
2
2
(
)
xy
x
y
x
y
2
60
2000
1600
800
xy
ABCD
2
800m
xy
x
y
2
2
x
y
2
x
y
4a
b
(1)观察图2，请你写出
、
、
之间的等量关系是________；
(2)利用（1）中的结论，若
，
，求
的值；
(3)如图3，点C 是线段
上的一点，分别以
、
为边在
的同侧作正方形
和正方形
，
连接
、
、
，当
时，
的面积记为
，当
时，
的面积记为
，以此类
推，当
时，
的面积记为
，计算
的值．
【答案】(1)
(2)16
(3)
【分析】（1）通过观察图形可以发现，大正方形是由四个矩形与中间的小正方形组成，据此进一步分析
求解即可；
（2）根据（1）中的结论进一步代入计算即可；
（3）连接
，证明出
，再利用
的面积与△
的面积相等得出
，从而得到
据此进一步计算即可．
【详解】（1）由图1 和图2 中矩形的面积为等量得：
故答案为：
；
（2）由（1）中公式可得：
．
同理可得：
2
a
b
2
a
b
ab
5
x
y
9
4
xy
2
x
y
AB
AC
BC
AB
ACDE
CBFG
EG
BG
BE
1
BC
BEG
1S
2
BC
BEG
2
S
,
BC
n
BEG
n
S
50
49
48
47
2
1
S
S
S
S
S
S
2
2
4ab
a
b
a
b
1275
2
EC
EC
BG
∥
BEG
BGC
2
2
n
n
S
1
1
2
n
n
S
S
n
2
2
4ab
a
b
a
b
2
2
4ab
a
b
a
b
2
2
4
a
b
a
b
ab
2
2
4
x
y
x
y
xy
；
（3）连接
，
在正方形
和正方形
中，
，
，
∴
和
的边
上的高相等，
．
当
时，
，
当
时，
，
……
当
时，
，
∴
．
2
9
5
4
4
16
EC
ACDE
BCGF
45
ECD
CGB
B
EC
G
∥
BGE
△
BGC
BG
BGE
BGC
S
S
△
△
1
BC
2
1
1
1
1 1
2
2
S
2
BC
2
2
1
2
2 2
2
2
S
BC
n
2
2
n
n
S
1
1
1
1
2
2
n
n
n
n
n
n
S
S
n
n
7
49
1
50
48
4
2
...
S
S
S
S
S
S
4
49
1
50
48
7
2
...
S
S
S
S
S
S
50
49
48
47
2 1
...
2
2
2
50
49
48
47
...
2 1
2
1 50
25
2
1275
2
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，观察图形，找出相应的规律是解题关键．
58．【阅读理解】
“若x 满足
，求
的值”
解：设
，
，则
，
，所以
【解决问题】
(1)若x 满足
，求
的值．
(2)若x 满足
，求
的值．
(3)如图，正方形ABCD 的边长为x，
，
，长方形EFGD 的面积是240，四边形NGDH 和
MEDQ 都是正方形，PQDH 是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．
【答案】(1)109
(2)
(3)阴影部分的面积为964
【分析】（1）仿照举例进行解答即可；
（2）设
，
，则
，
，
，最后根
据
即可解答；
（3）正方形ABCD 的边长为x，
，
结合题意可得
，设
，
80
60
30
x
x
2
2
80
60
x
x
80
x
a
60
x
b
80
60
30
x
x
ab
80
60
20
a
b
x
x
2
2
2
2
2
2
80
60
2
20
2 30
340
x
x
a
b
a
b
ab
25
18
30
x
x
2
2
25
18
x
x
2
2
10
260
x
x
10
x
x
6
AE
8
CG
80
x
c
10
x
d
2
2
2
2
10
260
x
x
c
d
10
10
c
d
x
x
80
cd
10
x
x
cd
6
AE
8
CG
6
8
240
x
x
6
x
a
8
x
b
,
ab a
b
2
2
a
b
2
2
2
a
b
ab
，从而得到
的值，再根据举例求出
，最后求出
即可解答．
【详解】（1）解：设
，
，则
，
，
∴
；
（2）解：设
，
，则
，
，
，
，
∴
．
（3）解：∵正方形ABCD 的边长为x，
，
，
∴
，
，
∴
，
设
，
，
∴
，
，
∴
，
∴阴影部分的面积为：
．
【点睛】本题主要考查了完全平分公式的应用、阅读理解能力等知识点，熟记完全平分公式
并灵活转化是解决本题的关键．
59．我国著名数学家曾说：数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合思想是解决问题的有效途径．请
阅读材料完成：
(1)算法赏析：若x 满足
，求
的值．
解：设
则
∴
请继续完成计算．
8
x
b
,
ab a
b
2
2
a
b
2
2
2
a
b
ab
25
x
m
18
x
n
25
18
30
x
x
mn
7
m
n
2
2
2
2
2
2
30
20
2
7
2 30
109
x
x
m
n
m
n
mn
x
c
10
x
d
2
2
2
2
10
260
x
x
c
d
10
10
c
d
x
x
2
2
2
2
160
cd
c
d
c
d
80
cd
10
80
x
x
cd
6
AE
8
CG
6
DE
x
8
DG
x
6
8
240
x
x
6
x
a
8
x
b
240
ab
6
8
2
a
b
x
x
2
2
2
2
2
2
2 240
484
a
b
a
b
ab
2
2
2
484
2 240
964
a
b
ab
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
1
5
2
x
x
2
2
1
5
x
x
(1
)
,(
5)
,
x
a
x
b
1
5
2,
x
x
ab
(1
)
(
5)
4
a
b
x
x
2
2
2
2
1
5
......
x
x
a
b
(2)算法体验：若
满足
，求
的值；
(3)算法应用：如图，已知数轴上A、B、C 表示的数分别是m、10、13．以AB 为边作正方形ABDE，以AC
为边作正方形ACFG，延长ED 交FC 于P．若正方形ACFG 与正方形ABDE 面积的和为117，求长方形
AEPC 的面积
【答案】(1)过程见解析，12
(2)1260
(3)54
【分析】（1）根据完全平方公式可得a2+b2=（a+b）
2-2ab 求解即可；
（2）按（1）方法进行即可求解；
（3）正方形ACFG 的边长为13-m，面积为（13-m）
2，正方形ABDE 的边长为10-m，面积为（10-m）
2，
可得（13-m）
2+（10-m）
2=117，设13-m=p，10-m=q，则p2+q2=（13-m）
2+（10-m）
2=117，p-g=13-
m-10+m=3，利用
求解即可．
【详解】（1）解：设
则
∴
=（a+b）
2-2ab
=（-4）
2-2×2
=16-4
=12．
（2）解：设
，
则
，a+b=10，
x
30
20
580
x
x
2
2
30
20
x
x
2
2
2
(
)
(
)
2
p
q
p
q
pq
(1
)
,(
5)
,
x
a
x
b
1
5
2,
x
x
ab
(1
)
(
5)
4
a
b
x
x
2
2
1
5
x
x
2
2
a
b
(30
)
,(
20)
x
a
x
b
(30
)(
20)
580
x
x
ab
；
（3）解：正方形ACFG 的边长为13-m，面积为（13-m）
2，正方形ABDE 的边长为10-m，面积为（10-m）
2，则有（13-m）
2+（10-m）
2=117，
设13-m=p，10-m=q，则p2+q2=（13-m）
2+（10-m）
2=117，p-q=13-m-10+m=3，
所以长方形AEPC 的面积为：
．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式和数形结合思想，灵活变形完全平方公式成为解答本题的关键．
60．数形结合是一种非常重要的数学思想，它包含两个方面，第一种是“以数解形”，第二种是“以形助
数”，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微”．请你使用数形结合这种思
想解决下面问题：
图1 是一个长为2a，宽为2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分为四块完成相同的小长方形，然后按照图2
的形状拼成一个正方形．
(1)观察图2，用两种方法计算阴影部分的面积，可以得到一个等式，请使用代数式
，
，ab
写出这个等式_____________．
(2)运用你所得到的公式，计算：若m、n 为实数，且
，
，试求
的值．
(3)如图3，点C 是线段AB 上的一点，以AC、BC 为边向两边作正方形，设
，两正方形的面积和
，求图中阴影部分的面积．
2
2
2
2
30
20
x
x
a
b
2
(
)
2
100
( 1160)
1260
a
b
ab
2
2
2
(
)
(
)
117
9
54
2
2
p
q
p
q
pq
2
a
b
2
a
b
3
mn
4
m
n
2
m
n
8
AB
1
2
38
S
S
【答案】(1)
(2)4
(3)
【分析】（1）根据图2 中，各个部分面积与大正方形面积之间的关系可得答案；
（2）由（1）的结论，进行计算即可；
（3）设两个正方形的边长为
，
，得出
，
，根据完全平方公式计算出
的值即可．
【详解】（1）解：如图2，大正方形的边长为
，因此面积为
，
小正方形的边长为
，因此面积为
，
每个长方形的长为
，宽为
，因此面积为
，
由面积之间的关系可得：
，
故答案为：
（答案不唯一）；
（2）解：由（1）得
，
，
，
；
即
的值是4；
2
2
4
a
b
a
b
ab
13
2
a
b
8
a
b
2
2
38
a
b
ab
a
b
2
(
)
a
b
a
b
2
(
)
a
b
a
b
ab
2
2
(
)
(
)
4
a
b
a
b
ab
2
2
(
)
(
)
4
a
b
a
b
ab
2
2
(
)
(
)
4
m
n
m
n
mn
3
mn
4
m
n
2
2
(
)
4
4
( 3)
m
n
16
12
4
2
(
)
m
n
（3）解：设正方形
的边长为
，正方形
的边长为
，则
，
，
，两正方形的面积和
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积为
．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征以及图形中面积
之间的关系．
61．（1）如图，整个图形是边长为
的正方形，其中阴影部分是边长为
的正方形，请根据图形，
猜想
与
存在的等量关系，并证明你的猜想；
（2）根据（1）中得出的结论，解决下列问题：
甲、乙两位司机在同一加油站两次加油，两次油价有变化，两位司机采用不同的加油方式．其中，甲每次
都加40 升油，乙每次加油费都为300 元．设两次加油时，油价分别为m 元/升，n 元/升（
，
，
且
）．
①求甲、乙两次所购的油的平均单价各是多少？
②通过计算说明，甲、乙哪一个两次加油的平均油价比较低？
ACDE
a
BCFG
b
2
1S
a
2
2
S
b
8
AB
1
2
38
S
S
8
a
b
2
2
38
a
b
2
2
2
(
)
2
a
b
a
ab
b
64
38
2ab
13
ab
1
13
2
2
ab
a
b
a
b
2
a
b
2
a
b
0
m
0
n
m
n
【答案】（1）
，证明见解析；
（2）①甲两次所加油的平均单价为
；乙两次所加油的平均单价为
；②乙两次加油的平均油价
比较低
【分析】（1）根据图形，结合阴影总分的面积的表示方法的不同，即可求解；
（2）①根据平均油价=总价钱+总油量，进行求解即可；②结合①进行求解即可．
【详解】解：（1）猜想的结论为：
．
∵
．
∴
．
（2）①甲两次所加油的平均单价为
；
乙两次所加油的平均单价为
．
②∵
，∵
，
，且
．
∴
，
．∴
，即
．
所以，乙两次加油的平均油价比较低．
【点睛】本题主要考查整式的加减及完全平方公式，列代数式，理解清楚题意，找到相应的等量关系是解
答的关键．
62．【知识生成】
我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺
数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个
等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
2
2
4
a
b
ab
a
b
2
m
n
2mn
m
n
2
2
4
a
b
ab
a
b
2
2
2
2
2
2
4
2
4
2
a
b
ab
a
ab
b
ab
a
ab
b
a
b
2
2
4
a
b
ab
a
b
40
40
40
40
2
m
n
m
n
300
300
2
300
300
mn
m
n
m
n
2
2
4
2
2
2
2
m
n
mn
m
n
m
n
mn
m
n
m
n
m
n
0
m
0
n
m
n
2
0
m
n
2
0
m
n
2
0
2
m
n
m
n
2
2
m
n
mn
m
n
(1)根据图1，可以得到等式：
，从而验证了完全平方公式．这体现的数学思想是
______（填选项）：
A．分类讨论 B．转化 C．由特殊到一般 D．
数形结合
(2)根据图2，可以得到等式：______；
(3)①图3 是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为
的大正方形，用不同的方法表示这个大
正方形的面积，可以得到等式______；
②已知
，
．利用①中所得到的等式，直接写出代数式
的值为______；
(4)画出一个几何图形，使它的面积能表示
．
【知识迁移】
(5)①类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图4，是用2 个小正方体和6 个
小长方体拼成的一个棱长为
的大正方体．用不同的方法表示这个大正方体的体积，可以得到的等式为
______；
②已知
，
，利用①中所得的等式，直接写出代数式
的值为______．
(6)图5 表示的是一个边长为x 的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的
变化关系，写出一个代数恒等式：______．
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
a
b
c
9
a
b
c
26
ab
bc
ac
2
2
2
a
b
c
2
2
2
2
2
5
2
a
b
a
b
a
ab
b
a
b
5
a
b
6
ab
3
3
a
b
【答案】(1)D
(2)
(3)①
；②29
(4)见解析
(5)①
；②35
(6)
【分析】（1）体现的数学思想是数形结合；
（2）根据图形的面积的两种不同计算方法得到完全平方公式；
（3）①先用正方形的面积公式表示出面积，再用几个小正方形和小长方形的面积的和表示大正方形的面
积，由两个结果相等即可得出结论；
②利用①中的等式直接代入求得答案即可；
（4）根据长方形的长和宽即可画出图形，将
展开即可；
（5）①如图3，由图形体积的两种不同表示方法可得等式；
②由等式利用代入法即可求解；
（6）根据两个图形体积相等即可列出恒等式．
【详解】（1）解：这体现的数学思想是数形结合；
故选：D；
（2）解：由题意得阴影部分的面积
．
故答案为：
；
（3）解：①∵正方形面积为
，
小块四边形面积总和为
，
∴由面积相等可得：
；
故答案为：
；
②由①可知
，
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
a
b
c
ab
bc
ac
3
3
2
2
3
3
3
a
b
a
a b
ab
b
3
1
1
x
x
x x
x
2
2
a
b
a
b
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
2
a
b
c
2
2
2
2
2
2
a
b
c
ab
bc
ac
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
a
b
c
ab
bc
ac
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
a
b
c
ab
bc
ac
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
a
b
c
ab
bc
ac
∵
，
，
∴
，
故答案为：29；
（4）解：面积为
的长方形如图所示：
∴
；
（5）解：①用不同的方法表示这个大正方体的体积，
得到的等式为
；
②∵
，
，
∴
．
故答案为：
；35；
（6）解：左边体积
大正方体的体积
小长方体的体积
；
右边体积
长方体的体积
；
∴
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，完全平方式的几何背景，掌握完全平方公式的几个特征是正确判
9
a
b
c
26
ab
bc
ac
2
2
2
2
2
2
2
81 2 26
29
a
b
c
a
b
c
ab
bc
ac
2
2
a
b
a
b
2
2
2
2
2
5
2
a
b
a
b
a
ab
b
3
3
2
2
3
3
3
a
b
a
a b
ab
b
5
a
b
6
ab
3
3
3
2
2
3
3
a
b
a
b
a b
ab
3
3
a
b
ab a
b
125
3 6
5
125
90
35
3
3
2
2
3
3
3
a
b
a
a b
ab
b
3x
x
1
1
x x
x
3
1
1
x
x
x x
x
3
1
1
x
x
x x
x
断的前提，用代数式表示图形的面积、体积是解决问题的关键．注意应用数形结合思想．
63．【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们
通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：
（如图1）．利
用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
(1)由图2 可得等式：__________；由图3 可得等式：__________；
(2)利用图3 得到的结论，解决问题：若
，
，则
__________；
(3)如图4，若用其中
张边长为
的正方形，
张边长为
的正方形，张边长分别为
、
的长方形纸片
拼出一个面积为
长方形（无空隙、无重叠地拼接），则
______；
(4)如图4，若有3 张边长为
的正方形纸片，4 张边长分别为
的长方形纸片，5 张边长为
的正方形纸片．
从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼
接），则拼成的正方形的边长最长可以为______．
【方法拓展】
(5)已知正数
，
，和
，
，，满足
．试通过构造边长为
的正方形，利用图
形面积来说明
．
【答案】(1)（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab；（a+b+c）
2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
(2)155
(3)9
(4)a+2b；
(5)见解析
【分析】（1）大长方形的面积=长×宽，也等于3 个小正方形和3 个小长方形面积的和，两种方法求得的
大长方形的面积相等，即“等积法”得到等式．
（2）用（1）的结论变形后代入求值．
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
15
a
b
c
35
ab
ac
bc
2
2
2
a
b
c
x
a
y
b
z
a
b
2
2
a
b
a
b
x
y
z
a
ab
b
a
b
c
m
n
l
a
m
b
n
c
l
k
k
2
al
bm
cn
k
（3）观察（2a+b）（a+2b）长方形找到x、y、z 对应的值，代入求值．
（4）通过分析，找到可以拼成正方形的可能的情况，然后找到正方形的边长最大，
（5）通过构造边长为k 的正方形，用3 个长方形的面积表示al+bm+cn，用面积直观地说明al+bm+cn<k2．
【详解】（1）解：由图2 知，大长方形的面积=（2a+b）（a+b），
大长方形的面积=3 个小正方形的面积+3 个小长方形的面积=a2+a2+b2+3ab=2a2+b2+3ab，
∴（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab；
由图3 知，大正方形的面积=（a+b+c）
2，
大正方形的面积=3 个正方形的面积+2 个小长方形的面积+2 个小长方形的面积+2 个小长方形的面积
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a+b+c）
2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
故答案为：（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab； =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）由图3 得（a+b+c）
2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴a2+b2+c2=（a+b+c）
2-（2ab+2ac+2bc）=（a+b+c）
2-2（ab+ac+bc），
当
，
时，
a2+b2+c2=152-2×35=155；
故答案为：155
（3）解：∵（2a+b）（a+2b）=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5ab+2b2，2，
∴长方形
可以看成2 张边长为a 的正方形，2 张边长为b 的正方形，5 张边长分别为a、b 的
长方形纸片拼成的大长方形，
∴x=2，y=2，z=5，
∴x+y+z=9；
故答案为：9
（4）解：3 张边长为a 的正方形纸片的面积为3a2，4 张边长分别为ab 的长方形纸片的面积为4ab，5 张边
长为b 的正方形纸片的面积为5b2，
∵想从中取出若干张纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），
∴选取的纸片的面积和必须构成完全平方式，
∴可以选取1 张边长为a 的正方形纸片、2 张边长分别为ab 的长方形纸片、1 张边长为b 的正方形纸片，
此时围成的正方形面积为a2+2ab+b2=（a+b）
2，
∴此时正方形的边长=a+b；
选取1 张边长为a 的正方形纸片、4 张边长分别为ab 的长方形纸片、4 张边长为b 的正方形纸片，
此时围成的正方形面积为a2+4ab+4b2=（a+2b）
2，
15
a
b
c
35
ab
ac
bc
2
2
a
b
a
b
∴此时正方形的边长=a+2b，
∵a+b＜a+2b，
∴拼成的正方形的边长最长为a+2b；
故答案为：a+2b；
（5）解：如图，
如图，构造了一个边长为k 的正方形，AC=CE=EG=AG=k，
在正方形的4 个边上分别截取AB=a，CD=b，EF= HG=c，
∵a+m=b+n=c+l=k，
∴BC=m，DE=n，FG=l，AH=l，
∴3 个长方形的面积和为al+bm+cn，大正方形的面积为k2，
∴
．
【点睛】本题用“等积法”解决多项式乘积的代数问题，渗透数形结合的思想，用代数角度解决图形问题，
也可以用图形关系解决代数问题．
64．问题发现：若x 满足（9﹣x）（x
4
﹣）＝2，求（9﹣x）
2+（x
4
﹣）
2的值．
小明在解决该问题时，采用了以下解法：
解：设（9﹣x）＝a，（x
4
﹣）＝b，
则ab＝（9﹣x）（x
4
﹣）＝ ，a+b＝（9﹣x）+（x
4
﹣）＝ ．
所以（9﹣x）
2+（x
4
﹣）
2＝a2+b2＝（a+b）
2
2
﹣ab＝ ．
(1)请补全小明的解法；
(2)已知（30﹣x）（x
20
﹣
）＝﹣10，则（30﹣x）
2+（x
20
﹣
）
2的值为 ．
类比研究
(3)若x 满足（2023﹣x）
2+（x
2021
﹣
）
2＝2022，求（2023﹣x）（x
2021
﹣
）的值．
拓伸延伸
(4)如图，正方形ABCD 的边长为x，AE＝1，CG＝3，长方形EFGD 的面积是10，分别以DE、DG 为边长
作正方形MEDQ 和NGDH，PQDH 是长方形，求图中阴影部分的面积为 （结果必须是一个具体数
值）．
2
al
bm
cn
k
【答案】(1)2，5，21
(2)120
(3)
1009
﹣
(4)44
【分析】（1）根据题干步骤进行求解即可；
（2）由（1）的步骤进行求解即可；
（3）根据题干的步骤反向求解即可；
（4）先表示出相应的量，再按照题干方法步骤求解即可；
【详解】（1）解：设（9﹣x）＝a，（x
4
﹣）＝b，
则ab＝（9﹣x）（x
4
﹣）＝2，a+b＝（9﹣x）+（x
4
﹣）＝5．
所以（9﹣x）
2+（x
4
﹣）
2＝a2+b2＝（a+b）
2
2
﹣ab＝21．
（2）设（30﹣x）＝m，（x
20
﹣
）＝n，
则mn＝（30﹣x）（x
20
﹣
）＝-10，m+n＝（30﹣x）+（x
20
﹣
）＝10．
所以（30﹣x）
2+（x
20
﹣
）
2＝m2+n2＝（m+n）
2
2
﹣mn＝120．
（3）设（2023﹣x）＝t，（x
2021
﹣
）＝h，
则（2023﹣x）
2+（x
2021
﹣
）
2＝t2+h2＝（t+h）
2
2
﹣th＝2022．
因为t+h＝（2023﹣x）+（x
2021
﹣
）＝2．
所以th＝（2023﹣x）（x
2021
﹣
）＝(22-2022)÷2=-1009．
（4）∵
∴
∵
，
∴
1
3
DE
x
DG
x
，
2
2
2
2
1
3
3
1
10
MEDQ
NGDH
PQDH
S
DE
x
S
DG
x
S
DE DG
x
x
四边形
四边形
四边形
，
，
3 1
10
x
x
3
1
2
x
x
2
2
2
2
2
2
1
3
1
3
1
3
2
3 1
2
2
10
22
MEDQ
NGDH
S
S
x
x
x
x
x
x
x
x
四边形
四边形
阴影部分的面积为：
．
【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，将完全平方公式进行变换求解是解题的关键．
65．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A 型卡片是边长为a 的正方形，B 型卡片是边长
为b 的正方形，C 型卡片是长和宽分别为a，b 的长方形．
(1)选取1 张A 型卡片，2 张C 型卡片，1 张B 型卡片，在纸上按照图2 的方式拼成一个长为
的大正
方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式____________；
(2)请用这3 种卡片拼出一个面积为
的长方形（数量不限），在图3 的虚线框中画出示意图，
并在示意图上按照图2 的方式标注好长方形的长与宽；
(3)选取1 张A 型卡片，4 张C 型卡片按图4 的方式不重叠地放在长方形DEFG 框架内，图中两阴影部分
（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF 的长度固定不变，DG 的长度可以变化，图中两阴影部分（长
方形）的面积分别表示为
，
．若
，则当a 与b 满足____时，S 为定值，且定值为______．
（用含b 的代数式表示）
2
2
2
1
3
2
3
1
24
20
44
MEDQ
NGDH
PQDH
S
S
S
x
x
x
x
四边形
四边形
四边形
a
b
2
2
4
3
a
ab
b
1S
2
S
2
1
S
S
S
【答案】(1)
＝
(2)见解析
(3)
时，
【分析】（1）用两种方法表示图2 的面积，即可得出公式；
（2）由a2+4ab+3b2可得A 型卡片1 张，B 型卡片3 张，C 型卡片4 张，根据题意画出图形即可；
（3）设DG 的长为x，求出S1，S2即可解决问题．
【详解】（1）解：方法1：大正方形的面积为（a+b）
2，
方法2：图中四部分的面积和为a2+2ab+b2，
∴（a+b）
2=a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）
2=a2+2ab+b2；
（2）解：如图3，
（3）解：设DG 的长为x，
∵S1=a[x-（a+b）]=ax-a2-ab，S2=2b（x-a）=2bx-2ab，
∴S=S2-S1
=2bx-2ab-（ax-a2-ab）
=（2b-a）x-ab+a2，
若S 为定值，则2b-a=0，
∴a=2b，
∴当a 与b 满足a=2b 时，S 为定值，且定值为
，
故答案为：a=2b，
．
【点睛】本题考查了完全平方公式，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的特点，数形结合的数
学思想是解决问题的关键．
2
a
b
2
2
2
a
ab
b
2
a
b
2
4
S
b
=
2
4b
2
4b
66．如图1 是一个长为4a、宽为b 的长方形，沿图1 中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小
长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
(1)图2 中的阴影部分的面积为：____________（用a、b 的代数式表示）；
(2)观察图2，请你写出
、
、
之间的等量关系是____________；
(3)利用（2）中的结论，若
，
，求
的值____________；
(4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，请你写出这个等式____________．
(5)如图4，点
是线段
上的一点，分别以AC、BC 为边在AB 的同侧作正方形ACDE 和正方形CBFG，
连接EG、BG、BE，当
时，
的面积记为
，当
时，
的面积记为
，…，以此类
推，当
时，
的面积记为
，计算
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)16
(4)
(5)
【分析】（1）图2 中阴影部分的面积可以用两种方法得到，先表示阴影部分的边长，再表示面积，二是图
2 大正方形面积减去图1 的面积，即可得出答案
（2）由（1）可以得出三个代数式之间的关系；
（3）利用（2）中关系，整体代入求值即可；
（4）从整体求面积与各个部分的面积和两个方面即可得出等式；
2
a
b
2
a
b
ab
5
x
y
9
4
x y
2
x
y
C
AB
1
BC
BEG
1S
2
BC
BEG
2
S
BC
n
BEG
n
S
2020
2019
2018
2017
2
1
S
S
S
S
S
S
2
b
a
2
2
4
a
b
a
b
ab
2
2
3
3
4
a
b
a
b
a
ab
b
1020605
（5）△BEG 的面积总等于以BC 为边长的正方形面积的一半，即
，再利用平方差公式化简求值即可．
【详解】（1）
（2）
（3）
，
时，
，
故答案为：16
（4）
（5）如图，连接
，在正方形
和正方形
中
∴
∴
当
时，
；
当
时，
；
……
当
时，
；
∴
．
2
2
BC
2
b
a
2
2
4
a
b
a
b
ab
5
x
y
9
4
x y
2
2
(
)
(
)
4
25
9
16
x
y
x
y
xy
2
2
3
3
4
a
b
a
b
a
ab
b
EC
ACDE
BCGF
45
ECD
CGB
EC
BG
∥
BGE
BGC
S
S
△
△
1
BC
2
1
1
2
S
2
BC
2
2
2
2
S
BC
n
2
2
n
n
S
2020
2019
2018
2017
2
1
S
S
S
S
S
S
2
2
2
2
2
2
2020
2019
2018
2017
2
1
2
2
2
2
2
2
2020
2019
2018
2017
2 1
2
1020605
【点睛】考查正方形的性质，完全平方公式的意义和应用，利用图形中的面积得出相应的等式是得出正确
答案的前提．
类型四、配方法的应用
67．利用完全平方公式（a+b）
2＝a2+2ab+b2和（a－b）
2＝a2－2ab+b2的特点可以解决很多数学问题．
解决下列问题：
(1)分解因式：
；
(2)当x、y 为何值时，多项式2x2+y2－8x+6y+20 有最小值？并求出这个最小值；
(3)已知△ABC 的三边长a、b、c 都是正整数，且满足a2+b2＝8a+6b－25，求△ABC 周长的最大值．
【答案】(1)
(2)
，
；3
(3)13
【分析】（1）把原式变换成满足完全平方公式的特点的式子，可解得答案；
（2）把原式变换成满足完全平方公式的特点的式子，可解得答案；
（3）把原式变换成满足完全平方公式的特点的式子，求出a、b，再根据两边之和大于第三边的条件判断
出c 的最大值，可解得答案；
【详解】（1）
=
=
=
（2）2x2+y2－8x+6y+20
=
=
2
6
7
m
m
1
7
m
m
2
x
=
3
y
2
6
7
m
m
2
6
9
9
7
m
m
2
3
16
m
3
4
3
4
m
m
1
7
m
m
2
2
2
8
8
8
6
9
9
20
x
x
y
y
2
2
2
2
3
3
x
y
当
，
时，多项式有最小值为3
（3）a2+b2＝8a+6b－25，
变形为
，
整理得，
根据两边之和大于第三边的判定，
又因为c 是正整数，所以
所以△ABC 周长的最大值=
【点睛】本题考查完全平方公式，偶次方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键．
68．将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称
之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．
例如，求代数式
的最小值．
解：原式
．
∵
，
∴
．
∴当x＝－1 时，
的最小值是2
(1)请仿照上面的方法求代数式
的最小值．
(2)已知△ABC 的三边a，b，c 满足
，
，
．求△ABC 的周长．
【答案】(1)-10
(2)9
【分析】（1）根据题干解题过程进行求解即可；
（2）由
，
，
可得，
，再化简即
可得a，b，c，进而得周长；
【详解】（1）解：原式
．
2
x
=
3
y
2
2
8
16
6
9
0
a
a
b
b
2
2
4
3
0
a
b
4,
3
a
b
4
3
7
c
a
b
6
c
4
3
6
13
a
b
c
2
2
3
x
x
2
2
2
1
2
1
2
x
x
x
2
1
0
x
2
1
2
2
x
2
2
3
x
x
2
6
1
x
x
2
6
14
a
b
2
8
23
b
c
2
4
8
c
a
2
6
14
a
b
2
8
23
b
c
2
4
8
c
a
2
2
2
6
8
4
14
23
8
a
b
b
c
c
a
2
2
6
9
9
1
3
10
x
x
x
∵
，
∴
．
∴当x=-3 时，
的最小值是-10；
（2）解：由
，
，
可得，
∴
∴△ABC 的周长为：
．
【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，正确理解题意是解题的关键．
69．我们定义：如果两个多项式
与
的和为常数，则称
与
互为“对消多项式”，这个常数称为它
们的“对消值”．如
与
互为“对消多项式”，它们的“对消值”为．
(1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）；
与
；
与
；
与
(2)多项式
与多项式
（
，
为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消
值”；
(3)关于
的多项式
与
互为“对消多项式”，“对消值”为．若
，
，求代数式
的最小值．
【答案】(1)
；
(2)它们的“对消值”为
；
(3)代数式
的最小值是
．
【分析】此题考查了求代数式值的能力，
2
3
0
x
2
3
10
10
x
2
6
1
x
x
2
6
14
a
b
2
8
23
b
c
2
4
8
c
a
2
2
2
6
8
4
14
23
8
a
b
b
c
c
a
2
2
2
4
4
6
9
8
4
9
16 16
29
a
a
b
b
c
c
2
2
2
2
3
4
0
a
b
c
2
3
4
a
b
c
，
，
2
3
4
9
a
b
c
M
N
M
N
2
2
6
M
x
x
2
2
1
N
x
x
5
①
2
3
2
x
x
2
3
2
x
②
6
x
2
x
③
2
3
5
2
x y
xy
2
3
5
2
1.
x y
xy
2
(
)
A
x
a
2
-
2
B
bx
x
b
a
b
x
2
6
4
C
mx
x
1
D
m x
x
n
t
a
b
m
b
c
mn
2
2
2
2
a
b
c
ab
bc
ac
t
②③
2
2
2
2
2
a
b
c
ab
bc
ac
t
28
( )运用题目中的定义进行逐一计算、辨别；
(
)先运用题目中的定义求得
，
的值，再代入求解；
( )先求得
，再将原式进行配方变形进行求解；解题的关键是能准确运用题目的新定义进行求解．
【详解】（1）∵
，
,
，
∴
组多项式不是互为“对消多项式”，
组多项式是互为“对消多项式”，
故答案为：
；
（2）
，
，
∵
与
互为“对消多项式”，
，
，
，
，
∴它们的“对消值”为
；
（3）
，
，
，
∵
与
互为“对消多项式”且“对消值”为，
∴
，
∴
，
，
，
，
1
2
a
b
3
6
m
mn
2
2
2
3
2
3
2
6
2
2
x
x
x
x
x
6
2
4
x
x
2
3
2
3
5
2
5
2
1
1
x y
xy
x y
xy
①
②③
②③
2
2
2
(
)
2
A
x
a
x
ax
a
2
2
B
bx
x
b
2
2
1
2
2
A
B
b x
a
x
a
b
A
B
1
0
b
2
2
0
a
1
a
1
b
2
2
a
b
2
6
4
C
mx
x
2
1
D
m x
x
n
mx
mn
m x
mn
6
4
C
D
mn
m x
mn
C
D
t
6
0
4
mn
m
mn
t
6
2
mn
m
t
m
,
a
b
m
b
c
mn
6
a
c
a
b
b
c
m
mn
2
2
2
2
a
b
c
ab
bc
ac
t
2
2
2
1 [(
)
(
)
)
2
2
a
b
b
c
a
c
t
，
，
，
，
∴代数式
的最小值是
．
70．【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为
完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解
决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成
（
、
是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，是
“完美数”．理由：因为
，所以是“完美数”．
【解决问题】
(1)数61 “完美数”（填“是”或“不是”）；
【探究问题】
(2)已知
，则
；
(3)已知
（
、
是整数，
是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的
值；
【拓展结论】
(4)已知
、
满足
，求
的最小值．
【答案】(1)是；
(2) ；
(3)
；
(4)
【分析】（1）根据新定义求解；
（2）先把登上的左边进行配方，再根据非负数的性质求出
、
的值，再求
；
2
2
2
1 [
)
6
2
2
2 m
mn
m
2
2
2
1[
6
)
6
2
2
2 m
m
m
2
4
32
m
m
2
(
2)
28
28
m
2
2
2
2
a
b
c
ab
bc
ac
t
28
2
2
a
b
a
b
5
2
2
5
2
1
5
2
2
2
4
4
6
0
x
y
x
y
x
y
2
2
5
2
12
S
x
y
xy
x
k
x
y
k
S
k
x
y
2
2
1
0
3
x
x
y
7
3
x
y
1
9
k
61
12
x
y
x
y
（3）先根据的前四项进行配方，再根据相等的条件求解；
（4）根据条件求出
的值，再进行配方求解．
【详解】（1）解：∵
，
∴
是“完美数”，
故答案为：是；
（2）解：∵
，
∴
，
，
∴
，
故答案为：；
（3）解：∵
，
为“完美数”，
∴
∴
；
（4）解：∵
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴当
，时，
的最小值为：
．
【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式的特点是解题的关键．
71．由
得，
；如果两个正数a，b，即
，则有下面的不等式：
S
7
3
x
y
2
2
61
5
6
61
2
2
2
2
2
4
8
6
2
2
1
0
x
y
x
y
x
y
2
x
1
y
1
x
y
1
2
2
5
2
12
S
x
y
xy
x
k
2
2
2
2
4
12
9
9
x
y
xy
x
x
k
2
2
2
3
9
x
y
x
k
S
9
0
k
9
k
2
2
1
0
3
x
x
y
2
1
2
3
y
x
x
2
3
3
3
2
y
x
x
2
2
2
2
25
25
5
61
7
3
3
3
3
3
3
36
36
6
2
5
5
3
1
x
y
x
x
x
x
x
x
5
6
7
3
x
y
61
12
2
(
)
0
a
b
2
2
2
a
b
ab
0,
0
a
b
2
a
b
ab
a
b
，当且仅当
时取到等号．
例如：已知
，求式子
的最小值．
解：令
，则由
，得
，当且仅当
时，即
时，式子有最小
值，最小值为4．请根据上面材料回答下列问题：
(1)当
，式子x +
的最小值为 ；
(2)当
，代数式
最大值为多少？并求出此时x 的值；
(3)用篱笆围一个面积为32 平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20 米），问这个长
方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
【答案】(1)4
(2)当x＜0 时，代数式
最大值为-24，此时x 的值为-3；
(3)长为8 米，宽为4 米时，所用篱笆最短，最短篱笆为16 米．
【分析】（1）根据题意a＞0，b＞0，则有不等式a＋b≥2
，当且仅当a＝b 时取到等号，即可得出答
案；
（2）根据题意a＞0，b＞0，则有不等式a＋b≥2
，当且仅当a＝b 时取到等号，即可得出答案；
（3）若x＋2y 最小，则x＋2y≥
＝16，当且仅当x＝2y 时取得等号，再根据xy＝32，分别解得x 和y
的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：当x＞0 时，x＋
≥2
＝4，x＋
的最小值为4；（当a＞0，b＞0 时，a＋
b≥2ab,当且仅当a＝b 时取到等号）
故答案为：4
2
a
b
ab
a
b
0
x
4
x
x
4
,
a
x b
x
2
a
b
ab
4
4
2
4
x
x
x
x
4
x
x
2
x
0
x
16
x
0
x
36
4
x
x
36
4
x
x
ab
ab
2
x
y
16
x
16
x
x
16
x
（2）解：当x＜0 时，
＝−[（−4x）＋（−
）]≤−2
＝−2×12＝−24，
当且仅当−4x＝−
，即x＝−3 时取到等号，
∴当x＜0 时，代数式
最大值为-24，此时x 的值为-3；
（3）解：设长为x，宽为y.则xy＝32，欲使x＋2y 最小，
∵x＞0，y＞0，
x＋2y≥2
＝2
＝2
＝2×8＝16，
当且仅当x＝2y 时取得等号，
由
，解得，x＝8，y＝4，
即长为8，宽为4 时，所用篱笆最短，最短篱琶为16 米．
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，解题关键是运用题中a＞0，b＞0，则有下面的不等式：a＋b≥2
，当且仅当a＝b 时取到等号．
72．图1 是一个长为
，宽为
的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2 的形状
拼成一个正方形．
(1)图2 中的阴影部分的正方形的边长等于 ．
(2)观察图2 你能写出下列三个代数式
之间的等量关系 ．
(3)运用你所得到的公式，计算若
，求：
①
的值．
②
的值．
36
4
x
x
36
x
36
( 4 ) (
)
x
x
36
x
36
4
x
x
2
x
y
2xy
2 32
2
2
32
x
y
x
y
ab
2m
2n
2
2
m
n
m
n
mn
，
，
2
4
mn
m
n
，
2
m
n
4
4
m
n
(4)用完全平方公式和非负数的性质求代数式
的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)① ②
(4)
【分析】（1）根据线段的差可得结论；
（2）方法1，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4 个长方形面积，方法2，阴影部分小正方形的边
长为
,即可计算出面积，可得两次计算的都是阴影部分的面积，即可得出答案；
（3）分别根据完全平方公式可解答；．
（4）先把代数式配方为完全平方公式，利用非负性解题即可．
【详解】（1）图2 中的阴影部分的正方形的边长等于
；
故答案为：
；
（2）根据题意，方法1：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4 个长方形面积，即
；
方法2，阴影部分小正方形的边长为
，则面积为
；
∴
；
故答案为：
；
（3）由（2）知：
,
，
①
；
②∵
；
∴
；
（4）
2
2
2
4
9
x
x
y
y
m
n
2
2
(
)
(
)
4
m
n
m
n
mn
8
136
4
m
n
m
n
m
n
2
(
)
4
m
n
mn
m
n
2
(
)
m
n
2
2
(
)
(
)
4
m
n
m
n
mn
2
2
(
)
(
)
4
m
n
m
n
mn
2
2
(
)
(
)
4
m
n
m
n
mn
2
4
mn
m
n
，
2
2
2
(
)
4
4
4
2
16
8
8
m
n
m
n
mn
2
2
2
2
(
)
2
4
2 ( 2)
16
4
12
m
n
m
n
mn
4
4
2
2
2
2
2
2
2
(
)
2
12
2 ( 2)
144
8
136
m
n
m
n
m n
2
2
2
4
9
x
x
y
y
2
2
2
1
4
4
4
x
x
y
y
∵
，
，
∴代数式
的最小值为
．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景进行求解是解决本
题的关键．
73． 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式
或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成
、
是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5 是“完美
数”．理由：因为
，所以5 是“完美数”．
【解决问题】
(1)已知29 是“完美数”，请将它写成
（a、b 是整数）的形式 ；
(2)若
可配方成
（m、n 为常数），则mn＝ ；
【探究问题】
(3)已知
，则
；
(4)已知
x、y 是整数，k 是常数），要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一个
k 值，并说明理由．
【拓展结论】
(5)已知实数x、y 满足
，求
的最值．
【答案】(1)
；
(2)
12
﹣
；
(3)
1
﹣；
(4)S 是一个“完美数”，理由见解析；
(5)﹣
．
2
2
1
2
4
x
y
2
1
0
x
2
2
0
y
2
2
2
4
9
x
x
y
y
4
2
2(
a
b a
b
2
2
5
2
1
2
2
+
a
b
2
6
5
x
x
2
x
m
n
（
）
2
2
2
4
5
0
x
y
x
y
x
y
2
2
4
4
12
(
S
x
y
x
y
k x
2
5
5
0
2
x
x
y
2
x
y
2
2
29=2
5
11
2
【分析】（1）把29 分为两个整数的平方即可；
（2）原式利用完全平方公式配方后，确定出
与
的值，即可求出
的值；
（3）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出
与
的值，即可求出
的值；
（4）根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出
的值即可；
（5）由已知等式表示出
，代入
中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可．
【详解】（1）根据题意得：
；
故答案为：
；
（2）根据题意得：
，
，
，
则
；
故答案为：
；
（3）已知等式变形得：
，
即
，
，
，
，
，
解得：
，
，
则
；
故答案为：
；
（4）当
时，为“完美数”，理由如下：
，
，
是整数，
，
也是整数，
m
n
mn
x
y
+
x y
S
k
y
2
x
y
2
2
29=2
5
2
2
29=2
5
2
2
6
5
(
3)
4
x
x
x
3
m
n 4
12
mn
12
2
2
(
2
1)
(
4
4)
0
x
x
y
y
2
2
(
1)
(
2)
0
x
y
2
(
1)
0
x
2
(
2)
0
y
1
0
x
2
0
y
=1
x
=
2
y
1 2
1
x
y
1
13
k
S
2
2
4
4
12
13
S
x
y
x
y
2
2
(
4
4)
(4
12
9)
x
x
y
y
2
2
(
2)
(2
3)
x
y
x
y
2
x
2
3
y
是一个“完美数”；
（5）
，
，即
，
，
当
时，
最大，最大值为
．
【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
74．阅读理解并解答：在学完乘法公式
后，王老师向同学们提出了这样一个问题：
你能求代数式
的最大值吗？
【初步思考】
同学们经过交流、讨论，总结出如下方法：
解：
因为
，
所以
．
所以当
时，
的值最大，最大值是0.
所以当
时，
的值最大，最大值是4.
所以
的最大值是4
【尝试应用】
(1)求代数式
的最大值，并写出相应的
的值．
S
2
5
5
0
2
x
x
y
2
5
5
2
y
x
x
2
2
2
5
10
y
x
x
2
2
2
5
10
x
y
x
x
x
2
2
6
10
x
x
2
9
9
2(
3
)
10
4
2
x
x
2
3
11
2(
)
2
2
x
3
= 2
x
2
x
y
11
2
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
2
2
3
x
x
2
2
2
2
3
2
3
2
1 1
3
x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
1
1 3
2
1
4
1
4
x
x
x
x
x
2
1
0
x
2
1
0
x
1
x
2
1
x
2
1
0
x
2
1
4
x
2
2
3
x
x
2
4
10
x
x
x
(2)已知
，
，请比较
与
的大小，并说明理由．
【拓展提高】
(3)将一根长
的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面
积之和有无最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度；若没有，请说明理由．
【答案】(1)
的最大值为14，此时
的值为2．
(2)
，理由见解析
(3)这两个正方形面积之和有最小值，此时两段铁丝的长度均为
，面积之和为
【分析】（1）仿照题中例子配出完全平方公式进行求解；
（2）计算
，仿照题中例子配出完全平方公式进行求解，即可得到结论；
（3）设一段铁丝的长度为
，则另一段铁丝的长度为
，可分别求出两个正方形的边长为
和
，根据正方形的面积公式，列出代数式，仿照题中例子配出完全平方公式进行求解．
【详解】（1）解：
，
，
，
当
时，
有最大值，最大值为
，
解得：
，
的最大值为14，此时
的值为2．
（2）解：
，理由如下：
2
2
4
1
A
x
x
2
8
37
B
x
x
A
B
50cm
2
4
10
x
x
x
A
B
25cm
2
625 cm
8
A
B
cm
x
50
cm
x
4
x
50
4
x
2
4
10
x
x
2
4
4
4
10
x
x
2
4
4
4 10
x
x
2
2
14
x
2
2
0
x
2
2
0
x
2
2
0
x
2
2
14
x
14
2
x
2
4
10
x
x
x
A
B
，
，
，
当
时，
有最小值2，
（3）解：设一段铁丝的长度为
，则另一段铁丝的长度为
，
根据题意得：
，
，
时，有最小值
，
解得：
，则
，
这两个正方形面积之和有最小值，此时两段铁丝的长度均为
，面积之和为
．
【点睛】本题考查了完全平方公式，利用完全平方不为负数的性质求函数值的最值是常用方法，应熟练掌
握．
75．材料一：把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一
2
2
4
1
A
x
x
2
8
37
B
x
x
A
B
2
2
2
4
1
8
37
x
x
x
x
2
2
2
4
1
8
37
x
x
x
x
2
12
36
2
x
x
2
6
2
x
2
6
0
x
2
6
0
x
A
B
A
B
cm
x
50
cm
x
2
2
50
4
4
x
x
S
2
1
50
1250
8
8
8
x
x
2
1
625
50
625
8
8
x
x
2
1
625
25
8
8
x
2
1
25
0
8 x
2
1
25
0
8 x
S
625
8
25
x
50
25
x
25cm
2
625 cm
8
个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式：
（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为
的正方形，请你用两种不同
的方法求图2 大正方形的面积（用含a，b 的式子表示）：
方法一：________________；方法二：________________；
对于以上，你能发现什么结论？请用等式表示出来________________（直接写出等式）
（2）利用（1）中所得到的结论，填空：
①已知上述等式中的三个字母a，b，c 可取任意实数，若
，
，
，且
，请利用（1）所得的结论求
的值为________；
②若三个实数x，y，z 满足
，
，则
的值为________；
材料二：若
，求m，n 的值．
解：
，
，
，
，
，
，
．
问题：
（3）若
，则
的值为________；
（4）试探究关于x，y 的代数式
是否存在最小值？若存在，求出最小值及此时
x，y 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
，
，
；（2）
2
2
2
3
2
a
b
a
b
a
ab
b
a
b
c
7
5
a
x
4
2
b
x
3
4
c
x
2
2
2
37
a
b
c
ab
bc
ac
1
2
4
8
16
x
y
z
2
2
2
4
9
40
x
y
z
2
3
6
xy
xz
yz
2
2
2
2
6
9
0
m
mn
n
n
2
2
2
2
6
9
0
m
mn
n
n
2
2
2
2
6
9
0
m
mn
n
n
n
2
2
3
0
m
n
n
0
m
n
3
0
n
3
m
3
n
2
2
2
2
4
4
0
x
y
xy
y
2y
2
2
5
9
12
6
2032
x
y
xy
x
2
a
b
c
2
2
2
2
2
2
a
b
c
ab
ac
bc
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
a
b
c
ab
ac
bc
①
；②
；（3）4；（4）存在，
，
，原式最小值为2023
【分析】（1）将整个图形当作一个正方形和作为9 个长方形或正方形求面积即可得解；
（2）根据（1）可得
，进而整体代入即可求解；
（3）将原式变形为两个完全平方式与一个常数的和，利用偶次方的非负性即可求解y 的值，进而求解；
（4）将原式变形为两个完全平方式的和，利用偶次方的非负性即可求解；
【详解】解：（1）将整个图形当作一个正方形，则面积为
，
将整个图形当作9 个长方形或正方形，则面积为
，
∴
，
故答案为
，
，
；
（2）①∵
，
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴故答案为
②∵
，
∴
，
∴
即
，
∵
，
∴
，
故答案为
；
（3）∵
，
18
12
3
x
2
y
2
2
2
2
2
a
b
c
a
b
c
ab
bc
ac
2
a
b
c
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
ab
ac
bc
ab
ac
bc
a
b
c
ab
ac
bc
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
a
b
c
ab
ac
bc
2
a
b
c
2
2
2
2
2
2
a
b
c
ab
ac
bc
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
a
b
c
ab
ac
bc
7
5
a
x
4
2
b
x
3
4
c
x
2
2
7
5
4
2
3
4
1
a
b
c
x
x
x
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
a
b
c
ab
ac
bc
2
2
2
37
a
b
c
2
2
2
2
1 37
18
2
2
a
b
c
a
b
c
ab
bc
ac
18
2
3
2
3
4
2
4
8
2
2
2
2
2
x
y
z
x
y
z
x
y
z
2
3
4
x
y
z
2
2
3
16
x
y
z
2
2
2
4
9
4
6
12
16
x
y
z
xy
xz
yz
2
2
2
4
9
40
x
y
z
2
2
2
16
4
9
16
40
2
3
6
12
2
2
x
y
z
xy
xz
yz
12
2
2
2
2
4
4
0
x
y
xy
y
∴
即
∴
，
∴
，
∴
，
故答案为：4
（4）存在，
原式
当
，
时，原式最小
，
，原式最小值为2023．
【点睛】本题主要考查了完全平方式与几何图形的关系以及求代数式的值，解题的关键是注意图形的分割
与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积．
2
2
2
2
4
4
0
x
y
xy
y
y
2
2
2
0
x
y
y
0
2
0
x
y
y
，
2
x
y
2
2
2
4
y
2
2
2
4
12
9
6
9
2023
x
xy
y
x
x
2
2
2
3
3
2023
x
y
x
2
2
3
0
x
y
2
3
0
x
2
3
0
x
y
3
0
x
3
x
2
y
