北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§6.3 等比数列
基础篇
【基础集训】
考点一 等比数列的有关概念及运算
1.S 是正项等比数列{a}的前n项和,a=18,S=26,则a= ( )
n n 3 3 1
A.2 B.3 C.1 D.6
答案 A
2.等比数列{a}的前n项和为S=32n-1+r,则r的值为 ( )
n n
1 1 1 1
A. B.- C. D.-
3 3 9 9
答案 B
3.已知{a}是等比数列,若a=1,a=8a,数列{1 }的前n项和为T,则T=( )
n 1 6 3 n 5
a
n
31 15
A. B.31 C. D.7
16 8
答案 A
4.已知正项等比数列{a}满足loga -loga=2,且a=8,则数列{a}的前n项和S= .
n 2 n+2 2 n 3 n n
答案 2n+1-2
5.设数列{a}的前n项和为S,已知a=1,S =4a+2.
n n 1 n+1 n
(1)设b=a -2a,证明数列{b}是等比数列;
n n+1 n n
(2)求数列{a}的通项公式.
n
6.已知S 为数列{a}的前n项和,且2S=3a-2(n∈N*).
n n n n
(1)求a 和S;
n n
(2)若b=log(S+1),求数列{b }的前n项和T.
n 3 n 2n n
7.已知数列{a}满足a=1,a =2a+λ(λ为常数).
n 1 n+1 n
(1)试探究数列{a+λ}是不是等比数列,并求a;
n n
(2)当λ=1时,求数列{n(a+λ)}的前n项和T.
n n
考点二 等比数列的性质
8.公比不为1的等比数列{a}满足aa+aa=18.若aa =9,则m的值为 ( )
n 5 6 4 7 1 m
A.8 B.13 C.10 D.11
答案 C
9.在等比数列{a n }中,a 2 ,a 16 是方程x2+6x+2=0的根,则 a 2 a 16的值为 ( )
a
9
A.2 B.-√2 C.√2 D.-√2或√2
答案 D北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
10.已知递增的等比数列{a}的公比为q,其前n项和S<0,则 ( )
n n
A.a<0,0<q<1 B.a<0,q>1
1 1
C.a>0,0<q<1 D.a>0,q>1
1 1
答案 A
[教师专用题组]
【基础集训】
考点一 等比数列的有关概念及运算
1.在数列{a}中,满足a=2, =a ·a (n≥2,n∈N*),S 为{a}的前n项和,若a=64,则S 的值为 ( )
n 1 a2 n-1 n+1 n n 6 7
n
A.126 B.256 C.255 D.254
答案 D 数列{a n }中,满足 a2 =a n-1 a n+1 (n≥2),则数列{a n }为等比数列,设其公比为q,又由a 1 =2,a 6 =64,得q5= a 6
n a
1
=32,则q=2,则S=a (1-27)=28-2=254,故选D.
7 1
1-2
2.已知{a}是等比数列,若a=1,a=8a,数列{1 }的前n项和为T,则T=( )
n 1 6 3 n 5
a
n
31 15
A. B.31 C. D.7
16 8
答案 A 设等比数列{a}的公比为q,∵a=8a,∴q3=8,解得q=2.∴a=2n-1.∴ 1 =(1) n-1 .∴数列{1 }是首项为
n 6 3 n
a 2 a
n n
(1) 5
1-
1 2 31
1,公比为 的等比数列,则T= = .故选A.
2 5 1 16
1-
2
考点二 等比数列的性质
1.已知数列{a}为等比数列,且aa +2 =4π,则tan(aa )的值为 ( )
n 1 13 a2 2 12
7
√3
A.√3 B.-√3 C.±√3 D.-
3
4π 4π
答案 A ∵数列{a}为等比数列,∴aa =a2=aa .再由aa +2a2=4π,可得aa = ,∴tan(aa )=tan =tan
n 1 13 7 2 12 1 13 7 2 12 3 2 12 3
π
=√3.
3
2.(2020河北邯郸检测,8)已知{a}是首项为1的等比数列,若4a,2a ,a 成等差数列,则a= .
n n n+1 n+2 n
答案 2n-1
解析 设等比数列的公比为q,由题意得4a =4a+a ,故有4q=4+q2,∴q=2,∴a=2n-1.
n+1 n n+2 n北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
3.(2020浙江镇海中学期中,15)已知{a}是等比数列,且a>0,aa+2aa+aa=25,则a 的最大值为 .
n n 2 4 3 5 4 6 4
5
答案
2
解析 本题考查等比数列的概念、性质以及基本不等式的应用;考查学生运算求解的能力;考查了数学运算
的核心素养.
∵25=aa+2aa+aa=2 +a(a+a)≥2 +2 =4 ,
2 4 3 5 4 6 a2 4 2 6 a2 a2 a2
4 4 4 4
25 5 5
∴a2≤ .∵a>0,∴0<a≤ ,∴a 的最大值为 .
4 4 4 4 2 4 2
综合篇
【综合集训】
考法一 等比数列基本量运算的解题技巧
1.(2020河北武邑中学期中,3)已知等比数列{a}中,a=7,前三项之和S=21,则公比q的值为 ( )
n 3 3
1 1 1
A.1 B.- C.1或- D.-1或
2 2 2
答案 C
2.(2020重庆直属校(重庆第八中学等)3月月考)已知数列{a}是各项均为正数的等比数列,a=2,a=2a+16,则
n 1 3 2
loga= ( )
2 9
A.15 B.16 C.17 D.18
答案 C
3.(2021届浙江名校新高考研究联盟(Z20名校联盟)第一次联考,6)已知数列{a}的前n项和为S,a=1,当n≥2
n n 1
且n∈N*时,a,S,S-1成等比数列,则a= ( )
n n n 5
1 1 1 1
A. B.- C. D.-
5 5 20 20
答案 D
考法二 等比数列的判定与证明
4.(2020新教材地区第一次月考)若S 是等比数列{a}的前n项和,S,S,S 成等差数列,且a=2,则a+a= (
n n 3 9 6 8 2 5
)
A.-12 B.-4 C.4 D.12
答案 C
5.(2019河南濮阳重点高中联考,17)设{a}是公比为q的等比数列.
n
(1)推导{a}的前n项和公式;
n
(2)设q≠1,证明数列{a+1}不是等比数列.
n
[教师专用题组]
【综合集训】
考法一 等比数列基本量运算的解题技巧北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
1.(2018湖北荆州一模,9)已知数列{a}是公差d不为0的等差数列,且a,a,a 为等比数列{b}的连续三项,则
n 1 3 7 n
b +b
3 4的值为( )
b +b
4 5
1
A. B.4 C.2 D.√2
2
答案 A 数列{a}是公差d不为0的等差数列,且a,a,a 为等比数列{b}的连续三项,∴ =a·a,可得
n 1 3 7 n a2 1 7
3
(a
1
+2d)2=a
1
(a
1
+6d),即a
1
=2d≠0.∴公比q= a
3
= a
1
+2d =4d=2,则 b
3
+b
4
=1=1.故选A.
a a 2d b +b q 2
1 1 4 5
2.(2018河南开封一模,5)已知等比数列{a}的前n项和为S,且9S=S,a=1,则a= ( )
n n 3 6 2 1
1 √2
A. B. C.√2 D.2
2 2
答案 A 由题意知等比数列{a}的公比q≠1,∵9S=S,a=1,∴9a (1-q3)=a (1-q6),aq=1,∴q=2,a=
n 3 6 2 1 1 1 1
1-q 1-q
1
.故选A.
2
方法指导 在等比数列基本量的计算中,对于高次方的计算,常用作商的方法或整体消元法求解.
3.(2020浙江杭州二中期中,20)已知等比数列{a}的前n项和为S(n∈N*),-2S,S,4S 成等差数列,且a+2a+a=
n n 2 3 4 2 3 4
1
.
16
(1)求{a}的通项公式;
n
(2)若b=-(n+2)log|a|,求数列{1 }的前n项和T.
n 2 n n
b
n
解析 本题考查等比数列的概念、通项公式以及数列的前n项和;考查学生运算求解的能力;考查了数学运
算的核心素养.
(1)设等比数列的首项为a,公比为q,
1
1
{ a q2+2a q3=0, {a =- ,
由题意得 1 1 解得 1 2 故a=( 1) n .
1 n -
a q+2a q2+a q3= , 1 2
1 1 1 16 q=- ,
2
(2)由(1)得b
n
=n(n+2),故 1 =1(1
-
1 ),
b 2 n n+2
n
1 1 1 1
所以T= + + +…+
n b b b b
1 2 3 n
=1(1 1 1 1 1 1 1 1 )
- + - + - +…+ -
2 1 3 2 4 3 5 n n+2北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
=1( 1 1 1 )=3- 2n+3 .
1+ - -
2 2 n+1 n+2 4 2(n+1)(n+2)
考法二 等比数列的判定与证明
1.(2018山东实验中学诊断测试,7)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人
苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文
是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我的羊所吃的禾苗只有马的一
半.”马主人说:“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、
羊的主人应偿还a升,b升,c升,1斗为10升,则下列判断正确的是 ( )
50
A.a,b,c依次成公比为2的等比数列,且a=
7
50
B.a,b,c依次成公比为2的等比数列,且c=
7
1 50
C.a,b,c依次成公比为 的等比数列,且a=
2 7
1 50
D.a,b,c依次成公比为 的等比数列,且c=
2 7
1 1 b 1 c 1 1
答案 D 由题意可知b= a,c= b,∴ = , = .∴a、b、c成等比数列且公比为 .∵1斗=10升,
2 2 a 2 b 2 2
50
∴5斗=50升,∴a+b+c=50,又易知a=4c,b=2c,∴4c+2c+c=50,∴7c=50,∴c= ,故选D.
7
2.(多选题)(2020山东青岛三模,10)在悠久灿烂的中国古代文化中,数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩.《张丘
建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一,大约创作于公元五世纪.书中有如下问题:
“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈,问日益几何?”其大意为:“有一女子擅长织布,织布
的速度一天比一天快,从第二天起,每天比前一天多织相同数量的布,第一天织5尺,一个月共织了九匹三丈,问
从第二天起,每天比前一天多织多少尺布?”已知1匹=4丈,1丈=10尺,若这一个月有30天,记该女子这一个
月中的第n天所织布的尺数为a
n
,b
n
=2a n,对于数列{a
n
},{b
n
},下列选项中正确的为( )
A.b =8b B.{b}是等比数列
10 5 n
C.a 1 b 30 =105 D. a 3 +a 5 +a 7=209
a +a +a 193
2 4 6
30×29 16
答案 BD 由题意知{a}为等差数列,a=5,S =390,设公差为d,则S =30×5+ d,∴d= .对于B,{b}中,
n 1 30 30 n
2 29
b
b
n+1 =2
2
a
a
n
n
+1= 2a
n+1
-a
n
=2d,故{b n }为等比数列,故B正确.对于A, b
b
10 =25d=
2
8
2
0
9
≠8,故A错误.对于C,a 1 b 30 =5×32×
n 5
16 ×29 =5×32×216≠105,故C错误.对于D, a 3 +a 5 +a 7 = a 5 =209,故D正确.
229
a +a +a a 193
2 4 6 4
3.(2020福建泉州适应性线上测试,14)已知数列{a n }的各项均为正数,且
a2
n+1 =6a n +a n+1 (n∈N*),则
a
4
+a
7=
a a +a
n 2 5
.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
答案 9
a2
解析 由 n+1=6a n +a n+1 可得 a2 -a n+1 a n -6 a2=0,即(a n+1 -3a n )(a n+1 +2a n )=0,因为a n >0,所以a n+1 =3a n ,所以{a n }是公
a n+1 n
n
比为3的等比数列,所以 a 4 +a 7= a 2 q2+a 5 q2 =q2=9.
a +a a +a
2 5 2 5
4.(2020山东菏泽一中2月自测,18)设数列{a}的前n项和为S,已知a=1,S -2S=1,n∈N*.
n n 1 n+1 n
(1)证明:{S+1}为等比数列,求出{a}的通项公式;
n n
n
(2)若b= ,求{b}的前n项和T,并判断是否存在正整数n使得T·2n-1=n+50成立.若存在,求出所有n的值;若
n a n n n
n
不存在,说明理由.
解析 (1)∵S -2S=1,∴S +1=2(S+1),n∈N*,
n+1 n n+1 n
∴{S+1}为等比数列,且公比为2,又∵S+1=2,∴S+1=2n,∴S=2n-1,∴当n≥2时,S =2n-1-1,
n 1 n n n-1
则a=S-S =2n-1,a=1也满足此式,∴a=2n-1,n∈N*.
n n n-1 1 n
n n
(2)由(1)得b= = ,
n a 2n-1
n
1 2 n 1 1 2 n 1 1 1 1 n n+2
则T= + +…+ , T= + +…+ ,两式相减得: T= + +…+ - =2- ,∴T=4-
n 20 21 2n-1 2 n 21 22 2n 2 n 20 21 2n-1 2n 2n n
n+2
,
2n-1
代入T·2n-1=n+50得2n-n-26=0.
n
令f(x)=2x-x-26(x≥1),则f '(x)=2xln 2-1>0在x∈[1,+∞)上恒成立,
∴f(x)=2x-x-26在x∈[1,+∞)上为增函数,
又有f(5)·f(4)<0,∴不存在正整数n,使得T·2n-1=n+50成立.
n
