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专题04 函数单调性的判断与应用（一题多变）
【典例展示】已知函数
，其中
．
（1）若
，求a 的值．
（2）证明：当且仅当
时，函数
在区间
上为单调函数．
（3）若函数
在区间
上是增函数，求a 的取值范围．
【思路分析】
本例是函数单调性研究中的常见题型，将函数单调性的判断与证明、已知函数的单调性求
参数范围综合考查．对于第（1）问，由题意建立a 的方程，简单易解；第（2）问则必须
扣住单调性定义关键之处，即对差式
的恒等变形、判断．对于
这类代数式，“分子有理化”是明智之举．即将该式乘并除以
，获得正确的结论．第（3）问的实质就是恒成立的状况下求a 的取值范围，
从
恒成立出发，根据
得解．
【精细解析】
（1）解：由
，可得
，解得
．
（2）证明：若
，任取
．
∵
，
，∴
．
∵
，∴
．∴函数
在
上单调递减．
（3）解：任取
，
，
∵
单调递增，
∴
，又
，那么
恒成立．
而
，∴
．
【题后反思】
本题是函数单调性研究中的常见题型，将函数单调性的判断与证明、已知函数的单调性求
参数范围综合考查．其中第（2）问中紧扣函数单调性的定义，遵循“设--作差--变形--定
号--结论”的解题步骤，并就
这类代数式的变形，给出“分子有理化”的
一般方法，值得学习借鉴.第（3）问实质就是恒成立的条件下求参数的取值范围，具体因
题而异，不能拘泥于本题的解法，在后续的变式中将有所体现.
【追根溯源】
1．函数的单调性
函数的单调性是一个重要的概念模型．设函数
的定义域为D，若对于属于定义域D 内
某个区间上的任意两个自变量
、
，当
时，都有
（或
），则
在这个区间上是增（或减）函数．若函数
在某个区间是增函数或减函数，
则
在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做
的单调区间．
2．复合函数的单调性特点
复合函数的单调性特点是：“同增异减”（内外层函数的单调性相同，复合函数为增函数；
内外层函数的单调性相异，复合函数为减函数；）．定义法是判断函数单调性的基本方法，
变通法或复合函数法是判断单调性的重要方法．
3．与函数单调性有关的问题
与函数单调性有关的问题类型较多，主要有由函数单调性定义判断或证明某一函数在一个
区间内的单调性；通过图像或运用复合函数的单调性原理求函数的单调区间；应用函数的
单调性解（证明）不等式；比较数或式的大小；探讨函数的最值（值域）；根据函数的单
调性求参数（范围）等．
【变化角度】改变函数的表达形式，转化成二次函数在指定区间单调且恒为正数，利用二
次函数的图像和性质求参数范围.
已知函数
（
且
）．
（1）用定义证明函数
在
上为增函数．
（2）设函数
，若
是
的一个单调区间，且在该区间上
恒成立，求实数m 的取值范围．
【思路分析】第（1）问，遵循“设--作差--变形--定号--结论”的一般步骤，其中变形一步
按“提取公因式法”，将差式化为乘积的形式.第（2）问，计算可得
，关注其“图象开口方向、对称轴、给
定区间、函数单调性、函数值正负”等，分类列关于m 的不等式组，求得参数范围.
【详解】（1）证明：设
，
．
∵
，∴
，
．∴
．
∴函数
在
上为增函数．
（2）解：
，
对称轴
，定义域
．
（ⅰ）
在
上单调递增且
，有
．
（ⅱ）
在
上单调递减且
，有
无解．
综上，m 的取值范围为
．
【变换角度】变具体函数为抽象函数关系，利用函数的单调性求参数的取值范围.
设函数
是定义在
上的增函数，且满足
．若
，且
，求实数a 的取值范围．
【思路分析】本题要根据函数的单调性，从
出发，求实数a 的取值范围，
实质也就是解此不等式，其变形重点在于将其化为两个函数值的不等关系，利用单调性转
化成关于a 的具体不等式.由
，及
，得到
．从而将
化为
．
【详解】∵
，且
，∴
．
又
，∴
．
再由
，可知
．
∵
是定义在
上的增函数，
∴
解得
，即
．
【变换角度】变具体函数为抽象函数关系，证明函数的单调性，并应用函数的单调性解不
等式.
的定义域为
，且对一切
，
都有
，当
时，有
．
（1）求
的值．
（2）判断
的单调性并证明．
（3）若
，解不等式
．
【思路分析】本题是抽象函数单调性的探究与应用．第（1）问是单调性的探究与证明，应
用已知条件
，确定
>0，达到证明函数单调性的目
的；第（2）问则是应用函数的单调性解不等式.问题的关键在于将
化为两
个函数值间的不等关系.应用已知条件可得
．从而原不等式化为
，问题得解．
【详解】（1）解：
．
．
（2）解：增函数．证明如下：设
，则由
，得
．
∵
，∴
．∴
，即
在
上是增函数．
（3）解：∵
，∴
．
原不等式化为
．∵
在
上是增函数，
∴
解得
．
【变换角度】变更函数为分段函数，根据函数的单调性求参数的取值范围.
若函数
是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围．
【思路分析】本题是分段函数，其在R 上是单调函数，应从整体上考虑，这一点不能疏忽.
根据a 是指数函数的底数，必须对
与
两种情况分类讨论，以下解答即按此思
路给出.事实上，若
，指数函数段为减函数，因此，一次函数段必须也为减函数，
即
，而这是不可能的.故本题还可以先判断出
与
不可能同时成立，
而使解题过程简化．
【详解】（ⅰ）当
时，
在
上是单调递增函数，同时必须满足
解得
．
（ⅱ）当
时，
在
上是单调递减函数，此时应有
即
无解．
综合（ⅰ）和（ⅱ）可知，
，取a 的取值范围为
．
（2024·上海黄浦·二模）
1．设函数
，若
恒成立，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
（23-24 高一下·黑龙江大庆·开学考试）
2．定义在
上的函数
满足：
，且
成立，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
（23-24 高一上·湖南邵阳·阶段练习）
3．已知函数
在R 上单调递增，则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
（2000·广东·高考真题）
4．设函数
，其中
．
(1)解不等式
；
(2)证明：当
时，函数
在区间
上是单调函数．
（23-24 高一上·北京·期中）
5．设函数
是定义在
上的增函数，
，对任意
总有
成立.
(1)求
与
的值；
(2)求使
成立的
的取值范围.
6．已知
定义在
上且
，
，当a，
，
时，
有
．
(1)试判断函数
在
上是增函数还是减函数，并证明该结论．
(2)设
，求证：
．
(3)若
，求x 的取值范围．
