文档文本内容
【第5 讲：函数的概念及其表示】
一．函数的概念及其构成要素（共3 小题）
二．判断两个函数是否为同一函数（共3 小题）
三．简单函数的定义域（共2 小题）
四．复合函数的定义域（共4 小题）
五．抽象函数的定义域（共4 小题）
六．由定义域求解函数或参数（共1 小题）
七．简单函数的值域（共4 小题）
八．复合函数的值域（共7 小题）
九．抽象函数的值域（共2 小题）
十．由值域求解函数或参数（共3 小题）
十一．函数解析式的求解及常用方法（共9 小题）
十二．解析法表示函数（共1 小题）
十三．列表法表示函数（共1 小题）
十四．分段函数的解析式求法及其图象的作法（共2 小题）
【知识点清单】
1．函数的概念及其构成要素
【知识点的认识】
初中函数的定义：
设在某一变化过程中有两个变量x 和y，如果对于每一个x 值，y 都有唯一的值和它对应，那么就说y 是x
的函数，
x 叫自变量，y 叫因变量．
高中函数的定义：
一般地，设A，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合中A 任意一个数x，在集合
中B
都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称为A→B 从集合A 到集合B 的一个函数，记作 y＝f（x），
x∈A．
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集
合
{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集．
函数的构成要素：定义域、对应关系、值域．
题型梳理
总览
注意：①值域由定义域和对应关系唯一确定；
②f（x）是函数符号，f 表示对应关系，f（x）表示x 对应的函数值，绝对不能理解为f 与x 的乘积．在不
同的函数中f 的具体含义不同，
由以上三个实例可看出对应关系可以是解析式、图象、表格等．函数除了可用符号f（x）表示外，还可用
g（x），F（x）等表示．
2．判断两个函数是否为同一函数
【知识点的认识】函数的构成要素：定义域、对应关系、值域．
所以判断两个函数是不是同一函数，就看定义域和对应法则是否一样．
【解题方法点拨】判断函数是否是同一个函数，一般是同解变形化简函数的表达式，考察两个函数的定义
域是否相同，对应法则是否相同．
【命题方向】高考中以小题出现，选择题与填空题的形式，由于函数涉及知识面广，所以函数是否为相同
函数命题比较少．
3【知识点的认识】
函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．
求解函数定义域的常规方法：
①分母不等于零；
②根式（开偶次方）被开方式≥0；
③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；
④指数为零时，底数不为零．
⑤实际问题中函数的定义域；
4．复合函数的定义域
【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．
求解函数定义域的常规方法：
①分母不等于零；
②根式（开偶次方）被开方式≥0；
③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；
④指数为零时，底数不为零．
⑤实际问题中函数的定义域；
5．抽象函数的定义域
【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．
求解函数定义域的常规方法：
①分母不等于零；
②根式（开偶次方）被开方式≥0；
③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；
④指数为零时，底数不为零．
⑤实际问题中函数的定义域；
【解题方法点拨】
求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．
（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．
（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、
面积必须大于零、人数必须为自然数等）．
（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不
等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．
（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；
②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x 的范围．
6．由定义域求解函数或参数
【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．
求解函数定义域的常规方法：
①分母不等于零；
②根式（开偶次方）被开方式≥0；
③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；
④指数为零时，底数不为零．
⑤实际问题中函数的定义域；
【解题方法点拨】
求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．
（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．
（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、
面积必须大于零、人数必须为自然数等）．
（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不
等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．
（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；
②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x 的范围．
7．简单函数的值域
【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A 是函数的定义域．
【解题方法点拨】
（1）求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法
等．
无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．
（2）函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．
此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．
在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．
（3）运用函数的值域解决实际问题
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析
能力和数学建模能力．
【命题方向】常见的题目包括求一次函数、二次函数、分式函数、含绝对值函数、根式函数的值域，以及
结合实际应用题求值域．
8．复合函数的值域
【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A 是函数的定义域．
【解题方法点拨】
（1）求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法
等．
无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．
（2）函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．
此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．
在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．
（3）运用函数的值域解决实际问题
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析
能力和数学建模能力．
9．抽象函数的值域
【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A 是函数的定义域．
【解题方法点拨】
（1）求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法
等．
无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．
（2）﹣根据函数的表达式或题目给出的条件，找出限制条件．
﹣分析各部分的值域，确定整体的值域．
﹣综合各部分的值域，写出抽象函数的值域．
10．函数解析式的求解及常用方法
【知识点的认识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解．
求解函数解析式的几种常用方法主要有
1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等等．
【解题方法点拨】常常利用函数的基本性质，函数的图象特征，例如二次函数的对称轴，函数与坐标轴的
交点等；利用函数的解析式的求解方法求解函数的解析式，有时利用待定系数法．
【命题方向】求解函数解析式是高考重点考查内容之一，在三角函数的解析式中常考．是基础题．
一．函数的概念及其构成要素（共3 小题）
1．已知集合A＝R，B＝（0，+∞），则下列f：A→B 是从集合A 到集合B 的函数的为（ ）
A．f（x）＝lnx
B．f ( x)= ❑√| x|
C．f（x）＝x3
D．f（x）＝3x+1
（多选）2．集合A，B 与对应关系f 如图所示，则f：A→B 是从集合A 到集合B 的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
（多选）3．下列能够表示集合A＝{﹣2，0，1}到集合B＝{﹣1，0，1，2，4}的函数关系的是（ ）
A．y＝﹣x
B．y＝|x|
C．y＝﹣2x
D．y＝x2
二．判断两个函数是否为同一函数（共3 小题）
4．下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（ ）
A．y＝2x﹣3 与y＝2x+3
B．y = ❑√x +1⋅❑√x−1与y = ❑√( x +1)( x−1)
知识讲解与常考题型
题型分类
C．y＝elnx与y＝x
D．y =
3√x
3与y＝x
5．下列四组函数中f（x）与g（x）是同一函数的是（ ）
A．f（x）＝x，g（x）= x
2
x
B．f（x）=( 1
2 )
x，g（x）= x
1
2
C．f（x）＝2lgx，g（x）＝lgx2
D．f（x）＝|x|，g（x）={
x( x ≥0)
−x( x＜0))
6．下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ）
A．f（x）＝x 与g（x）=
❑√x
2
B．f（x）= x
2−1
x +1 与g（x）＝x﹣1
C．f（x）＝lgx 与g（x）= 1
2 lg x
2
D．f（x）={
x−1，x ≥1
1−x，x＜1)与g（x）＝|x﹣1|
三．简单函数的定义域（共2 小题）
7．函数f ( x)= ❑√2 x−3+
1
x−2的定义域为（ ）
A．{x| x＞2
3
x
且≠2}
B．{x| x＜2
3
x
且＞2}
C．{x| 3
2 ≤x ≤2}
D．{x| x ≥3
2
x
且≠2}
8．函数f ( x)= log2( x
2−1)+
1
x +2的定义域是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，1）∪（1，+∞）
B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，﹣1）∪（1，+∞）
C．[﹣2，﹣1）∪（1，+∞）
D．（﹣2，﹣1）∪（1，+∞）
四．复合函数的定义域（共4 小题）
9．已知函数f ( x)=
1
❑√a x
2−2ax +1
的定义域为R，则实数a 的取值范围为（ ）
A．[0，1]
B．[0，1）
C．（0，1]
D．（0，1）
10．已知函数f ( x)=lo g2(sinx−1
2 )+
❑√4 π
2−x
2，则f（x）的定义域为（ ）
A．(−11π
6 ，−7 π
6 )
B．( π
6 ，5 π
6 )
C．[﹣2π，2π]
D．(−11π
6 ，−7 π
6 )∪( π
6 ，5 π
6 )
11．函数f（x﹣1）的定义域为[0，3]，函数g( x)=
f ( x)
❑√2 x +1，则g（x）的定义域为（ ）
A．(−1
2 ，2)
B．（﹣1，+∞）
C．(−1
2 ，0)∪(0，2)
D．(−1
2 ，2]
12．在[0，2π]内函数f ( x)=
❑√sinx−sin
2 x +lg(2cos2 x−1)的定义域是（ ）
A．[0，5 π
6 )
B．( π
3 ，π ]
C．[0，π
6 )∪( 5 π
6 ，π ]
D．[0，π
3 )∪( 2π
3 ，π ]
五．抽象函数的定义域（共4 小题）
13．若函数f（x）的定义域为[0，8]，则函数g( x)= f (2 x)
❑√x−1的定义域为（ ）
A．（1，16）
B．（1，16]
C．（1，4）
D．（1，4]
14．已知函数y＝f（x﹣1）的定义域是[﹣1，2]，则y＝f（1﹣3x）的定义域为（ ）
A．[−1
3，0]
B．[−1
3，3]
C．[0，1]
D．[−1
3，1]
15．已知函数y＝f（2x+1）的定义域为[1，2]，函数y = f (2−x)
x +2
的定义域是 ．
16．若函数f（2x﹣1）的定义域为[﹣1，1]，则函数f（log2x﹣1）的定义域为 ．
六．由定义域求解函数或参数（共1 小题）
17．已知函数f ( x)=
❑√k x
2−4 x +3的定义域为R，求实数k 的取值范围 ．
七．简单函数的值域（共4 小题）
18 ．已知函数y ={
(2−m)x +3m，
x＜1
x
2，
x ≥1)的值域为R ，则实数m 的取值范围为
．
19．函数y = x
2−4 x +3
x
2−1
的值域是 ．
20．函数f ( x)=
❑√−x
2+2 x +2的值域是 ．
21．函数y = x + ❑√x−1的值域为 ．
八．复合函数的值域（共7 小题）
22．函数f ( x)=(2
x+2
−x)| x|
x
的值域是（ ）
A．[2，+∞）
B．（﹣∞，﹣2]
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
23．已知函数f（x）={
a
x+a，x ≥1
−a x
2+2ax−a+3，x＜1)（a＞0 且a≠1），若函数f（x）的值域为R，则实数
a 的取值范围是（ ）
A．（0，2
3]
B．（1，3
2]
C．[2，+∞）
D．[3，+∞）
24．函数f（x）＝lg（ax2+2x﹣1）值域为R 的一个充分不必要条件是（ ）
A．（0，+∞）
B．[0，+∞）
C．[−1
4 ，+∞)
D．[−1
4 ，0)
25．函数y = 3
x+1
9
x−3
x 的值域为（ ）
A．（0，+∞）
B．（﹣∞，﹣6]
C．(−∞， −3−2❑√2]∪(0， + ∞)
D．(−∞， 0)∪[3+2❑√2， + ∞)
26．函数f ( x)=lg( 3
2 x+ 4
3
x
−2)的值域为（ ）
A．（2lg2，+∞）
B．（0，+∞）
C．（﹣1，+∞）
D．[lg2，+∞）
27．已知函数f ( x)={
(5−a)x +3a−2，x＜1
2
x
2−4 x +5+1，x ≥1 )的值域为R，则a 的取值范围是 ．
28．已知偶函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）＝f（x）+f（y）+2xy，则f（x）的值域为
．
九．抽象函数的值域（共2 小题）
29．若函数f（x）的值域为（1，10），则函数g( x)= f ( x)−4 ❑√f ( x)−1的值域为（ ）
A．[﹣3，﹣2）
B．（﹣3，﹣2）
C．[﹣3，1）
D．（﹣3，1）
（多选）30．定义在R 上的函数f（x）的值域为（﹣∞，0），且f（2x）+f（x+y）f（x﹣y）＝0，则（
）
A．f（0）＝﹣1
B．f（4）+[f（1）]2＝0
C．f（x）f（﹣x）＝1
D．f（x）+f（﹣x）≤﹣2
十．由值域求解函数或参数（共3 小题）
31．若函数f ( x)={
x +1，x ≤0
lo ga( x +2)，x＞0)的值域为R，则实数a 的取值范围是（ ）
A．（1，2]
B．[2，+∞）
C．（0，1）
D．（0，1）∪（1，2]
32．已知函数f ( x)={
2
x+1，x ≤m，
lo g2( x +1)，m＜x ≤15)的值域是（1，4]，则实数m 的取值范围是（ ）
A．（0，log23]
B．（1，log23]
C．[1，log23]
D．[log23，2]
33．已知函数f ( x)={
2 x
x−1 ，x＜1
2
x−lo g2(a
2−3a+3)，x ≥1)
的值域为R，则实数a 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1]
B．[1，2]
C．[2，+∞）
D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）
十一．函数解析式的求解及常用方法（共9 小题）
34．已知f ( x + 1
x )= x
2+ 1
x
2 + 4，则f（x）＝（ ）
A．x2+2
B．x2﹣2
C．x + 1
x (| x|≥2)
D．x2+2（|x|≥2）
35．如图所示的“心形”图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”图形在x 轴上方的图象对应的函
数解析式可能为（ ）
A．y =
❑√−x
2+2| x|
B．y = x
❑√4−x
2
C．y =| x|
❑√4−x
2
D．y =
❑√−x
2+2 x
36．令函数h（x）＝2lnx+3，再定义g( x)=ℎ( x)+ℎ( 1
x )，函数f（x）满足f ( x)+ f ( 1
x )= g( x)，
f ( x)−f ( 1
x )=−[ℎ( x)−ℎ( 1
x )]，则g（e）•f（e）＝（ ）
A．3
B．6
C．9
D．18
37．定义在R 上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）＝lg（10x+1），则g（x）的最小值为
（ ）
A．2
B．1
2
C．2lg2
D．lg2
38．已知函数f（2x+1）＝3x﹣1，则f（2）＝（ ）
A．﹣3
B．﹣1
C．2
D．5
39．函数f（x）满足若f（g（x））＝9x+3，g（x）＝3x+1，则f（x）＝（ ）
A．f（x）＝3x
B．f（x）＝3
C．f（x）＝27x+10
D．f（x）＝27x+12
40．写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式f（x）＝ ．
①f（x）的定义域为（0，+∞）；②f（xy）＝f（x）+f（y）；③f（x）在区间（0，+∞）上单调递
减．
41．已知函数f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）＝x2+2x，则当x＞0 时，f（x）的解析式为
．
42．求下列函数的解析式：
（1）已知函数f（x﹣1）＝x2﹣4x，求函数f（x）的解析式；
（2）已知f（x）是二次函数，且满足f（0）＝1，f（x+1）﹣f（x）＝2x，求f（x）．
十二．解析法表示函数（共1 小题）
43．给定函数f（x）＝x+3，g（x）＝（x+1）2，x∈R．
（1）在同一坐标系中画出函数f（x），g（x）的图像，
（2）若min{a，b}表示a，b 中的较小者，例如min{2，1}＝1．记m（x）＝min{f（x），g（x）}．
（i）请分别用图像法和解析法表示函数m（x），并指出函数m（x）的单调区间，
（ii）当x∈[−5
2 ，−1
2 ]时，求m（x）的最大值和最小值．
十三．列表法表示函数（共1 小题）
44．函数f（x）的数据如表，则该函数的解析式可能形如（ ）
x
﹣2
﹣1
0
1
2
3
5
f（x）
2.3
1.1
0.7
1.1
2.3
5.9
49.1
A．f（x）＝ka|x|+b
B．f（x）＝kxex+b
C．f（x）＝k|x|+b
D．f（x）＝k（x﹣1）2+b
十四．分段函数的解析式求法及其图象的作法（共2 小题）
45．若f（x）={
f ( x +2)，x＜1
log2 x，x ≥1 )，则f（﹣2）的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．﹣2
46．若函数f ( x)={
4lo g2( x−1)，x＞1，
2f ( x +2)，x ≤1，)则f（﹣1）＝（ ）
A．2
B．4
C．6
D．16
一、单选题
1．下列表示函数图象的是（ ）
课后针对训练
A．
B．
C．
D．
2．已知函数
的定义域为R，且
，若
，则
（ ）
A．－2024
B．－2023
C．4049
D．4050
3．已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列四组函数中表示同一个函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数
若
存在最小值，则的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
6．已知
，则
．
7．函数
的定义域为 ．
8．（1）若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为 ；
（2）若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为 ．
9．已知函数
，若当
时，
，则
的最大值是 ．
10．已知符号函数
，
，若
，则实数a 的取值范
围是 ．
11．已知函数
的最小值为
，则
的取值范围为 .
12．已知函数
，当
时，
的值域是 ；若
且
，使得
成立，则实数
的取值范围为 .
三、解答题
13．求下列函数的值域：
(1)
；
(2)
．
(3)
．
14．求函数
的值域．
15．求函数
的值域．
16．求函数
的值域．
17．求函数
的最大值、最小值.
18．已知二次函数
满足：对任意
，均有
，且
，求
的解析
式．
19．已知
，求
的解析式．
20．已知
，求
的解析式．
