文档文本内容
培优点2 解三角形中的几何计算问题
目录
01 重点解读..................................................................................................................................2
02 思维升华..................................................................................................................................3
03 典型例题..................................................................................................................................4
题型一：利用两次正弦定理消元法............................................................................................4
题型二：利用两次余弦定理建立等量关系................................................................................5
题型三：等面积法........................................................................................................................6
题型四：角平分线问题................................................................................................................7
题型五：中线问题........................................................................................................................8
题型六：高问题............................................................................................................................9
题型七：四心问题......................................................................................................................10
04 课时精练................................................................................................................................12
解三角形图形计算常以三角形、四边形（可拆为三角形）为背景，结合高、中线、角平分线等元素。
核心用正余弦定理求边长、角度，结合面积公式计算。
解决三角形图形类问题的方法：
方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，
相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选
择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可
以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更
加直观化.
题型一：利用两次正弦定理消元法
【例题1】如图，在
中，角
所对的边分别为
是
内的一点，且满足
．
(1)若
，求
的大小；
(2)若
，求
的正切值；
(3)若
，求
的值．
【例题2】如图，在
中，
，
，
，
为
内一点，且
．
(1)若
，求
的长；
(2)若
，求
．
【变式1】（2025·全国·模拟预测）记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)证明：
；
(2)若
平分
，点
在线段
上，且
，求
的长．
【变式2】（2025·高三·浙江·开学考试）在
中，
分别是角
所对的边，且满足
.
(1)求
的大小；
(2)点
是边
上一点，且满足
，求
的值.
【变式3】在
中，已知
的平分线
与边
相交于点
.
(1)求证：
；
(2)若
，
，
，求
.
题型二：利用两次余弦定理建立等量关系
【例题3】
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求；
(2)若D 为AB 中点，
，
，求
的周长．
【例题4】在四边形
中，
平分
．
(1)求
；
(2)当
取最大值时，求
．
题型三：等面积法
【例题5】（2025·高三·黑龙江·开学考试）在
中，内角
所对边分别为
，
(1)若
，求
的值.
(2)若
的角平分线
交
于点
.
（ⅰ）若
，求
的最大值；
（ⅱ）若
，
，求
的面积.
【例题6】（2025·高三·贵州贵阳·开学考试）已知
，
，分别为
三个内角
，
，
的对边，
，
，且
的面积为
．
(1)求
；
(2)若
在
边上，且线段
平分
，求线段
的长度．
【变式4】如图，平面四边形
中，
，记
.
(1)用
表示
；
(2)求四边形
面积的范围；
(3)当
为何值时，
.
题型四：角平分线问题
【例题7】已知平面四边形ABDC 中，对角线CB 为钝角
的平分线，CB 与AD 相交于点O，
，
，
.
(1)求
的值；
(2)求
的长；
(3)若
，求
的面积.
【例题8】已知
的内角
的对边分别为
.求角
的平分线长的取值范围.
【变式5】（2025·湖南湘潭·一模）在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
向量
，
,点 M 在边BC 上，AM 是角A 的平分线．
(1)求角A；
(2)求 AM 的长．
【变式6】已知
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)求C；
(2)若
的平分线交
于D，且
，求
的值.
题型五：中线问题
【例题9】（2025·高三·浙江·开学考试）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满足
(1)求角A；
(2)若
，
边中线
长为1，求
的面积．
【例题10】在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
．
(1)求角
；
(2)若
，且边
的中线
的长为
，求
的面积；
(3)若
是锐角三角形，求
的范围．
【变式7】在
中，
，
是
边上的中线，记
，
．
(1)求
；
(2)若
，
，求
．
题型六：高问题
【例题11】在△ ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求角A 的大小；
(2)若
，
，求边AC 上的高．
【例题12】（2025·山东聊城·三模）记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
；
(2)若
，且
边上的高为
，求
的周长．
【变式8】（2025·云南昆明·模拟预测）已知a，b，c 分别为
三个内角A，B，C 的对边，且
(1)求A；
(2)若
，
，求BC 边上的高
题型七：四心问题
【例题13】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知
内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，点G 是
的重心，且
．
(1)若
，求
的值；
(2)求
的取值范围．
【例题14】（2025·浙江·三模）已知在
中，角A，B，C 所对的边记为a，b，c，设其外心为O.
若
.
(1)求角A 的大小；
(2)若
，求
的面积.
【变式9】（2025·辽宁·模拟预测）四面体
满足
两两垂直
(1)点
在面
内的正投影
是
的什么心？请给出证明
(2)设点
为
的外心，
为
的外接圆半径，设
①请写出
与
的关系（用
表示
）．
②求证：
为定值．
【变式10】在
中，角
所对的边分别为
，已知
，且满足
(1)求角
的大小
(2)
的内心为
，求
周长的取值范围.
【变式11】（2025·江苏·模拟预测）在
中，角
的对边分别为
，
．
(1)若
，求
的周长；
(2)若
的内切圆、外接圆半径分别为
，求
的取值范围．
1．（2025·高三·江苏苏州·开学考试）在
中，角
的对边为
，
，，
，且
.
(1)求
；
(2)若
的周长为
，求
边上的高.
2．如图，在平面四边形
中，
，若
是
上一点，
．记
，
．
(1)证明：
；
(2)若
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求线段
长度的取值范围．
3．如图，在四边形
中，
，
，
，
.
(1)当
、
、
、
四点共圆时，求
；
(2)求四边形
面积的最大值；
(3)求
的最大值．
4．如图，在平面四边形
中，
．
(1)若
，求
的值；
(2)若
，求
的值；
(3)求四边形
面积S 的最大值．
5．记
的内角
、
、
的对边分别为
、
、，已知
，点
在
边上，且
，
，求
.
6．（2025·河南·三模）已知
是
内一点，
.
(1)若
，求
；
(2)若
，求
.
7．
的内角
的对边分别为
为
平分线，
.
(1)求
；
(2)
上有点
，求
.
8．已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)求
的值；
(2)若
，求
；
(3)若
，且边
上的中线
，求
的周长.
9．在三角形
中，
分别是边
的中点，已知
．
(1)求三角形
的面积；
(2)求三角形
的周长．
10．在
中，角
的对边分别为
，已知
，
，
为
边上一点．
(1)若
为
的中点，且
，求
；
(2)若
的面积为
，且
平分
，求
的长．
11．（2025·高三·全国·开学考试）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
(1)求证：
(2)若D 为BC 的中点，
，
，求
的面积.
12．（2025·高三·安徽·期中）如图，在平面四边形
中，
与
的交点为E，
平分
，
，
．
(1)证明：
；
(2)若
，求
．
13．如图，四边形
中，
．
(1)求
；
(2)
为边
上一点，且
的面积为
，求
的外接圆半径．
14．（2025·江西新余·模拟预测）如图，在四边形
中，
，
，
，
，
.
(1)求
；
(2)求四边形
的面积.
15．记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求
；
(2)若
，
的面积为
，求b；
(3)已知
的外接圆半径为
，
的平分线交
于点D，若
，求
的周长．
16．在锐角
中，内角
，
，
所对边分别为
，
，，
．
(1)求角
；
(2)设
是角
的平分线，与
边交于
，若
，
，求
，；
17．（2025·高三·河北·开学考试）在
中，内角
所对的边分别为
，且
.
(1)求角
；
(2)若
边
上的中线
的长度为
，求
面积的最大值．
18．在
中，内角
，
，
所对的边分别是
，
，，且
，
.
(1)求角
；
(2)若
，求边AC 上的角平分线BD 长；
(3)若
为锐角三角形，求边
上的中线
的取值范围.
19．在
中，角
的对边分别为
，且
．
(1)求
；
(2)若
边上的高为
，求
．
20．（2025·湖北·三模）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求C；
(2)若
边上的高
为
，求
的最小值．
21．（2025·广东茂名·二模）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
．
(1)求
；
(2)若
，且
边上的高为
，求
的周长．
22．（2025·广东·一模）在△
中，角
的对边分别为
，已知
(1)求
;
(2)若
分别为边
上的中点，
为
的重心，求
的余弦值.
23．（2025·全国·模拟预测）记
的内角
的对边分别为
，已知
，
，
为
的外心.
(1)求
的面积；
(2)求
周长的取值范围.
24．（2025·广东肇庆·二模）在①
；②
这两个条件中任选一个，补充
在下面的横线上，并解答.记
的内角
所对的边分别是
，已知__________.
(1)求
.
(2)设
为
的内心（三角形三条内角平分线的交点），且满足
，求
的面积.
25．（2025·江苏苏州·模拟预测）在
中，角
所对的边分别记作
已知
的周长为
，且有
．
(1)求
的面积；
(2)设
内心为
，外心为O，
，求外接圆半径．
注：在
中，有
，其中r 和R 分别为三角形内切圆与外接圆的半径．
26．（2025·全国·模拟预测）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
.
(1)求A；
(2)若O 是
的内心，
，且
，求
面积的最大值.
27．（2025·河北·模拟预测）设
的外接圆半径为
，内切圆半径为，定义
的值为
的“分离比”.
(1)若
为等腰直角三角形，求
的分离比
；
(2)证明：
；
(3)探究
的最值.
