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专题03 函数的值域与最值（一题多变）
【典例展示】（1）已知关于x 的函数
的定义域为D，若存在区
间
，使得
的值域也是
，则当t 变化时，
的最大值是______．
（2）已知
，
，且
，求
的最值．
【思路分析】
解答（1）题，应通过确定函数的值域，结合已知条件，确定
的表达式，进一步求其
最值.具体的，由于函数的单调性较为明确，故根据函数的单调性寻求定义域与值域的对应
得出a、b 满足的方程．此方程有两个相异实根，由
且
得出t 的取值范围，由韦达
定理得到
关于t 的二次函数，运用配方法求最值．
对于第（2）题，求二元函数的最值，常用消元法化归为一元函数来处理.思路一，利用代
入法，将
转化成二次函数在指定范围的值域；思路二，利用数形结合思想，把
可看作线段
上的点与原点的距离，
【精细解析】（1）
是
，
上单调递增函数，有
或
．
由单调性及题设得
即a、b 是方程
在
或
上的两个不相
等的实数根．
即
满足
且
，得
且
，
∴
．
当
时，
取得最大值，
，又
，故
（2）解法一由
．
∴
，
在
内递减，在
内递增，显然有
，
．
解法二（几何法）
可看作线段
上的点与原点的距离，
易得
，故
，
．
【题后反思】本题均与“二次”问题相关，易于使人联想配方法、判别式法，但对于
（1）题，需首先根据函数的单调性寻求定义域与值域的对应得出a、b 满足的方程．再由
且
得出t 的取值范围，由韦达定理得到
关于t 的二次函数，运用配方法求
最值．
对于第（2）题，从数的角度出发，易于想到代入消元法.而对于解法二，则需牢固树立数
形结合的转化意识，从“形”的角度出发，化数的问题为“形”的问题，化抽象为直观.
【追根溯源】
一、在函数
中，自变量x 对应的函数值的集合
叫做函数的值域．
二、函数
在
处的函数值是
，如果对于定义域内任意x，不等式
恒成立，那么
就是函数
的最小值，记作
；如果对于
定义域内任意x，不等式
恒成立，那么
就是函数
的最大值，记
作
．
三、求函数的值域与求函数的最值是有其内在联系的，解法也是相通的．这类数学问题的
技巧性较强，且常常可以一题多解，解题的关键在于变更问题和构造模型，常用的方法主
要有以下几种：
1．配方法
适用于二次函数或可转化为二次函数型的函数，要特别注意自变量的取值范围．
2．判别式法
适用于可化为关于x 的二次方程的函数
，由
，求出y 的取值范围，要检验函
数的这个最值在定义域内是否有相应的x 值．
3．均值不等式法
利用均值不等式求函数值域或最值时，一定要注意满足“一正二定三相等”的原则．
4．换元法
根据函数解析式的特点常用三角换元、整体代换，常可以使解析式复杂的问题转化为简单
易求解的问题．当然，用换元法求函数值域或最值时，要注意新变量的取值范围．
5．数形结合法
从理解或构造函数的几何意义着手，看能否与距离、斜率及对称问题等相通．
6．函数单调性质法
利用函数在相应区间上的单调性，由于值域或最值是对函数的总体而言．若需对问题分段
讨论，最后必须加以整合．
7．导数法
设
的导数为
，由
的符号确定区间上的单调性，由
可求得极值
点坐标，若函数定义域为
，则最值必定为极值点和区间端点中函数值的最大值和最小
值．
在实际数学问题中，求函数的最值或值域，提问的角度不同，解答方式也会有所差异，求
函数最值时也要注意函数的定义域，若定义域为开区间，则在区间端点不可能出现最值．
【变化角度】改变函数的表达形式，通过等价变形“构造”二次型函数，应用配方法求解.
求函数
的值域.
【思路分析】本题是分式函数，分子分母是“同次”的，因此可以通过分子、分母同除以
x，是分子为常数，只需讨论分母的“值域”，如解法一；另外注意到分母为根式，且可以
变形为
，联想同角三角函数公式，而运用“三角换元法”，将问题
转化成求三角函数的值域，即解法二.
【详解】解法一（分类讨论法）当
时
；
当
时，
，由
知
，∴
；
当
时，
．
∵
．∴
．
综上所述，函数的值域为
．
解法二（换元法）∵
，
故可设
，
．
于是
．
由
，知
．∴
【变换角度】改变所求二元表达式的结构，利用均值不等式求函数的最值.
已知
，
，且
，求xy 的最小值．
【思路分析】根据限制条件，有两种思路，思路一直接从限制条件入手，应用均值不等式，
求得最小值.
思路二，从限制条件出发，应用代入消元的方法，将问题转化成“一元函数”--分式函数，
利用“分离常数法”，创造应用均值不等式的条件求最值.如果在“分离常数”后，应用
“对勾函数”的单调性，也是一种可行的方法.
思路三，代入消元转化成一元分式函数后，应用判别式法.
【详解】解法一：（圴值不等式法）
，
，
，∴
，
解得
，当且仅当
且
，即
，
时，xy 有最小值6．
解法二：（消元后配凑运用均值不等式）由
得
， ∴
．
即
．
∵
，∴
，当且仅当
，即为
时等号成立，此时
．
解法三：（判别式法）由解法二知
，令
，整理得
，
此方程有大于1 的根的必要条件是
．
∵
，
．反之当
时，方程
的两根都大于1．故
（此时
，
）．
【变换角度】改变分式函数分子、分母的次数，应用“化部分分式法”转化求解.
设
为常数，求函数
的最小值．
【思路分析】 本题分子参数高于分母次数，因此采用“化部分分式法”，转化应用均值不
等式或“对勾函数”的单调性求解.
【详解】
，
当且仅当
，即
时等号成立．
当
时，
，
时，
，
当
时，
不成立．此时，令
，
．由单调性的定义
可以证
明
是
上的增函数．∴当
，即
时，
．
综上，当
时，
；当
时，
．
【变换角度】变具体函数为抽象函数关系式，与求函数解析式与求函数值域综合考查.
已知函数
满足
，求
的值域．
【思路分析】首先利用函数方程法，将f(x)作为一个未知数来考虑，通过给自变量“赋
值”，建立方程（组），消去另外的未知数得到
．接下来可采用判别式
法或基本不等式法求其值域．
【详解】
． ①
用
替代
，得
．②
×2+
①
②，得
，整理得
．③
（ⅰ）用判别式法求③的值域：令
．∵
且
．
故
．
∴
或
，
的值域为
．
（ⅱ）用基本不等式求③的值域：当
时， ∵
，∴
，即
；
当
时，
，
，则
．∴
，即
．
∴
的值域为
．
（2024 高三·全国·专题练习）
1．函数
的最小值是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【分析】设
（
），则函数
等价于
，
，
结合二次函数的性质即可求解.
【详解】设
，
，则
，
则函数
等价于
，
，
∵
在
上是增函数，
．
∴函数
的最小值是3．
故选：A．
（2024·湖南岳阳·三模）
2．已知函数
，
不存在最小值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分别在
条件下结合指数函数单调性及二次函数性质，确定函数
的
取值规律，由条件列不等式求
的范围，可得结论.
【详解】（1）当
时，若
，则
，
因为函数
在
上单调递增，所以
，
若
，则
，当且仅当
时取等号，
因为
不存在最小值，
所以
，所以
，
（2）当
时，若
，则
，
因为函数
在
上单调递增，所以
，
若
，则
，当且仅当
时取等号，
因为
不存在最小值，
所以
，所以
，
所以实数
的取值范围是
，
故选：C.
（22-23 高一上·陕西西安·期末）
3．已知正实数
满足
则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，则
，代入已知等式，化为关于x 的方程，由判别式非负，解
得t 的最大值.
【详解】设
，则
，
因为
，
所以
，即：
，
所以
，
解得：
，
又因为
，
为正实数，
所以
，
所以
的最大值为
.
故选：C.
（2024 高三·全国·专题练习）
4．(多选)若函数y＝x2－3x－4 的定义域为[0，m]，值域为[－
，－4]，则实数m 的取值
范围可以是（ ）
A．[0，4]
B．[
，2]
C．[
，2]
D．[1，2]
【答案】BC
【详解】
∵y＝x2－3x－4＝(x－)2－
，作出函数y＝x2－3x－4 在区间[0，m]上的图象如图所示．
由图象可知，当x＝时，ymin＝－
.令y＝x2－3x－4＝－4 得出x＝0 或x＝3.当0＜m＜时，
函数y＝x2－3x－4 在区间[0，m]上单调递减，此时ymin＝m2－3m－4＞－
，不符合题意；
当≤m≤3 时，且当x [0
∈
，m]时，由图象可知ymin＝－
，ymax＝－4，符合题意；当m＞3
时，且当x [0
∈
，m]时，由图象可知ymin＝－
，ymax＝m2－3m－4＞－4，不符合题意．综上
所述，实数m 的取值范围是[ ，3].故选BC.
（2024 高三·全国·专题练习）
5．已知函数
在
上的最大值比最小值大
，则
.
【答案】1
【分析】根据函数的奇偶性和和对勾函数的性质可知
在
上单调减，在
上单调递增，分
和
两种情况讨论，求出最值即可求解.
【详解】
，
所以
为奇函数，且
在
上的最大值比最小值大
，
所以
在
上的最大值比最小值大
.
由对勾函数的性质可得
在
上单调减，在
上单调递增.
当
时，即
时，
在
上单调递增.
则
，
解得
.
当
时，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
，
因为
，所以
，
所以
，
解得
（舍去）或9（舍去）.
综上
，
故答案为：1
（2021 高三·全国·专题练习）
6．若x，y 为实数且满足
，试分别求x、y 的最值.
【答案】
，
.
【分析】由题可整理成关于x 或y 的一元二次方程，然后利用判别式法即求.
【详解】由已知
变形得
，
，
则
，即有
，
于是
，即
，即
；
同理可得，
，
，
则
，即有
，
于是
，即
，
.
