文档文本内容
第 02 讲 函数的单调性与最大（小）值
目录
第一部分：基础知识..................................................1
第二部分：高考真题回顾..............................................3
第三部分：高频考点一遍过............................................3
高频考点一：函数的单调性.........................................3
角度1：求函数的单调区间.......................................3
角度2：根据函数的单调性求参数.................................4
角度3：复合函数的单调性.......................................4
角度4：根据函数单调性解不等式.................................4
高频考点二：函数的最大（小）值...................................5
角度1：利用函数单调性求最值...................................5
角度2：根据函数最值求参数.....................................6
角度3：不等式恒成立问题.......................................6
角度4：不等式有解问题.........................................7
第四部分：典型易错题型..............................................9
备注：单调区间容易忽视定义域.....................................9
备注：分段函数单调性问题容易忽视分段点大小比较...................9
备注：利用单调性解不等式容易忽略函数定义域.......................9
第五部分：新定义题（解答题）.......................................10第一部分：基础知识
1、函数的单调性
（1）单调性的定义
一般地，设函数 的定义域为 ，如果对于定义域 内某个区间 上的任意两个自变量的值 ， ；
①当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是增函数
②当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是减函数
（2）单调性简图：
（3）单调区间（注意先求定义域）
若函数 在区间 上是增函数或减函数，则称函数 在这一区间上具有（严格的）单调
性，区间 叫做函数 的单调区间．
（4）复合函数的单调性（同调增；异调减）
对于函数 和 ，如果当 时， ，且 在区间 上和
在区间 上同时具有单调性，则复合函数 在区间 上具有单调性，并且具
有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．
2、函数的最值
（1）设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足
①对于任意的 ，都有 ；
②存在 ，使得
则 为最大值
（2）设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足
①对于任意的 ，都有 ；
②存在 ，使得
则 为最小值
3、常用高频结论（1）设 ， .
①若有 或 ，则 在闭区间 上是增函数；
②若有 或 ，则 在闭区间 上是减函数.此为函数
单调性定义的等价形式.
（2）函数相加或相减后单调性：
设 ，两个函数 ， 在区间 上的单调性如下表，则 在 上的单
调性遵循（增+增=增；减+减=减）
增 增 增
减 减 减
增 减 增
减 增 减
（3）对钩函数单调性： （ ， ）的单调性：在 和 上单调
递增，在 和 上单调递减．
（4）常见对钩函数： （ ），的单调性：在 和 上单调递增，在
和 上单调递减．
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·（新课标Ⅰ卷））设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数的单调性
角度1：求函数的单调区间
典型例题
例题1．（2024上·湖南娄底·高一校考期末）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2024上·四川宜宾·高一校考期末）函数 的单调递减区间是 ．
角度2：根据函数的单调性求参数
典型例题
例题1．（2024上·河北沧州·高一统考期末）已知函数 在R上单调递增，则实数
a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2024上·广东深圳·高一校考期末）函数 在 上单调递增，则k的取值范围为
．
角度3：复合函数的单调性
典型例题
例题1．（2024·全国·高一假期作业）已知函数 ，则单调递增区间为 ．
例题2．（2024·全国·高一假期作业）函数 的单调递减区间是 .
角度4：根据函数单调性解不等式
典型例题
例题1．（2024上·福建莆田·高一校联考期末）已知偶函数 在区间 上是增函数，则满足的 取值范围是 .
例题2．（2024上·海南海口·高一海南中学校考期末）已知函数 是定义在R上的奇函数，且当
时， ．
(1)求 在R上的解析式；
(2)判断 的单调性，并解不等式 ．
练透核心考点
1．（2024上·浙江温州·高一统考期末）已知函数 在定义域 上是减函数，则 的值可
以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
2．（2024上·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）设函数 （ 且 ）在区间
上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·山东青岛·高一统考期末）定义在 上的函数 ，若 ，则 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国·高三专题练习）函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． 和
C． D． 和
5．（2024·江苏·高一假期作业）函数 的单增区间为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024下·全国·高一开学考试）若函数 在 内满足：对于任意的实数
，都有 成立，则实数 的取值范围为 ．高频考点二：函数的最大（小）值
角度1：利用函数单调性求最值
典型例题
例题1．（2024下·高二课前预习）函数 在 上的最大值和最小值分别是（ ）
A．12， B．5， C．5， D．12，
例题2．（2024上·江苏镇江·高一统考期末）函数 的定义域为 ，则值域为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2024上·河南许昌·高一统考期末）已知函数 ．
(1)判断函数 奇偶性，并用定义法证明；
(2)写出函数 的单调区间，并用定义法证明某一个区间的单调性；
(3)求函数 在 上的最大值和最小值．
角度2：根据函数最值求参数
典型例题
例题1．（2024·江苏·高一假期作业）已知函数 有最小值，则实数a的取值范围
是 .
例题2．（2024上·吉林通化·高三校考阶段练习）已知函数 在区间 上有最小值4，则
实数k＝ ．
例题3．（2023上·江苏镇江·高一江苏省镇江第一中学校考阶段练习）若函数 在 的最
大值为2，则 的取值范围是 .角度3：不等式恒成立问题
典型例题
例题1．（多选）（2023上·江苏淮安·高一校考阶段练习）已知关于 的不等式 对 恒成
立，则实数 的可取值是（ ）
A．-2 B．0 C．3 D．7
例题2．（2023上·江苏扬州·高一江苏省邗江中学校考阶段练习）已知函数 .
(1)若 ，且 ，求函数 的值域；
(2)若 ，都有 ，求 的取值范围.
例题3．（2023上·广东潮州·高一饶平县第二中学校考期中）已知幂函数 在 上
单调递减.
(1)求 的解析式；
(2)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
角度4：不等式有解问题
典型例题
例题1．（2023上·辽宁·高一校联考阶段练习）若“ ， ”为真命题，则
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．例题2．（2023上·湖北武汉·高一武汉市第四中学校考阶段练习）已知关于 的不等式 在
上有解，则实数 的取值范围是 .
例题3．（2023上·江苏连云港·高三江苏省海州高级中学校考阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求 的最大值和最小值；
(2)若 ，使 成立，求实数 的取值范围.
练透核心考点
1．（2024下·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）下列选项中是“ ，
”成立的一个必要不充分条件的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·高一专题练习）函数 ， 的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的值为
．
4．（2024上·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）已知函数 .
(1)若 是奇函数，求实数 的值；
(2)若 ，求 在 上的值域.
5．（2024·全国·高一假期作业）已知
(1)根据单调性的定义证明函数 在区间 上是减函数
(2)若函数 （ ）的最大值与最小值之差为1，求实数 的值6．（2024上·河南商丘·高一睢县回族高级中学校联考期末）已知函数 .
(1)设函数 ，实数 满足 ，求 ；
(2)若 在 时恒成立，求 的取值范围.
7．（2023上·江苏南通·高一统考期中）已知函数 .
(1)试判断函数 在区间 上的单调性，并用函数单调性定义证明；
(2)若存在 ，使 成立，求实数 的范围.
8．（2023下·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知函数 ， ．
(1)求函数 在 上的值域；
(2)若 ， ，使得 ，求实数 的取值范围．
第四部分：典型易错题型
备注：单调区间容易忽视定义域
1．（2023上·陕西西安·高一校考阶段练习）函数 的单调增区间是 ．
2．（2023下·福建三明·高一永安市第九中学校考阶段练习）函数 的单调递减区间是
.备注：分段函数单调性问题容易忽视分段点大小比较
1．（2023上·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考开学考试）已知 是
上的减函数，则实数 的取值范围是 ．
2．（2023上·广东深圳·高一校考期末）若 ，满足对任意 ，都有
成立，则 的取值范围是 .
备注：利用单调性解不等式容易忽略函数定义域
1．（2023上·重庆·高一重庆市辅仁中学校校考期中）定义在 上的奇函数 为减函数，且
，则实数 的取值范围是 ．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 是减函数，则满足 的x
的取值范围是 ．
第五部分：新定义题（解答题）
1．（2024上·福建泉州·高一统考期末）给定函数 与 ，若 为减函数且值
域为 （ 为常数），则称 对于 具有“确界保持性”.
(1)证明：函数 对于 不具有“确界保持性”；
(2)判断函数 对于 是否具有“确界保持性”；
(3)若函数对于具有“确界保持性”，求实数的值.
