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第二章 方程与不等式
2.1 一次方程(组)及其应用
考点：1.一元一次方程及其解法；2.二元一次方程(组)及其解法(消元思想)；3.一次方程(组)的实际应用
第1 关练速度
1.关于x 的一元一次方程2x+m=5 的解为x=1，则m 的值为( )
A.3
B.-3
C.7
D.-7
2.我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何?这段
话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺.绳长、井深各几
尺?若设绳长为x 尺，则可列方程为 ( )
A . 1
3 x−4 = 1
4 x−1
B. 1
3 x + 4 = 1
4 x−1
C . 1
3 x−4 = 1
4 x +1
D. 1
3 x + 4 = 1
4 x +1
3.对 于 二 元一 次方 程 组将①式代入②式，消去y 可以 { y = x−1,
x +2 y =7 ,①②得到
( )
A. x+2x-1=7
B. x+2x-2=7
C. x+x-1=7
D. x+2x+2=7
4.我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问
雉兔各几何?”其大意是：鸡兔同笼，共有35 个头，94 条腿，问鸡兔各多少只?设鸡有x 只，兔有y 只，根
据题意可列方程组为
( )
A .{ x + y =94 ,
4 x +2 y =35
B.{ x + y =94 ,
2 x + 4 y =35 C .{ x + y =35,
4 x +2 y =94
D .{ x + y =35,
2 x + 4 y =94
5.“ 方程” 二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“ 方程” . 如:
从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x、y 的系数与相应的常数项，即可表示方
程x+4y=23，则表示的方程是 .
6.若关于x、y 的二元一次方程组 {ax + y =b,
cx −y =d 的解是 { x =3,
y =−2则关于x、y 的方程组 {ax +2 y =2a+b,
cx −2 y =2c +d 的解是
.
7.解方程组：
(1) { 2 x + y =7 ,
2 x−3 y =3; (2) { x−y =0,
3 x + y = 4.
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第2 关 练准确率
8.已知关于x、y 的二元一次方程组 {3 x−y = 4 m+1,
x + y =2m−5 的解满足x-y=4,则 m 的值为
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
9.元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽
马先行一十二日，问良马几何日追及之?”其大意是：快马每天行 240 里，慢马每天行 150 里，慢马先行
12 天，问快马几天可追上慢马?则快马追上慢马的天数是
( )
A.5 天
B. 10 天
C. 15 天
D.2 0 天
10.幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”.把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三
阶幻方(如图①)，将9 个数填在3×3(三行三列)的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上
的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方.图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个
广义的三阶幻方，则 m
n= .
11.钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88 个，白色琴键比黑色琴键多16 个.求白
色琴键和黑色琴键的个数.
12.乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业.某村有部分返乡青年承包了一些田地.采用新技术种植A、B
两种农作物.种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表：
农作物品
种
每公顷所需人
数
每公顷所需投入资金
(万元)
A
4
8
B
3
9
已知农作物种植人员共24 位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60 万元.问A、B 这两种农作物
的种植面积各是多少公顷?
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13.我市将5 月21 日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”.活动主办
方分两次共邮购了200 把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品.折扇单价为8 元，其中邮费和优
惠方式如下表所示：
邮购数量
1~99
100 以上(含100)
邮寄费用
总价的10%
免费邮寄
折扇价格
不优惠
打九折
若两次邮购折扇共花费1 504 元，求两次邮购的折扇各多少把.
第3 关练 思维宽度
14.如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽.有大小质地完全相
同的三个小球，每个小球标有从1 至 9 中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同.作如下操作：
将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽(每个小孔槽只能容下一个小球)，
取出小球记录下各小孔槽的计分(分数为落入该小孔槽小球上所标的数字)，完成第一次操作.再重复以上操
作两次.已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20 分、10 分、9 分，其中第一次操作计分最高的是
乙槽，则第二次操作计分最低的是 (从“甲槽”“乙槽”“丙槽”中选填).
15.某条城际铁路线共有A、B、C 三个车站，每日上午均有两班次列车从 A 站驶往 C 站,其中 D1001 次列车从A
站始发,经停 B 站后到达 C 站,G1002 次列车从A 站始发，直达 C 站，两个车次的列车在行驶过程中保持
各自的行驶速度不变.某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到的列车运行信息如下表所示.
列车运行时刻表
车次
A 站
B 站
C 站
发车时刻到站时刻发车时刻到站时刻
D1001
8:00
9:30
9:50
10:50
G1002
8:25
途经B 站，不停车
10:30
请根据表格中的信息，解答下列问题：
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(1)D1001 次列车从 A 站到 B 站行驶了 分钟，从B 站到 C 站行驶了 分钟.
(2)记 D1001 次列车的行驶速度为 v ₁,离A 站的路程为d ；
₁
G1002 次列车的行驶速度为v ，离
₂
A 站的路程为
d ₂.
①v1
v2
= .
②从上午8：00 开始计时，时长记为 t 分钟(如:上午9:15,则 t=75),已知 v1=240千米/时(可换算为4 千
米/分),在 G1002 次列车的行驶过程中(25≤t≤150),若 ∣d1−d2∣=60,求t 的值.
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第二章 方程与不等式
2.1 一次方程(组)及其应用
1. A 2. A 3. B 4. D
5. x+2y=32 6.{ x =5,
y =−1
7.(1){ 2 x + y =7,
2 x−3 y =3,
②
①-②得4y=4,解得y=1,
将y=1 代入①得2x+1=7,解得x=3,
∴ 方程组的解是 {x =3,
y =1.
① (2){ x−y =0,
3 x + y = 4 ,
②
①+②得4x=4,解得x=1,
把x=1 代入①,得1-y=0,解得y=1,
∴方程组的解是 {x =1,
y =1.
8. B 9. D 10.1
11.设黑色琴键有x 个，则白色琴键有(x+16)个，
由题意得x+(x+16)=88,解得x=36,
∴白色琴键有36+16=52(个).
答：白色琴键有52 个，黑色琴键有36 个.
12.设A 种农作物的种植面积为x 公顷，B 种农作物的种植面积为y 公顷，
由题意可得 {4 x +3 y =24 ,
8 x +9 y =60,
解得 {x =3,
y = 4.
答：A 种农作物的种植面积为3 公顷，B 种农作物的种植面积为4 公顷.
13.若每次购买都是100 把,则200×8×0.9=1440≠1504,∴一次购买少于100 把，另一次
购买多于100 把.
设一次邮购折扇x(x<100)把，则另一次邮购折扇(200-x)把.
由题意得8x(1+10%)+0.9×8(200-x)= 1504,解得x=40,∴200-x=200-40=160.
答：两次邮购的折扇分别是40 把和160 把.
14.乙槽 解析:设三个小球上的数字分别为x、y、z,其中1≤x<y<z≤9,由题可知
3(x+y+z)=20+10+9=39,解得x+y+z=13,
由甲槽总分为20 可知，3z≥20，即 z≥20
3 .
设乙槽三轮计分分别为a、b、c，由乙槽总分为10，且第一次最高分为乙槽知
{
a= z ,
a+b+c =10,,又b、c 均为正整数,得z=a≤8,
即 20
3 ≤z≤8,又z 为整数,则z=7 或z=8.
若z=7，不妨设甲槽第二、三轮均为最高分，则甲槽第一轮计分为20-7×2=6,即y=6,此
时x=0,不符合题意,舍去.
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若z=8,解得b=c=1,即x=1,从而y=4,代入验证得甲槽三次计分为4，8，8，乙槽三次计
分为8，1，1，丙槽三次计分为1，4，4 时刚好符合题意，即 {
x =1,
y = 4 ,
z =8
符合题意，
甲、乙、丙槽第二次计分分别为8，1，4，故第二次操作计分最低的是乙槽.故答案为
乙槽.
15. (1)90 60
5
6
(2)① 解析：根据题意得，D1001 次列车从A 站到 C 站的行驶时间为
90+60=150(分钟),G1002 次列车从A 站到 C 站的行驶时间为35+60+30=125(分钟),.
∴150 v1=125 v2,∴v1
v2
= 5
6 .
②∵v1= 4千米/分， v1
v2
= 5
6 ,∴v2= 4.8千米/分.
∵4×90=360(千米),∴A 站与B 站之间的路程为360 千米.
∵360÷4.8=75(分),∴当t=100 时,G1002 次列车经过B 站.
由题意可如,当90≤t≤110 时,D1001 次列车在B 站停车.
∴ G1002 次列车经过B 站时,D1001 次列车正在 B 站停车.
i.当25≤t<90 时, d1>d2,∴∣d1−d2∣=d1−d2,∴4t −4.8(t −25)=60,解得t=75;
ii. 当90≤t≤100 时, d1≥d2,∴∣d1−d2∣=d1−d2,∴360−4.8(t-25)=60, 解得
t=87.5,不合题意,舍去;
iii.当100<t≤110 时,( d1<d2,∴∣d1−d2∣=d2−d1,∴4.8(t −25)−360=60,解得
t=112.5,不合题意,舍去;
iv.
当
110<t≤
150
时
,
d1<d2,∴∣d1−d2∣=d2−d1,∴4.8(t −25)−
[360+4(t-110)]=60,解得t=125.
综上所述,当t=75 或125 时,∣d1−d2∣=60.
