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第 06 讲 函数 的图象及其应用(精练）
A 夯实基础
一、单选题
1．（2022·全国·高一课时练习）将函数 图象上所有点的横坐标都伸长到原来的2倍，得到函数
的图象，则 的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】将函数 图象上所有点的横坐标都缩短到原来的 倍，可得到函数 的图象，因为
，所以 ．
故选：C．
2．（2022·上海市吴淞中学高一期末）为了得到函数 的图像，需对函数 的图
像所作的变换可以为（ ）
A．先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位
B．先将图像上所有的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，再向右平移 个单位
C．先将图像上所有的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，再向左平移 个单位
D．先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位
【答案】B
【详解】对于A，先将 的图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移
个单位，所得图像的解析式为 ，
故A错误；
对于B，先将 的图像上所有的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，再向右平移 个单位，所
得图像的解析式为 ，故B正确；
对于C，先将 的图像上所有的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，再向左平移 个单位,所得图像的解析式为 ，故C错误；
对于D，先将 的图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位，
所得图像的解析式为 ，故D错误；
故选：B.
3．（2022·陕西安康·高二期末（理））将函数 的图象向左平移 个单位得到函数
的图象，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由已知可得 ，
∴ ，∴ ．
∵ ，∴ 的最小值是 ．
故选：C
4．（2022·全国·高三专题练习）将函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不
变，再将所得函数图象向左平移 个单位长度，最后将所得函数图象上所有点的纵坐标变为原来
的 倍，横坐标不变，得到如图所示的函数 的部分图象，则 的值分别为（ ）
A．
B．
C．D．
【答案】D
【详解】设 ，由函数图象，知 ，所以
.所以 .
又函数图象过点 ，所以 .
所以 ，解得 .
因为 ，所以 .所以 .所以 .
故选：D.
5．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知函数 的部分图象如图所示，则
下列选项正确的是（ ）
A．
B．函数 的单调增区间为
C．函数 的图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到
D．函数 的图象关于点 中心对称
【答案】D
【详解】解：函数 ，
由图可知 ，所以 ，解得 ，故选项A错误；由图可知，一个周期中函数 在区间 上单调递增，
所以根据周期性有函数 的单调增区间为 ，故选项B错误；
函数 的图象向右平移 个单位长度得 ，故选项C错误；
当 时， ，所以函数 的图象关于点 中心对称，
故选项D正确.
故选：D.
6．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0， )的图象如图
所示，为了得到g(x)＝sin2x的图象，则只需将f(x)的图象（ ）
A．向左平移 个长度单位 B．向右平移 个长度单位
C．向右平移 个长度单位 D．向左平移 个长度单位
【答案】C
【详解】由函数 的图象可得 ，
根据 ，求得 ，
再根据五点法作图可得 ，
又
∴ ，
，
故把 的图象向右平移 个长度单位，可得 的图象，
故选： ．
7．（2022·山西大附中高三阶段练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一
高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(m)和时间t(s)的函数关系为
，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为
，且 ， ，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m
的总时间为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ， ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，
由 可得 ，
所以 ， ，
，
所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为 .
故选：D.
8．（2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习）如图， 是自行车前轮外边沿上的一点，前轮半径为 ，若
单车向前直行 时（车轮向前顺时针滚动，无滑动），下列描述正确的是 （ ）A．点 在前轮的左下位置，距离地面约为
B．点 在前轮的右下位置，距离地面约为
C．点 在前轮的左上位置，距离地面约为
D．点 在前轮的右上位置，距离地面约为
【答案】C
【详解】自行车在向前直行的过程中，点 在前轮上按照顺时针的方向在旋转，
点 转过的弧度数为 ，
以前轮的圆心为原点，以向前的方向为 的正方向，建立平面直角坐标系，
以 轴的正半轴为始边，以射线 的初始位置为终边的角为
则向前直行 后，射线 转到图中 的位置，其中 ，
故点 在前轮的左上位置，
距离地面约为 .
故选：C.
二、多选题
9．（2022·江苏省如皋中学高三开学考试）函数 在一个周期内的图
象如图所示，则（ ）．A．该函数的解析式为
B．该函数图象的对称中心为 ，
C．该函数的单调递增区间是 ，
D．把函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变，可得到该函数图象
【答案】ACD
【详解】由题图可知， ，周期 ，
所以 ，则 ，
因为当 时， ，即 ，
所以 ， ，即 ， ，
又 ，故 ，从而 ，故A正确；
令 ， ，得 ， ，故B错误；
令 ， ，
得 ， ，故C正确；
函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变，
可得到 ，故D正确．
故选：ACD.
10．（2022·江西抚州·高一期中）已知函数 的部分图象如图所示，把函数 图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍，得到函数
的图象，则 （ ）
A． 为偶函数
B． 的最小正周期是
C． 的图象关于直线 对称
D． 在区间 上单调递增
【答案】AB
【详解】由函数的图象可知，函数的最大值为 ，所以 ，
由函数的图象可知： ，
由 ，
由 ，因为 ，所以令
，即 ，
所以 ，
把函数 图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍，得到函数 的图象，
所以 .令 .
A： 因为 ，
所以函数 是偶函数，故本选项说法正确；B： 的最小正周期为： ，所以本选项说法正确；
C：因为 ，所以 的图像不关于直线 对称，因此本选项说法不正
确；
D：因为 ，所以 ，显然 ，所以 在区间 上单调递
减，因此本选项说法不正确，
故选：AB
三、填空题
11．（2022·陕西·长安一中高二期末（理））将函数 的图像向右平移 个单位长度后得到函数
的图像，若 在区间 上的最小值为 ，则 的最大值为_____．
【答案】
【详解】解：将 向右平移 个单位长度得到 ，
因为 ，所以 ，
由于函数 ，
该函数在 上的最小值为 ，故 ，故 ，
即 的最大值为 ．
故答案为： ．
12．（2022·全国·高三专题练习（理））定义运算“⊕”： .设函数
，将 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，且 的图象
关于y轴对称，则 的最小值为_______.
【答案】
【详解】由题意，得 ．
将 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，则 ，因 的图象关于y轴对称，
所以 ，即 ，则 的最小值为 ．
故答案为：
四、解答题
13．（2022·山东·烟台二中高一期中）函数 的部分图象如图所示．
(1)求函数 的解析式；
(2)若将 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，求 的单调递减区间．
【答案】(1)
(2)
(1)解：由图可知 ，且 ，所以 ,
因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ．
(2)解：由（1）知 ，将 的图象向右平移 个单位长度得到
，
令 ，解得 ，所以递减区间为 .
14．（2022·安徽·涡阳县第九中学高一期末）已知函数 ．
(1)求函数 的最大值；
(2)把 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移 个
单位，得到函数 的图象，求函数 的单调递减区间
【答案】(1)4；
(2) ， .
（1）
∴当 时 取得最大值4；
（2）因为把 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平
移 个单位，得到函数 的图象，
所以 ，
令 ，可得函数 的单调递减区间为 ， ．
B 能力提升
15．（2022·全国·高一课时练习）已知函数 的部分图象如图所示，且相
邻的两条对称轴之间的距离为6.
(1)求函数 的解析式；
(2)若将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变）得到函数 的图象，关于x的不等
式 在 上有解，求实数t的取值范围.【答案】(1)
(2)
（1）解：由题意得函数 的最小正周期为 ，
所以 ，
因为 的图象过点 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 .
（2）因为将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变）得到函数 的图象，所以
当 时， ，则
因为不等式 ，在 上有解，即有
解得 ，所以实数t的取值范围为 .
16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数
（1）某同学利用五点法画函数 在区间 上的图象.他列出表格，并填入了部分数据，请你帮他
把表格填写完整，并在坐标系中画出图象；
x0 π 2π
0 2 0 0
（2）已知函数 .
（i）若函数 的最小正周期为 ，求 的单调递增区间；
（ii）若函数 在 上无零点，求ω的取值范围(直接写出结论).
【答案】（1）答案见解析；（2）（i） ；（ii） .
【详解】解：（1）
0
0 2 0 0
（2）（i）由题意， ，
， ，
即 .
令 ，
解得 .所以 的单调递增区间为 .
（ii） 则 ，
所以 ，
所以 的取值范围为 .
