文档文本内容
第 06 讲 对数与对数函数 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：对数的运算；
高频考点二：换底公式
高频考点三：对数函数的概念；
高频考点四：对数函数的定义域
高频考点五：对数函数的值域
①求对数函数在区间上的值域；②求对数型复合函数的值域
③根据对数函数的值域求参数值或范围
高频考点六：对数函数的图象
①判断对数（型）函数的图象
②根据对数（型）函数的图象判断参数
③对数（型）函数图象过定点问题
高频考点七：对数函数的单调性
①对数函数（型）函数的单调性
②由对数函数（型）函数的单调性求参数
③由对数函数（型）函数的单调性解不等式
④对数（指数）综合比较大小
高频考点八：对数函数的最值
①求对数（型）函数的最值
②根据对数（型）函数的最值求参数
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、对数的概念（1）对数：一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作 ，
其中 叫做对数的底数， 叫做真数.
（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数 ；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的
对数 .
（3）对数式与指数式的互化： .
2、对数的性质、运算性质与换底公式
（1）对数的性质
根据对数的概念，知对数 具有以下性质：
①负数和零没有对数，即 ；
②1的对数等于0，即 ；
③底数的对数等于1，即 ；
④对数恒等式 .
（2）对数的运算性质
如果 ，那么：
① ；
② ；
③ .
（3）对数的换底公式
对数的换底公式： .
换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成
什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以 为底的自然对数.
换底公式的变形及推广：
① ；
② ；
③ (其中 ， ， 均大于0且不等于1， ).
3、对数函数及其性质（1）对数函数的定义
形如 ( ，且 )的函数叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是 ．
（2）对数函数的图象与性质
图象
定义域：
值域：
性质
过点 ，即当 时，
在 上是单调增函数 在 上是单调减函数
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）函数 的定义域是（ ）
A． 或 B．
C． 或 D．
【答案】D
由题意得， ，
解得 ，即函数 的定义域是 .
故选：D
2．（2022·贵州·高二学业考试） （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
解： .
故选：D
3．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）化简 ___________.
【答案】原式 .
故答案为： .
4．（2022·云南红河·高一期末）方程 的解是_________．
【答案】
由对数的运算性质，可得 ，可得 ，解得 ．
故答案为： .
5．（2022·四川甘孜·高二期末（文））设函数 ， 则 _________.
【答案】
由已知可得 ，则 .
故答案为： .
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：对数的运算；
典型例题
例题1．（2022·天津·高考真题）化简 ____________
【答案】2
原式
，
故答案为：2.
例题2．（2022·全国·高一专题练习） ___．
【答案】
＝ 9
．故答案为：102.
题型归类练
1．（2022·陕西·西安市雁塔区第二中学高二期末（理））计算：
(1)
(2)
【答案】(1) (2)
（1）解： = = = =
= ；
（2）解： = = .
2．（2022·全国·高一专题练习）求值
【答案】0
原式
.
高频考点二：换底公式
典型例题
例题1．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
.
故选：B
例题2．（2022·河南·高二期末（文））已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 .
故选:B.
例题3．（2022·福建·福州三中高一期末）若 ，则 ___________.
【答案】 ##
解：因为 ，所以 ，即 ，即 ，
所以 ；
故答案为：
题型归类练
1．（2022·山东青岛·高二期末） ______．（用数字作答）
【答案】1
.
故答案为：1
2．（2022·天津南开·高二期末）计算： _____
【答案】 ##2.5
；
故答案为： .
高频考点三：对数函数的概念；
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数① ；② ；③ ；④ ；
⑤ ；⑥ .其中是对数函数的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤C．③④ D．②④⑥
【答案】C
根据对数函数的定义，只有符合 （ 且 ）形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a
是常数.易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中
，是对数函数；④中 ，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函
数，由此可知只有③④是对数函数.
故选：C.
例题2．（2022·全国·高一课时练习）若某对数函数的图象过点 ，则该对数函数的解析式为
（ ）
A． B．
C． 或 D．不确定
【答案】A
设函数为 ，依题可知， ，解得 ，所以该对数函数的解析式为 ．
故选：A．
题型归类练
1．（2021·全国·高一专题练习）下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝log (x＋1)．
8 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
形如 （ 且 ）的函数为对数函数，
故③④为对数函数，
所以共有 个.
故选：B
高频考点四：对数函数的定义域
典型例题
例题1．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）函数 的定义域为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由题意知， ，解得 ，则函数的定义域为 .故选：C.
例题2．（2022·福建福州·高二期末）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题意 ， ， ．
故选：D．
题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）函数 的定义域是________．
【答案】
函数 的解析式有意义，
由 ，即 ，所以 或 ，
故该函数的定义域为 ．
故答案为：
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为R，则实数a的取值范围是
___________.
【答案】
根据条件可知 在R上恒成立，则 ，且 ，解得 ，故a的取值范围是
.
故答案为： .
高频考点五：对数函数的值域
①求对数函数在区间上的值域；
典型例题
例题1．（2022·福建省连城县第一中学高一阶段练习）函数 ，其中 ，则函数的值域为
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
，
在 上递增，
所以 .
故选：C
例题2．（2022·浙江·高一单元测试）已知 ，则函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
函数 在 上单调递增
所以 ，即
所以函数 的值域为
故选：B
②求对数型复合函数的值域
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
，
，
，
∴函数 的值域为 .
故选：A
例题2．（2022·全国·高一专题练习）求下列函数的值域：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) (2)(1) ， ．
函数 的值域为 ．
(2)设 ，则 ， ．
又 在 上为减函数， ．
函数 的值域为 ．
③根据对数函数的值域求参数值或范围
典型例题
例题1．（2022·河南信阳·高一期末）已知函数 的值域为 ，则实数 的值为
（ ）
A．2 B．3 C．9 D．27
【答案】C
解：因为函数 的值域为 ，所以 的最小值为 ，所以 ；
故选：C
例题2．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
因为函数 的值域为 ，
可得真数部分 取到所有的正数，
即函数 取到所有的正数，
所以 是函数 的值域的子集，
所以 解得： 或 ，
所以实数 的取值范围是： .
故选：A.
题型归类练
1．（2021·全国·高一专题练习）已知函数 ，则f（x）的值域是（ ）
A． B．[﹣ ，2] C．[0，2] D．[0， ]【答案】A
函数 是减函数，
所以函数的最小值为： ，
函数的最大值为： ．
函数的值域为： ．
故选：A
2．（2022·广西钦州·高一期末）若函数 的定义域是 ，则函数 值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
根据复合函数单调性同增异减可知 在 上递增，
，
即 .
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题意，函数 的值域为 ，
根据对数函数的性质，可得转化为 的值域能取到 内的任意实数，
当 ，则 ，函数 的值域为 ，满足题意；
当 ，要使得 的值域能取到 内的任意实数，则满足 ，解得 ，
综上可得，实数 的范围为 .
故选：C.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为R，则实数a的取值范围是
___________.
【答案】
根据条件可知 在R上恒成立，则 ，且 ，解得 ，故a的取值范围是.
故答案为： .
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在 上的值域为 ，则 的取值范围是
______.
【答案】
解：因为 ， ，而函数 在 上的值域为 ，
所以结合函数 的图像，可得 的取值范围是 .
6．（2022·全国·高一课时练习）求函数 的值域.
【答案】
为增函数， ， ，
所以函数的值域为 .
7．（2022·全国·高一课时练习）求函数 的值域.
【答案】
令 ，
又 为增函数， ，
所以函数 的值域为 .
高频考点六：对数函数的图象
①判断对数（型）函数的图象
典型例题例题1．（2022·四川省绵阳南山中学高一开学考试）函数 与函数 且 的
图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
函数f(x)单调递增，且过定点(0，1＋a)，
当0＜a＜1时，1＜1＋a＜2，即f(x)与y轴交点纵坐标介于1和2之间，此时 过定点(1，0)且在(0，＋
∞)单调递减，没有符合的选项；
当a＞1时，1＋a＞2，即f(x)与y轴交点纵坐标大于2，此时g(x)过定点(1，0)且在(0，＋∞)单调递增，符
合的选项为B.
故选：B.
例题2．（2022·江西·模拟预测（理））函数 的图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A函数 的定义域为 ，可以排除选项B、C；
由 ，
可知函数 为偶函数，其图像应关于y轴轴对称，可以排除选项D.
故选：A
②根据对数（型）函数的图象判断参数范围
典型例题
例题．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 （ ， 是常数，其中 且 ）的大致图
象如图所示，下列关于 ， 的表述正确的是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
从题设中提供的图像可以看出 ，
故得 ，
故选：D．
例题2．（多选）（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高一期末）已知函数 ( 为常数，其中
)的图象如图，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
由图象知 ，可以看作是 向左移动 个单位得到的，因此 ，故选：BD．
③对数（型）函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（2022·山西·长治市第四中学校高一期末）函数 ( 且 )的图象恒过定点
_________
【答案】
解：因为函数 ( 且 )，
令 ，解得 ，所以 ，即函数 恒过点 ；
故答案为：
例题2．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二期末）函数 （ 且 ）恒过定点 ，
则 ＝______．
【答案】2
由题意知： 恒成立，解得 .
故答案为：2.
题型归类练
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高一期末）函数 的图象大致（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
因为 ，根据对数函数的图象可得A正确.
故选：A.2．（2022·新疆喀什·高一期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，
数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学学习和研究中，我们要学会以形助数．则在同一直角坐标系
中， 与 的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
是定义域为R的增函数，
：-x>0，则x<0.
结合选项只有B符合.
故选：B
3．（2022·广西·容县高级中学高二开学考试（文））在同一平面直角坐标系中，一次函数 与对数
函数 （ 且 ）的图象关系可能是（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
．由对数图象知 ，此时直线的纵截距 ，矛盾，
．由对数图象知 ，此时直线的纵截距 ，矛盾，
．由对数图象知 ，此时直线的纵截距 ，保持一致，
．由对数图象知 ，此时直线的纵截距 ，矛盾，
故选： ．
4．（2022·湖北恩施·高一阶段练习）函数 （ 且 ）恒过定点 ，则
______．
【答案】
由题意，函数 恒过定点 ，
可得 ，解得 ，所以 .
故答案为： .
5．（2022·甘肃·天水市第一中学高二期中）已知函数 （ 且 ）的图象过定点
，则点 的坐标为______．
【答案】
令 ，得 ，又 ．
因此，定点 的坐标为 ．
故答案为：
高频考点七：对数函数的单调性
①对数函数（型）函数的单调性
典型例题
例题1．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）关于函数 的单调性的说法正
确的是（ ）
A．在 上是增函数 B．在 上是减函数
C．在区间 上是增函数 D．在区间 上是减函数
【答案】C
由函数 的解析式知定义域为 ，
设 ，显然 在 上是增函数， 在 上是增函数，
由复合函数的单调性可知 在 上是增函数，
故选：C
例题2．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一开学考试）已知函数 ，则函数
的减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由 解得 或 ，
所以 的定义域为 .
函数 的开口向上，对称轴为 ，
函数 在 上递减，
根据复合函数单调性同增异减可知函数 的减区间是 .
故选：C
②由对数函数（型）函数的单调性求参数
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知 的值域为R，且 在 上是增函
数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
【答案】B
因为函数 的值域为R，
所以 取得一切正数，
即方程 有实数解，
得 ，解得 或 ；
又函数 在 上是增函数，
所以函数 在 上是减函数，且 在 上恒成立，则 ，解得 ，
综上，实数a的取值范围为 或 .
故选：B
例题2．（2022·全国·高三专题练习）若函数 在 上是减函数，则 的取值范
围是___________.
【答案】
由题意可得 且 ，
因为函数 在 上是减函数，所以 ，
所以 ，即 ， 是减函数，
由于 在 上是减函数，所以 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
③由对数函数（型）函数的单调性解不等式
典型例题
例题1．（2022·河南濮阳·高三开学考试（文））不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
原不等式等价于 ，解得， 或 ．
故选：C
④对数（指数）综合比较大小
典型例题
例题1．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（文））已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为 ， ， ，因此， .
故选：D.
例题2．（2022·甘肃庆阳·高一期末）已知 ， ， ，则 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
， ，
，即 ，所以 ．
故选：A.
题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）函数 的单调递减区间为
A． B． C． D．
【答案】D
由题可得 ，即 ，所以函数 的定义域为 ，又函数 在 上单调递
减，根据复合函数的单调性可知函数 的单调递减区间为 ，故选D．
2．（2022·河南·信阳高中高二期末（文））满足函数 在 上单调递减的一个充分不
必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：若 在 上单调递减，
则满足 且 ，
即 且 ，
则 ，
即 在 上单调递减的一个充分不必要条件是 ，
故选：D．
3．（2022·甘肃酒泉·高二期末（理））若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B在 上是减函数， ；
在 上是增函数， ；
在 上是减函数， ，
故 ，
故选：B
4．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学高一期末）函数 的单调递减区间为_____
【答案】
函数 的定义域为
又 是由 与 复合而成，
因为外层函数 单调递减，所以求函数 的单调递减区间即是求内层函数 的
增区间，而内层函数 在 上单调递增，所以函数 的减区间为
故答案为：
5．（2022·湖北·沙市中学高一期中）函数 的单调递增区间是______.
【答案】
由 得 .
设 ，则 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
又 在 上单调递增，所以函数 的单调递增区间是 .
故答案为：
6．（2022·陕西·西安市临潼区雨金中学高二阶段练习（文））函数 的单调递增区间是
_________.
【答案】
试题分析：根据 解得定义域为 ，函数 对称轴为 且开口向下，在
单调递增，在 单调递减，根据复合函数同增异减，可得函数 的单调递增区间是 .
7．（2022·吉林·长春外国语学校高一开学考试）已知函数 在 上单调递增，
则实数a的取值范围为_________.【答案】
的开口向上，对称轴为 ，
在 上递减，
由于函数 在 上单调递增，
所以 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
8．（2022·浙江丽水·高一开学考试）已知函数 在区间 上单调递增，则实数
的取值范围为______.
【答案】
开口向上，对称轴为 ，
由于函数 在区间 上单调递增，
所以 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
9．（2022·福建师大附中高一期末）已知函数 在 上单调递增，则实数a的取
值范围为 ____ .
【答案】
解： 函数 在 上单调递增，
函数 在 上单调递增，且 ，
，解得 ，即 ，故答案为： ．
10．（2022·陕西渭南·高二期末（文））若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
________．
【答案】 ##
解：因为 ， ，
又 ，即 ，
所以 ；
故答案为：
11．（2022·天津·高考真题）已知 ， ， ，则 、 、 的大小关系为
_____________.
【答案】 ##
因为 ，故 .
故答案为： .
19．（2022·全国·高一专题练习）解下列不等式 ．
【答案】
解：由已知，得 ，解得 ．
所以原不等式的解集是 ．
高频考点八：对数函数的最值
①求对数（型）函数的最值
典型例题
例题1．（2022·上海金山·高一期末）函数 ， 的最大值为______.
【答案】-2
因为 ，则 ，
由于 是减函数，所以 ，
故答案为：-2例题2．（2022·全国·高三专题练习（理））函数 ， ，则函数 的最大
值与最小值的和为__________.
【答案】
， ，令 ，
设 ，其中 ，
二次函数 图象开口向上，对称轴为直线 ，
当 时，函数 取得最小值，即 .
当 或 时，函数 取得最大值，即 .
因此，函数 的最大值和最小值之和为 .
故答案为
②根据对数（型）函数的最值求参数
典型例题
例题1．（2022·河南·郏县第一高级中学高一开学考试）已知 ，函数 在区间 上的最大
值与最小值的差为2，则 =（ ）
A．9 B．3 C．2 D．
【答案】D
因为a>1，所以 在定义域 上单调递增，
所以 ，即 ，所以 .
故选：D
例题2．（2022·全国·高一）已知函数
(1)求函数 的定义域；
(2)判断函数 的奇偶性；
(3)若函数 的最小值为 ，求 的值．
【答案】(1) ；(2)非奇非偶函数；(3) .(1)要使函数 有意义：则有 ，解之得： ，
则函数的定义域为 .
(2)因为 的定义域 不关于原点对称，故 为非奇非偶函数.
(3)因为
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
即 ，由 ，得 ，
∴
题型归类练
1．（2022·河南平顶山·高一期末）已知函数 的最大值与最小值的差为2，则
（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】C
由题意得 在 上为单调递增函数，
所以 ， ，
所以 ，解得 ，
又 ，所以 .
故选：C
2．（2022·北京·高三专题练习）已知函数 且 ，若 时，求 在区间 的
值域；
【答案】
由题意，
利用对数函数的性质， 在区间 单调递增
故当当
故函数 在区间 的值域为
3．（2022·广东茂名·高一期末）已知 ．
(1)设 ，求t的最大值与最小值；
(2)求 的值域．
【答案】(1) ， ；(2)[3，4].
(1)因为函数 在区间[2，4]上是单调递增的，
所以当 时， ，
当 时， ．
(2)令 ，则 ，
由（1）得 ，因为函数 在 上是单调增函数，
所以当 ，即 时， ；当 ，即 时， ，
故 的值域为 .
4．（2022·四川·雅安中学高一开学考试）已知 （其中 且 ）．
(1)若 ， ，求实数 的取值范围；
(2)若 ， 的最大值大于1，求 的取值范围．
【答案】(1) (2)
(1)当 时， ，
即有 ，
所以 解得 ，
故实数 的取值范围是 ；
(2)因为 ，则 时， ．
当 时，则函数 最大值 ，解得 ；
当 时，则函数 最大值 ，解得 ；
综上所述， 的取值范围是 ．
