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10.1 椭圆的标准方程和离心率（练习）
目录
1
题型一、求椭圆的标准方程.....................................................................2
2
题型二、椭圆的离心率............................................................................11
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1 题型一、求椭圆的标准方程
一、单选题
1．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆的两个焦点，过F1的直线l 交椭圆于M，
N 两点，若△MF2N 的周长为8，则椭圆方程为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题得c=1,再根据△MF2N 的周长＝4a＝8 得a＝2，进而求出b 的
值得解.
【详解】∵F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆的两个焦点，∴c＝1，又根据椭圆的定
义，△MF2N 的周长＝4a＝8，得a＝2，进而得b＝
，所以椭圆方程为
.
故答案为A
【点睛】本题主要考查椭圆的定义和椭圆方程的求法，意在考查学生对这
些知识的掌握水平和分析推理能力.
2．已知椭圆
上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦
点距离为7，则m 等于（ ）
A．5
B．10
C．15
D．25
【答案】D
【解析】利用椭圆的定义，化简求解即可．
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【详解】由椭圆定义知|PF1|+|PF2|＝2a＝10，椭圆
1 可知，椭圆
的焦点坐标在x 轴，
∴a＝5，∴a2＝25，即m＝25．
故选：D．
3．椭圆M 的左、右焦点分别为
，
，过点
的直线交椭
圆M 于点A，B.若
的周长为20，则该椭圆的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据椭圆定义列出方程，求出a＝5，根据焦点坐标求出c＝3，
，得到椭圆标准方程.
【详解】因为
的周长为20，由椭圆定义可知：4a＝20，即a＝5，
又因为c＝3，所以
，
所以该椭圆的标准方程为
.
故选：B.
4．已知
的周长为20，且顶点
，则顶点
的轨迹方
程是（ ）
A．
B．
C．
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D．
【答案】B
【分析】根据已知条件及椭圆定义求椭圆的标准方程.
【详解】错解：
∵△ABC 的周长为20，顶点
，
|
∴BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，
12
∵
＞8，
∴点A 到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A 的轨迹是椭圆，
∵a＝6，c＝4，
∴b2＝20，
∴椭圆的方程是
故选：D.
错因：
忽略了A、B、C 三点不共线这一隐含条件.
正解：
∵△ABC 的周长为20，顶点
，
|
∴BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，
12
∵
＞8，
∴点A 到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A 的轨迹是椭圆，
∵a＝6，c＝4，
∴b2＝20，
∴椭圆的方程是
故选：B.
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5．平面内点P 到
，
的距离之和是8，则动点P 的轨迹方
程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用椭圆的定义，求得
，从而得解.
【详解】由题意，平面内点P 到
，
的距离之和是8，
所以动点
的轨迹
为椭圆，焦点在
轴上，且
，即
，
所以
，
所以动点P 的轨迹方程为
.
故选：D.
6．已知定点
和
，动点
满足
，则动点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出轨迹方程.
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【详解】依题意，
，而
，
因此点
的轨迹是以
为上下焦点，长轴长
的椭圆，
而半焦距
，则短半轴
，
所以动点
的轨迹方程为
.
故选：C
7．若椭圆
的两个焦点分别是
，
，椭圆
上一点
到两
焦点距离之和等于
，则该椭圆的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用椭圆的定义求出
，利用
即可求解.
【详解】由题意有：
，
故选：A.
二、填空题
8．已知
的顶点
，
，且周长为16，求顶点
的轨
迹方程 ．
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【答案】
【分析】应用椭圆定义可判断顶点C 的轨迹，应用待定系数法求轨迹方程，
要注意排除三点共线情况.
【详解】因为
，
，所以
，
又因为
的周长为16，
所以
，并且
.
所以顶点
在以
，
为焦点的椭圆上，
设椭圆方程为
，
因为
，
，
，所以
，
，
又因为
三点不共线，所以顶点
的轨迹方程为
.
故答案为：
9．到点
距离之和为10 的动点
的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出轨迹方程.
【详解】依题意，
，
则点
的轨迹是以
为左右焦点，长轴长
的椭圆，
由
，得
，
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所以动点
的轨迹方程为
.
故答案为：
10．已知
是椭圆
上的动点，
，且
，则
.
【答案】5
【详解】根据椭圆的定义确定点
的轨迹，进而得到椭圆参数，再由椭圆
参数关系求参数值.
【分析】因为
，
所以点
的轨迹是以
为焦点的椭圆.
易知
，即
，
所以
.
故答案为：5
三、解答题
11．在直角坐标系xOy 中，点P 到两点
，
的距离之和等于
4，设点P 的轨迹为C，过点
且斜率为k 的直线l 与C 交于不同的两点A，
B.
(1)求轨迹C 的方程；
(2)求斜率k 的取值范围；
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(3)当
时，求A，B 两点坐标.
【答案】(1)
；
(2)
或
；
(3)
或
.
【分析】（1）根据椭圆定义得到点P 的轨迹为以
为焦点
的椭圆，求出
，得到轨迹方程；
（2）l 的方程为
，联立椭圆方程，由根的判别式得到不等式，
求出k 的取值范围；
（3）
时，
，联立
，求出交点坐标，得到答案.
【详解】（1）设
，则
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，
所以点P 的轨迹为以
为焦点的椭圆，
其中
，故
，
故轨迹C 的方程为
；
（2）过点
且斜率为k 的直线l 的方程为
，
联立
与
得，
，
，解得
或
，
故斜率k 的取值范围是
或
；
（3）
时，
，联立
得，
，解得
或
，
当
时，
，当
时，
，
故
或
.
12．求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)
，焦点在
轴上；
(2)椭圆上一点
到其两焦点
的距离之和为10
0
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【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设椭圆的标准方程为
，结合
求解即
可；
（2）设椭圆的标准方程为
，结合椭圆的定义利用
求解即可.
【详解】（1）设焦点在
轴上的椭圆标准方程为
，
由
,
,
得
.
因此标准方程为
，即
.
（2）由焦点
、
，可知焦点在
轴上，且
；
1
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设椭圆的标准方程为
，
由“点
到两焦点的距离之和为10”，可知
，即
.
由
，得
，
因此标准方程为
.
2 题型二、椭圆的离心率
一、单选题
1．已知椭圆
的离心率为
，则
（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【分析】根据离心率公式直接列方程求解
【详解】因为椭圆
的离心率为
，
所以
，所以
.
故选：B
2．若焦点在
轴上的椭圆
的离心率为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据椭圆方程可用
表示出离心率，由此可求得结果.
2
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【详解】
椭圆焦点在
轴上，
，
，
离心率
，解得：
.
故选：C.
3．已知椭圆
的离心率为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据离心率的公式即可求解.
【详解】由
可得离心率为
，又
，
所以
，
故选：A
4．已知椭圆
的长轴长为4，离心率为
，则该椭
圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据长轴以及离心率即可求解.
【详解】由长轴长为4，可得
，又离心率为
，即
，
解得
，故
，
3
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所以椭圆方程为
，
故选：A
5．已知椭圆
的离心率为
，长轴长为4，则该椭圆
的短轴长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由离心率得到
的关系式，代入
的值，即可求得短轴长.
【详解】由
可得
（*），
因
，即
，代入（*）解得
，
故短轴长为
故选：B.
6．已知椭圆
：
，则“
”是“椭圆
的离心率
为
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意，利用椭圆的几何性质，列出方程，求得
的值，结合
充分、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由椭圆
的方程，可得：
，
4
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当
时，可得
，此时椭圆的离心率为
，
由
，可得
，解得
；
当
时，可得
，此时椭圆的离心率为
，
由
，可得
，解得
，
“
”是“椭圆
的离心率为
”的充分不必要条件．
故选：A.
7．已知椭圆
的离心率为
，且过点
，
则
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用椭圆中
的关系求解即可.
【详解】由题意可得
解得
，
5
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所以椭圆
的方程为
.
故选：A
8．已知椭圆
的离心率为
，则其短轴长为
（ ）
A．4
B．
C．8
D．
【答案】B
【分析】由条件列出离心率得到方程，求解得
，即得其短轴长.
【详解】由
知，离心率为
，
解得，
，故短轴长为
.
故选：B.
二、填空题
9．已知焦点在
轴上的椭圆
的离心率为
，则
的值为
.
【答案】8
【分析】由椭圆离心率的定义列方程即可解出.
【详解】∵ 焦点在
轴上，由椭圆方程可知：
，
∴
，即
.
故答案为：8
6
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10．若椭圆
的离心率是
，则
.
【答案】
【分析】根据
关系式，结合离心率公式，联立方程计算即可.
【详解】由题意可得
，解得
.
故答案为：
.
11．已知椭圆
的长轴长为8，且离心率为
，
则
的标准方程为 .
【答案】
【分析】根据题意求出
和
，再写出标准方程.
【详解】由题意易得
，则
，
因为椭圆
的离心率为
，所以
，则
，
故
的标准方程为
.
7
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故答案为：
.
三、解答题
12．已知方程
（
且
）
(1)若方程表示焦点在
上的椭圆，且离心率为
，求
的值；
(2)若方程表示等轴双曲线，求
的值及双曲线的焦点坐标.
【答案】(1)
(2)
，
【分析】（1）根据题中条件及离心率公式直接计算即可；
（2）根据题中条件得
，进一步计算得到
的值，即可求解.
【详解】（1）因为方程为焦点在
轴上的椭圆，所以
则离心率
，解得
8
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故
.
（2）由题意得
，
故焦点坐标为
13．已知椭圆
，焦距为2，离心率
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)若椭圆
的左焦点为
，椭圆上A 点横坐标为
，求椭圆的长轴长、
短轴长及
的面积
.
【答案】(1)
(2)长轴长为
，短轴长为
，
9
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【分析】（1）根据焦距和离心率得到
，进而求出
，得到椭
圆方程；
（2）由（1）得到长轴和短轴长，并求出A 点坐标，得到面积.
【详解】（1）由题意得
，解得
，
故
，
故椭圆方程为
；
（2）由题意得
，
椭圆的长轴长为
，短轴长为
，
将
代入
中得，
，
不妨设
，
显然
⊥
轴，故
.
14．已知双曲线
：
的左右顶点分别为
、
．
(1)求以
、
为焦点，离心率为
的椭圆的标准方程；
0
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(2)直线过点
与双曲线
交于
两点，若点
恰为弦
的中点，
求出直线的方程；
【答案】(1)
.
(2)
.
【分析】（1）根据题意可求得椭圆焦点
，
，再结合离
心率为
，求出
得解；
（2）利用点差法求出直线的斜率进而求出直线方程；
【详解】（1）由题意可得，
，
，则
，
又
，
，
所以椭圆的标准方程为
.
1
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（2）设
，点
恰为弦
的中点，则
，
，
又因为
两点在双曲线上，
可得
，两式相减得
，
化简整理得
，即
，
所以直线的方程为
，即
，
经检验，满足题意.
15．已知椭圆
的离心率为
，且过点
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)若直线
与椭圆
有且仅有一个交点，求实数
的值.
2
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【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的性质，即可求得椭圆方程；
（2）根据直线与椭圆相切，可得判别式等于0，即可求解.
【详解】（1）
椭圆
过点
，且离心率
为
，
可得：
，解得
，
再由
，可得：
，
椭圆
的方程为：
.
（2）由（1）知椭圆
的方程为：
，由直线与椭圆联立
3
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消
得：
，根据直线与椭圆仅有一个交点得：
，解得
.
16．已知椭圆
的离心率为
，过椭圆C 的焦点
作x 轴的垂线被椭圆C 截得的弦长为2．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过椭圆C 的上顶点A 作直线交椭圆于另一点B（异于点A），求
的
最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用椭圆离心率以及弦长解方程可得
，
的值；
（2）分别讨论直线AB 斜率是否存在，联立椭圆方程并得出
的表达
式再由函数单调性可得最值.
【详解】（1）依题意不妨取右焦点，如下图所示;
4
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易知椭圆C 过点
，则
，得
，
又因为
得
，
解得
，
，
椭圆C 的方程为
；
（2）显然
，设
，
当直线AB 斜率不存在时，可得
，此时
；
当AB 斜率存在，设直线
，
与椭圆方程联立可得
，
则
，则
，
令
，
，
，
则
5
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当
，
时，等号成立；
综上可得
最大值为
．
17．已知椭圆
的离心率为
，且过点
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)已知直线交椭圆
于不同的两点
和
，若直线的斜率为1，且以
为直径的圆经过椭圆
的右顶点，求直线的方程.
【答案】(1)
6
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(2)
或
.
【分析】（1）由椭圆的离心率及过点
，结合
，
列方程求解即可.
（2）设直线l 的方程为
，与椭圆方程联立，韦达定理，由题意
，结合韦达定理利用数量积的坐标运算求解
，即可得解.
【详解】（1）因为椭圆C 的离心率为
，且过点
，
所以
，
，
又
，解得
，
，则椭圆C 的方程
.
（2）设直线l 的方程为
，
联立
，消去y 并整理得，
，
由韦达定理得
，
，
因为以MN 为直径的圆经过椭圆C 的右顶点
，所以
，
即
，
整理得
，
7
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因为
，
，
所以
，
即
，解得
或
，
因为
，
所以当
或
时，满足条件，
则直线的方程为
或
.
8
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9
