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10.1 椭圆的标准方程和离心率（讲义）
目录
1
知识点01 椭圆的定义................................................................................2
2
知识点02 椭圆的标准方程........................................................................2
3
知识点03 椭圆的离心率............................................................................3
4
题型一、求椭圆的标准方程.....................................................................3
5
题型二、椭圆的离心率............................................................................11
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1 知识点01 椭圆的定义
1、定义：平面内与两个定点的
、
的距离之和等于常数（大于
）
的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的
焦距，焦距的一半叫做半焦距．
2、椭圆定义：||M F1|+|M F2|=2a，2a>|F1 F2|>0
2 知识点02 椭圆的标准方程
3、椭圆标准方程的求解
（1）利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤
①定位：确定焦点在那个坐标轴上；
②定量：依据条件及
确定
的值；
③写出标准方程．
（2）求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为
；
y
O
F1
F2
x
M
c
c
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3 知识点03 椭圆的离心率
离心率
e = c
a =√
1−b
2
a
2 (0<e<1)
离心率越接近1，则椭圆越圆
离心率越接近0，则椭圆越扁
4 题型一、求椭圆的标准方程
一、单选题
1．在平面直角坐标系
中，已知动点
到两定点
的距离之和是10，则点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义判断出
点的轨迹为椭圆，并由此求得椭圆方程.
【详解】由于动点
到两定点
的距离之和为
，故
点的轨迹为椭圆，所以
，所以
，所以
点的轨迹方程为
.
故选:A.
【点睛】本小题主要考查根据椭圆的定义求椭圆方程，属于基础题.
2．到点
和
的距离之和为
的点的轨迹方程为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义知动点的轨迹是以
和
为焦点，
长轴长为
的椭圆，然后求出
即可求解.
【详解】解：因为
和
两点间的距离
，
所有由椭圆的定义知动点的轨迹是以
和
为焦点，长轴长
为
的椭圆，
所以
，
，即
，
所以
，
所以所求动点的轨迹方程为
，
故选：A.
3．以
，
为焦点，且经过点
的椭圆的标准方程为
（ ）
A．
B．
C．
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D．
【答案】B
【分析】根据焦点在x 轴上，c=1，且过点
，用排除法可得.也可待定
系数法求解，或根据椭圆定义求2a 可得.
【详解】因为焦点在x 轴上，所以C 不正确；又因为c=1，故排除D；将
代入
得
，故A 错误，所以选B.
故选：B
4．平面内点P 到
、
的距离之和是10，则动点P 的轨迹
方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出
即可得出动点P 的轨迹方程.
【详解】由题意，
平面内点P 到
、
的距离之和是10，
∴动点
的轨迹
为椭圆,焦点在轴上,
, 解得：
，
∴
，
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∴轨迹方程为:
，
故选: B.
5．椭圆的两个焦点是
和
，椭圆上的点M 到两个焦点的距离
之和等于10，则椭圆的标准方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据椭圆定义可得a，根据焦点坐标可得c，然后由
求出
即可得方程.
【详解】由椭圆定义可知，
，得
，
又椭圆的两个焦点是
和
，
所以椭圆焦点在x 轴上，且
，所以
，
所以，所求椭圆的标准方程为
.
故选：C
6．已知平面内一动点P 到两定点
，
的距离之和为8，则
动点P 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
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D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义直接求解即可.
【详解】因为平面内一动点P 到两定点
，
的距离之和为
8，且
，
所以动点P 的轨迹方程为焦点位于
轴的椭圆，
设椭圆方程为
，焦距为
，
则
，解得
，故动点P 的轨迹方程为
.
故选：B
二、解答题
7．设椭圆
：
的两个焦点为
，
，点
在椭圆
上，且
，
，
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)点
在椭圆
上，且
的面积为
，求点
的坐标．
【答案】(1)
(2)
或
或
或
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【分析】（1）根据椭圆定义，结合勾股定理进行求解即可；
（2）根据三角形面积公式进行求解即可.
【详解】（1）因为点
在椭圆
上，
所以
，
因为
，
，
．
所以
，
所以
，即椭圆
的方程为
；
（2）设
，因为
的面积为
，
所以
，
因为点
在椭圆
上，
所以
，
所以点
的坐标为
或
或
或
.
8．已知椭圆C：
的左、右焦点分别是
，
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，且该椭圆过点
．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆上的点
满足
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意确定c 的值，根据椭圆上的点，结合椭圆定义求得a
的值，即可求得
，即得答案；
（2）利用数量积的坐标表示，结合椭圆方程，即可求得答案.
【详解】（1）依题意，设所求椭圆方程为
，其半
焦距
．
∵点
在椭圆上，
∴
，
∴
，从而
，
故所求椭圆的标准方程是
．
（2）由
得，
，
即
，
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代入椭圆方程
得
，故
.
9．已知平面内两定点
，动点P 满足
．
(1)求动点P 的轨迹C 的方程；
(2)若直线
与曲线C 交于不同的两点A、B，求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由椭圆的定义即可得解.
（2）联立直线与椭圆方程结合韦达定理、弦长公式即可得解.
【详解】（1）由椭圆的定义知，P 点的轨迹为椭圆，
其中
，
所以所求动点P 的轨迹C 的方程为
．
（2）设
,
联立直线与椭圆的方程
,消y 整理得：
，
所以
，
，
，
∴
.
0
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10．已知椭圆的两焦点为
，
，点
为椭圆上一点，且
(1)求此椭圆的方程
(2)若点
满足
，求
的面积．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】
设椭圆的方程为
,由焦点坐标求出
，
根据
，求出
，从而可求
，即可得出椭圆方程；
在焦点三角形
中，运用余弦定理结合椭圆的定义，求出
，再利用三角形的面积公式，可求
的面积．
【详解】（1）由题意，设椭圆的方程为
，
∵焦点为
，
，
∴
，
1
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又
，
所以
，
，
，
．
所求椭圆的方程为
．
（2）在
中，由余弦定理得
即
，
∴
，
∴
，
所以S△P F1 F2= 1
2|P F1|⋅|P F2|sin 60° = 1
2 ×4× √3
2 =√3.
5
题型二、椭圆的离心率
一、单选题
1．椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由椭圆方程确定
即可求解；
2
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【详解】在椭圆
中，
，
，所以
，
所以
，
，所以椭圆的离心率
．
故选：B．
2．若椭圆
的焦距是短轴长的2 倍，则椭圆
的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用
结合已知条件：焦距是短轴长的2 倍，带入离心
率计算公式可求解
【详解】设椭圆
的焦距为
，长轴长为
，短轴长为
，则
，
所以
，
，
所以椭圆
的离心率
.
故选：B
3．已知椭圆C：
（
）的左顶点到上焦点的距离为2，则
C 的离心率为（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意求出
，即可得离心率.
【详解】由题意知
，左顶点
，上焦点
，
则
，解得
，∴
∴离心率
.
故选：C.
4．若椭圆
的离心率为
，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．2
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用离心率的意义求出
值.
【详解】依题意，
，所以
.
故选：D
5．椭圆
与椭圆
的（ ）
A．长轴长相等
B．短轴长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
【答案】D
【分析】根据椭圆的方程，求得长短半轴长及半焦距、离心率，即可判断.
4
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【详解】对于椭圆
的长短半轴长及半焦距分别为
，
对于椭圆
的长短半轴长及半焦距分别为
，
所以它们的长轴不相等，短轴不相等，离心率不相等，焦距相等.
故选：D
6．已知椭圆
的焦距为4，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据椭圆中
的关系及离心率公式即可求解.
【详解】根据题意，可知
，因为
，所以
，即
，
所以椭圆C 的离心率为
，
故选：C．
7．若椭圆
的焦距为
，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意求出
、
、
的值，结合椭圆离心率公式求解即可.
5
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【详解】由题意可知，椭圆的焦点在
轴上，且
，则
，
又因为
，则
，因此，该椭圆的离心率为
.
故选：B.
8．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，P 是椭圆C 上
任意一点．若
，则椭圆C 的离心率为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据椭圆方程及其定义和焦点位置得
，
，进而求离心
率.
【详解】由椭圆的定义及题意，得
，所以
．
因为
，所以
，所以
，
所以离心率
．
故选：B．
9．已知
，
，对曲线
上的任意一点
恒有
，
则
的离心率
为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义以及离心率公式即可求解.
6
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【详解】由于
，故点
的轨迹是以
为焦点的椭
圆，
依题意，
，
，故
，则离心率为
，
故选：A
二、解答题
10．已知椭圆
：
（
）的离心率
，且椭圆过点
.
(1)求
的方程：
(2)过点
直线与椭圆有两个交点
，
，已知
轴上点
，
求证：
.
7
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【答案】(1)
；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用给定的离心率及所过的点求出
即得.
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式
计算得证.
【详解】（1）由椭圆
：
的离心率
，得
，则
，
由椭圆
过点
，得
，解得
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程：
，
由
消去
，得
，
设
，显然
，
则
，
，
所以
8
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.
11．已知椭圆
的离心率为
，且
过点
．
(1)求
的方程；
(2)若斜率为
的直线与
轴交于点
，与
交于
，
两点，证明：
为定值．
9
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【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用椭圆离心率的性质结合椭圆经过的点求解基本量，得到
椭圆方程即可；
（2）利用韦达定理表示出
，再利用两点间距离
公式表示出目标式，化简得到定值即可.
【详解】（1）由题意得
，得
，
故
的方程为
；
（2）设
，则直线l 的方程为
，
与
联立，得
，
则
，且
，
所以
，
故
为定值．
0
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12．已知椭圆
的离心率为
，长轴长为4．
(1)求C 的方程；
(2)过点
的直线l 交C 于
两点，
为坐标原点.若
的面积
为
，求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程；
（2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可
1
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求的值，从而可求弦长.
【详解】（1）因为长轴长为4，故
，而离心率为
，故
，
故
，故椭圆方程为：
.
（2）
由题设直线
的斜率不为0，故设直线
，
，
由
可得
，
故
即
，
且
，
故
，
解得
，
故
2
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13．已知椭圆
的左、右焦点分别为
为椭
圆C 上一点，
的周长为6，离心率
．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过点
的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，若
，求直线l 的
方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由离心率及
的周长求得
，再根据
即
可求解；
（2）分类讨论，当直线l 为x 轴时，与题意不符，当直线l 不与x 轴重合时，
3
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设
，联立方程，由韦达定理，平面向量数量
积的坐标运算公式即可求解．
【详解】（1）由已知可得
，
，
，
．
（2）
，当直线l 为x 轴时，
与题意不符，
∴可设
，
由
，
得
，
，
，
又
4
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，
，
∴直线l 的方程为
．
14．已知椭圆
的离心率
，且椭圆的长轴
长为4.
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
的直线与椭圆
交于
两点，且
，求直线的
方程.
5
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【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）由长轴长可得
，再根据离心率可得
，再求
，
即可得到方程；
（2）方法一、根据题意，直线斜率为0 时，得到
不符合题
意，当直线斜率不为0 时，设
，联立曲线得到
，再
根据
求解即可；方法二、直线斜率不存在时，
，不符
合题意，当直线斜率存在时，设
，联立曲线得到
，再根据
求解即可.
【详解】（1）由题可知，
，
，
又
，且
，解得
，
，
6
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则椭圆
的方程为
.
（2）法一：①当直线斜率为0 时，
， 不符合题意.
②当直线斜率不为0 时，设直线方程为
，
联立
，得
，
，
设
，则
.
由题意，
，
即
，解得
.
故直线的方程为：
或
.
法二：①当直线斜率不存在时，
，不符合题意.
②设直线方程为
，
联立
，得
，
，
设
，则
，
由
，得
，
7
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即
，解得
.
故直线的方程为
或
.
15．已知椭圆
的离心率为
，短轴长为
.
(1)求C 的方程；
(2)若直线
与C 交于
两点，O 为坐标原点，
的面积
为
，求t 的值.
【答案】(1)
(2)
或
8
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【分析】（1）根据题意可得
，进而解出
即可求解；
（2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式及点到直线的距离公式表示出
的面积，建立方程即可求解.
【详解】（1）由题意，得
，解得
，
则椭圆C 的方程为
.
（2）设
，
联立
，得
，
则
，解得
，
且
，
所以
，
点
到直线的距离为
，
9
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则
，解得
或
，满足
，
则
或
.
0
