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第 08 讲 函数与方程 (分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（2024上·天津·高一校联考期末）函数 的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在求得函数定义域上，根据函数的单调性和某区间的端点函数值异号即可判定.
【详解】因函数 的定义域为 ，且在 上单调递增，由
，
根据零点存在定理该函数的零点所在的区间是 .
故选：A.
2．（2024上·安徽·高一校联考期末）用二分法求函数 的零点时，初始区间
可选为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】计算出 ，结合零点存在性定理得到答案.
【详解】 ，
则 ，即初始区间可选 ．
故选：D．
3．（2024上·江西吉安·高一统考期末）下列区间内存在方程 的根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的零点个数与方程的实根个数的关系，利用零点存在定理结合图形判断
即得.
【详解】令 ，显然函数 在R上连续，因 ，
故 在区间 上存在零点，即方程 在区间 上有实数根．如图，作出函数 和 的图象，由图可知 和 有两个交点，
因 ， ，即 ，
所以 在区间 上存在零点，即方程 在区间 上有实数根，
由选项可知只有C项符合题意.
故选：C.
4．（2024上·河南新乡·高一统考期末）已知函数 在 内的一个零点附近
的函数值如下表：
则该零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先判定函数的单调性，然后将表中数据按照 从小到大排列，根据函数零点存在
性定理即可求解.
【详解】因为函数 和 都是 上的单调增函数，所以函数 为单调递增
函数.
将表格中数据按照 从小到大排列如下：
由表格可得： .
由函数零点存在性定理可得：函数 有唯一零点，所在的区间为 .
故选：C.
5．（2024上·福建龙岩·高一校联考期末）美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一
种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为 的形式．已知
描述的是一种植物的高度随着时间 （单位：年）变化的规律．若刚栽种时该植物的高为1
米，经过一年，该植物的高为1.5米，要让该植物的高度超过2.8米，至少需要（ ）年．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】由题设有 ，即可求参数 、 的值，进而判断 的单调性且
，即可判断植物的高度超过 至少需要多少年.
【详解】依题意可得 ，则 ，解得 ，
∴ ，
因为 在定义域 上单调递减，且 ，又 在 上单调递
减，
所以 在 上单调递增，而 ， ，
即 ，
∴该植物的高度超过 ，至少需要 年.
故选：C.
6．（2024下·河北保定·高一河北安国中学校联考开学考试）函数
的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】当 时，解二次方程得函数零点，当 时，把函数零点个数转化为函数
与函数 的交点个数，即可求解.
【详解】当 时，令 ，解得 或 ；
当 时，令 ，则 ，画出函数 与函数 的图象，可知在 上有一个公共点.故 的零点个数为3.
故选：C
7．（2024下·山东济宁·高三校考开学考试） 是定义在 上的函数，对于任意的
，都有 且 时，有 ，则函数
的所有零点之和为（ ）
A．10 B．13 C．22 D．26
【答案】C
【分析】根据函数的对称性可得函数的周期为4，进而根据函数图象，结合对称性即可求
解.
【详解】因为对于任意的 ，都有 ， ，
所以 为 的一条对称轴， 为 的一个对称中心，
故
所以 为 的周期，
由 得 ，又由 时，有 ，
可以画出 与 的图象，如图:
由于 也关于 对称，且当 时， ，
由图象可得，函数 共有11个零点，故所有零点之和为 .
故选:C
8．（2024·广东·珠海市第一中学校联考模拟预测）已知定义在R上的函数 满足：且 ， ，则方程 在区间
上的所有实根之和为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【分析】首先利用函数的性质画出两个函数的图象，再结合对称性求所有实数根的和.
【详解】由题意知 ，关于点 对称，
函数 的周期为2，则函数 ， 在区间 上的图象如下图所示：
由图形可知函数 ， 在区间 上的交点为 ，
易知点 的横坐标为 ,
若设 的横坐标为 ，则点 的横坐标为 ，
所以方程 在区间 上的所有实数根之和为 .
故选：B
二、多选题
9．（2024下·广东湛江·高二校考开学考试）已知函数 的图象与直线
有两个不同交点，则正实数a的取值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
【答案】BC
【分析】在同一坐标系中作出两函数的图象，观察图象可得到a的取值范围.
【详解】在同一坐标系中作出函数 与 的大致图象，
如图所示，两图象都经过 ，易知只有 时才能在 的区域有第二个交点，
故 的取值范围 .
故选：BC10．（2024上·河南安阳·高一林州一中校考期末）已知函数 ， ，
， ， 是函数 的4个零点，且 ，则（ ）
A． 的取值范围是 B．
C． 的取值范围为 D． 的最大值是
【答案】BD
【分析】作出函数 的图象，结合图象判断A，对方程 化简，利用基
本不等式求出 范围判断B，由对数的运算性质得出 ，利用函数单调性和基本
不等式可判断C，D.
【详解】作出函数 的图象，如图所示：
对选项A，由条件，函数 有4个零点，即 有4个不等实数根，
即 与 的图象有四个交点，由图象知 ，故选项A错误；
对选项B，因为 ， ， ， 是函数 的4个零点，
且 ，所以 ， ，所以 ，
所以 ， ，由 ，所以 ，
即 ，所以 ，
因为 ，当且仅当 时等号成立，
又因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ，即 ，故选项B正确；
对选项C，因为 ， ， ，所以由图可知，
，
由 ， ，得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ， 即 ，
所以 ，
因为 ，且 在 单调递减，
所以 ，即 的取值范围不为 ，故选项C错误；
对选项D，由选项B可得， ，所以 ，
由选项C可知， ， 所以 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 ，
所以 的最大值是 ，故选项D正确.
故选：BD.
三、填空题
11．（2024上·江西九江·高一江西省庐山市第一中学校考期末）已知函数，且 时， ，则 的取值范围
是 .
【答案】
【分析】由题意画出图形，得出 各自的范围以及关系，进一步即可求解.
【详解】
，
结合图形可得 ， ， ，
∵ ，∴ ， ∴ ，
∴ ，∴ .
故答案为： .
12．（2024上·河南驻马店·高一统考期末）给定函数 ，若在其定义域内存在
使得 ，则称 为“ 函数”， 为该函数的一个“ 点”．
设函数 ，若 是 的一个“ 点”，则实数 的值为
．若 为“ 函数”，则实数 的取值范围为 ．
【答案】 3
【分析】对于第一空，由题可知 ，代入相应解析式可得答案；
对于第二空， 为“ 函数”，则函数 ，与函数
图象有交点，据此可得答案.
【详解】对于第一空，因 是 的一个“ 点”，则
；
对于第二空，由题可知 为“ 函数”，即函数在定义域内的图像中，存在中心对称的两点，即函数 的图象，
与函数 关于原点对称的函数 的图象有交点，即方程
有大于0的解.
，当且仅当 ，
即 时取等号，故答案为： .
故答案为：3； .
四、解答题
13．（2024上·广东茂名·高一统考期末）已知二次函数 满足 ，且
， 为偶函数，且当 时， ．
(1)求 的解析式；
(2)在给定的坐标系内画出 的图象；
(3)讨论函数 （ ）的零点个数．
【答案】(1)
(2)作图见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）设出解析式，根据题目条件得到方程组，求出 ，得到解析式；
（2）根据函数的奇偶性得到 的解析式，从而画出函数图象；
（3）在（2）的基础上，得到函数零点个数
【详解】（1）设 ，则
因为 ，故 ，
所以 ，解得 ，
因此 ；
（2）当 时， ，
当 时， ，则 ，
为偶函数，故 ，
故 ，
综上， ，
画出函数图象如下：
（3）由图可知， ， ，
当 时，函数 没有零点，
当 时，函数 只有两个零点，
当 时，函数 有四个零点，
当 时，函数 有三个零点，
当 时，函数 有两个零点
14．（2024上·江苏南京·高一统考期末）已知函数 .
(1)若函数 为奇函数，求 的值；
(2)当 时，用函数单调性的定义证明：函数 在 上单调递增；
(3)若函数 有两个不同的零点，求 的取值范围.
【答案】(1)1
(2)证明见解析(3)
【分析】（1）根据 得到方程，求出 ，验证后得到答案；
（2）定义法求解函数单调性步骤：取点，作差，判号，下结论；
（3）换元后得到 在 有两个不同的实数解，由根的判别式和对称轴
得到不等式，求出 的取值范围.
【详解】（1） 的定义域为R，且 为奇函数，
由 ，得 ，
此时 .
因为 ，所以 为奇函数，
故 .
（2）当 时， .
任取 ，且 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以函数 在 上单调递增.
（3） 有两个不同的零点，等价于 有两个不同的实数解.
令 ，则 在 有两个不同的实数解，
令 ，其中 ，
所以 ，解得 .
所以 的取值范围为 .
B能力提升
1．（2024下·四川雅安·高三雅安中学校联考开学考试）已知函数 ，若存在 ，使得 ，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． 在 内有零点 D．若 在 内有零点，则
【答案】A
【分析】根据函数的单调性结合零点存在定理逐项判断即可得结论.
【详解】因为 在 上单调递增，且 ， ，
所以 ， ，根据零点存在定理可得函数 在 内有零点，故C正
确；
又因为 ，所以 ，故B正确；
又因为 ，则 可能大于 ，故A不正确；
若函数 在 内有零点，则 ，故D正确.
故选：A.
2．（2024·全国·高一专题练习）已知函数 是定义在 上的偶函数，且对任意的
，都有 ，当 时， ，则函数
的零点个数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】由函数 偶函数性质及结合 得到函数的周期 ，然后求出
的在 上的解析式 ，则求 的零点就等价于
函数 与函数 图象的交点，作出相关图形，从而可求解.
【详解】由函数 为偶函数，所以 ，
因为对任意 ，都有 ，即 ，
所以函数 的周期 ，
当 时， ，则 ，对于函数 的零点等价于函数 与函数 图象的交点，
如图所示，一共有10个交点，故C正确.
故选：C.
3．（2024·山西吕梁·校考模拟预测）用[ ]表示不大于实数a的最大整数，如[1.68]=1，设
分别是方程 及 的根，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】用零点存在性定理确定两个根的取值范围即可.
【详解】因为 分别是方程 ， 的根，
则 分别是函数 及 的零点，
而函数 是单调递增函数，又 ， ，则 ，
函数 在 上单调递增， ， ，则 ，
因此 ，所以 .
故选：C
【点睛】方法点睛：利用零点存在性定理不仅要函数 在区间 上是连续不断的曲
线，且 ，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有
多少个零点.
4．（2024上·安徽芜湖·高一统考期末）已知 ，符号 表示不大于 的最大整数，比
如 ， ，若函数 有且仅有 个零点，则实数 的取值
范围是 ．
【答案】
【分析】问题转化为直线 与函数 在 上的图象有两个交点，数形结合
可得出实数 的取值范围.
【详解】当 时，由 可得 ，
问题转化为直线 与函数 在 上的图象有两个交点，如下图所示：当直线 经过点 时，则有 ，可得 ；
当直线 经过点 时，则有 ，可得 .
由图可知，当 时，直线 与函数 在 上的图象有两个交点.
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
5．（2024上·河北石家庄·高一石家庄市第二十四中学校考期末）已知定义在 上的函数
满足：① 的图象关于直线 对称，②函数 为偶函数；③当
时， ，若关于x的不等式 的整数解有且仅有
个，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据函数性质可知函数 关于 ， 对称，且周期为4，再利用
上的解析式，画出函数图象，有数形结合即可求得实数 的取值范围.
【详解】由函数 为偶函数可知，函数 关于 对称，且
，即 ，
又因为 关于 对称，所以 ，即 ，
可得函数 的周期 ，
当 时， 可得其图象如下所示：由对称性可知，当 时满足不等式 的整数解有3个即可，
根据图示可得 ，解得 ，
即 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：函数图象在方程、不等式中的应用策略
(1)研究两函数图象的交点个数：在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解；
(2)确定方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方
程 的根就是函数 图象与 轴的交点的横坐标，方程 的根就是函
数 与 图象交点的横坐标；
(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解但其对应函数的图象可作出时，常将
不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
C综合素养
6．（2024上·安徽安庆·高一安庆一中校考期末）设 为给定的实常数，若函数 在
其定义域内存在实数 ，使得 成立，则称函数 为“ 函
数”．
(1)若函数 为“ 函数”，求实数 的值；
(2)证明：函数 为“ 函数”；
(3)若函数 为“ 函数”，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见详解；
(3)
【分析】（1）根据新定义函数的性质，写出f(x)满足的等式进而求解出结果；
（2）令 ，得 ，设 ， ，根据图象可
知有解，得证；（3）根据题意得 ， ，进而整理得存在实数 使得
，再结合 和 讨论求解即可.
【详解】（1）由 为“ 函数”，
得 ，即 ，
解得 ，故实数 的值为 ；
（2）由 ，
则 ， ，
令 ，得 ，
设 ， ，
如图可知，两函数由一个交点，
即存在实数 ，使得 成立，
所以函数 为“ 函数”；
（3）函数 有意义，则 ，定义域为
因为函数 为“ 函数”，
所以存在实数 使得 成立，
即存在实数 使得 ，
所以存在实数 使得 成立，即 ，
所以当 时， ，满足题意；
当 时， ，即 ，
解得 且 ，所以实数a的取值范围是
【点睛】思路点睛：本题考查了函数的新定义，解题的关键是理解函数 为“ 函
数”的定义，每一问套用定义得到关于 的方程，解方程或讨论方程有解.
7．（2024上·湖南郴州·高一统考期末）对于满足一定条件的连续函数 ，存在实数
，使得 ，我们就称该函数为“不动点”函数，实数 为该函数的不动点.若函数
， ，若存在 ，使得 ，则称 为函数 的稳定点.
(1)证明：函数不动点一定是函数的稳定点.
(2)已知函数 ，
（Ⅰ）当 时，求函数的不动点和稳定点；
（Ⅱ）若存在 ，使函数 有三个不同的不动点，求 的值和实
数 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)（Ⅰ）不动点为1和 ；稳定点为1和 ； ；（Ⅱ） ， .
【分析】（1）根据不动点的定义可得 ，即可代入求证稳定点，
（2）（Ⅰ）根据不动点以及稳定点的定义即可求解方程得解，
（Ⅱ）根据不动点的定义以及换元可得 ，进而将问题进一步转化
为 ，根据二次方程根的分布即可判定 的方程必有一根为正根和一
个零根，即可根据韦达定理求解.
【详解】（1）证明：若实数 是 的一个不动点，则 ，
所以 ，故函数不动点一定是函数的稳定点.
（2）（Ⅰ）当 时， ，∴ ，解得： 或
所以函数 的不动点为1和 ；
又
∴
解得： 或 ，或 或所以函数 的稳定点为1和 ；
解法2：所以函数 的不动点为1和 ；
由 得
即 ，由（Ⅰ）可知函数的不动点1和 一定是稳定点，
故可令
，
从而由待定系数法可求得 ， ，
所以 ，
解得 或 ，或 或
所以函数 的稳定点为1和 ；
（Ⅱ）若存在 ，使函数 有三个不同的不动点，
当 时，令 ，当且仅当 时取等号，
又 ，由 ，可化为
，关于 的方程 有三个不等实根，
令 ， ，
由于 非负数，如果有两个不同正根，方程必有四个解即四个不同的不动点，与题设矛
盾；
如果有且只有一个正根，只有两个不动点，与题设矛盾；
所以 必有一根为正根和一个零根，即 或
则 ，因为 ，得： ，则 .
故实数 的取值范围是 ， .
【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元
算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似
的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.
8．（2024上·江苏徐州·高一统考期末）已知函数 的定义域为 ，若存在常数
，使得对 内的任意 ， ，都有 ，则称 是“ -利
普希兹条件函数”.
(1)判断函数 ， 是否为“2-利普希兹条件函数”，并说明理由；
(2)若函数 是“ -利普希兹条件函数”，求 的最小值；
(3)设 ，若 是“2024-利普希兹条件函数”，且 的零点
也是 的零点， . 证明：方程 在区间 上
有解.
【答案】(1)函数 是“2-利普希兹条件函数”； 函数 不是“2-利普希兹条件
函数”；
(2)2
(3)证明见解析
【分析】（1）根据函数新定义得 和
，即可判断；
（2）由题知均有 成立，不妨设 ，得 恒成立，由
，得 ，即可求解；
（3）由题得 ，即 ，不妨设 ，根据零点的定义可得
、 ，进而 ，则 ，设
，有 ，结合零点的存在性定理即可证
明.
【详解】（1）由题知，函数 ，定义域为R，
所以 ，
所以函数 是“2-利普希兹条件函数”；
函数 ，
所以 ，
当 时，则 ，函数 不是“2-利普希兹条件函数”；
（2）若函数 是“ 利普希兹条件函数”，
则对于定义域 上任意两个 ，均有 成立，
不妨设 ，则 恒成立，
因为 ，所以 ，得 ，
所以 的最小值为2．
（3）因为函数 是“ 利普希兹条件函数”，
所以 在R上恒成立，即 在R上恒成立，
由 ，得 .
因为 是函数 的零点，则 ，
又 是函数 的零点，则 ，又 ，
所以 ，而 ，故 ，
设 ， ，
由 ， ，
得 ，由零点的存在性定理知函数 在 上有零点，
即方程 在 上有解.
【点睛】本题考查运用所学的函数知识解决新定义等相关问题，关键在于运用所学的函数
知识，紧紧抓住定义，构造所需要达到的定义式，此类题目综合性强，属于难度题.
