重点05 根式不等式与集合
目录
1
知识点01 根式运算....................................................................................2
2
知识点02 根式不等式................................................................................2
3
知识点03 根式不等式与集合....................................................................5
4
题型一、根式的混合运算.........................................................................7
5
题型二、解根式不等式.............................................................................7
6
题型三、根式不等式与集合.....................................................................7
1 知识点01 根式运算
(1)
二次根式的概念
形如
❑√a(a≥0)的式子叫做二次根式。其中符号“
”叫做二次根号，二次
根号下的数a叫做被开方数．
(2)
二次根式有意义的条件
要使二次根式有意义，则a≥0．
(3)
最简二次根式
被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的
二次根式，叫做最简二次根式．
(4)
同类二次根式
化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式
(5)
二次根式的加减
合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简
二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．
(6)
二次根式的乘法法则：
❑√a⋅❑√b= ❑√ab(a≥0,b≥0)
(❑√a×❑√b)
2=(❑√a)
2×(❑√b)
2=a×b
(❑√a)
2=a(a≥0)
(7)
二次根式的除法法则
❑√a
❑√b = ❑√
a
b (a≥0,b>0)
1
❑√a = 1×❑√a
❑√a×❑√a =
❑√a
a
(8)
二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后
加减，有括号的先算括号内的
2 知识点02 根式不等式
(1)
根式和正数的不等式
【例题1】❑√2 x -3>5
根据被开方数为非负数得：2 x -3≥0⇒x ≥3
2
不等号两边同时平方得：(❑√2 x -3)
2>5
2
平方后得到：2 x -3≥25
移项： 2 x ≥28
系数化为1： x ≥14
取交集得到：x ≥3
2和x ≥14取交集结果为：x ≥14
【例题2】❑√3 x +1<5
根据被开方数为非负数得：3 x +1≥0⇒x ≥- 1
3
不等号两边同时平方得：(❑√3 x +1)
2>5
2
平方后得到：3 x +1≥25
移项： 3 x ≥24
系数化为1： x ≥8
取交集得到：x ≥- 1
3和x ≥8取交集结果为：x ≥8
(2)
根式和负数的不等式
【例题3】❑√2 x -3>-5
根据被开方数为非负数得：2 x -3≥0⇒x ≥3
2
根式计算得结果肯定为非负数：故
❑√2 x -3>-5得解为：x∈R
取交集得到：x ≥3
2和x∈R取交集结果为：x ≥3
2
【例题4】❑√2 x -3<-5
根式计算得结果肯定为非负数：故
❑√2 x -3<-5得解为：Φ
(3)
根式和根式的不等式
【例题5】❑√2 x -3<❑√3 x +1
根据被开方数为非负数得：2 x -3≥0⇒x ≥3
2
3 x +1≥0⇒x ≥- 1
3
不等号两边同时平方得：(❑√2 x -3)
2<(❑√3 x +1)
2
平方后得到：2 x -3<3 x +1
移项： - x<4
系数化为1： x>- 4
取交集得到：x ≥3
2和x ≥- 1
3 和x>- 4取交集结果为：x ≥3
2
【例题6】❑√2 x -5>❑√x +3
根据被开方数为非负数得：2 x -5≥0⇒x ≥5
2
x +3≥0⇒x ≥-3
不等号两边同时平方得：(❑√2 x -5)
2>(❑√x +3)
2
平方后得到：2 x -5> x +3
移项： x>8
取交集得到：x ≥5
2和x ≥-3和 x>8取交集结果为： x>8
(4)
根式和未知数的不等式
【例题7】❑√2 x -5> x
因为x的正负未知，故需要讨论x的正负
(i)
x ≥0
根据被开方数为非负数得：2 x -5≥0⇒x ≥5
2
因为x为正数，故：
不等号两边同时平方得：(❑√2 x -3)
2> x
2
平方后得到：2 x -3≥x
2
移项： x
2+2 x -3≥0
解得：x ≤-3 或x ≥1
解集取交集：x ≥0，x ≥5
2 ， x ≤-3 或x ≥1
得：x ≥5
2
(ii)
x<0
根据被开方数为非负数得：2 x -5≥0⇒x ≥5
2
因为x为正数，根式的非负性，故：
不等式
❑√2 x -5> x恒成立，即x∈R
解集取交集：x<0，x ≥5
2 ，x∈R
得：解集为∅
综上所述：不等式
❑√2 x -5> x得解集为{x| x ≥5
2}和∅的并集，即{x| x ≥5
2}
3 知识点03 根式不等式与集合
1．已知集合A ={x|2 x +1
x -2 ≤1}，B ={x|❑√3- x ≤2}，则A ∩B =（ ）
A．{x|-3≤x ≤3}
B．{x|-1≤x ≤2}
C．{x|-1≤x<2}
D．{x|-3≤x<2}
【答案】C
【分析】化简集合A ,B，利用集合交集的概念求解即可.
【详解】由集合A ={x|2 x +1
x -2 ≤1}得A ={x|2 x +1
x -2 - x -2
x -2 ≤0}，即
A ={x|x +3
x -2 ≤0}，
所以¿，解得A ={x|-3≤x<2}，
由集合B ={x|❑√3- x ≤2}得¿，所以B ={x|-1≤x ≤3}，
所以A ∩B ={x|-1≤x<2}，
故选：C
2．不等式❑√x
2+ x -2< x +5的解集是（ ）
A．(-3,+∞)
B．(-∞,-2]∪[1,+∞)
C．(-∞,-2)∪(3,+ ∞)
D．(-3,-2]∪[1,+∞)
【答案】D
【分析】先解不等式x
2+ x -2≥0，再解不等式x +5>0且x
2+ x -2<( x +5)
2得
解.
【详解】由题得x
2+ x -2≥0，所以x ≥1或x ≤-2.
由题得x +5>0，所以x>-5.
由题得x
2+ x -2<( x +5)
2，所以x>-3.
所以综合得x∈(-3,-2]∪[1,+ ∞).
故选：D
【点睛】本题主要考查无理不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理
解掌握水平，属于基础题.
3．不等式❑√4 x - x
2< x的解集是（ ）
A．(0,2)
B．(2,+ ∞)
C．(2,4]
D．
(-∞,0)∪(2,+ ∞)
【答案】C
【分析】由已知，根据原不等式，可直接列式求解.
【详解】由已知，
❑√4 x - x
2< x需满足¿，解得2< x ≤4，
所以不等式的解集为(2,4].
故选：C.
4．已知集合A =¿，B =¿，则A ∩B =（ ）
A．[
1
2 ,1]
B．[3,4]
C．[1,4]
D．[
1
2 ,3]
【答案】B
【分析】利用无理不等式的解法及交集的定义即可求解.
【详解】由¿，得¿，解得-1≤x ≤0或3≤x ≤4，
所以A =¿或3≤x ≤4}，
所以A ∩B =¿或3≤x ≤4}∩¿.
故选：B.
5．已知集合M =¿，N =¿，则M ∩N =（ ）
A．¿
B．¿
C．¿
D．¿
【答案】D
【分析】分别求出不等式的解集，再利用交集的运算法则求解.
【详解】由已知得M ={x|1≤x<5}，N ={x|-1< x<2}，
即M ∩N =¿
故选：D.
6．已知集合U = {-2,-1,0,1,2,3,4}, A ={x|3- x
x +2 ≥0, x∈Z},B ={x|❑√x +1<2}，
则∁U( A ∩B)=（ ）
A．{-2}
B．{3,4}
C．{-2,3,4}
D．{-2,0,3,4}
【答案】C
【分析】解分式不等式得集合A，解根式不等式得集合B，由集合交集及
补集运算可得结果.
【详解】由题意知A =¿，B =¿，
则A ∩B = {-1,0,1,2}，所以∁U( A ∩B)={-2,3,4 }．
故选：C．
4 题型一、根式的混合运算
1．计算：5 ❑√24
2
- 4 ❑√
3
2 - ❑√6．
【答案】2❑√6
【分析】本题考查二次根式化简，二次根式减法运算．根据题意先将二次
根式化简，再计算减法即可．
【详解】解：5 ❑√24
2
- 4 ❑√
3
2 - ❑√6，
=5 ❑√6-2❑√6- ❑√6，
=2❑√6．
2．计算：2
-1+ ❑√12-|❑√3-2|．
【答案】3 ❑√3- 3
2
【分析】本题考查了实数的混合运算，化简二次根式，掌握各知识点的运
算法则是解题的关键．
先计算负整数指数幂，化简二次根式和化简绝对值，再进行加减计算．
【详解】解：2
-1+ ❑√12-|❑√3-2|
= 1
2 +2❑√3-(2- ❑√3)
= 1
2 +2❑√3-2+ ❑√3
=3 ❑√3- 3
2．
3．计算：❑√18- ❑√32+ ❑√2；
【答案】0
【分析】本题主要考查二次根式的加减法和运用待定系数法求二次函数解
析式．
将二次根式化简后合并即可；
【详解】解：（1）❑√18- ❑√32+ ❑√2
=3 ❑√2- 4 ❑√2+ ❑√2
=0；
4．计算：
❑√8+|1- ❑√2|+(- 1
5)
0
．
【答案】3 ❑√2
【分析】本题考查的是零次幂，化简绝对值以及二次根式的运算等知识，
熟练掌握相关运算法则是解题关键．先化简二次根式，绝对值，计算零次幂，
再合并即可．
【详解】解：
❑√8+|1- ❑√2|+(- 1
5)
0
=2❑√2+ ❑√2-1+1
=3 ❑√2．
5．计算：❑√2-2❑√12+ ❑√18．
【答案】4 ❑√2- 4 ❑√3
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的性质是解
答本题的关键．
先化简为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并，即可解
答．
【详解】解：原式= ❑√2- 4 ❑√3+3 ❑√2，
= 4 ❑√2- 4 ❑√3．
6．计算：
(1)2❑√3+3 ❑√2-5 ❑√3-3 ❑√2
(2)3√-27+
❑√(-3)
2-
3√-1
【答案】(1)-3 ❑√3
(2)1
【分析】（1）根据二次根式加减运算法则进行计算即可；
（2）根据算术平方根的定义、立方根的定义进行化简，然后再根据二次根
式加减运算法则进行计算即可；
【详解】（1）解：2❑√3+3 ❑√2-5 ❑√3-3 ❑√2，
=2❑√3-5 ❑√3+3 ❑√2-3 ❑√2，
=-3 ❑√3；
（2）解：
3√-27+
❑√(-3)
2-
3√-1，
=-3+3-(-1)，
=1；
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，立方根，平方根，同底数幂相
乘，幂的乘方，同底数幂相除等知识点，正确的计算是解题的关键．
7．计算：
❑√12+|❑√3-2|-(
1
2)
-1
．
【答案】
❑√3
【分析】本题主要考查二次根式的化简，绝对值化简，负指数幂的计算，
掌握实数的混合运算法则是解题的关键．
先化简二次根式，绝对值，负指数幂的结果，再根据实数的运算法则计算
即可．
【详解】解：
❑√12+|❑√3-2|-(
1
2)
-1
=2❑√3+(2- ❑√3)-2
=2❑√3+2- ❑√3-2
= ❑√3．
8．计算：
❑√18-(- 1
3)
-2
+|2❑√2-3|．
【答案】
❑√2-6
【分析】本题考查了二次根式的化简与减法、负整数指数幂，熟练掌握运
算法则是解题关键．先化简二次根式和绝对值、计算负整数指数幂，再计算加
减法即可得．
【详解】解：
❑√18-(- 1
3)
-2
+|2❑√2-3|
=3 ❑√2-9+3-2❑√2
= ❑√2-6．
9．计算：(- 1
3)
-1
-|1- ❑√2|+ ❑√8．
【答案】
❑√2-2
【分析】本题考查实数的混合运算，先根据负整数指数幂、实数绝对值、
二次根式的性质化简，再计算即可．
【详解】解：(- 1
3)
-1
-|1- ❑√2|+ ❑√8
=-3+1- ❑√2+2❑√2
= ❑√2-2．
10．计算：4 ❑√3-7 ❑√12+2❑√48；
【答案】-2❑√3
【分析】本题考查二次根式的加减运算，解二元一次方程组：
先化简，再合并同类二次根式即可；
【详解】（1）解：原式= 4 ❑√3-14 ❑√3+8 ❑√3=-2❑√3；
11．计算：
❑√24+ ❑√12
❑√6
- ❑√
1
3 ×❑√27．
【答案】
❑√2-1
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、
二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．先根据二次根式的除法法则和
乘法法则运算，然后化简后合并即可．
【详解】解：
❑√24 + ❑√12
❑√6
- ❑√
1
3 ×❑√27
= ❑√
24
6 + ❑√
12
6 - ❑√
1
3 ×27
=2+ ❑√2-3
= ❑√2-1．
12．计算：3
2
❑√24 × 2
3
❑√18
【答案】(1)12❑√3
【分析】本题考查二次根式的性质、二次根式的乘法运算：
先化简二次根式，再根据二次根式的乘法法则求解即可；
【详解】（1）解：3
2
❑√24 × 2
3
❑√18
= 3
2 ×2❑√6× 2
3 ×3 ❑√2
=12❑√3；
13．计算：
(1)❑√
1
3 ×❑√75；
(2)5 ❑√27×(-3 ❑√3)；
(3)❑√
5
3 ×❑√
9
125 ×❑√3；
【答案】(1)5
(2)-135
(3)3
5
【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法运算法则
是解题的关键．
（1）利用二次根式的乘法运算法则计算即可；
（2）利用二次根式的乘法运算法则计算即可；
（3）利用二次根式的乘法运算法则计算即可；
【详解】（1）解：❑√
1
3 ×❑√75
= ❑√
1
3 ×75
= ❑√25
=5；
（2）解：5 ❑√27×(-3 ❑√3)
=5×(-3)×❑√27×3
=-15×❑√81
=-15×9
=-135；
（3）解：❑√
5
3 ×❑√
9
125 ×❑√3
= ❑√
5
3 × 9
125 ×3
= ❑√
9
25
= 3
5；
14．计算：
(1)❑√30×❑√2 2
3 ×❑√0.4；
(2)
❑√27×3 ❑√12× 5
8
❑√3．
【答案】(1)4❑√2
(2)135
4
❑√3
【分析】本题主要考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运
算法则是解题的关键．
（1）直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】（1）原式= ❑√30× 8
3 × 2
5
= 4 ❑√2；
（2）原式=3 ❑√3×6 ❑√3× 5
8
❑√3
= 135
4
❑√3．
15．计算
(1)6 ❑√27×(-2❑√3)；
(2)❑√6×❑√15×❑√10；
(3)❑√1 2
3 ÷ ❑√2 1
3 ×❑√1 2
5；
【答案】(1)-108
(2)30
(3)1
【分析】本题考查二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式的乘除运算法
则，是解题的关键：
（1）先化简❑√27，再计算二次根式的乘法；
（2）利用二次根式的性质❑√a⋅❑√b= ❑√a⋅b（a≥0且b≥0）计算可得；
（3）根据二次根式的乘除法则进行计算即可；
【详解】（1）原式=6×3 ❑√3×(-2❑√3)=-36×3=-108
（2）原式= ❑√6×15×10= ❑√900=30；
（3）原式= ❑√
5
3 ÷ ❑√
7
3 ×❑√
7
5 = ❑√
5
3 × 3
7 × 7
5 =1；
16．计算：
(1)❑√6.5÷ ❑√0.5；
(2)
❑√3×❑√15
❑√5
；
(3)❑√4 1
2 ÷(- ❑√2 2
3)；
【答案】(1)❑√13
(2)3
(3)- 3 ❑√3
4
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的
关键．
（1）根据二次根式的除法法则：根指数不变，被开方数相除进行计算；
（2）先逆用二次根式相乘法则，把❑√15写成❑√3×❑√5，进行约分即可；
（3）根据二次根式的除法法则：根指数不变，被开方数相除进行计算；
【详解】（1）解：原式= ❑√6.5÷0.5 = ❑√13；
（2）解：原式=
❑√3×❑√3×❑√5
❑√5
=(❑√3)
2=3；
（3）解：原式=- ❑√4 1
2 ÷2 2
3 =- ❑√
9
2 × 3
8 =- ❑√
27
16 =- 3 ❑√3
4 ；
17．计算
(1)❑√12÷ ❑√
27
2 ；
(2)3 ❑√20÷ 3
2
❑√2 2
3．
【答案】(1)2❑√2
3
(2)❑√30
【分析】本题考查了二次根式运算，熟练掌握二次根式的除法运算法则是
解题的关键．
（1）利用二次根式的除法法则进行计算，结果化为最简二次根式；
（2）利用二次根式的除法法则进行计算，结果化为最简二次根式．
【详解】（1）解：❑√12÷ ❑√
27
2
= ❑√12÷ 27
2
= ❑√12× 2
27
= ❑√
8
9
= 2❑√2
3 ；
（2）解：3 ❑√20÷ 3
2
❑√2 2
3
=(3÷ 3
2)×❑√20÷ 8
3
=2❑√20× 3
8
=2❑√
30
4
=2×
❑√30
2
= ❑√30．
18．计算：
❑√6÷ ❑√2-|1- ❑√3|+(
1
2)
-1
．
【答案】3
【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算二次根式的除法、绝对值、
负整数指数幂，再计算加减即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
❑√6÷ ❑√2-|1- ❑√3|+(
1
2)
-1
= ❑√3-(❑√3-1)+2
= ❑√3- ❑√3+1+2
=3．
19．|-9|×(- 1
3)
2
- ❑√8÷ ❑√2+(
1
2)
-1
+(-1)
0．
【答案】2
【分析】根据含有乘方的有理数混合运算法则，二次根式的除法，零指数
幂，负整数指数幂计算即可．
【详解】解：|-9|×(- 1
3)
2
- ❑√8÷ ❑√2+(
1
2)
-1
+(-1)
0
=9× 1
9 -2+2+1
=1-2+2+1
=2．
【点睛】本题考查了有理数混合运算法则，二次根式的除法，零指数幂，
负整数指数幂，熟练掌握运算法则和计算公式是解题的关键．
20．计算：❑√6÷ ❑√3+ ❑√8- ❑√
1
2 ×❑√6．
【答案】3 ❑√2- ❑√3．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式乘除法的运算
法则和二次根式的性质进行计算，然后再进行合并即可，熟练掌握二次根式混
合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
❑√6÷3+2❑√2- ❑√
1
2 ×6
= ❑√2+2❑√2- ❑√3
=3 ❑√2- ❑√3．
21．计算：❑√18÷ ❑√6+ ❑√27
【答案】4 ❑√3；
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，熟练掌握二次根
式的性质是解题的关键．
先进行二次根式的除法运算，然后化简后合并即可；
【详解】解：原式= ❑√3+3 ❑√3= 4 ❑√3．
5 题型二、解根式不等式
1．不等式❑√4 x - x
2< x的解集是（ ）
A．(0,2)
B．(2,+ ∞)
C．(2,4]
D．
(-∞,0)∪(2,+ ∞)
【答案】C
【分析】由已知，根据原不等式，可直接列式求解.
【详解】由已知，
❑√4 x - x
2< x需满足¿，解得2< x ≤4，
所以不等式的解集为(2,4].
故选：C.
2.不等式❑√x
2-3 x ≤2的解集是（ ）
A．[-1,0]
B．[-1,0]∪[3,4]
C．[-1,4]
D．[
1
2 ,3]
【答案】B
【分析】利用无理不等式的解法及交集的定义即可求解.
【详解】由¿，得¿，解得-1≤x ≤0或3≤x ≤4，
所以A =¿或3≤x ≤4}，
故选：B.
3．不等式❑√4 - x
2> x的解集是 ．
【答案】[-2,❑√2)
【分析】解根式不等式，要先求定义域，然后再解不等式，根据题意可知：
不等式成立的条件是-2≤x ≤2，然后解不等式，取交集即可求解.
【详解】要使不等式
❑√4 - x
2> x有意义，则有4 - x
2≥0，解得：-2≤x ≤2.
当-2≤x ≤0时，不等式
❑√4 - x
2> x恒成立；
当0< x ≤2时，不等式
❑√4 - x
2> x可化为4 - x
2> x
2，解得：x
2<2，所以
- ❑√2< x<❑√2，因为0< x ≤2，所以0< x<❑√2，
综上：原不等式的解集为[-2,❑√2)，
故答案为：[-2,❑√2).
4．不等式❑√4 x - x
2< x的解集是 ．
【答案】(2,4 ]
【分析】对不等式两边平方后求解，结合被开方数大于等于零，即可求得
结果.
【详解】要使得不等式有意义，则4 x - x
2≥0，即x (x - 4)≤0，解得x∈[0,4 ]，
对原不等式两边平方可得：4 x - x
2< x
2，即x (x -2)>0，解得
x∈(-∞,0)∪(2,+ ∞)，
综上所述，不等式解集为(2,4 ].
故答案为：(2,4 ].
5．不等式x + ❑√x -1>❑√x -1的解集是 .
【答案】[1,+∞)
【分析】先由题意可得x ≥1，然后对不等式化简求解，再与x ≥1求交集即
可
【详解】由题意得x -1≥0，得x ≥1，
由x + ❑√x -1>❑√x -1，得x>0，
综上，x ≥1，
所以不等式的解集为[1,+∞)，
故答案为：[1,+∞)
6．不等式❑√x +3<2的解是 .
【答案】[-3,1)
【分析】由偶次根数分母大于等于零和平方后所得不等式可解得结果.
【详解】由❑√x +3<2得：0≤x +3<4 ∴-3≤x<1，即不等式的解为[-3,1)
故答案为：[-3,1)
【点睛】本题考查根式不等式的求解问题，易错点是忽略偶次根式被开方
数大于等于零的要求，造成求解错误.
7．不等式❑√x -1<1的解集为
【答案】[1,2)
【分析】通过平方，将无理不等式化为有理不等式求解即可．
【详解】由
❑√x -1<1得0≤x -1<1，解得1≤x<2，
所以解集是[1,2)．
【点睛】本题主要考查无理不等式的解法．
8．不等式❑√x -1<3的解集是 .
【答案】[1,10)
【详解】解析过程略
9．不等式❑√2 x
2+1- x ≤1的解集是
【答案】[0,2]
【详解】本小题主要考查根式不等式的解法，去掉根号是解根式不等式的
基本思路，也考查了转化与化归的思想. 原不等式等价于{2 x
2+1≤( x +1)
2,
x +1≥0
解得
0≤x≤2.
10．解不等式：❑√2 x -1> x -2．
【答案】[ 1
2 ,5)
【分析】根据不等式，讨论1
2 ≤x<2、x ≥2分别求解集，然后取并即可得结
果.
【详解】由题设2 x -1≥0，即x ≥1
2，
当1
2 ≤x<2时，
❑√2 x -1≥0> x -2恒成立；
当x ≥2时，2 x -1>( x -2)
2整理得x
2-6 x +5=( x -1)( x -5)<0，解得1< x<5，
所以2≤x<5；
综上，1
2 ≤x<5，故解集为[ 1
2 ,5).
11．解不等式：❑√2 x +5> x +1．
【答案】¿.
【分析】由题意得¿或¿，解不等式组可得答案.
【详解】由
❑√2 x +5> x +1，得
¿，或¿，
①由¿，得¿，
所以¿，解得-1< x<2，
②由¿，得- 5
2 ≤x ≤-1，
综上，不等式的解集为¿.
12．解不等式：❑√5- 4 x - x
2≥x
【答案】[-5,-1+
❑√14
2 ]
【分析】首先求出5- 4 x - x
2≥0的解集，再分-5≤x<0、x =0、0< x ≤1三种
情况讨论，分别确定不等式的解集，即可得解.
【详解】解：由5- 4 x - x
2≥0，即(x -1)(x +5)≤0，解得-5≤x ≤1，
当-5≤x<0时
❑√5- 4 x - x
2≥0，显然满足
❑√5- 4 x - x
2≥x，
当x =0时
❑√5- 4 x - x
2= ❑√5>0，显然满足
❑√5- 4 x - x
2≥x，
当0< x ≤1时不等式
❑√5- 4 x - x
2≥x等价于¿，
由5- 4 x - x
2≥x
2即2 x
2+ 4 x -5≤0，解得-1-
❑√14
2
≤x ≤-1+
❑√14
2 ，所以
0< x ≤-1+
❑√14
2 ，
综上可得不等式的解集为[-5,-1+
❑√14
2 ].
13．解不等式：
❑√x +5≥x
2 +1
【答案】{x|-5≤x ≤4}
【分析】分情况讨论x
2 +1的正负，再求解不等式即可.
【详解】
❑√x +5≥x
2 +1⇔¿或¿
⇔¿或¿
⇔-5≤x ≤-2或-2< x ≤4
⇔-5≤x ≤4
14．解不等式：❑√x -1+2 x<5．
【答案】 [1,2)
【分析】不等式变形为
❑√x -1<5-2 x，然后由5-2 x>0，根式有意义，再平
方后求解．
【详解】原不等式化为
❑√x -1<5-2 x，所以¿，解得x<2或x> 13
4 ，所以
1≤x<2．
所以原不等式的解集为[1,2)．
15．解不等式：2 x - ❑√x>1.
【答案】¿
【分析】利用一元二次不等式的解法逐个求解即可
【详解】由2 x - ❑√x>1，得2(❑√x)
2- ❑√x -1>0，则(❑√x -1)(2❑√x +1)>0，
得
❑√x>1或
❑√x<- 1
2（舍去），
所以x>1，
所以不等式的解集为¿
16．解不等式：❑√2 x +5> x +1；
【答案】{x|- 5
2 ≤x<2}；
【分析】令
❑√2 x +5=t(t ≥0)，运用换元法把无理不等式转化为有理不等式；
【详解】令
❑√2 x +5=t(t ≥0)，则x = 1
2 (t
2-5)，
所以原不等式可化为t > 1
2 (t
2-5)+1，即t
2-2t -3<0，
因为t ≥0，所以解得0≤t <3，即0≤❑√2 x +5<3．
所以原不等式的解集为{x|- 5
2 ≤x<2}.
17．解不等式:❑√x -1+2 x ≤5.
【答案】[1，2]
【分析】根据已知不等式，利用不等式的基本性质，等价转化为不等式组，
求解即得.
【详解】解：因为
❑√x -1+2 x ≤5，所以
❑√x -1≤5-2 x，
所以¿ ，即¿ .
解得：1≤x ≤2.
所以不等式❑√x -1+2 x ≤5的解集为[1，2].
18．解不等式：❑√3 x -5≥x-1
【答案】(1)2≤x≤3；
【分析】根据二次根式的性质进行求解即可；
【详解】
❑√3 x -5≥x-1，
因为x≥5
3，所以x-1>0，
所以3x-5≥x2-2x+1，
即x2-5x+6≤0，
所以2≤x≤3；
6 题型三、根式不等式与集合
1．集合M =¿，N =¿，则M ∩N=（ ）
A．[-2,2]
B．[1,2]
C．[-2,5)
D．[1,5)
【答案】B
【分析】解一元二次不等式、根式不等式求集合，再由集合的交运算求结
果.
【详解】由x
2- 4≤0⇒-2≤x ≤2，
❑√x -1<2⇒1≤x<5，
所以M ={x|-2≤x ≤2}，N ={x|1≤x<5}，故M ∩N =[1,2].
故选：B
2．已知全集U为实数集R，若集合A =¿，B =¿，则A ∩B =（ ）
A．[1, 3)
B．(-1, 3)
C．(1, 3)
D．(-1, 1)
【答案】A
【分析】解一元二次不等式求出集合B，解根式不等式求出集合A，再根据
交集的定义计算可得.
【详解】由x
2-2 x -3<0，即(x +1)(x -3)<0，解得-1< x<3，
所以B =¿，
由
❑√x -1<2，可得0≤x -1<4，解得1≤x<5，
所以A =¿，
所以A ∩B = {x|1≤x<3}.
故选：A
3．已知全集U为实数集R，若集合A ={x|❑√x -1<1}，则∁U A =（ ）
A．[2,+ ∞)
B．(2,+ ∞)
C．(-∞,1)∪[2,+∞)
D．(-∞,1]∪[2,+∞)
【答案】C
【分析】先求解不等式❑√x -1<1得1≤x<2，再根据补集的定义即得.
【详解】由❑√x -1<1可得0≤x -1<1，即1≤x<2，则A =[1,2),
于是∁U A =(-∞,1)∪[2,+ ∞).
故选：C.
4．已知集合M ={x∣❑√x -1<3}, N ={x∣2 x -3>3}，则∁R(M ∪N )=（ ）
A．(-∞,1) B．(-∞,3]
C．[1,+ ∞)
D．(3,10)
【答案】A
【分析】分别解出集合M、N，得到M ∪N，进而得到∁R(M ∪N ).
【详解】由题得M =[1,10), N =(3,+∞)，故M ∪N =[1,+∞)，所以
∁R(M ∪N )=(-∞,1).
故选：A.
5．已知集合A ={x|2 x +1
x -2 ≤1}，B ={x|❑√3- x ≤2}，则A ∩B =（ ）
A．{x|-3≤x ≤3}
B．{x|-1≤x ≤2}
C．{x|-1≤x<2}
D．{x|-3≤x<2}
【答案】C
【分析】化简集合A ,B，利用集合交集的概念求解即可.
【详解】由集合A ={x|2 x +1
x -2 ≤1}得A ={x|2 x +1
x -2 - x -2
x -2 ≤0}，即
A ={x|x +3
x -2 ≤0}，
所以¿，解得A ={x|-3≤x<2}，
由集合B ={x|❑√3- x ≤2}得¿，所以B ={x|-1≤x ≤3}，
所以A ∩B ={x|-1≤x<2}，
故选：C
6．若集合M =¿，N =¿，则M ∩N =（ ）
A．¿
B．¿
C．¿
D．¿
【答案】A
【分析】解不等式化简集合M , N，再利用交集的定义求解即得.
【详解】依题意，M ={x|0≤x<4 }, N ={x| x ≥- 1
2 }，
所以M ∩N ={x|0≤x<4 }.
故选：A
7．已知集合A =¿，B =¿，则A ∩B =（ ）
A．(1,3)
B．[-1,0)∪(1,3)
C．[-1,0)∪(0,3)
D．[-1,0)∪(0,1)
【答案】B
【分析】根据根式不等式与分式不等式的解法得出集合A与B，即可根据集
合的交集运算得出答案.
【详解】由
❑√x +1<2，得0≤x +1<4，即-1≤x<3，则A =¿，
由1
x <1，得x -1
x
>0，即x<0或x>1，则B =¿或x>1}，
所以A ∩B =[-1,0)∪(1,3)，
故选：B.
8．已知集合A ={x|-2≤x<8}，集合B =¿，则A ∩B =（ ）
A．¿
B．¿
C．¿
D．{x|1≤x<8}
【答案】D
【分析】先化简集合B，然后利用集合交集的定义求解即可.
【详解】由
❑√x -1<3可得0≤x -1<9，解得1≤x<10，
所以B ={x|1≤x<10}，A ∩B ={x|1≤x<8}，
故选：D
9．设集合A ={x|❑√3- x<2},B ={1,2,4,5}，则B∩(∁R A)=（ ）
A．{1}
B．{1,2}
C．{1,2,4}
D．{4,5}
【答案】D
【分析】解不等式❑√3- x<2化简集合A，再利用集合的交并补运算即可求得
结果.
【详解】因为A ={x|❑√3- x<2}，
所以¿，解得¿，则-1< x ≤3，
所以A ={x|-1< x ≤3}，则∁R A =¿或x>3}，
又B ={1,2,4,5}，
所以B∩(∁R A)= {4,5}.
故选：D.
10．不等式x + ❑√x<6的解集为（ ）
A．(0，16) B．(0，16]
C．[0，4)
D．(0，4)
【答案】C
【分析】转化为一元二次不等式求解，结合x ≥0,❑√x ≥0，可得解集.
【详解】解：因为x + ❑√x<6，❑√x
2+ ❑√x -6<0，所以(❑√x +3)(❑√x -2)<0
由于x ≥0,❑√x ≥0，所以解得：0≤❑√x<2，即0≤x<4
故不等式的解集为：[0，4).
故选：C.
11．设集合A ＝{x| x
2-2 x -3≤0}，B＝{x|❑√x -1<2，x∈Z }，则A ∩B =
（ ）
A．{1,2,3} B．{x|1≤x ≤3}
C．{1,2,3,4}
D．{x|-1≤x<5}
【答案】A
【分析】分别求得集合A，B，取交集即可.
【详解】由A ＝{x| x
2-2 x -3≤0}=[-1,3]；
B＝{x|❑√x -1<2，x∈Z }={1,2,3,4}；
则A ∩B ={1,2,3}
故选：A
12．已知集合A =¿，B =¿，则下列判断正确的是（ ）
A．B⊆A
B．∁U B =(-∞,0]∪[2,+ ∞)
C．-1∈A且❑√3∉B
D．A ∪B =¿
【答案】A
【分析】首先分别求两个集合，再判断选项.
【详解】x
2-3 x ≤4⇔x
2-3 x - 4≤0，解得：-1≤x ≤4，
即A =¿，
❑√x -1<1⇔0≤x -1<1，解得：1≤x<2，即B =¿，
满足B⊆A，∁U B =(-∞,1)∪[2,+∞)，-1∈A且
❑√3∈B，A ∪B = A
只有A 正确.
故选：A
13．设集合A = {x|0≤x -1≤1}，B ={x|❑√x -1>0}，则A ∩B =（ ）
A．0
B．(1,2]
C．[1,2]
D．(0,2)
【答案】B
【分析】先化简集合A，B，再利用交集的运算求解.
【详解】因为集合A = {x|0≤x -1≤1}= {x|1≤x ≤2}，
B ={x|❑√x -1>0}= {x| x>1}，
所以A ∩B = (1,2]，
故选：B
14．已知集合M =¿，N =¿，则M ∩N =（ ）
A．¿
B．¿
C．¿
D．¿
【答案】D
【分析】分别求出不等式的解集，再利用交集的运算法则求解.
【详解】由已知得M ={x|1≤x<5}，N ={x|-1< x<2}，
即M ∩N =¿
故选：D.
15．已知集合U = {-2,-1,0,1,2,3,4}, A ={x|3- x
x +2 ≥0, x∈Z},B ={x|❑√x +1<2}，
则∁U( A ∩B)=（ ）
A．{-2}
B．{3,4}
C．{-2,3,4}
D．{-2,0,3,4}
【答案】C
【分析】解分式不等式得集合A，解根式不等式得集合B，由集合交集及
补集运算可得结果.
【详解】由题意知A =¿，B =¿，
则A ∩B = {-1,0,1,2}，所以∁U( A ∩B)={-2,3,4 }．
故选：C．
