重难点02 不等式恒成立、能成立问题7 大题型
【全国通用】
1、不等式恒成立、能成立问题
一元二次不等式是高考数学中的重要内容.从近几年的高考情况来看，“含参不等式恒成立与能成立
问题”是常考的重点、热点内容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆
盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.另一方面，在解决这类数学问题的过程
中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想，对锻炼学生的综
合解题能力和培养其思维能力都起到很好的作用，二轮复习时需要加强这方面的训练.
知识点
1 不等式恒成立、能成立问题
1．一元二次不等式恒成立、能成立问题
不等式对任意实数x 恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R
的条件为
．
一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R 的条件为
．
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0 的解集为∅的条件为
．
2．一元二次不等式恒成立问题的求解方法
(1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集
R 上恒成立，二是在某给定区间上恒成立.
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范
围，谁就是参数.
①若ax2+bx+c>0 恒成立，则有a>0，且∆<0；若ax2+bx+c<0 恒成立，则有a<0，且∆<0.
②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).
3．给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的
范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求
解.
4．常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略
不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：
(1)对任意的x∈[m,n]，a>f(x)恒成立⇒a>f(x)max；
若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解⇒a>f(x)min；
若对任意x∈[m,n]，a>f(x)无解⇒a≤f(x)min.
(2)对任意的x∈[m,n]，a<f(x)恒成立⇒a<f(x)min；
若存在x∈[m,n]，a<f(x)有解⇒a<f(x)max；
若对任意x∈[m,n]，a<f(x)无解⇒a≥f(x)max.
【题型1 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】
【例1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“∀x∈R , x
2−mx +2>0”是真命题，则实数m的取值范围为
（ ）
A．(−2❑√2,2❑√2)B．[−2❑√2,2❑√2)
C．(−2,2)
D．[−2,2)
【变式1-1】（25-26 高一上·江苏·期中）不等式k x
2+kx +1≥0对一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围
是（ ）
A．(−∞,0)∪[4 ,+∞)
B．(−∞,0)∪(4 ,+∞)
C．[0,4)
D．(0,4)
【变式1-2】（2025·河南·模拟预测）已知命题“∃x∈R , x
2−mx +m<0”是假命题，则实数m的取值范
围为（ ）
A．[0,4)
B．(0,4)
C．[0,2)
D．(0,2)
【变式1-3】（25-26 高一上·宁夏银川·期中）对于任意实数x，不等式(a−2) x
2−2(a−2) x−4<0恒成
立，则实数a的取值范围为（ ）
A．{a|a<2))
B．{a|a≤2))
C．{a|−2<a<2))
D．{a|−2<a≤2))
【题型2 一元二次不等式在某区间上恒成立问题】
【例2】（25-26 高一上·贵州六盘水·期中）一元二次不等式x
2−mx −1≤0在区间[2,4)上恒成立，则实数m
的取值范围是（ ）
A．(−∞, 3
2)
B．[
3
2 , 15
4 )
C．[
3
2 ,+∞)
D．[
15
4 ,+∞)
【变式2-1】（25-26 高三上·北京西城·月考）若∀x∈(1,+∞)，不等式x
2−(1+m)x +(1+m)≥0恒成
立，则实数m 的取值范围是（ ）
A．(−∞,2]
B．[2,+ ∞)
C．(−∞,3]
D．[3,+∞)
【变式2-2】（25-26 高一上·江苏南通·期中）当x∈(−1,1)时，不等式2k x
2−kx−3
8 <0恒成立，则k的取
值范围是（ ）
A．(−3,0)
B．[−3,0)
C．(−3, 1
8)
D．(−3, 1
8)
【变式2-3】（25-26 高一上·安徽芜湖·月考）设0< x< 1
2
，若关于x 的不等式2k x
2−(k +3) x +2≥0恒成
立，则实数k 的最大值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【题型3 给定参数范围的不等式恒成立问题】
【例3】（25-26 高一上·云南红河·月考）当0≤m≤3时，不等式x
2−(m+2) x +m−3<0恒成立，则x的取
值范围为（ ）
A．(−1,5)
B．(−1,3)
C．(0,3)
D．(0,5)
【变式3-1】（25-26 高一上·黑龙江哈尔滨·期中）若∃a∈[1,2)，使得关于a的不等式a x
2+ x−a+1≥0成
立，则实数x的取值范围为（ ）
A．x ≤−1或x ≥0 B．x ≤−1或x ≥1
2
C．x ≥1
D．x ≤1
【变式3-2】（25-26 高一上·湖北随州·期中）若不等式 x
2−ax ≥16−3 x−4 a对任意a∈[−2,4)恒成立，
则x 的取值范围为（ ）
A．(−∞,−8)∪[3,+ ∞)
B．(−∞,0)∪[1,+∞)
C．[−8,6)
D．(0,3)
【变式3-3】（24-25 高一上·贵州·期中）已知集合A ={t|t
2−5t −6≤0))，对于任意的t ∈A，不等式
x
2+tx −t >2 x−1恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）
A．(1,2)
B．(−∞,1)∪(1,+∞)
C．(−5,2)
D．(−∞,−5)∪(2,+∞)
【题型4 一元二次不等式在实数集上有解问题】
【例4】（25-26 高一上·山西太原·期中）若存在x∈R，使得不等式k x
2−kx −1>0成立，则实数k的取值
范围是（ ）
A．(−∞,−4)
B．(0,+ ∞)
C．(−4,0)
D．(−∞,−4)∪(0,+ ∞)
【变式4-1】（25-26 高一上·天津武清·期中）若命题“∃x∈R，使得x
2+2ax +2a+3<0”为真命题，则
实数a 的取值范围是（ ）
A．{a|a<−1)
B．{a|−1≤a≤3)
C．{a|a<−1或a>3}
D．{a|1−
❑√7
2 ≤a≤1+
❑√7
2 )
【变式4-2】（25-26 高一上·天津南开·月考）若关于x 的不等式x
2+2 x +9<m
2+2m有实数解，则实数m
的取值范围是（ ）
A．(−∞,−4)∪(2,+∞)
B．(−∞,−4¿∪)2,+∞¿¿
C．(−4,2)
D．(−∞,−2¿∪)4 ,+∞¿¿
【变式4-3】（24-25 高一上·山东济南·期末）若∃x∈R ,m x
2+2(m−3) x + 4≤0，则实数m的取值范围
为（ ）
A．(1,9)
B．(−∞,0)
C．(−∞,1)∪(9,+∞)D．(−∞,1)∪[9,+ ∞)
【题型5 一元二次不等式在某区间上有解问题】
【例5】（25-26 高一上·湖北孝感·期中）当1≤x ≤3时，关于x的不等式x
2−ax + 4≥0有解，则实数a的取
值范围是（ ）
A．a≤4
B．a≤−4或a≥4
C．a≤5
D．a≤13
3
【变式5-1】（25-26 高一上·黑龙江·期中）若存在x∈[−2,0)，使得x
2−2 x +5−m<0成立，则m 的取值
范围为（ ）
A．m>13
B．m>4
C．m>5
D．m>8
【变式5-2】（25-26 高一上·天津南开·月考）设a∈R，若关于x的不等式x
2−ax +1≥0在1≤x ≤2上有
解，则（ ）
A．a≤2
B．a≥2
C．a≤5
2
D．a≥5
2
【变式5-3】（25-26 高一上·江西赣州·月考）当1≤x ≤4时，关于x 的不等式x
2−mx −m+15≤0有解的充
要条件是（ ）
A．m∈(−∞,+5)
B．m∈[6,+∞)
C．m∈[7,+ ∞) D．m∈[8,+ ∞)
【题型6 基本不等式中的恒成立、有解问题】
【例6】（2025·吉林延边·一模）已知正实数x，y满足x + y −1
2 xy =0，且不等式x + y −a>0恒成立，则a
的取值范围是（ ）
A．a<2
B．a<8
C．a<6
D．a<4
【变式6-1】（24-25 高一上·江西南昌·期中）若两个正实数x，y满足1
x + 4
y =1，且不等式x + y
4 <m
2−3m
有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．{m|−1<m<4 }
B．{m|m<−4或m>1}
C．{m|−4<m<1}
D．{m|m<−1或m>4 }
【变式6-2】（2025·江西·一模）已知正数x，y 满足x + y =6，若不等式a≤x
2
x +1 +
y
2
y +2
恒成立，则实数a
的取值范围是 ．
【变式6-3】（25-26 高一上·陕西宝鸡·期中）已知x>0, y >0，且x + y =1，若m
2+3m≤2
x + 8
y
恒成立，则
实数m的取值范围是
．
【题型7 不等式恒成立、能成立问题综合】
【例7】（24-25 高一上·北京·月考）已知命题p:∃x∈R，(m+1)(x
2+1)≤0，命题q:∀x∈R，
x
2−mx +1>0恒成立.若p和q至多有一个为真命题，则实数m的取值范围为（ ）
A．[2,+ ∞)
B．(−1,2]
C．(−∞,−2]∪[2,+∞)
D．(−∞,−2]∪(−1,+∞)
【变式7-1】（24-25 高一上·河北·月考）设命题p：对任意−1≤x ≤1，不等式x
2−2 x−4+m<0恒成立；
命题q：存在0≤x ≤1，使得不等式2 x−2≥m
2−3m成立，若p，q 中至少有一个是假命题，则实数m 的取
值范围为（ ）
A．{m∣m<−1)
B．{m∣0≤m≤3)
C．{m∣0≤m<1)
D．(−∞,0)∪[1,+∞)
【变式7-2】（25-26 高一上·天津南开·期中）已知关于x的不等式a x
2−2 x−a+1<0.
(1)是否存在实数a，使不等式对任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若不等式对于a∈[−1,1)恒成立，求实数x的取值范围；
(3)若存在x∈[2,+∞)使不等式成立，求a的取值范围.
【变式7-3】（24-25 高一上·河北张家口·月考）已知函数f (x)=2 x
2−2ax +2−a
2，
g(x)= x
2+3 x−a
2−4 (a∈R)．
(1)当a=1时，解不等式f (x)> g(x)；
(2)若对任意x>0，都有f (x)> g(x)成立，求实数a的取值范围；
(3)若对∀x1∈[0,1)，∃x2∈[0,1)，使得不等式f (x1)> g(x2)成立，求实数a的取值范围．
一、单选题
1．（2025·陕西咸阳·二模）已知命题“∃x∈R，使x
2+ x +a−2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是
（ ）
A．(−∞,0)
B．[0,4)
C．[4 ,+∞)
D．(
9
4 ,+ ∞)
2．（25-26 高一上·湖北武汉·月考）设x>0，y >0，且不等式(ax + y)(
1
x + 1
y)≤9有解，则正实数a的取值
范围是（ ）
A．a≥4
B．0<a≤2
C．0<a≤4
D．a≥2
3．（2025·重庆·一模）已知a∈R，则“x
2+2 x +a>0的解集为R”是“a>0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（25-26 高一上·福建·期中）已知存在x∈[−1, 3
2)，使得x
2−2 x ≥m
2−2m成立，则m的取值范围是
（ ）.
A．[0,2)
B．[−1,3)
C．[
1
2 , 3
2)
D．[0,+ ∞)
5．（24-25 高一上·江苏南通·期中）∀x∈(−1,+ ∞), x
2+(1−k ) x +1−k ≥0恒成立，则实数k的取值范
围为（ ）
A．(−∞,−1)
B．(−∞,0)
C．(−3,1)
D．(−∞,1)
6．（24-25 高一上·安徽池州·期中）已知x>0, y >0，且x + y =5，若4
x +1 +
1
y +2 ≥2m+1恒成立，则实数
m的取值范围是（ ）
A．(−∞, 1
16)
B．(−∞, 2
5)
C．(−∞, 1
2)
D．(−∞,4)
7．（24-25 高三上·山西·月考）若不等式(ax−1)(x−b)≥0对任意的x∈R恒成立，则4 a+b的最小值为
（ ）
A．2❑√2
B．4
C．5
D．4 ❑√2
8．（2025·云南昭通·模拟预测）已知函数f ( x)={
( x−2)
2, x ≥2
−f (4−x), x<2)
，若对于任意的实数x，不等式
16 f (2 x −a)≤f ( x
2+2)恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A．[1,+ ∞)
B．[1,2]
C．[−3
4 ,+∞)
D．[2,+ ∞)
二、多选题
9．（25-26 高一上·江苏扬州·期中）若关于x的不等式x
2+(1−k ) x +k −1≥0在(1,+∞)上恒成立，则实数k
的可能取值为（ ）
A．7
B．5
C．3
D．−2
10．（24-25 高一上·广东湛江·月考）已知不等式x
2−ax−a+1≥0在x∈[0,3]上有解，则实数a的取值可
以为（ ）
A．a=2
B．a= 5
2
C．a=3
D．a=5
11．（25-26 高一上·四川广元·月考）已知不等式a x
2+bx +c>0的解集是{x∣−2< x<3}，则下列说法正
确的是（ ）
A．a>0
B．不等式c x
2+bx +a<0的解集是{x|−1
2 < x< 1
3))
C．a+b+c>0
D．若关于m的不等式m
2−m> b+5
❑√b+ 4
有解，则实数m的取值范围是{m∣m>2或m<1}
三、填空题
12．（2025·山东·二模）已知不等式3 x
2+(a−2) x + 4≥0对任意的x∈(0,+∞)恒成立，则实数a 的最小值
为
．
13．（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数f (x)= ❑√2k x
2+kx + 3
4
的定义域为实数集R，则实数k的取值范
围为
.
14．（25-26 高一上·广东广州·月考）已知x>0, y >0，且2
x + 1
y =1，若2 x + y ≥m恒成立，则实数m的最
大值是
.
四、解答题
15．（25-26 高一上·河南南阳·月考）已知函数f (x)=m x
2+(m−1) x−1
(1)当m<0时，解不等式f (x)≥0，
(2)若不等式f (x)≥(m+1) x
2+m在[3,5)上有解，求实数m的取值范围．
16．（24-25 高一上·广东深圳·期中）已知x , y >0满足x + y =6.
(1)求y
x + 3
y
的最小值；
(2)若x
2+ 4 y
2≥m(x + 4 y)恒成立，求m的取值范围.
17．（2025·海南儋州·模拟预测）已知关于x的不等式a x
2−3 x +b<0
的解集为{x|1< x<2)).
(1)求a，b 的值并求解不等式a x
2+bx−3≥0的解集；
(2)当x>0，y >0且满足a
x + b
y =1时，有2 x + y ≥k
2+ 4恒成立，求k的取值范围.
18．（2025·全国·模拟预测）已知函数f (x)=|2 x−a)，且f (x)≤b的解集为[−1,3)．
(1)求a和b的值；
(2)若f (x)≤|x−t )在[−1,0)上恒成立，求实数t的取值范围．
19．（25-26 高一上·河北·期中）已知函数f (x)=2 x
2−2ax +2−a
2, g(x)= x
2+3 x−a
2−4 (a∈R).
(1)当a=1时，解不等式f (x)> g(x)；
(2)若对任意x>0，都有f (x)> g(x)成立，求实数a的取值范围；
(3)若对∀x1∈[0,1),∃x2∈[0,1)，使得不等式f (x1)>g(x2)成立，求实数a的取值范围.
