重难点07 导数中的零点问题（举一反三专项训练）
【全国通用】
【题型1 判断、证明或讨论零点的个数】..............................................................................................................2
【题型2 零点问题之唯一零点问题】......................................................................................................................3
【题型3 零点问题之双零点问题】..........................................................................................................................3
【题型4 根据零点（个数）情况求参数范围】.....................................................................................................4
【题型5 函数零点的证明问题】..............................................................................................................................4
【题型6 多零点的和、差、积与大小关系问题】.................................................................................................6
【题型7 隐零点问题】..............................................................................................................................................7
【题型8 三角函数的零点问题】..............................................................................................................................8
【题型9 导数中函数零点的新定义问题】..............................................................................................................9
1、导数中的零点问题
导数是高中数学的重要考查内容，而导数中的函数零点（方程根）问题在高考中占有很重要的地位，
是高考的热点内容.从近几年的高考情况来看，高考常考查函数零点的个数判断或求参问题，三次函数与复
合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解答题的压轴题出现，难度较大，复
习是要加强这方面的训练.
知识点
1
导数中的函数零点问题的解题策略
1．函数的零点
(1)函数零点的定义：对于函数y=f(x)，把使f(x)=0 的实数叫做函数y=f(x)的零点.
(2)三个等价关系
方程f(x)=0 有实数根
函数
⇔
y=f(x)的图象与x 轴有交点的横坐标
函数
⇔
y=f(x)有零点.
2．函数零点的判定
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)
内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个也就是f(x)=0 的根.我们把这一结论称为函数零点存在性定
理.
3．函数零点（个数）问题的的求解方法
(1)构造函数法：构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数.
(2)函数零点存在定理：利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多
少个零点.
(3)数形结合法：函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，数形结合，根据图象的几何直观求解.
4．导数中的含参函数零点（个数）问题
利用导数研究含参函数的零点（个数）问题主要有两种方法：
(1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x 轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.
(2)分离参变量，即由f(x)=0 分离参变量，得a=g(x)，研究y=a 与y= g(x)图象的交点问题.
5．与函数零点有关的参数范围问题的解题策略
与函数零点（方程的根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊
点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况.
知识点
2
隐零点问题
1．隐零点问题
隐零点问题是指函数的零点存在但无法直接求解出来的问题，在函数不等式与导数的综合题目中常会遇到
涉及隐零点的问题，处理隐零点问题的基本策路是判断单调
性
，合理取点判断符号，再结合函数零点存在
定理处理.
2．隐零点问题的解题策略
在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I 上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致
解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I 上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在
区间I 上是单调函数且在区间I 的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点
是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0叫做隐零点；若x0容易求出，就
叫做显零点，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法.
【题型1 判断、证明或讨论零点的个数】
【例1】（2025·云南红河·三模）函数f (x)= x
3−12 x +16的零点个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式1-1】（2025·宁夏银川·三模）若函数f (x)={
2 x
3−6 x +3, x ≤0
3e
x , x>0
)
，则g(x)=2[ f (x)]
2−13 f (x)+21
的零点个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式1-2】（2025·湖北恩施·模拟预测）已知函数f (x)=2 x−1−ln x，直线l: x−y −3=0.
(1)若点P是函数y = f (x)图象上的一点，求点P到直线l距离的最小值；
(2)若g(x)= f ( x)+t e
x−2 x，讨论函数g(x)的零点的个数.
【变式1-3】（2025·山东淄博·三模）已知函数f (x)=ln(x +m)+e
−x−m.
(1)当m= 1
2
时，判断y = f (x)有无极值点，并说明理由；
(2)当1<m<3时，判断函数y = f (x)在(1−m,+ ∞)上的零点个数并给出证明.
【题型2 零点问题之唯一零点问题】
【例2】（2025·四川成都·三模）函数f (x)=2 x−m−ln x有且只有一个零点，则m的取值是（ ）
A．1−ln2
B．1+ln2
C．ln2
D．−ln2
【变式2-1】（2025·辽宁大连·模拟预测）若函数f ( x)=a
x−x
3+a x
2−x−1（a>0且a≠1）在(0,1)上有
唯一零点，则a的取值范围是（ ）
A．2≤a<e
B．3
2 <a<e
C．1<a≤3
2
D．1<a<2
【变式2-2】（2025·云南曲靖·二模）已知函数f (x)=a
x+b
x−2(0<a<1,b>1)，若该函数有且只有一个零
点，则ab的值为（ ）
A．1
B．1
e
2
C．1
e
D．e
【变式2-3】（2025·河南·二模）若函数f (x)=2 x
3−3 x
2−a在区间(1,2)内仅有一个零点，则a的取值范围
为（ ）
A．(2,3)
B．(0,1)
C．(−1,4)
D．(−1,0)
【题型3 零点问题之双零点问题】
【例3】（2025·湖南郴州·模拟预测）已知f (x)=me
mx−ln x (m≥0)，若f (x)有两个零点，则实数m 的取
值范围为（ ）
A．(0, 1
e)
B．(0, 1
e
2)
C．(
1
e ,+∞)
D．[
1
e
2 ,+∞)
【变式3-1】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数f (x)={
|ln x), x>0
−e
x , x ≤0 )
，且g(x)= f (x)−mx
有两个不同的零点，则m的取值范围为（ ）
A．(−∞, 1
e)
B．(
1
e ,e)
C．(e,+∞)
D．(
1
e ,+∞)
【变式3-2】（2025·黑龙江大庆·三模）已知函数f (x)=|ln x)−kx −2有2 个零点，则实数k的取值范围是
（ ）
A．(−e, 1
e
3)
B．[0, 1
e
3)
C．(−1,0)∪{
1
e
3)
D．(−e,0)∪{
1
e
3)
【变式3-3】（2025·陕西西安·模拟预测）若函数f (x)= x
3−3 x +a在区间(0,2)内有两个零点，则实数a的
取值范围是（ ）
A．(0,2)
B．(2,+∞)
C．(0,1)
D．(1,+∞)
【题型4 根据零点（个数）情况求参数范围】
【例4】（2025·辽宁·模拟预测）已知函数f (x)=e
x
|x)，若函数g(x)=[f (x))
2+af (x)−e
2−ae恰有5 个不同
的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．(−∞,−2e)
B．(−∞,−e)
C．(−∞,−2
e)
D．(−∞,−1
e)
【变式4-1】（2025·贵州贵阳·一模）已知函数f (x)={
a+e
x , x>0
e
−x , x<0 )
，若方程f (x)+e x =0存在三个不相等
的实根，则实数a的取值范围是（ ）
A．(−∞,e)
B．(−∞,−e)
C．(−∞,−2e)
D．(−∞,2e)
【变式4-2】（2025·陕西汉中·二模）已知函数f ( x)={
−x
3−3 x
2−2 x , x ≤0
ln x , x>0
)
，g( x)= f ( x)−mx有4 个
零点，则m 的取值范围为（ ）
A．( 1
4 , 1
e )
B．(−2,0]∪{1
e }
C．(−2,0]∪{ 1
4 }
D．(−∞,0]∪( 1
4 , 1
e )
【变式4-3】（2025·四川·模拟预测）已知函数f (x)={
|3−2 x)+1, x>0,
( x +2)
2
e
x
, x ≤0. )
若函数y =[ f (x)]
2−af (x)有5 个
不同的零点，则a的取值范围是（ ）
A．(0,1)
B．(1,4)
C．(1,4)
D．(1,+∞)
【题型5 函数零点的证明问题】
【例5】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数f (x)=(a+1)e
x−x−3
2
(a∈R).
(1)当a=1时，求曲线y = f (x)在点(0,f (0))处的切线方程；
(2)讨论f (x)的单调性；
(3)证明：当a≥1
3
时，函数g(x)= 1
2 ae
2 x−f (x)只有一个零点.
【变式5-1】（2025·江西·模拟预测）已知函数f ( x)=e
x−a x
2+ x , g( x)= x．
(1)当a=0时，证明：f ( x)有且仅有一个零点；
(2)若曲线y = f ( x)与y = g( x)相切．
（
）求
ⅰ
a；
（
）当
ⅱ
x>0时，证明：f ( x)≥g( x)．
【变式5-2】（2025·浙江金华·三模）已知函数f (x)= x−aln(1+ x)，a∈R .
(1)当a=1时，求f (x)的极值；
(2)若f (x)在区间(−1,0)上存在零点x0,
（
）求
ⅰ
a 的取值范围；
（
）证明：当
ⅱ
−1< x<0时，f (x)>f
′(x0).
【变式5-3】（2025·辽宁·模拟预测）已知函数f ( x)=9cos x +aln( x +1)(a>0)．
(1)当a=1时，求f ( x)的图象在x =0处的切线方程；
(2)若f ( x)在区间(−1, π
2)内存在极值点x0，求a的取值范围；
(3)证明：当0<a<6时，f ( x)在区间(−1, 3 π
2 )内有且仅有3 个零点．
参考数据：ln(π +1)≈1.42．
【题型6 多零点的和、差、积与大小关系问题】
【例6】（2025·河北衡水·模拟预测）已知函数f (x)=ln x +1−ax有两个零点x1, x2，且x1< x2，则下列命
题正确的是（ ）
A．a>1
B．x1+ x2< 2
a
C．x1⋅x2<1
D．x2−x1> 1
a −1
【变式6-1】（2025·四川成都·一模）已知函数f (x)=(ln x)
2−a
2 xln x + a
e x
2有三个零点x1、x2、x3且
x1< x2< x3
，则2ln x1
x1
+ ln x2
x2
+ ln x3
x3
的取值范围是（ ）
A．(−
1
e
2−e
,0)
B．(−1
e
2 ,0)
C．(−1
2e ,0)
D．(−2
e ,0)
【变式6-2】（2025·湖北·二模）已知函数f (x)=e
x−x ln x +mx−1(m∈R).
(1)当m=1时，求曲线y = f (x)在(1,f (1))处的切线方程；
(2)若f (x)有两个不同的零点x1，x2.
（
）求实数
ⅰ
m的取值范围；
（
）证明：
ⅱ
x1 x2<1.
【变式6-3】（2025·广东·二模）已知函数f (x)=mxln x−x
2+1(m∈R).
(1)当m=2时，求曲线y = f (x)在点(1,0)处的切线方程；
(2)若f (x)有三个零点x1, x2, x3(x1< x2< x3)，
求
①
m的取值范围；
判断
②
x1−x2+ x3
与m
4−m
2+1
m
2
的大小关系，并给出证明.
【题型7 隐零点问题】
【例7】（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数f (x)= x +asin x−xcos x．
(1)当a=1时，求f (x)在点(π,f (π))处的切线方程；
(2)若f (x)在区间(0,π
2 )上有零点，求实数a的取值范围．
【变式7-1】（24-25 高三上·辽宁鞍山·阶段练习）已知函数f (x)= ln x−ax +1，g(x)= x(e
x−x).
（1）若直线y =2 x与函数f (x)的图象相切，求实数a的值；
（2）当a=−1时，求证：f (x)≤g(x)+ x
2.
【变式7-2】（2025·重庆·三模）已知函数f (x)=(x−1)e
x−ax +b，函数y = f (x)在点(0，f (0))处的切线
方程为x + y +2=0.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f (x)的零点个数.
【变式7-3】（2025·广东广州·模拟预测）已知函数f (x)= xe
ax（a>0）.
(1)求f (x)在区间[−1,1)上的最大值与最小值；
(2)当a≥1时，求证：f (x)≥ln x + x +1.
【题型8 三角函数的零点问题】
【例8】（2025·安徽·模拟预测）已知函数f ( x)=ax +sin x，曲线y = f ( x)在(π,f (π))处的切线斜率为
0．
(1)证明：函数f ( x)在R上单调递增；
(2)设g( x)=m x
3+ f ( x)，若m≤−1
6
，判断函数g( x)的零点个数．
【变式8-1】（2025·福建漳州·模拟预测）已知函数f (x)=sin x−ae
x.
(1)若a=1，求f (x)在[0,+ ∞)上的最大值；
(2)若f (x)在[0,2π)上恰有两个零点，求实数a 的取值范围.
【变式8-2】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数f (x)= x sin x +a x
2−1．
(1)当a=0时，求f (x)在区间[0,π
2 )上的零点个数；
(2)当x∈[0,π
2 )，a=−2
π
时，求证：f (x)≥−1．
【变式8-3】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数f (x)=2 x−asin x +sin2 x (a∈R)．
(1)当a=2时，求曲线y = f (x)在点(
π
4 ,f(
π
4 ))
处的切线方程；
(2)若a>0且函数f (x)在(0,π)上没有零点，求实数a 的取值范围．
【题型9 导数中函数零点的新定义问题】
【例9】（2025·河南许昌·模拟预测）对于函数y = f ( x)，x∈D1和y = g( x)，x∈D2，设D1∩D2= D，
若对任意的x1，x2∈D，都有|f ( x1)−f ( x2))≤|g( x1)−g( x2))
t(t >0)成立，则称函数y = f ( x)与
y = g( x)“具有性质H (t )”.
(1)判断函数f ( x)=sin x，x∈(0, π
2 )与g( x)= x是否“具有性质H (1)”，并说明理由；
(2)若函数f ( x)= 1
x
2 +2ln x−2与y = g( x)“具有性质H (1)”，且函数y = g( x)在区间(0,+∞)上存在两
个零点x1
，x2
，求证：x1
2+ x2
2>2；
(3)已知函数f ( x)= x ln x，x∈(0,1)，g( x)= x，求证：函数y = f ( x)与y = g( x)“具有性质H ( 1
2 )”.
【变式9-1】（2025·湖北武汉·一模）已知函数f (x)的导函数为f
′ (x)，若f
′ (x)在区间D上单调递增，则称
f (x)为区间D上的凹函数；若f
′ (x)在区间D上单调递减，则称f (x)为区间D上的凸函数.已知函数
f (x)= x
e
x + λln(x +1).
(1)若f (x)在[2,3)上为凹函数，求实数λ的取值范围；
(2)已知F (x)= f (x−1)，且F (x)在(1,+ ∞)上存在零点，求实数λ的取值范围.
【变式9-2】（24-25 高二下·甘肃临夏·期末）给出定义：设f
′ (x)是函数y = f (x)的导函数，f
″ (x)是函数
f
′ (x)的导函数，若方程f
″ (x)=0有实数解x = x0，则称(x0,f (x0))为函数y = f (x)的“拐点”．已知函数
f (x)= x
3−4 a x
2−3a
2 x +2．
(1)若(4 ,f (4))是函数f (x)的“拐点”，求a 的值和函数f (x)的单调区间；
(2)若函数f (x)的“拐点”在y 轴右侧，讨论f (x)的零点个数．
【变式9-3】（2025·广西柳州·模拟预测）帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定
函数的方法．给定两个正整数m，n，函数f (x)在x =0处的[m,n)阶帕德近似定义为：
R (x)= a0+a1 x +⋯+am x
m
1+b1 x +⋯+bn x
n
，且满足：f (0)= R (0)，f
′ (0)= R
′ (0)，f
″ (0)= R
″ (0)，
，
…
f
(m+n)(0)= R
(m+n)(0)．注：f
″ (x)=[f
′ (x))
′，f
′ ′ ′ (x)=[f
″ (x))
′，f
(4)(x)=[f
′ ′ ′ (x))
′，f
(5)(x)=[f
(4)(x))
′，
；
…
f
(n)(x)为f
(n−1)(x)的导数）．已知f (x)= ln (x +1)在x =0处的[1,1)阶帕德近似为R (x)=
ax
1+bx
．
(1)求实数a，b 的值；
(2)比较f (x)与R (x)的大小；
(3)若ℎ(x)=mf (x−1)−1
2 R (x−1)(m≠0)有3 个不同的零点，求实数m 的取值范围．
一、单选题
1．（2025·天津河北·模拟预测）函数f (x)= ln x +8−x的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
2．（2025·山东青岛·模拟预测）若函数f (x)= x
2(1−e
x)+ x (ln x +a)有2 个零点，则实数a的取值范围是
（ ）
A．(−∞,0)
B．(−∞,1)
C．[0,+ ∞)
D．(1,+∞)
3．（2025·湖南益阳·三模）若函数f ( x)=−a ln x + x
2−1
2
有两个零点，则a 的取值范围为（ ）
A．(−∞,1)
B．(1,+∞)
C．(0,1)∪(1,+ ∞)
D．(0,1)
4．（2025·江苏常州·模拟预测）函数f ( x)=( x−5)e
x+e x +3e的所有零点之和为（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
5．（2025·江西鹰潭·二模）已知函数f ( x)=2−
2
e
x+1
，若方程f (ae
x)+ f (3−x
2)=2有三个不同根，则实
数a的取值范围是（ ）
A．(0, 6
e
3 )
B．(0, 2
e )
C．(−2e, 6
e
3 )
D．(−2e, 2
e )
6．（2025·广西河池·二模）关于函数f (x)=−x
3+3 x
2+(a−3) x +2−a−e
x−1+
1
e
x−1 (a≤2)，下列选项正
确的是（ ）
A．函数f (x)没有零点
B．函数f (x)只有1 个零点
C．函数f (x)至少有1 个零点
D．函数f (x)有2 个零点
7．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数f (x)= xe
x−a有两个零点x1, x2，且x1< x2，则（ ）
A．x1+2e x2>−3
B．x1+2e x2=−3
C．x1+2e x2<−3
D．x1+2e x2与−3无法比较大小
8．（2025·四川南充·一模）已知函数f ( x)=|ln x−2
x +2)−m（0<m<3）有两个不同的零点x1，x2（
x1< x2），下列关于x1，x2的说法正确的有（ ）个
①x2
x1
<e
2m ②x1>
2
m+2
③e
m
3 < x2<
3
3−m
④x1 x2>1
A．1
B．2
C．3
D．4
二、多选题
9．（2025·海南海口·模拟预测）已知函数f ( x)= xe
x−1
2 a x
2−ax−1
2 a．则下列说法中正确的是（ ）
A．当a=0时，f ( x)在(−1,+ ∞)上单调递增
B．当a<0时，f ( x)min= 1
e
C．当a>0时，f ( x)有一个零点
D．f ( x)最多有两个不同的零点
10．（2025·河南·模拟预测）已知函数f (x)=|ln (x −1))−kx + k −2，则下列结论正确的是（ ）
A．存在负数k，使得f (x)没有零点
B．若f (x)恰有2个零点，则−e<k ≤0
C．若f (x)恰有1个零点，则k =−e
D．当0<k <e
−3时，f (x)恰有3个零点
11．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数f (x)= x−1
x −aln x (a∈R)，下列说法正确的是（ ）
A．∃a∈R，使得f (x)的图象是中心对称图形
B．当a=3时，f (x)有三个不同的零点
C．若f (x)有三个不同的零点x1、x2、x3，则有x1 x2 x3=1
D．若f (x)有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1< x2< x3，则x1+ x3<2a−2
三、填空题
12．（2025·四川德阳·一模）若关于x的方程ln x +|1+ m
x)=1有且仅有两个实根，则实数m的取值范围为
.
13．（2025·全国·模拟预测）已知函数f (x)={
xe
x−a, x<a,
2−x−2a, x ≥a)
有三个零点，则实数a的取值范围是
.
14．（2025·湖北·模拟预测）已知函数f (x)=ln x−ax有2 个零点x1
，x2
，且1< x1
x2
<2，则实数a的取值范
围是 ．
四、解答题
15．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数f (x)= a(e
x−a−x)
x
，其中a>0.
(1)求f (x)的极值；
(2)讨论f (x)的零点的个数.
16．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数f (x)= x( x−c)
2在x =1处有极小值.
(1)求实数c的值；
(2)若函数g(x)= f (x)+a有三个不同的零点，求实数a的取值范围.
17．（2025·广东广州·三模）已知函数f ( x)=a x
2+(a−2)x−ln x ,a∈R.
(1)当a=2时，求与f ( x)相切，且垂直于直线x +3 y =0的直线方程；
(2)若f ( x)有两个零点，求实数a的取值范围.
18．（2025·北京海淀·三模）已知函数f (x)=aln ❑√x−sin x，曲线y = f (x)在点(
π
2 ,f(
π
2 ))处的切线斜
率为1
π
．
(1)求a的值．
(2)求f (x)在(0,2π)上的零点个数．
(3)证明：f
′ (x)在(0,π
2 )上存在两个零点x1, x2，且|x2−x1)> 1
4
．
19．（2025·海南三亚·一模）已知函数f (x)=ln x−x +a.
(1)若a=0，求f (x)的单调递减区间；
(2)f (x)有两个不同的零点x1, x2且x1< x2.
（i）求a的取值范围；
（ii）当x2≤e x1时，求x1的最小值.
