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重难点培优03 柯西不等式与权方和不等式
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................3
题型一 二维柯西不等式直接使用（★★★★）........................................................................................3
题型二 二维柯西不等式变式型（★★★★★）........................................................................................3
题型三 二维柯西不等式三角型（★★
）
★
................................................................................................4
题型四 三维（多维）柯西不等式（★★★★★） ..................................................................................4
题型五 权方和不等式基本型（★★★★）................................................................................................5
题型六 权方和不等式的推广型（★★★★★）........................................................................................6
题型七 权方和不等式三角型（★★
）
★
....................................................................................................6
03 实战检测・分层突破验成效..........................................................................................................6
检测
组 重难知识巩固
Ⅰ
................................................................................................................................6
检测
组 创新能力提升
Ⅱ
................................................................................................................................8
一、柯西不等式
1、二维形式的柯西不等式
2、二维形式的柯西不等式的变式
3. 扩展：
，当且仅当
时，等号成立.
注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对
，并不是不等式的形状，但变成
就可以用柯西不等式了.
二、权方和不等式
权方和不等式：若
，则
，当且仅当
时，等号成立.
证明1：
要证
只需证
即证
故只要证
，当且仅当
时，等号成立
即
，当且仅当
时，等号成立.
证明2：对柯西不等式变形，易得
在
时，就有了
当
时，等号成立．
推广1：
当
时，等号成立．
推广:2：若
，则
，当
时，等号成立.
推广3：若
，则
，当
时，等
号成立.
题型
一
柯西不等式
接
二维
直
使用
【技巧通法·提分快招】
1、二维形式的柯西不等式
2、记忆方法：口诀：平和城，城和平
平：平方
城：同乘，相乘
“
”
的意思
1．（24-25 高三下·河北·期中）柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在
数学分析中有广泛的应用．二维柯西不等式为
，当且仅当
时等号成立．
已知
，直线
与曲线
相切，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
，
，
，则
的最大值是 .
3．
中角
，
，
所对的边分别为
，
，，已知
，
为
的点，且
，
，
则
的最大值为
题型二
柯西不等式
式型
二维
变
1．
的最小值为 ．
2．若不等式
对任意正实数x，y 都成立，则实数k 的最小值为 .
3．（24-25 高三上·辽宁·月考）已知空间向量
，若
，在
上的正投影数量分别为1 和3，且
，则与
所成角余弦的最大值等于 .
4．（2024·北京朝阳·模拟预测）函数
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
5．（23-24 高三上·上海奉贤·期中）对于平面曲线S 上任意一点P 和曲线T 上任意一点Q，称
的最小
值为曲线S 与曲线T 的距离.已知曲线
和曲线
，则曲线S 与曲线T 的距离为
（ ）
A．
B．
C．
D．2
题型三
柯西不等式
型
二维
三角
1．（2024·浙江·一模）若
，则
的最小值是（ ）
A．0
B．
C．
D．
2．
的最小值为 .
3．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知
面积为1，边
上的中线为
，且
，则
边
的最小值为 ．
题型四
（
）柯西不等式
三维
多维
【技巧通法·提分快招】
，当且仅当
时，等号成立.
1．柯西不等式的三元形式如下：对实数
和
，有
，当且仅当
等号成立，已知
，请
你用柯西不等式，求出
的最大值是（ ）
A．14
B．12
C．10
D．8
2．已知a，b，
，满足
，则
的最大值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
3．（23-24 高三上·陕西咸阳·月考）若
）（n 为偶数），则
的最小值为（ ）
A．25
B．8
C．
D．
4．（2024 高二下·北京·竞赛）对于
，若非零实数
满足
，且使
最大，则
的最小值为 .
5．（24-25 高三上·上海杨浦·期末）已知平面向量
，
，满足
，
，
且
．
记平面向量
在
，
方向上的数量投影分别为
，
，向量
在方向上的数量投影为
，则对任意满
足条件的向量，代数式
的最小值是 ．
6．（2024·四川成都·模拟预测）已知
，且
．
(1)求
的最小值m；
(2)证明：
．
题型五 权方和不等式基
型
本
【技巧通法·提分快招】
1、很多题目是不会直接可以利用权方和不等式解决的，需要进行一定的配凑与变形.
2、权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数大1，用于知和求和型快速求最值，本质还是代
“
”
数式常数化.另外，一定要验证等号成立条件.
1．则函数
的最小值为（ ）
A．16
B．25
C．36
D．49
2．（24-25 高三下·辽宁葫芦岛·月考）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有
很广泛的应用，其表述如下：设
，
，
，
，则
，当且仅当
时等号成立.根
据权方和不等式，函数
的最小值为（ ）
A．39
B．52
C．49
D．36
3．已知a＞0，b＞0，且
，则
的最小值是____.
4．已知x>0，y>0，且
，则x+2y 的最小值为 .
题型六 权方和不等式
型
的推广
1．已知
且
，a，b，c 为常数，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．前三个答案都不对
2．已知正数
，
，
满足
，则
的最小值为
3．已知
，求
的最小值为
题型七 权方和不等式
型
三角
1．函数
的最小值是 .
2．已知正实数
、
且满足
，求
的最小值 .
3．（2024·四川·模拟预测）权方和不等式是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪
“
”
80 年代初命名的．其具
体内容为：设
，则
，当且仅
当
时，等号成立．根据权方和不等式，若
，当
取得最小值时，
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
检测
重难知识
固
Ⅰ组
巩
1．实数
，
，
，
满足
，
，那么
的最大值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
2．实数x、y 满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．3
D．4
3．已知a，
，
，则
的最大值为（ ）
A．18
B．9
C．
D．
4．若实数
，则
的最小值为（ ）
A．14
B．
C．29
D．
5．柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的流数问题时得到的
“
”
.而后来有两位
数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地
步.该不等式的三元形式如下：对实数
和
，有
等号成立当且仅当
已知
，请你用柯西不等式，求出
的最大值是
（ ）
A．14
B．12
C．10
D．8
6．（23-24 高三下·山东烟台·月考）已知空间向量
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
7．（23-24 高三上·山西晋中·月考）已知
是直角三角形三边，是斜边且
.且
的最小值为.如图，在三棱锥
中，
，
两两垂直，
，则平面
与平
面
所成角的夹角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知正实数
满足
，则
的最小值为
．
9．已知a，b，c 为正实数，且满足
，则
的最小值为 .
10．已知实数
满足：
，则
的最小值为 .
11．（23-24 高三上·安徽·月考）为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了
《数学探究与发现》选修课．在某次主题是向量与不等式的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证
“
”
明了著名的柯西不等式（二维）；当向量
时，有
，即
，当且仅当
时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数
变换，得到了一个新不等式：
，当且仅当
时等号成立，并取名
为类柯西不等式．根据前面的结论可知：当
“
”
时，
的最小值是 ．
12．（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数
满足
，则
的最小值为 .
13．（24-25 高三上·陕西西安·月考）已知
，
，则
的最小值为 ．
14．已知
为锐角，则
的最小值为 .
15．（23-24 高三下·江苏苏州·开学考试）设角
、
均为锐角，则
的范围是
．
检测
能力提
Ⅱ组
创新
升
1．已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
2．已知
，
，则
的最小值为 .
3．（23-24 高三上·河北衡水·期末）若⊙C：
，⊙D：
，M，N 分别
为⊙C，⊙D 上一动点，
最小值为4，则
取值范围为 ．
4．（2024·河北邯郸·模拟预测）柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，
柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设
，
，
，
，
…
，
，
，
，
，
…
，
，当且仅当
（
）或存在一个数
，使得
（
）时，等号成立.
(1)请你写出柯西不等式的二元形式；
(2)设
是棱长为
的正四面体
内的任意一点，点
到四个面的距离分别为
、
、
、
，求
的最小值；
(3)已知正数数列
满足：
存在
①
，使得
（
）；
对任意正整数
②
、
（
），均
有
.求证：对任意
，
，恒有
.
