文档文本内容
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3.1.1 函数及其表示方法
课程标准
学习目标
1、在初中用变量之间的依赖关系描述函数的
基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，
建立完整的函数概念，体会集合语言和对应
关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函
数的要素，能求简单函数的定义域和值域。
2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰
当的方法（如图象法、列表法、解析法）表
示函数，理解函数图象的作用。
3、通过具体实例，了解简单的分段函数，并
能简单应用。
1、两个变量关系中提出函数概念.
2、用图像法表示函数
3、对函数的定义域、值域的计算。
4、函数定义域和应用数据的有效性。
知识点01 函数的概念
（1）变量观点的定义
2
在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y，并且
对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么就称y 是x 的函数．
（2）集合观点的定义
一般地，给定两个非空实数集A 与B，以及对应关系f，如果对于集合A 中的每一个实数x，在集合B
中都有唯一确定的实数y 与x 对应，则称f 为定义在集合A 上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x 称为
自变量，y 称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合
{y∈B|y＝f(x)，x∈A},称为函数的值域．
注：对函数概念的几点说明
(1)y＝f(x)是“y 是x 的函数”的数学表示，不能认为“y 等于f 与x 的乘积”，应理解为：x 是自变量，
f 是对应关系(可以是解析式、图像、表格或文字描述等).
(2)函数符号f(x)表示的对应关系与字母f 无关，也可以用g，F，G 等表示；同样，自变量x 也可以用
t，m，h 等表示．
【即学即练1】（2024·新疆巴音郭楞·高一八一中学校考期中）如图图形，其中能表示函数
的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点02 函数的三要素
（1）定义域
函数的定义域是函数y＝f(x)的自变量x 的取值范围．在表示函数时，如果不会产生歧义，函数的定义
域有时可以省略，这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数有意义的所有实数组成的集合．在实际
问题中，函数的定义域还要受到自变量实际意义的制约．
（2）对应关系
对应关系f 是函数的核心，它是对自变量x 实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．按照这一
“程序”，从定义域A 中任取一个x，可得到值域{y|y＝f(x)，x∈A}中唯一的y 与之对应．同一“f”可以
“操作”不同形式的变量．
3
（3）值域
函数的值域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应关系确定了，那么它的值域也就随之确定
了．
注：由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关
系．即要检验给定的两个变量(变量均为数值)之间是否具有函数关系，只要检验：
(1)定义域和对应关系是否给出；
(2)根据给出的对应关系，自变量x 在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y 与之对
应．
【即学即练2】（2024·甘肃定西·高二统考开学考试）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【即学即练3】（2024 秋·全国·高一专题练习）求下列函数的值域．
(1)
；
(2)
，
；
(3)
；
(4)
.
知识点03 同一个函数
一般地，如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数
值都相等)，则称这两个函数就是同一个函数．
【即学即练4】（2024·甘肃酒泉·高一校考期中）下列各组函数是同一函数的是（ ）
①
与
. ②
与
. ③
与
. ④
与
.
A．①②
B．①③
C．③④
D．①④
知识点04 函数的表示方法
4
1.常用的函数的表示方法有三种：列表法、图像法和解析法，具体如下．
列表法
图像法
解析法(公式法)
定
义
通过列出自变量与对应函数
值的表来表示函数关系的方法．
用“图形”表示函数
的方法．
在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用
代数式(或解析式)来表达的方法．
优
点
不需要计算就可以直接看出
与自变量的值相对应的函数值．
能直观、形象地表示
出函数值的变化情况．
通过解析式可求出任意一个自变
量所对应的函数值，且便于研究函数
的性质．
缺
点
列表法只能表示自变量取值
为有限个的函数，且从表中很难
看出函数的性质．
只能近似地求出自变
量所对应的函数值，有时
误差较大．
用解析式表示函数时容易漏掉定
义域，而且对于一些实际问题，很难
找到它的解析式．
2.函数的图像
（1）函数的图像
一般地，将函数y＝f(x)，x∈A 中的自变量x 和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐
标与纵坐标，则满足条件的点(x，y)组成的集合F 称为函数的图像，即
F＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}．
（2）函数图像的作法
①函数图像的特征
函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．
②描点法作函数图像的三个步骤(注意函数的定义域)
③利用常见函数图像作出所求函数的图像
【即学即练5】（2024·高一课时练习）下图是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及
班级平均分表．
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(1)选择合适的方法表示测试序号与成绩的关系；
(2)根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析．
知识点05 分段函数
（1）分段函数的定义
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函
数．
（2）分段函数的图像
分段函数有几段，它的图像就由几条曲线组成．在同一平面直角坐标系中，根据分段函数每段的定义
区间和表达式依次画出图像，要注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
注：(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．
(2)求分段函数的函数值的关键是分段归类，即自变量的取值属于哪个区间，就只能用那个区间上的解
析式来进行计算．
(3)写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏．分段函数的定义域是各个自变量取值区间的并集．
【即学即练6】（2024·全国·高一专题练习）已知函数
(1)求
,
,
的值;
(2)若
,求实数
的值;
(3)若
,求实数
的取值范围.
6
难点：数形结合利用图像求分段函数的最值
示例：求函数y＝|x＋1|＋|x－1|的最小值．
【题型1：函数的概念】
例1．（2024·高一课时练习）下列关系不是函数关系的是 （填序号）．
①乘坐出租车时，所付车费与乘车距离的关系；
②某同学学习时间与其学习成绩的关系；
③人的睡眠质量与身体状况的关系．
变式1．【多选】（2024·全国·高一专题练习）下列各图中，可能是函数图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2．【多选】（2024·全国·高一专题练习）已知集合
=
，集合
=
，下列
能表示从集合
到集合
的函数关系的是（ ）
7
A．
B．
C．
D．
变式3．（2024·高一课时练习）判断下列对应是不是从集合A 到集合B 的函数.
(1)
，
，对应法则f：对集合A 中的元素取绝对值与B 中元素对应；
(2)
，
，对应法则
，
，
；
(3)
，
，对应法则
，
，
；
(4)
三角形
，
，对应法则f：对A 中元素求面积与B 中元素对应.
变式4.（2024·高一课时练习）下列变量
与
的关系式中，不能构成
是
的函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
函数关系的判断
(1)判断一个集合A 到集合B 的对应关系是不是函数关系的方法：①A，B 必须都是非空数集；②A 中
任意一个数在B 中必须有并且是唯一的实数和它对应．
注意 A 中元素无剩余，B 中元素允许有剩余．
(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y 的对应关系是“一对
一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．
【题型2：求函数的定义域】
（一）已知函数的解析式求定义域
例2．（2024·广西南宁·高一校考阶段练习）函数
的定义域用区间表示为 .
变式1．（2024·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考阶段练习）函数
的定义域为
8
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2．（2024·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3.（2024·全国·高一课堂例题）函数
的定义域是_______.
变式4.（2024·全国·高一课堂例题）函数
的定义域为 _________.
变式5．（2024·全国·高一课堂例题）确定下列函数的定义域：
(1)
；
(2)
．
（二）抽象函数的定义域
例3．（2024·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）若函数
的定义域为
，则函数
的定义域是
．
变式1．（2024·山东菏泽·高一菏泽一中校考期中）已知函数
的定义域为
，则
的定义
域为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2.（2024·全国·高一专题练习）已知
的定义域为
，则
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3．（2024·全国·高一专题练习）函数
的定义域为
，则
的定义
域为 .
变式4．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）若函数
的定义域为
，则
9
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5．（2024·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）若函数
的定义域是
，则函数
的定义域是 .
变式6．（2024·黑龙江大庆·高二肇州县第二中学校考阶段练习）已知函数
的定义域为
则
的定义域为
【方法技巧与总结】
求函数定义域的一般原则
求函数定义域时，要注意应用下列原则：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．
(3)如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合．
(4)如果f(x)是由几部分构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，也就是使各部
分有意义的实数的集合的交集．
(5)如果f(x)是根据实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数
的集合．
(6)复合函数的定义域就是使所有式子都有意义的自变量的取值范围，注意相同的对应法则所作用对象
的范围是一致的．
注意：定义域必须用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应用并集符号
“∪”连接．
【题型3：同一函数】
例4.（2024·福建）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
变式1．（2024·福建龙岩·高一福建省连城县第一中学校考阶段练习）下列选项中表示同一函数的是
（ ）
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A．
与
B．
C．
；
D．
.
变式2．【多选】（2024·云南德宏·高一校考期中）下列四组函数中表示同一个函数的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
变式3．（2024·云南怒江·高一校考期中）下列各组函数：
①
，
；②
；
③
，
；④
，
；
⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系
与一次函数
．
其中表示相等函数的是
填上所有正确的序号．
变式4．【多选】（2024·江西·高一江西师大附中校考期中）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善
兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指
一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【方法技巧与总结】
判断同一函数的三个步骤和两个注意点
(1)判断同一函数的三个步骤
11
(2)两个注意点：
①在化简解析式时，必须是等价变形；②与用哪个字母表示无关．
【题型4：根据解析式求函数值】
例5．（2024·全国·高一专题练习）已知函数
，
(1)求
的定义域；
(2)求
，
的值；
(3)当
时，求
的值.
变式1．（2024·浙江杭州·高一杭州市西湖高级中学校考阶段练习）已知函数
(1)求函数
的定义域；
(2)求
的值；
变式2．（2024·全国·高一课堂例题）已知定义域为R 的函数
．
(1)求
，
的值；
(2)求
的值；
(3)求
的值．
变式3.（2024·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数
，
，则
______，
______．
变式4．（2024·广东东莞·高一东莞市东莞中学松山湖学校校考阶段练习）已知函数
，若
，则
.
变式5．（2024·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数
的定义域为
，
，且
12
，则
.
【题型5：求函数的值域】
例6．（2024·全国·高一专题练习）作出下列函数的图象并求出其值域.
(1)
；
(2)
；
(3)
.
变式1．（2024·全国·高一专题练习）求函数
的值域.
变式2．（2024·高一课时练习）作出下列函数的图象，并写出其值域．
(1)
；
(2)
.
变式3．（2024·全国·高一专题练习）求下列函数的值域：
(1)
；
(2)
；
(3)
（
）；
(4)
.
变式4．（2024·高一课时练习）求下列函数的值域．
(1)
；
(2)
；
(3)
.
变式5．（2024·高一课时练习）求下列函数的值域．
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
.
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变式6．（2024·全国·高一课堂例题）求下列函数的值域：
(1)
，
；
(2)
，
；
(3)
；
(4)
；
(5)
；
(6)
；
(7)
．
变式7．（2024·江苏南通·高三统考开学考试）已知函数
，
的值域是
，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式8．【多选】（2024·海南·高一校考期中）函数
的值域为
，则下列选项中满
足条件的实数
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
求函数值域的常用方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到．
(2)配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．
(3)换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝
ax＋b＋(其中a，b，c，d 为常数，且ac≠0)型的函数常用换元法．
(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求
值域.
【题型6：函数的表示方法】
例7．（2024·高一课时练习）某商场为反馈顾客，规定凡购买某品牌商品两件，赠儿童玩具一个，一顾客
购买此品牌商品的件数为x 件，获赠儿童玩具y 个，分别用列表法、解析法、图象法将y 表示成
的函数．
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变式1．（2024·浙江台州·高一校联考期中）已知函数
，
，
，
(1)画出函数
，
的图象；
(2)
，用
表示
，
中的较小者，记为
，请分别用图象法和解析法
表示函数
.
变式2．（2024·高一课时练习）下图所示为某市一天24 小时内的气温变化图，根据图象回答下列问题.
(1)全天的最高气温、最低气温分别是多少？
(2)大约在什么时刻，气温为
？
(3)大约在什么时刻内，气温在
以上？
(4)变量Q 是关于变量t 的函数吗？
变式3．（2024·全国·高一专题练习）已知函数
由以下表格给出，则
等于 .
x
1
2
3
4
－1
1
2
1
变式4．（2024·高一课前预习）函数
与
的对应关系如下表
1
3
3
1
2
3
15
则
的值为（ ）
A．0
B．3
C．1
D．－1
【方法技巧与总结】
理解函数的表示法应关注三点
(1)列表法、图像法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概
念．
(2)判断所给图像、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．
(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以
解析法为主．
【题型7：求函数的解析式】
例8．【多选】（2024·全国·高一专题练习）设函数
为一次函数，满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1．（2024·全国·高一专题练习）回答下面问题
(1)已知
，求
；
(2)已知函数
是一次函数，若
，求
.
(3)已知
，求
的解析式；
(4)已知
是一次函数，且满足
，求
的解析式.
变式2．（2024·全国·高一专题练习）（1）已知
是二次函数，且满足
，
，
求
解析式；
（2）已知
，求
的解析式.
（3）若对任意实数x，均有
，求
的解析式.
变式3．（2024·全国·高一专题练习）（1）已知
是二次函数，且
，
，
求
的解析式；
16
（2）已知函数
的定义域为（0，＋∞），且
，求
的解析式．
变式4．（2024·四川成都·高一校考开学考试）（1）已知函数
，求
；
（2）已知
，求
.
变式5．（2024·全国·高一专题练习）（1）已知
，求
的解析式；
（2）已知
，求函数
的解析式；
（3）已知
是二次函数，且满足
，
，求函数
的解析式；
（4）已知
，求
的解析式．
（5）已知
是定义在R 上的函数，
，且对任意的实数x，y 都有
，
求函数
的解析式．
【方法技巧与总结】
函数解析式的求法
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x 替代g(x)，便得
f(x)的解析式．
(4)解方程法：已知f(x)与f 或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程
组，通过解方程组求出f(x).
(5)赋值法：根据抽象函数的解析式的特征，进行对变量赋特殊值.
【题型8：分段函数的问题】
例9．（江苏省南通市2023-2024 学年高一上学期10 月质量监测数学试题）已知函数
，
则
（ ）
A．8
B．
C．
D．
变式1．（2024·山西太原·高一校考阶段练习）已知函数
，则
．
17
变式2．（2024·江苏连云港·高一统考期中）已知函数
，若
，实数
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
变式3．（2024·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）已知
，满足
，
则
的取值范围是 ．
变式4.（2024·高一课时练习）已知函数
若
，则实数
________，
________．
变式5．（2024·高一课时练习）已知函数
则使
成立的
的值组成的集合为
.
变式6．【多选】（2024·全国·高一专题练习）已知函数
，关于函数
的结论正确
的是（ ）
A．
的定义域为
B．
的值域为
C．
D．若
，则
的值是2
变式7．（2024·甘肃酒泉·高一校考期中）已知函数
(1)求
的值；
(2)求
的值；
(3)当
时，求
的值域．
变式8．（2024·江西宜春·高三校考阶段练习）已知函数
(1)若
，求实数
的值；
(2)若
，求实数
的取值范围.
【方法技巧与总结】
求分段函数的函数值
(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．
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(2)像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．
(3)已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解．
一、单选题
1．（23-24 高一上·福建龙岩·阶段练习）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 高三·北京·专题练习）下列四个图形中，不是函数图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高二下·广东深圳·期中）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·湖南长沙·阶段练习）对于函数
，部分
与
的对应关系如下表：
19
则
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高一下·全国·课堂例题）已知函数
满足
，若
，则
（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
6．（22-23 高一上·江苏镇江·期中）如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧
杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度
与注水时间之间的
函数关系，大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024 高三·北京·专题练习）下列各组中的两个函数是同一函数的是（ ）
①
，
；②
，
；③
，
；④
，
．
A．①②
B．②③
C．③
D．③④
8．（24-25 高一上·广东梅州·开学考试）已知函数
的定义域是
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
20
9．（21-22 高一·全国·课后作业）如果某函数的定义域与其值域的交集是
，则称该函数为“
交汇
函数”．下列函数是“
交汇函数”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（23-24 高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若函数
的值域为
，则
的可能取值为
（ ）
A．
B．
C．
D．0
11．（23-24 高一上·山西·期中）已知一次函数
满足
，则
的解析式可能为
（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．（23-24 高一上·上海长宁·期末）已知
，若
，则
.
13．（2024·上海·高考真题）已知
，求
的
的取值范围 .
14．（24-25 高一上·全国·单元测试）函数
的值域是 ．
四、解答题
15．（2024 高一·全国·专题练习）已知
，求
的表达式
16．（23-24 高二下·陕西西安·期中）设
．
(1)求
的值；
(2)若
，求t 值.
17．（23-24 高一上·天津·期末）函数
，
(1)若
的解集是
或
，求实数
，
的值；
(2)当
时，若
，求实数
的值；
(3)
，若
，求
的解集.
21
18．（24-25 高三上·江苏盐城·开学考试）已知二次函数
满足
，且
图像
被
轴截得的线段长度是
.
(1)求
的解析式；
(2)若
，求
的最大值.
19．（23-24 高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域：
(1)
(2)
(3)
20．（23-24 高一上·贵州六盘水·期末）近年来，中美贸易摩擦不断，特别是美国对我国华为的限制．尽管
美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为
，但这并没有让华为
怯步．2023 年8 月30 日，据华为官网披露，上半年华为营收3082.90 亿元，上年同期为2986.80 亿元，净
利润为465.23 亿元，上年同期为146.29 亿元．为了进一步提升市场竞争力，再创新高，华为旗下某一子公
司计划在2024 年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，2024 年生产此款手机
（单位：千部）需
要投入两项成本，其中固定成本为200 万元，其它成本为
（单位：万元），且
假设每部手机售价0.65 万元，全年生产的手机当年能全部售完．
(1)写出此款手机的年利润
（单位：万元）关于年产量
（单位：千部）的函数解析式；（利润=销售
额-成本）
(2)根据（1）中模型预测2024 年此款手机产量为多少（单位：千部）时，所获利润最大？最大利润是多少？
21．（24-25 高一上·全国·课后作业）已知函数
，
．
(1)作出
，
的图像；
(2)对任意
，用
表示
、
中的较小者，记作
，请用图像法和解
析法表示
．
22
22．（23-24 高三下·西藏拉萨·阶段练习）设函数
.
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)当
时，函数
有两个零点
，且满足
，求实数
的值.
