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2027年高考数学一轮复习检测卷01(举一反三)(全国二卷通用)(解析版)_2027版高中《举一反三》一轮检测卷(数学)

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2027 年高考数学一轮复习检测卷
高三数学(全国二卷)01
(考试时间:120 分钟;满分:150 分)
注意事项:
1.本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写
在答题卡上。
2.回答第I 卷时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用
橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷(选择题共58 分)
一、单项选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要
求的。
1.(5 分)(2026·江苏·模拟预测)已知�= 2 + i,则
i
�−1 =(
)
A.
1
2 +
1
2 i
B.
1
2 −
1
2 i
C.−
1
2 +
1
2 i
D.−
1
2 −
1
2 i
【答案】A
【解题思路】利用复数的四则运算,即可作出判断.
【解答过程】由题意得:
i
�−1 =
i
1+i =
i 1−i
2
=
1
2 +
1
2 i.
故选:A.
2.(5 分)(2026·河北沧州·模拟预测)已知集合�= �∈�|�2 < 9 , �= −2, −1,1,2,3 ,则�∩�=(
)
A.1,2
B.0,1,2
C.1,2,3
D.0,1,2,3
【答案】A
【解题思路】先求得集合�= 0,1,2 ,结合集合交集的定义与运算,即可求解.
【解答过程】由不等式�2 < 9,可得−3 < �< 3,所以�= 0,1,2 ,
又由集合�= −2, −1,1,2,3 ,所以�∩�= 1,2 .
故选:A.
3.(5 分)(2026·江苏·模拟预测)已知平面向量�Ԧሬ= 1, −2 ,�Ԧሬ
= 3,且�Ԧሬ+ �Ԧሬ
⊥�Ԧሬ,则�Ԧሬ−�Ԧሬ
=(
)
A.2
B.4
C.2 6
D.24
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【答案】C
【解题思路】由�Ԧሬ+ �Ԧሬ
⊥�Ԧሬ,得到�Ԧሬ⋅�Ԧሬ=−5,通过�Ԧሬ−�Ԧሬ
2 = �Ԧሬ2 −2�Ԧሬ⋅�Ԧሬ+ �Ԧሬ2即可求解.
【解答过程】因为�Ԧሬ+ �Ԧሬ
⊥�Ԧሬ,
所以�Ԧሬ+ �Ԧሬ
⋅�Ԧሬ= �Ԧሬ2 + �Ԧሬ⋅�Ԧሬ= 0,
又�Ԧሬ= 1, −2 ,则�Ԧሬ2 = 5,
所以�Ԧሬ⋅�Ԧሬ=−5,
所以�Ԧሬ−�Ԧሬ
2 = �Ԧሬ2 −2�Ԧሬ⋅�Ԧሬ+ �Ԧሬ2 = 5 + 10 + 9 = 24,
所以�Ԧሬ−�Ԧሬ
= 2 6,
故选:C.
4.(5 分)(2026·重庆·模拟预测)已知双曲线�:
�2
�2 −
�2
�2 = 1 的一条渐近线的斜率为3,则双曲线�的离心
率为(
)
A.2
B.2 3
C.3
D.4
【答案】A
【解题思路】利用焦点在x 轴上的双曲线渐近线斜率得到
�
�=
3,再结合双曲线�2 = �2 + �2的关系和离心率
公式计算得到离心率.
【解答过程】对于焦点在�轴上的双曲线�:
�2
�2 −
�2
�2 = 1,它的渐近线方程为�=±
�
��,
由题意得
�
�=
3,
所以�=
�
�=
1 +
�2
�2 =
1 +
3
2 =
1 + 3 = 2.
故选:A.
5.(5 分)(2026·云南昭通·模拟预测)下图是某古代建筑的屋顶结构模型,其中����为矩形,��= 40m,
��
⏜
,��
⏜
,��
⏜
,��
⏜
为四段全等的圆弧,其对应的圆半径为10 m,圆心角为
π
3.已知区域����和����是被瓦
片覆盖的区域,则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为(
)
A.
200π
3 m2
B.
400π
3 m2
C.200πm2
D.
800π
3 m2
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【答案】D
【解题思路】将区域����还原到圆柱中求得其面积,由区域����和����全等可求得总面积.
【解答过程】由题意知区域����和����全等,且都是底面半径为10 m,高为40 m 的圆柱的侧面的一部分.
将区域����还原到如图所示圆柱中,可知��1 = 10m,∠��1�=
π
3,��= 40m.
由扇形的弧长公式可知,��
Ⴃ= ∠��1�× ��1 =
π
3 × 10 =
10π
3 m,
由圆柱的侧面积公式可知�����= ��
Ⴃ× ��=
10π
3 × 40 =
400π
3 m2,
所以�����+ �����= 2�����=
800π
3 m2,
所以被瓦片覆盖的区域����和����的总面积为
800π
3 m2.
故选:D.
6.(5 分)(2026·云南昆明·模拟预测)将甲、乙等6 名志愿者分配到3 个社区协助开展活动,每个社区至
少1 人,每个人只去1 个社区,且甲、乙两人不在同1 个社区,则不同的分配方法数是(
)
A.540
B.504
C.408
D.390
【答案】D
【解题思路】先分组后分配,再间接减去甲、乙在一起的情况即可.
【解答过程】总的分配方法有
C6
1C5
1C4
4
 A2
2
+
C6
2C4
2C2
2
 A3
3
+ C6
3C3
2C1
1 A3
3 = 540 种.
若按照4: 1: 1 分堆,甲、乙在一起的情况有C4
2 A3
3 = 36 种;
若按照2: 2: 2 分堆,甲、乙在一起的情况有
C4
2C2
2
 A2
2 ⋅A3
3 = 18 种;
若按照3: 2: 1 分堆,甲、乙在一起的情况有C4
1C3
2 A3
3 + C4
3 A3
3 = 96 种,故不同的分配方法数为540 −36 −18 −
96 = 390.
故选D.
7.(5 分)(2026·湖南永州·模拟预测)已知�∈0,
π
4 , �∈0,
π
2 ,sin 2�+ �=
3
5 ,
1
tan�−tan�=
1
tan�,则
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sin 2�−�=(
)
A.−
1
5
B.
1
5
C.
2
5
D.−
2
5
【答案】B
【解题思路】由条件
1
tan�−tan�=
1
tan�利用同角关系化简可得sin2�cos�= 2cos2�sin�,由条件sin 2�+ �=
3
5,结合两角和正弦公式可得sin2�cos�+ cos2�sin�=
3
5,再根据两角差的正弦公式求出结果即可.
【解答过程】由题意得
cos�
sin�−
sin�
cos�=
cos�
sin�,即
cos2�−sin2�
sin�cos�
=
cos�
sin�,即
2cos2�
sin2�=
cos�
sin�,
得sin2�cos�= 2cos2�sin�,又因为sin 2�+ �= sin2�cos�+ cos2�sin�=
3
5,
所以sin2�cos�=
2
5 ,cos2�sin�=
1
5,
因此sin 2�−�= sin2�cos�−cos2�sin�=
1
5.
故选:B.
8.(5 分)(2026·湖南郴州·一模)函数��对∀�∈�, ��+ 2 = �4 −�,且��+ 6 为奇函数,则下列
说法正确的是(
)
A.若�∈0,3 时��= 2�,则�8 = 4
B.��的周期为6
C.��的图象关于−6,0 中心对称
D.�2025 + �3 ≠0
【答案】C
【解题思路】对于A 选项,首先通过奇偶性得:�−�+ 6 =−��+ 6 ,然后根据已知条件通过赋值进行求
解;
对于B 选项,根据奇偶性及周期性的结论进行求解即可;
对于C 选项,通过奇偶性可得函数关于6,0 中心对称,再根据函数周期性即可判断正误;
对于D 选项,利用函数周期性可得:�2025 = �9 ,再根据�−�+ 6 =−��+ 6 通过赋值可得:�9 =−
�3 ,进而可以判断选项正误.
【解答过程】对于A 选项,已知��+ 6 为奇函数,则有�−�+ 6 =−��+ 6 ,
令�=−2,得:�8 =−�4 ,
又��+ 2 = �4 −�,令�= 0,得:�4 = �2 ,
因此可得:�8 =−�4 =−�2 =−4,故A 选项错误.
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对于B 选项,已知��+ 6 为奇函数,则有�−�+ 6 =−��+ 6 ,
又��+ 2 = �4 −�,则有��= �6 −�,
由此可得:��=−��+ 6 ,即有:��+ 12 =−��+ 6 =−−��
= ��
因此可得:��的周期为12,故B 选项错误.
对于C 选项:已知��+ 6 为奇函数,则有�−�+ 6 =−��+ 6 ,
因此可得:函数��关于6,0 中心对称,又函数��的周期为12,
所以��关于−6,0 中心对称,故C 选项正确;
对于D 选项:已知函数��的周期为12,则有�2025 = �168 × 12 + 9 = �9 ,
又�−�+ 6 =−��+ 6 ,令�= 3,得:�9 =−�3 ,
因此可得:�2025 =−�3 ,即�2025 + �3 = 0,故D 选项错误.
故选:C.
二、多项选择题:本题共3 小题,每小题6 分,共18 分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目的
要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分。
9.(6 分)(2026·陕西榆林·模拟预测)已知直线�:��−�+ 2�+ 1 = 0 和圆�:�2 + �2 = 8,则(
)
A.直线�恒过定点2,1
B.直线�与圆�相交
C.直线�被圆�截得的最短弦长为2 2
D.存在�使得直线�与直线�0:�−2�+ 2 = 0 垂直
【答案】BD
【解题思路】求得直线�恒过定点�−2,1 ,即可判断A;判断点�−2,1 在圆�内,即可判断B;当直线�与直
线��垂直时,所截得的弦长最短,求出最短弦长,即可判断C;求出�的值,即可判断D.
【解答过程】对于A,由��−�+ 2�+ 1 = 0,
可得�(�+ 2) −�+ 1 = 0,
令�+ 2 = 0
−�+ 1 = 0 ,解得�=−2
�= 1 ,
所以直线�恒过定点�−2,1 ,故A 错误;
对于B,因为直线�恒过定点�−2,1 ,且点�−2,1 在圆�:�2 + �2 = 8 内,
所以直线�与圆�相交,故B 正确;
对于C,当直线�与直线��垂直时,所截得的弦长最短,
此时圆心�到直线�的距离�= |��| =
5,
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由弦长公式可得此时的弦长为2 �2 −�2 = 2 8 −5 = 2 3,故C 错误;
对于D,因为直线�0的斜率为
1
2,直线�的斜率为�,
所以当�=−2 时,直线�与直线�0垂直,故D 正确.
故选:BD.
10.(6 分)(2026·山东潍坊·模拟预测)已知数列��的前�项和为��,若�1 = 2,1 +
1
��−
2
��+1 = 0,则(
)
A.数列1 −
1
��为等比数列
B.�3 =
9
7
C.��+1 < ��
D.�10 >
23
2 −
1
210
【答案】ACD
【解题思路】利用等比数列的定义可判断A 选项;求出数列��的通项公式,代值计算可得�3的值,可判断
B 选项;利用作差法可判断C 选项;当�≥2 时,放缩得出��> 1 +
1
2�,结合等比数列的求和公式可判断D
选项.
【解答过程】对于A 选项,因为数列��的前�项和为��,且�1 = 2,1 +
1
��−
2
��+1 = 0,
则
1
��+1 =
1
2 +
1
2��,所以1 −
1
��+1 = 1 −
1
2 +
1
2��=
1
2 −
1
2��=
1
2 1 −
1
��,
且1 −
1
�1 = 1 −
1
2 =
1
2,所以数列1 −
1
��是首项为
1
2,公比为
1
2的等比数列,A 对;
对于B 选项,由A 选项可知1 −
1
��=
1
2 ×
1
2
�−1
=
1
2�,故��=
2�
2�−1,
所以�3 =
23
23−1 =
8
7,B 错;
对于C 选项,��+1 −��=
2�+1
2�+1−1 −
2�
2�−1 =
2�+1 2�−1 −2�2�+1−1
2�−1
2�+1−1
=−
2�
2�−1
2�+1−1 < 0 对任意的�∈�∗恒成立,所以��+1 < ��,C 对;
对于D 选项,当�≥2 时,��=
2�
2�−1 =
2�−1+1
2�−1 = 1 +
1
2�−1 > 1 +
1
2�,
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所以�10 > �1 + 1 +
1
22 + 1 +
1
23 + ⋯+ 1 +
1
210 = 2 + 1 +
1
22 + 1 +
1
23 + ⋯+ 1 +
1
210
= 11 +
1
22 +
1
23 + ⋯+
1
210 = 11 +
1
22 1−1
29
1−1
2
= 11 +
1
2 −
1
210 =
23
2 −
1
210,D 对.
故选:ACD.
11.(6 分)(2026·江苏·模拟预测)设抛物线�: �2 = 2��(�> 0)的焦点为�,直线�= ��+ 1(�> 0)与抛
物线相交于�(�1, �1),�(�2, �2)两点,与�轴交于点�,��=
5
2 , ��= 4,则下列说法正确的是(
)
A.�1�2 = 2
B.�= 4
C.��=
3
2
17
D.△���与△���的面积之比为3: 1
【答案】BCD
【解题思路】先由抛物线焦半径公式结合题意得到则�在第二象限,�在第一象限,且�< 8,接着联立直线
与抛物线方程结合韦达定理求出�1�2和p 即可判断选项AB;进而求出点A 和B 和C 即可计算求解判断CD.
【解答过程】由题得��= �1 +
�
2 =
5
2 , ��= �2 +
�
2 = 4 且�2 > �1 > 0,
则�在第二象限,�在第一象限,且�< 8,
联立�2 = 2��
�= ��+ 1 ⇒�2 −2���−2�= 0 ⇒�1 + �2 = 2��, �1�2 =−2�,
则�1 + �2 = ��1 + �2 + 2 = 2��2 + 2, �1�2 =
�1
2
2�⋅
�2
2
2�= 1,
所以
5
2 −
�
2
4 −
�
2 = 1 ⇒�= 4 或�= 9(舍去),
所以抛物线�: �2 = 8�,�2,0 ,�1 =
1
2 , �2 = 2,
所以可得�−2,
1
2 , �4,2 ,�=
1
4,
所以��=
4 + 2 2 + 2 −
1
2
2
=
3
2
17,
直线�=
1
4 �+ 1 与�轴交于点�−4,0 ,
所以��=
−2 + 4 2 +
1
2 −0
2
=
17
2 ,
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所以�△���: �△���=
1
2 ����sin∠���:
1
2 ����sin∠���
= ��: ��=
3 17
2
:
17
2 = 3: 1.
所以A 错误,BCD 正确.
故选:BCD.
第II 卷(非选择题共92 分)
三、填空题:本题共3 小题,每小题5 分,共15 分。
12.(5 分)(2026·安徽滁州·三模)记��为等差数列��的前�项和,若�2 + �3 = 2,�3 + �4 = 6,则
�5 =___________.
【答案】10
【解题思路】首先求首项和公差,再代入求和公式.
【解答过程】设等差数列��的公差为�,首项为�1,
则2�1 + 3�= 2
2�1 + 5�= 6 ,解得:�1 =−2,�= 2,
所以�5 = 5�1 +
5×4
2 �=−10 + 20 = 10.
故答案为:10.
13.(5 分)(2026·山东济宁·一模)已知函数��=
�+ 2, �≤0
ln �+ 1 , �> 0 若关于�的方程���
= �恰有三
个不相等的实数根,则实数�的取值范围是___________.
【答案】0, ln3
【解题思路】分类讨论,求得函数�= ���
的解析式,利用数形结合求得实数�的取值范围.
【解答过程】函数��=
�+ 2, �≤0
ln �+ 1 , �> 0 在−∞, 0 上单调递增,��≤2,在0, + ∞上单调递增,��> 0,
当�+ 2 ≤0,即�≤−2 时,���
= �+ 2 + 2 = �+ 4,且���
≤2,
当−2 < �≤0,即0 < ��≤2,���
= ln �+ 2 + 1 = ln �+ 3 ,且���
≤ln3,
当�> 0,即��> 0 时,���
= ln ln �+ 1 + 1 ,且���
> 0,
因此���
=
�+ 4, �≤−2
ln �+ 3 , −2 < �≤0
ln ln �+ 1 + 1 , �> 0
,
在坐标系内作出函数�= ���
和�= �的图像,如图所示
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关于�的方程���
= �恰有三个不相等的实数根,则0 < �≤ln3.
所以实数�的取值范围是0, ln3 .
故答案为:0, ln3 .
14.(5 分)(2026·四川成都·三模)已知圆台的底面半径分别为1 和2,高为3,底面圆周均在球�的球
面上,则球�的表面积为___________.
【答案】16π
【解题思路】作球的大圆截圆台得轴截面为圆的内接等腰梯形,在这个图形中由几何法求得球半径,再计算
表面积.
【解答过程】如图是球的大圆�截圆台得轴截面����是圆�的内接等腰梯形,�, �分别是圆台下底、上底圆
心,则��为圆台的高,直线��过�,
由已知��=
3,��= 2,��= 1,
设��= ℎ,
若�在线段��上,则��=
3 −ℎ,
��2 + ��2 =
��2 + ��2,即( 3 −ℎ)2 + 12 =
ℎ2 + 22,解得ℎ= 0,
所以�与�重合,
若�在��延长线上,则��=
3 + ℎ,
则有( 3 + ℎ)2 + 12 =
ℎ2 + 22,同样解得ℎ= 0,即�与�重合,
所以球半径为�= ��= 2,
表面积为�= 4π�2 = 16π.
故答案为:16π.
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四、解答题:本题共5 小题,共77 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15.(13 分)(2026·海南三亚·一模)某数学兴趣小组为深入了解AI 智能软件在社会上各年龄段人群使用
情况,从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了300 名居民进行调查,并依据年龄样本数据绘制了如下
频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图,估计年龄样本数据的平均数和中位数.
(2)为了解各年龄段居民的使用情况,需抽取居民代表召开座谈会,按照分层随机抽样的方式从20,30 ,
40,50 年龄段中随机共抽取9 名居民.若从选定的这9 名居民中再随机抽取3 名,记3 人中在20,30 年龄
段的人数为�,求�的分布列及数学期望.
【答案】(1)36,35;
(2)
�
0
1
2
3
�
1
21
​
5
14
​
10
21
​
5
42​
数学期望��=
5
3
【解题思路】(1)直接根据频率分布直方图计算平均数和中位数可得;
(2)先确定两组所抽取的人数,进而可得随机变量�的取值,且随机�服从超几何分布,由超几何分布计算
可得.
【解答过程】(1)因为频率分布直方图的组距为10,
所以�= 15 × 0.010 × 10 + 25 × 0.025 × 10
+35 × 0.030 × 10 + 45 × 0.020 × 10
+55 × 0.010 × 10 + 65 × 0.005 × 10
= 36;
又因为前两组10,20 , 20,30 累计频率为0.010 × 10 + 0.025 × 10 = 0.35 < 0.5,
前三组累计频率为0.010 × 10 + 0.025 × 10 + 0.030 × 10 = 0.65 > 0.5,
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因此中位数在第三组30,40 内,设中位数为�,
则0.35 + 0.030 × (�−30) = 0.5,解得�= 35.
因此估计年龄样本数据的平均数为36,中位数为35.
(2)因为20,30 与40,50 的频率比为0.25: 0.2 = 5: 4,分层抽样抽取9 人,
因此20,30 抽取5 人,40,50 抽取4 人.
所以�的所有可能取值为0,1,2,3,
且�服从超几何分布,��= �=
C4
3−�C5
�
C9
3
, �= 0,1,2,3,
��= 0 =
C4
3C5
0
C9
3 =
4
84 =
1
21,��= 1 =
C4
2C5
1
C9
3 =
30
84 =
5
14,
��= 2 =
C4
1C5
2
C9
3 =
40
84 =
10
21,��= 3 =
C4
0C5
3
C9
3 =
10
84 =
5
42.
所以�的分布列为:
�
0
1
2
3
�
1
21
​
5
14
​
10
21
​
5
42​
数学期望:��= 0 ×
1
21 + 1 ×
5
14 + 2 ×
10
21 + 3 ×
5
42 =
5
3.
16.(15 分)(2026·河南开封·模拟预测)如图,在四棱锥�−����中,底面ABCD 是矩形,��⊥底面
ABCD,且��= ��= 4,E 是PC 的中点,平面ABE 与线段PD 交于点F.
(1)求证:��//��;
(2)若��= 2 5,求直线AP 与平面BCF 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
10
5
【解题思路】(1)先证得��//平面���,然后根据线面平行的性质定理证得��//��.
(2)建立空间直角坐标系,利用向量法求得直线AP 与平面BCF 所成角的正弦值.
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【解答过程】(1)在矩形ABCD 中,��//��,
又��⊄平面���,��⊂平面DCP,所以��//平面���,
又因为��⊂平面���,且平面���∩平面���= ��,所以��//��;
(2)由(1)可知��//��,又��//��,所以��//��,
又因为E 是PC 的中点,所以F 是PD 的中点,
因为��⊥平面ABCD,AD,��⊂平面ABCD,
所以��⊥��,��⊥��,
因为��= 2 5,��= 2,即��2 + ��2 = 2 5,故��= 4.
又在矩形ABCD 中,��⊥��,所以DA,DC,DP 两两垂直.
如图以D 为坐标原点,以DA,DC,DP 所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系�−���,
则�(4,4,0),�(0,4,0),�(0,0,4),�(4,0,0),�(0,0,2),
所以��Ԧ
ሬሬሬሬ= ( −4,0,4),��Ԧ
ሬሬሬሬ= ( −4, −4,2),��Ԧ
ሬሬሬሬ= ( −4,0,0),
设平面BCF 的一个法向量为�Ԧሬ= (�, �, �).
由��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅�Ԧሬ= 0
��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅�Ԧሬ= 0
,得−4�−4�+ 2�= 0
−4�= 0
,
令�= 1,得�Ԧሬ= (0,1,2),
设直线AP 与平面BCF 所成角为�,
则sin�= |cos〈��Ԧ
ሬሬሬሬ, �Ԧሬ〉| =
|��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅�Ԧሬ|
|��Ԧ
ሬሬሬሬ||�Ԧሬ| =
8
4 2× 5 =
10
5 ,
故直线AP 与平面BCF 所成角的正弦值为
10
5 .
17.(15 分)(2026·黑龙江哈尔滨·三模)记△���的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,△���外接圆
的半径为6,且�cos�+ �cos�=
3�sin�−�cos�.
(1)求�;
(2)角�的平分线交��于点�,且��=
3,求△���的周长.
【答案】(1)3 2;
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(2)3 2 + 6
【解题思路】(1)由正弦定理和三角恒等变换,特殊角的三角函数值得到�=
π
3,由正弦定理可得�;
(2)根据三角形面积和余弦定理可得方程组,联立可得�+ �= 6,求出三角形周长
【解答过程】(1)�cos�+ �cos�=
3�sin�−�cos�,
由正弦定理得sin�cos�+ sin�cos�=
3sin2�−sin�cos�,
即sin�cos�+ sin�cos�=
3sin2�−sin�cos�,
sin �+ �= sin�
3sin�−cos�,
又sin �+ �= sin�,�∈0,π ,sin�> 0,
所以3sin�−cos�= 1,2sin �−
π
6 = 1,sin �−
π
6 =
1
2,
因为�∈0,π ,所以�−
π
6 ∈−
π
6 ,
5π
6 ,故�−
π
6 =
π
6,解得�=
π
3,
△���外接圆的半径为6,由正弦定理得
�
sin�= 2 6,
所以�= 2 6sin
π
3 = 3 2,
(2)�=
π
3,故∠���= ∠���=
π
6,
由三角形面积公式可得�△���=
1
2 ��sin�=
3
4 ��,
�△���=
1
2 ��⋅�sin∠���=
3
4 �,�△���=
1
2 ��⋅�sin∠���=
3
4 �,
�△���= �△���+ �△���,即
3
4 ��=
3
4 �+
3
4 �,��= �+ �,
在△���中,由余弦定理可得�2 = �2 + �2 −2��cos�,
即�2 + �2 −��= 18,故�2 + �2 + 2��= 18 + 3��,
因为��= �+ �,所以�+ �2 = 18 + 3 �+ �,解得�+ �= 6 或−3(舍去),
故△���的周长为�+ �+ �= 3 2 + 6.
18.(17 分)(2026·江苏泰州·模拟预测)已知椭圆�:
�2
�2 +
�2
�2 = 1(�> �> 0)的离心率为
3
2 ,短轴长为
2.
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(1)求椭圆�的标准方程;
(2)设直线�与椭圆�交于�,�两点,原点�到直线�的距离为
2 5
5 .
(ⅰ)记直线��,��的斜率分别为�1,�2,求证:�1�2为定值;
(ⅱ)求△���的面积的最大值及此时直线�的方程.
【答案】(1)
�2
4 + �2 = 1
(2)(i)证明见解析;(ii)△���的面积的最大值为1,直线�的方程为�+ 2�+ 2 = 0 或�+ 2�−2 = 0 或
�−2�+ 2 = 0 或�−2�−2 = 0.
【解题思路】(1)根据�、�、�之间的关系与离心率即可求解
(2)(i)利用坐标表示出�1、�2,根据韦达定理,将�1�2表示为�、�之间的关系式,结合距离即可证明;
(ii)利用弦长公式,表示出三角形面积,讨论范围即可;
【解答过程】(1)由题意知,
�
�=
3
2
2�= 2
�2 = �2 + �2
,
所以�= 2
�= 1 ,
所以椭圆�的标准方程为
�2
4 + �2 = 1.
(2)(i)当斜率�不为0 时,设直线�的方程为�= ��+ �,�(�1, �1) ,��2, �2 ,
联立
�2
4 + �2 = 1
�= ��+ �
得,(�2 + 4)�2 + 2���+ �2 −4 = 0,
�= 4�2�2 −4 �2 + 4
�2 −4 = 16 �2 −�2 + 4 > 0,
点�到�的距离�=
�
�2+1 =
2 5
5 ,所以4�2 −5�2 + 4 = 0,
�1�2 =
�1
�1 ·
�2
�2 =
�1�2
(��1+�)(��2+�) =
�1�2
�2�1�2+��(�1+�2)+�2,
根据韦达定理代入得,�1�2 =
�2−4
�2+4
�2· �2−4
�2+4+��·−2��
�2+4+�2 =
�2−4
�2�2−4�2−2�2�2+�2�2+4�2 =
�2−4
4�2−4�2 =
�2−4
4�2−(5�2−4) =
�2−4
4−�2 =−1,
当�斜率为0 时,不妨设�横坐标大于0,则此时�、�两点坐标为�(
2 5
5 ,
2 5
5 ),�−
2 5
5 ,
2 5
5
或�(
2 5
5 , −
2 5
5 ),
�−
2 5
5 , −
2 5
5
,
所以�1�2 =−1,
综上,�1�2 =−1 为定值.
(ii)当�斜率为0 时,�△���=
1
2 ×
4 5
5 ×
2 5
5 =
4
5,
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当斜率�不为0 时,�= 16 �2 −
4
5 (�2 + 1) + 4 =
16
5 (�2 + 16),
所以��=
1 + �2· �1 −�2 =
1 + �2·
4 5
5
�2+16
�2+4
,
因此�△���=
1
2 · 1 + �2·
4 5
5 ·
�2+16
�2+4 ·
2 5
5 =
4
5
1 +
9�2
�4+8�2+16,
则�△���=
4
5 · 1 +
9
�2+8+ 16
�2
≤
4
5 · 1 +
9
8+8 =
4
5 ×
5
4 = 1,
当且仅当�2 = 4,即�=± 2 时取等,所以�△���的最大值为1,
当�= 2 时,�=± 2,当�=−2 时,�=± 2,
所以直线�的方程为�+ 2�+ 2 = 0 或�+ 2�−2 = 0 或�−2�+ 2 = 0 或�−2�−2 = 0.
19.(17 分)(2026·江西·二模)已知函数��= e�−1 −�−
��2
�+1,其中�为实数,定义域为�∈−1, + ∞.
(1)当�= 1 时,求曲线�= ��在点1, �1
处的切线方程;
(2)若��≥0 对任意的�∈0, + ∞恒成立,求实数�的取值范围;
(3)证明:对任意的正整数�,都有
�=1
�
e
1
�
෍
> �+ ln �+ 1 +
�
2 �+1 .
【答案】(1) 4e −7 �−4�−3 = 0
(2) −∞,
1
2
(3)证明见解析
【解题思路】(1)分别求出�1 , �′ 1 ,结合点斜式求解;
(2)对��≥0 得e�−1 −�−
��2
�+1 ≥0 对任意的�∈0, + ∞恒成立,构造新函数��= �′ �,对��求导,
利用导数探讨函数单调性得实数�的取值范围;
(3)利用(2)的结论,构造函数不等式e�≥1 + �+
�2
2 �+1 ,令�=
1
�,再对�= 1,2⋯, �累加求和,又有�> ln 1 +
�在0, + ∞上恒成立,联立两式得证.
【解答过程】(1)当�= 1 时,��= e�−1 −�−
�2
�+1,则�1 = e1 −1 −1 −
12
1+1 = e −
5
2 ,
∵�′ �= e�−1 −
�2+2�
�+1 2,∴�′ 1 = e1 −1 −
12+2
1+1 2 = e −
7
4
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则曲线�= ��在点1, �1
处的切线方程为:�−e −
5
2 = e −
7
4
�−1
整理得:4e −7 �−4�−3 = 0.
(2)因为�′ �= e�−1 −�⋅
�2+2�
�+1 2,所以�′ 0 = 0
令��= e�−1 −�⋅
�2+2�
�+1 2,则�′ �= e�−
2�
�+1 3,故�′ 0 = 1 −2�
①当�>
1
2时,�′ 0 = 1 −2�< 0,而当�→+ ∞时,�′ �= e�−
2�
�+1 3 →+ ∞,
由零点存在性定理可知,∃�0 ∈0, + ∞,使得�′ �0 = 0.
当�∈0, �0 时,�′ �< 0, ��单调递减,故��< �0 = 0,
则��在0, �0 上单调递减,��< �0 = 0,与��≥0 恒成立相矛盾,故舍去.
②当�≤
1
2时,∀�≥0,有e�≥1,
2�
�+1 3 ≤
1
�+1 3 ≤1,则�′ �≥e�−
1
�+1 3
令ℎ�= e�−
1
�+1 3,则ℎ′ �= e�+
3
�+1 4 > 0,
故ℎ�在0, + ∞上单调递增,ℎ�≥ℎ0 = 0
则�′ �≥0, ��在0, + ∞上单调递增,��≥�0 = 0,
故��在0, + ∞上单调递增,��≥�0 = 0,符合题意.
综上,实数�的取值范围是−∞,
1
2 .
(3)证明:由(2)知,当�=
1
2时,∀�≥0,有��≥0,即e�≥1 + �+
�2
2 �+1 ,
当且仅当�= 0 时等号成立.
令�=
1
�> 0 �∈�* ,则有e
1
�> 1 +
1
�+
1
�
2
2
1
�+1 = 1 +
1
�+
1
2��+1 .
又∵
�=1
�
1
2��+1
෍
=
1
2 1 −
1
2 +
1
2 −
1
3 + ⋯+
1
�−
1
�+1 =
�
2 �+1
∴
�=1
�
e
1
�
෎
> �+
�=1
�
1
�
෎
+
�
2 �+ 1
构造函数��= �−ln 1 + �, �∈0, + ∞
∵�′ �= 1 −
1
1 + �=
�
1 + �> 0
∴��在0, + ∞上单调递增,��> �0 = 0,故有�> ln 1 + �在0, + ∞上恒成立.
令�=
1
��∈�* ,得
1
�> ln 1 +
1
�= ln �+ 1 −ln�
故
�=1
�
1
�
෍
>
�=1
�
ln �+ 1 −ln�
෌
= ln2 −ln1 + ln3 −ln2 + ⋯+ ln �+ 1 −ln�= ln �+ 1 .
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∴
�=1
�
e
1
�
෍
> �+ ln �+ 1 +
�
2 �+1 .
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