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专题 02 三角函数图像与性质
题型01 三角函数的图象和解析式
1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）（多选）函数 的部分图象如图所示，其中
， ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C． 在区间 恰有一个零点
D．将 图象向左移 个单位后关于 轴对称
【答案】ACD
【解题思路】根据 ，结合 的取值范围可求 的值，判断B的真假；在此基础上，再根据 可求
的值，判断A的真假；求函数 在区间 上的零点，判断C的真假；将函数 进行平移变换，求平
移后函数的解析式，判断其奇偶性，判断D的真假.
【解析】因为 ，又 ，所以 ，故B错误；
因为 ，由图可知， ，所以 ，故A正确；
所以 ，当 时， ，所以方程 在 上只有
即 一个解，即函数 在区间 恰有一个零点，故C正确；
将 图象向左移 个单位后可得 ，为偶函数，其图象关于
轴对称，故D正确.
2．（2026·湖北宜昌·二模）（多选）已知函数 的部分图象如图所示，则下列正确
的有（ ）
A．
B．
C． 是函数 的一条对称轴
D．函数 的图象可以由函数 的图象向左平移 个单位得到
【答案】ABD
【解题思路】根据函数 的图象，利用三角函数的性质，求得 ，结合三角函数的对称性，以
及图象变换，逐项判断，即可求解.
【解析】A，由函数 的图象，可得 ，可得 ，所以 ，所以A正确；
B，由 ，可得 ，可得 ，解得 ，因为 ，所以 ，所以B正确；
C，由 ，令 ，可得 ，
令 ，可得 ，所以 不是函数 的一条对称轴，所以C错误；
D，将函数 的图象向左平移 个单位，
可得 ，所以D正确.
3．（2026·广西河池·二模）如图，函数 的图象与 轴交于点 ，若 的最小
正周期为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】由函数周期可求得 ，又图象过点 ，可得 或 ，
再根据函数图象的单调性，可得 ，进而可求得 .
【解析】因为函数 的最小正周期为 ，即 ，所以 ，
所以 ，又函数 的图象与 轴交于点 ，
所以 ，即 ，
所以 或 ，当 时， ，
令 ，
解不等式得 ，
所以函数 在区间 上单调递增，
而当 时， ，
又 ，所以函数 在 附近单调递增，
与图象不符，所以 ，
当 时， ，
令 ，
解不等式得 ，
所以函数 在区间 上单调递减，
而当 时， ，
又 ，所以函数 在 附近单调递减，
与图象相符，所以 ，所以 ，
所以 ，故C正确.
4．（2026·山东青岛·一模）函数 （ ， ， ）的部分图像如图所示.(1)当 时，求 的单调递增区间；
(2)已知 ，且 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）根据图象，结合正弦函数的性质，可求函数 的解析式，再求函数的单调区间即可.
（2）根据同角三角函数的基本关系与两角和与差的余弦公式求值即可.
【解析】（1）由图可得 ， ，
所以 ，且 ， 得 ， ，
又因为 ，所以 ，所以 .
又因为 ， ，
解得 ， ，
所以 在 上的单调递增区间为 .
（2）因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，
即 ，所以 .所以 .
5．（2026·山东德州·一模）（多选）函数 的部分图象如图所示，则
（ ）
A．
B． 的图象关于点 对称
C．函数 在区间 上单调递增
D．若 在区间 上恰有一个最大值2和一个最小值 ，则实数 的取值范围为
【答案】ABD
【解题思路】根据周期以及最值可得 ，即可判断A，代入验证即可判断B，根据整体法求解
函数的单调性即可判断C，由整体法，结合三角函数的性质即可判断D.
【解析】由图可得 ，函数的最小正周期 ，又 ，所以 ，
则 ，由 ，得 ， ，
解得 ， ，又 ，所以 ，故A正确；
由上分析，得故 ，因为 ，故函数 的图象关于点 对称，故B正确；
令 ， ，解得 ， ，
故函数 的单调递增区间为 ，
π π
令 ， ，解得kπ− ≤x≤kπ+ ， ，
6 3
π π
故函数 的单调递减区间为[kπ− ,kπ+ ]， ，
6 3
则函数 在区间 上单调递减，在 上单调递增，故C错误；
当 时，则 ，
要使 在区间 上恰有一个最大值2和一个最小值 ，
需使 ，解得 ，故D正确.
故选：ABD.
6．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）（多选）函数 的图象如图所示，则下列说法中
正确的是（ ）
A．
B．函数 的图象关于点 对称C．将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象
D．若方程 在 上有2个不相等的实数根，则 的取值范围是
【答案】BC
【解题思路】根据图象可确定 ，判断A的真假；利用 可验证B的真假；利用函数的平移变换结合诱
导公式，可判断C的真假；利用换元法，结合函数图象可求 的取值范围，判断D的真假.
【解析】由题意： ， ，
又 ，所以 ， ，故A错误；
对B：因为 ，所以 ，所以函数 的图象关于点 对称，
故B正确；
对C：将函数 的图象向左平移 个单位长度，可得：
，故C正确；
对D： ，当 时， .
设 ， ，若要 在 上有两个不相等的实数根，
由下图可知：
，故D错误.
题型02 图像平移变换7．（2026·浙江·模拟预测）将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】先求出平移变换后函数 的解析式，然后计算 即可.
【解析】函数 的图象向左平移 个单位得到：
，
所以 ，
故选：A.
8．（2026·贵州毕节·二模）（多选）将函数 的图象向左平移 个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，
纵坐标不变，得到函数 的图象，则（ ）
A．函数 的图象的一条对称轴为直线
B．函数 的图象的一个对称中心为
C．函数 的周期为
D．不等式 的解集为
【答案】BD【解析】将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到 ，
将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得到函数 ，
选项 A： 的对称轴为 ， 不是它的对称轴，A 错误；
选项 B： 的对称中心为 ，当 时，对称中心为 ，B 正确；
选项 C： 的周期为 ，不是 ，C 错误；
选项 D：解不等式 ，得： ，
所以不等式 的解集为 ，D 正确.
9．（2026·贵州黔东南·模拟预测）将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图
象，则 图象的对称中心的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得 ，
令 ，得 ，此时 ，
所以 图象的对称中心是 .
10．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）（多选）已知函数 的部分图像如图
所示，且阴影部分的面积为 ，则下列说法正确的有（ ）A．函数 的最小正周期为
B． 为函数 的一个对称轴
C．要得到函数 ，需将函数 向右平移 个单位长度
D．函数 在区间 上单调递增
【答案】ABD
【解题思路】先确定 ，再结合正弦型函数的性质及平移变换逐项判断即可．
【解析】如图， ，
由对称性可知，阴影部分的面积等于矩形 的面积，即 ，
解得 ，函数 的最小正周期为 ，故A正确；
，解得 ，又函数 过点 ，
，解得 ，
， ，
则 ，又 ，为最小值，
所以 为函数 的一个对称轴，故B正确；要得到函数 ，需将函数 向右平移 个单位长度，故C错误；
， ，
因为 在 上单调递增，且 ，
所以函数 在区间 上单调递增，故D正确．
故选：ABD．
11．（2026·河北保定·一模）将函数 的图象先向右平移 个单位长度，再将其横坐标缩短到原来的 ，
纵坐标不变，得到函数 的图象，则 图象的对称中心的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】借助平移及伸缩变换性质可得 ，再利用正弦函数性质结合整体思想计算即可得解.
【解析】将函数 的图象向右平移 个单位长度，可得 ，
将其横坐标缩短到原来的 ，可得 ，即 ，
令 ，解得 ，
即 图象的对称中心的坐标为 .
12．（2026·山东青岛·一模）把函数 图像上所有点的横坐标扩大为原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲
线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】根据函数图像的平移及逆向变换思路求解即可.
【解析】函数 的图像向左平移 个单位长度，得到 .
所有点的横坐标缩小为原来的 倍，纵坐标不变，得到 .
又 ，所以 .
13．（2026·湖北襄阳·一模）把函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲
线向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】根据函数图像平移和伸缩的性质即可求解.
【解析】把函数 图象向右平移 个单位长度，得到 ，再将
图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到 .
14．（2026·辽宁沈阳·一模） 且
(1)求函数 的最小正周期；
(2)将函数 图象上所有的点向左平移 个单位后得到函数 的图象，当 时，求函数的值域；
(3)说明函数 的图象经过怎样的变换能得到函数 的图象，写出一个变换过程.
【答案】(1)
(2)
(3)详细见解析
【解题思路】（1）先根据向量数量积公式求出 的表达式，再利用三角函数公式化简，最后根据周期公式求
最小正周期；（2）根据三角函数图象的平移规律得到 的表达式，然后结合给定区间求出的值域；（3）
利用三角函数的图象变换，即可写出变换过程.
【解析】（1）根据题意知
，
根据正弦函数的周期公式 ，
所以 最小正周期为 .
（2）根据“左加右减”的原则，可得 ，
已知 ，则 ，
当 时， 取最大值，最大值为 ，
当 时， 取最小值，最小值为 ，
所以当 时，函数 的值域为
（3）把 的图象上所有点向右平移 个单位得到 的图象；再把 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变得到的图象 ，
再把 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 倍，横坐标不变得到 .
题型03 三角函数性质综合
15．（2026·内蒙古赤峰·一模）（多选）函数 的图象过点 ，该函数图象在 轴
右侧的第一个对称中心为 ，且 为一条对称轴，下列有关函数 正确的表述是（ ）
A． B． 图象的对称轴为
C． 图象的对称中心为 D． 在 上的最大值为
【答案】AC
【解题思路】先由函数经过的点及对称中心、对称轴可得 ， ，进而再整体代入判断各个选项可得.
【解析】由函数 的图象在 轴右侧的第一个对称中心为 ，得 ，即 ，
由 为函数 的一条对称轴，得 ，则 ，
由 ，得 ，则 或 ，
由函数 的图象过点 ，得 ，
当 时， ， ，不符合题意，
当 时， ， ，符合题意，因此 ，A正确；
对于B， ， ，
不是函数 的对称轴，B错误；对于C， ，则 是函数 的对称中心，C正确；
对于D，当 时， ， ，
所以函数 在 上的最大值为2，D错误.
16．（2026·重庆·一模）（多选）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 在 上恰有三个零点，则
B．若 在 上恰有三个零点 ，则
C．若 在 单调递增，则
D．若 向左平移 后的图象与 图象关于 对称，则
【答案】ABD
【解题思路】对于A，根据正弦函数零点表达式分析即可；对于B，由选项A可知
，代入即可求值；对于C，根据正弦函数的单调区间，确定区间端点满
足的不等式求解即可；对于D，根据三角函数图象平移的解析式，结合对称性判断即可.
【解析】A，令 ，即 ，解得 或 ，
当 时，可得 ，要使 在 上恰有三个零点，
则需 ，解之可得 ，故A正确；
B，由A可知 ，
所以 ，所以 ，故B正确；
C，由正弦函数的单调递增区间可知 ，
取 ，则 ，若 在 单调递增，则需 ，
因 ，则只需 ，则 ，则 ，故C错误；
D，根据平移规则可知平移后函数为 ，
图象与 图象关于 对称，则 ，
代入得 ，
化简可知 ，继续化简可得 ，故D正确.
17．（2026·湖北黄石·一模）（多选）已知函数 ，则下列命题正确的有（ ）
A．函数 的图象关于点 对称
B．函数 的最大值是2
C．若实数 使得方程 在 上恰好有三个实数解 ，则
D． 是函数 的单调递减区间
【答案】BC
【解题思路】首先化简函数，分别求函数的单调性，对称性及值域，选项C将函数数形结合，转化为交点问题.
【解析】
若函数图象关于点 对称，则 .但是 ，所以A错误；因为 的最大值为1，所以 的最大值为 ，所以B正确；
方程 在 上恰好有三个实数解，即 在 有三个解，
此时 ，对应的三个解为： ，则 ，所以C正确；
求 的单调递减区间： ，解得 ，所以D错误.
18．（2026·河南开封·模拟预测）（多选）对于函数 和函数 ，则下列正确的有（ ）
A． 与 有相同的最小正周期 B． 与 有相同的零点
C． 在区间 上单调递增 D． 与 的图象有相同的对称轴
【答案】ABD
【解题思路】根据正弦函数和正切函数的图像性质即可求解.
【解析】对于A选项，函数 的最小正周期为 ，正弦函数加绝对值后，最小正周期变为原来的 ，
所以 的最小正周期为 ；
的最小正周期为 ，正切函数加绝对值后，最小正周期不变，所以 的最小正周期为 ，故A正确；
对于B选项，令 得 ，解得 ，
令 得 ，解得 ，故B正确；
对于C选项，取 ，则 ，取 ，则 ，因为 ， ，所
以函数 一定不是单调递增，故C错误；对于D选项，函数 的对称轴为 ，解得 ，
函数 的对称轴为 ，解得 ，故D正确.
综上所述，选项ABD都正确.
19．（2026·陕西咸阳·二模）（多选）已知函数 ， 为 的一个零点，
的图象关于点 对称，且 在 上单调递增，则（ ）
A．
B．
C．
D． 在 上单调递增
【答案】AC
【解题思路】先由函数的性质可得 ， ，进而可得 ，从而判断各个选项可得.
【解析】因为 的一个零点为 ， 的图象关于点 对称，且 在 上单调
递增，
所以 ，所以 ，A正确；
由 及 ，得 ，B错误；
所以 ，C正确；
因为 时， 不存在，因为 ，所以函数 在 上单调递增，故D错误．
20．（2026·河北邯郸·一模）（多选）已知函数 ，则（ ）
A． 是奇函数 B． 的最小正周期为
C． 在 上单调递增 D． 的值域为
【答案】AC
【解题思路】利用奇偶性的定义判断A，由三角恒等变换化简函数式为 ，结合正切函数的性质判断
B、C，特殊值法说明D即可.
【解析】由 ，得 ，则 的定义域关于原点对称，
且 ，所以 是奇函数，A正确．
由 ，
其最小正周期 ，且在 上单调递增，B不正确，C正确．
由 ，可得 ，则 ，D不正确．
强化训练
1．（2026·云南·模拟预测）如图为函数 的部分图象， ， 为图
象与 轴的两个交点坐标，则 （ ）A． B．0 C． D．
【答案】B
【解题思路】根据图象得到函数 解析式，根据周期计算即可.
【解析】由图可知， ， ，则
所以 ， ， ，
解得 ， ．因为 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ．
2．（2026·福建福州·模拟预测）当 时，函数 的零点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解题思路】令 ，然后通过分析方程 在给定区间 内的解的个数来确定函数
的零点个数.
【解析】令 ，即 ，移项可得 ，
对于 ，其周期 ；对于 ，其周期 ；
当 时，画出两个函数图象为：由图象可以看出，方程 在给定区间 内的解的个数为6，
所以函数 的零点个数为6.
3．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，函数 的图象与 轴交于点 ，与直线
的两个交点为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．-1
【答案】C
【解析】由 ，可知 ，在 处函数单调递减，则 ，
因为 时相邻两解差的绝对值的最小值为 ，
所以 ，解得 ，则 ，
所以 ．4．（2026·浙江宁波·二模）若关于 的方程 在 上恰有3个根 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】考察函数的对称性，作出图像，寻求交点间的对称性，得到等式求解即可.
【解析】
如图作出 的函数图象，其中 ， 是函数 的对称轴，
当 与 的有三个交点时，有 ， ，
所以 ， ，
所以 .
5．（2026·广东深圳·一模）函数 的最小正周期为 ，其图象的对称中心可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知， ，所以 ，故 .
令 ， ，则 ， ，
所以该函数的对称中心为 ， ，显然只有A符合.
6．（2026·江西南昌·一模）已知函数 的部分图象如图所示，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】由图得 求 ，再由 求 ，进而得到解析式，即可求函数值.
【解析】由图知 ，则 ，得 ，
由 ，则 ， ，
所以 ，则 ，故 .
7．（2026·安徽安庆·二模）已知函数 的部分图象如图所示，则该函数图象的一
条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由图像可知，当 时， ，代入 得：
，又因为 ，因此 ，
又由图像可知，当 时， ，且该点是函数下降段的零点，则代入得： ， ，
又由图像可知周期 满足， ，
所以只能取 ，得 ，因此函数解析式为： ,
再由正弦函数的对称轴满足： ，
令 ，得 .
8．（2026·陕西榆林·模拟预测）（多选）已知直线 与函数 的图象中相邻两支曲线的
交点的横坐标分别为 ，且 ，则（ ）
A．
B．函数 的定义域为
C．点 是函数 的图象的一个对称中心
D．函数 与函数 的图象在 上的交点个数为4
【答案】BCD
【解题思路】利用函数最小正周期求出 判断选项A；利用解析式求正切型函数的定义域判断选项B；整体代入法
求函数的对称中心判断选项C；作出函数图象得交点个数判断选项D．
【解析】由题意可知，函数 最小正周期 ，
则有 ，故 ，A项错误；
因为 ，所以 ，
所以 ，B项正确；
令 ，解得 ，则函数 图象的对称中心为 ，
令 ，故 是 图象的一个对称中心，故C项正确；
画出函数 与函数 的图象，
易知两函数图象在 上共有4个交点，故D项正确．
9．（2026·河南许昌·模拟预测）（多选）将函数 的图象向左平移 后得到函数
的图象，若 是偶函数，则（ ）
A．
B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 在 上单调递增
D．函数 在 上的所有零点之和为 ，则 的取值范围是
【答案】BC
【解题思路】先由平移变换得 ，再 是偶函数，得 ，进而可得
及 ，再结合三角恒等变换得 ，根据正弦函数的性质可判断BC选项，对D，将函数的零点转化为函数 与 图象在 上的交点的横坐标，进而转化为函数 在
与 交点的横坐标，从而可判断结果.
【解析】因为函数 的图象向左平移 后得到函数 的图象，
所以 ，又因为 是偶函数，
所以 ，得 ，即 ，
再由 ，所以 ，所以A错误；
对于B，因为 ，所以 ，
所以函数 的图象关于点 对称，B正确；
对于C，因为 ，
所以
，
因为 ，所以 ，函数 在 单调递增，C正确；
对于D，因为 ，
所以函数 在 上的零点，转化为函数 与 图象在 上的交点的横坐标，
令 ，所以函数 在 有两条对称轴 和 ，如图：当 时，函数 与 有两个交点，且关于 对称，
即 ，所以 ，得 .
当 时，函数 与 有3个交点， ，
，所以 ，得 .
所以函数 在 上的所有零点之和为 ，则 ，D错误.
10．（2026·黑龙江·一模）（多选）已知函数 ，下列说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期为
B． 的一条对称轴为
C． 在区间 内单调递增
D．将函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，所得图像关于 轴对称
【答案】AB
【解析】对于A， 的最小正周期为 ，A正确；
对于B，由 ，得 图象的一条对称轴为 ，B正确；
对于C，由 ，得 ，则函数 在 上不单调，C错误；
对于D，将函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度得 的图象，
而函数 是奇函数，其图象关于原点成中心对称，D错误.11．（2026·江苏·一模）（多选）已知函数 ， ，则下列结论正确的有
（ ）
A．曲线 与曲线 存在相同的对称中心
B．曲线 与曲线 存在相同的对称轴
C．曲线 向左平移 个单位得到曲线
D．曲线 与曲线 关于 轴对称
【答案】AC
【解析】选项A，因为 ，
令 ， 得 ，所以 的对称中心为 .
因为 ，令 ，得 ，所以 的对称中心为 .
假设存在相同对称中心，则 ，
化简得 ，当 时， ，所以存在相同对称中心 ，A正确.
选项B， ：令 ，得 ，对称轴为 .
：令 ，得 ，对称轴为 .
假设存在相同对称轴，则 ，化简得 ，
左边为偶数，右边为奇数，无整数解，所以曲线无相同对称轴，B错误.
选项C， ，平移 个单位，得：，C正确.
选项D，若 与 关于 轴对称，则需满足 .
因为 ，而 ，
显然 与 不能恒相等，所以两曲线不关于 轴对称，D错误.
12．（2025·江西九江·三模）若将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，则
______．
【答案】 /
【解题思路】先根据余弦函数相位变换及诱导公式求得函数 解析式，然后利用特殊角的余弦值求解即可.
【解析】将函数 的图象向左平移 个单位长度，所得图象对应的函数解析式为
，
所以 ．
故答案为：
13．（2025·江西景德镇·三模）函数 的最小正周期为 ，将 的图象向右平移
个单位得到函数 的图象，则 在区间 上的值域为__________．
【答案】
【解题思路】先根据周期求出 ，再利用图象变换求出 ，再根据 的范围计算 的范围，即可求的范围，得出 的值域.
【解析】因 的最小正周期为 ，则 ，故 ，
则 ，
因 ，则 ，
则 ，则 ，
故 在区间 上的值域为 ．
故答案为：
14．（25-26高三上·安徽阜阳·月考）将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，
则 ______.
【答案】
【解题思路】先根据平移变换法则求得 ，然后利用诱导公式及特殊角的正切值求解即可.
【解析】因为 ，
所以 .故答案为：
15．（25-26高三下·安徽·月考）已知函数 的最大值为1.
(1)求 的值；
(2)将 的图象上所有点的横坐标缩小为原来的 ，得到函数 的图象，求 的单调递减区间以及 在
区间 上的值域.
【答案】(1)
(2) ，值域为
【解题思路】（1）先结合余弦的两角和差公式及辅助角公式对 进行化简，然后结合余弦函数的性质即可求
解；
（2）对 进行伸缩变换，得到 ，再结合余弦函数的图像性质即可求解.
【解析】（1）由题意，
，
当 时， 取得最大值，即 ，
又函数 的最大值为1，即 ，解得 ；
（2）由（1）得 ，将 的图象上所有点的横坐标缩小为原来的 ，得到 ，
令 ，解不等式得 ，
所以函数 的单调递减区间为 ，
当 时，则 ，所以 ，
所以 ，即 在区间 上的值域为 .
16．（2026·河北·一模）已知函数 ．
(1)求 的最小正周期和单调递增区间；
(2)将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象，若 在 上有2个零点，求实数 的取
值范围．
【答案】(1) ，
(2)
【解题思路】（1）利用三角恒等变换化简，再根据正弦函数的周期公式和单调递增区间即可求解；
（2）利用三角函数图象变换法则求得 ，将方程根的问题转化为函数 在 上的图象与
有两个交点，画出图像，数形结合求解即可.
【解析】（1）
，
所以 的最小正周期为 ，
令 ，解得 ，所以 的单调递增区间为 ；
（2）由题可知， ，
当 时， ，由 得 ，
由 得 ，
因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
令 ，则 ，即 ，
又函数 在 上有2个零点等价于函数 在 上的图象与 有两个交点，
在同一坐标系内作出直线 与函数 在 上的图象，如图，
观察图象知，当 时，直线 与函数 在 上的图象有两个交点，
所以实数 的取值范围是 ．
17．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 的最小正周期；
(2)求函数 在 上的最小值．
【答案】(1)
(2)【解题思路】（1）利用诱导公式以及二倍角公式化简函数解析式为 ，利用周期公式计
算即得；
（2）利用三角恒等变换将函数解析式化为 ，结合 与正弦函数的性质即
可求得其最小值.
【解析】（1）函数 ，
所以 ，
所以函数 ，
所以函数 的最小正周期为 ．
（2）函数
，
当 时， ，
故当 时，即 时，函数 取得最小值为 ．
18．（2026·云南·模拟预测）已知二次函数 ，且 的解集为 ．
(1)求函数 的解析式；
(2)若函数 ，求 在区间 上的值域．
【答案】(1)(2)
【解题思路】（1）根据二次不等式解集与方程根的关系，结合韦达定理求解即可.
（2）对 变形化简，结合函数的单调性求解即可.
【解析】（1）因为 的解集为 ，所以 ，且 的两根为 和2.
所以 ， ，解得 ， .
所以 .
（2） .
因为 ，所以 ，令 ，则 .
又 在 上单调递增， ， ，
所以 在 上的值域为 ，
即 在区间 上的值域为 .
