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第四章 因式分解压轴题
1．若
，则关于
的说法正确的是（ ）．
A．是正整数，而且是偶数
B．是正整数，而且是奇数
C．不是正整数，而是无理数
D．无法确定
【答案】B
【分析】设
，将根号下的整式通过加添项凑成完全平方式，去掉根号，再根据整式的性质进行判
断正负性和奇偶性，本题考查了运用完全平方公式分解因式，解题的关键是：熟练掌握完全平方公式，及
加添项的分解因式技巧．
【详解】设
，
是偶数，
是奇数，选项
符合题意，
故选：
．
2．如果一个四位自然数
的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足
，那么称这个四位
数为“和方数”．例如：四位数2613，因为
，所以2613 是“和方数”；四位数2514，因为
，所以2514 不是“和方数”．若
是“和方数”，则这个数是 ；若四位数M 是
2
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“和方数”，将“和方数”M 的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若
能被33 整除，则满足条件的M 的最大值是 ．
【答案】 8354 6213
【分析】本题考查了新定义下的实数运算，一元一次方程的应用，因式分解的应用．理解新定义，正确推
理计算是解题关键．根据“和方数”的定义求解即可；设这个四位数
，则
，再结合
“和方数”的定义，得出
，再由
能被33 整除可知
是整数，
得到满足条件的
的值为，进而得出满足条件的等式，即可得到M 的最大值．
【详解】解：
是“和方数”，
，
解得：
，
这个数是8354；
设这个四位数
，则
，
，
四位数M 是“和方数”，
，
，
能被33 整除，
是整数，且
，
，
，
，
满足条件的
的值为，
，
满足条件的等式为
，
满足条件的M 的最大值是
，
故答案为：8354；6213．
3．如果一个三位正整数
可以表示为
的形式，其中
为正整数，则称
为“幸运数”．例如：
三位数
，
，∴
是“幸运数”；又如：三位数
，
，∴
不是“幸运数”、根据题意，最大的“幸运数”为 ；
若
与
都是“幸运数”，且
，则所有满足条件的
的和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义的运算，因式分解，根据“幸运数”的定义即可得到最大的“幸运数”； 设
，
，得到
，由
分情况即可求出满足条件的
的值，即可求解；理解“幸运
数”的定义及运算是解题的关键．
【详解】解：∵
，
，
∴最大的“幸运数”为
；
∵
与
都是“幸运数”，
设
，
，
∴
，
∵
，
∴
或
或
或
或
，
解得
（不符）或
（不符）或
（不符）或
或
，
∴满足条件的
为
和
，
∴所有满足条件的
的和
，
故答案为：
，
．
4．一个四位正整数m，如果m 满足各个数位上的数字均不为0，千位数字与个位数字相等，百位数字与十
位数字相等，则称m 为“对称数”，将m 的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到一个
4
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新数
，记
．例如：对称数
时，
，则
．已知
s、t 都是“对称数”，记s 的千位数字与百位数字分别为a，b，t 的千位数字与百位数字分别为x，y，其中
，
，
，a，b，x，y 均为整数．若
能被8 整除，则
；同时，若
、
还满足
，则
所有可能值的和为 ．
【答案】 8 55
【分析】根据“对称数”定义表示出
，
，得到
，根据
能被8 整除，
，得到
；同理得
，根据条件，得到
，由
，
得到
，
，得到
，根据x，y 均为整数，分别列举出x，y 的值代入
求和即可．
【详解】解：
s 的千位数字与百位数字分别为a，b，
，
，
，
能被8 整除，且
，
；
同理得
，
，
，
，
，
，
，
，即
，
x，y 均为整数，
当
时，
，符合题意，此时
；
当
时，
，不符合题意；
当
时，
，符合题意，此时
；
当
时，
，不符合题意；
当
时，
，不符合题意；
当
时，
，符合题意，此时
；
当
时，
，不符合题意；
当
时，
，不符合题意；
当
时，
，符合题意，此时
；
所有可能值的和为：
，
故答案为：8，55．
【点睛】本题考查了新定义，因式分解的应用，数的整除性，关键是正确理解新定义，利用代数式的值进
行相关分类讨论，把新知识转化为熟悉的知识进行解答．
5．“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流．流水浅
洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋．”其意境与韵味读起来都是一种美的享受．在数学中也有这样一类数有这样
的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如
，
等．下列几个命题中：
（1）
是“回文数”；
（2）所有两位数中，有个“回文数”；所有三位数中，有
个“回文数”；
（3）任意四位数的“回文数”是
的倍数；
（4）如果一个“回文数”
是另外一个正整数
的平方，则称
为“平方回数”．若是一个千位数字为
1 的四位数的“回文数”，若
，且s 是一个“平方回数”，则
．
其中，真命题有 ．（填序号）
【答案】（1）（3）（4）
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【分析】根据“回文数”的定义进行分析即可求解．
【详解】解：（1）根据定义
正读倒读都一样，故
是“回文数”；（1）是真命题；
（2）两位数的“回文数”为：
，
，
，
，
，
，
，
，
，合计个；
三位数的“回文数”中，百位和个位是的为：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
合计
个，同理百位和个位是
的有
个，依次类推，则三位数的“回文数”合计
个；（2）
是假命题；
（3）设任意四位数
的“回文数”千位，百位，十位，个位上的数字分别为
，
，，
，则
，
根据定义，
，
，
∴
，
∴
是
的倍数；（3）是真命题；
（4）若是一个千位数字为1 的四位数的“回文数”，设百位和十位上的数字为，
则
，
又∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
即
，
又∵是一个“平方回数”，
∴
，
∴
，
解得：
，
∴
；（4）是真命题；
故答案为：（1）（3）（4）．
【点睛】本题考查了因式分解，新定义，不等式的性质等，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键．
6．定义：任意两个数a，b，按规则
运算得到一个新数c，称所得的新数c 为a，b 的“和
积数”．
(1)若
，
，求a，b 的“和积数”c；
(2)若
，
，求a，b 的“和积数”c；
(3)已知
，且a，b 的“和积数”
，求b（用含x 的式子表示）并计算
的最小
值．
【答案】(1)
；
(2)
或
；
(3)
，
有最小值为
．
【分析】（1）把
，
代入c 中求值即可；
（2）利用完全平方公式求出
，得到
的值，进而得到c 的值；
（3）把a，c 的值代入，化简得
，分
和
两种情况讨论，即可得
出答案．
【详解】（1）解：∵
，
，
∴
，
∴a，b 的“和积数”
；
（2）解：∵
，且
，
，
∴
,
∴
．
∴
或
；
即
或
；
（3）解：由题意，
，
∵
，
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，
∴
．
①若
，式子
变为
．
∴b 为任何数，
不存在最小值；
②若
，又
，
∴
，
∴
，
∴
．
∴当
时，
有最小值为
．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并灵活运用．
7．若一个四位数
的百位数字与千位数字的差恰好是个位数字与十位数字的差的
倍，则将这个四位数
称作“星耀重外数”．例如：
，∵
，∴
是“星耀重外数”；又如
，∵
，∴
不是“星耀重外数”．
(1)判断
，
是否是“星耀重外数”，并说明理由；
(2)一个“星耀重外数”
的千位数字为
，百位数字为
，十位数字为，个位数字为
，且满足
，记
，当
是整数时，求出所有满足条件的
．
【答案】(1)
不是“星耀重外数”，
是“星耀重外数”，理由见解析；
(2)
或
或
或
或
【分析】本题考查因式分解的应用和新定义，运用了分类讨论的思想，理解新定义是解题的关键．
（1）根据题干中的新定义判定求解；
（2）根据新定义将
化为
，
由题意可得：
为整数，从而推导出
是
的整数倍，利用因式分解
，结合
，可得
，
，再分四种情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵
，
∴
不是“星耀重外数”；
∵
，
∴
是“星耀重外数”．
∴
不是“星耀重外数”，
是“星耀重外数”．
（2）∵一个“星耀重外数”
的千位数字为
，百位数字为
，十位数字为，个位数字为
，
，
∴
，且
，
，，
均为正整数，
∴
，
∴
，
∴
，
由题意可得：
为整数，
又∵
是整数，
∴
是
的整数倍，
∵
，
又∵
，
∴
，
，
∴有以下几种情况：
10
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当
，
时，即
，
，
∴
，
，
此时
为
；
当
，
时，即
，
，
∴
，
解得：
，
，
此时
为
或
；
当
，
时，即
，
，不符合题意；
当
，
时，即
，
，不符合题意；
当
，
时，即
，
，
此时
为
当
时，
，则
，即
综上所述，满足条件的
的值为
或
或
或
或
．
8．已知一个各个数位上的数字均不为0 的四位正整数
，以它的百位数字作为十位，个位
数字作为个位，组成一个新的两位数s，若s 等于M 的千位数字与十位数字的平方差，则称这个数M 为
“平方差数”，将它的百位数字和千位数字组成两位数
，个位数字和十位数字组成两位数
，并记
．
例如：6237 是“平方差数”，因为
，所以6237 是“平方差数”；
此时
．
又如：5135 不是“平方差数”，因为
，所以5135 不是“平方差数”．
(1)判断7425 是否是“平方差数”？并说明理由；
(2)若
是“平方差数”，且
比M 的个位数字的9 倍大30，求所有满足条件的“平方差
数”M．
【答案】(1)是，理由如下
(2)
【分析】（1）根据“平方差数”的定义计算即可；
（2）由M
是“平方差数”，得
，由
比M 的个位数字的9 倍大30，得
，进而得
，结合分解分数的方法分解并分情况讨论即可．
【详解】（1）解： 7254 是“平方差数”．理由如下：
∵
，
7254
∴
是“平方差数”．
（2）∵
是“平方差数”，
∴
，
∵
比M 的个位数字的9 倍大30，
∴
，即
，
∴
，
即
．
∵
且均为30 的正因数，
∴将30 分解为
或
或
．
①
，
解得
，
∵
，
∴
；
②
，
解得
，
12
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∵
，
∴
（舍）；
③
，
解得
，
∵
，
，
∴
（舍）或5214．
∴
．
【点睛】本题主要考查因式分解的应用，解答的关键是理解“平方差数”，明确条件与所求的关系．
9．一个两位数M，若将十位数字2 倍的平方与个位数字的平方的差记为数N，当N＞0 时，我们把N 放在
M 的右边将所构成的新数叫做M 的“叠加数”．
例如：M＝47，∵N＝(2×4)2－72＝15>0，∴47 的“叠加数”为4715；
M＝26，∵N＝(2×2)2－62＝－20＜0，∴26 没有“叠加数”．
(1)请判断3420 和5846 是否为某个两位数的“叠加数”，并说明理由；
(2)两位数M＝10a＋b（1≤a≤9,1≤b≤4，且a、b 均为整数）有“叠加数”，且12a－M－N 能被13 整除，求
所有满足条件的两位数M 的“叠加数”．
【答案】(1)3420 是34 的“叠加数”； 5846 不是58 的“叠加数”；
(2)71195 或83247 或5484 或62140．
【分析】（1）根据“叠加数”定义计算验证即可，
（2）根据“叠加数”将12a－M－N 转化为关于a、b 的代数式，再分解因式，结合12a－M－N 能被13 整
除以及a、b 的取值范围即可求解．
【详解】（1）解：M＝34，∵N＝(2×3)2－42＝20>0，∴34 的“叠加数”为3420；
M＝58，∵N＝(2×5)2－82＝36＜0，∴58 的“叠加数”为5836；
3420
∴
是34 的“叠加数”； 5846 不是58 的“叠加数”；
（2）解：∵M＝10a＋b，
∴N＝(2a)2－b2，
12
∴
a－M－N；
，
，
，
12
∵
a－M－N 能被13 整除，1≤a≤9,1≤b≤4，且a、b 均为整数；
∴
和
至少有一个能被13 整除，
1≤
∵
a≤9，1≤b≤4，
2≤
∴
≤17，-21≤
≤-2，
当
=13 时，a=7，b=1 或a=8，b=3；
当
=-13 时，a=5，b=4 或a=5，b=2，
当a=7，b=1 时，M 的叠加数为71195；
当a=8，b=3 时，M 的叠加数为83247；
当a=5，b=4 时，M 的叠加数为5484；
当a=6，b=2 时，M 的叠加数为62140．
综上，满足条件的两位数M 的“叠加数”为71195 或83247 或5484 或62140．
∴
或
，
当
时，
若
，则
，
，其“叠加数”为71224；
若
，则
，
，其“叠加数”为83247；
当
时，
若
，则
，
，其“叠加数”为5296；
若
，则
，
，其“叠加数”为4448；
故满足条件的两位数M 的“叠加数”为71224、83247、5296、4448．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题关键是读懂题目理解“叠加数”的定义．解问题（2）要
注意整除实际上时分解因式后有一个因式等于13 或是13 的整数倍．
10．材料：把多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：
．
(1)分解因式：
(2)若a，
都是正整数且满足
，求
的值；
(3)若a，b 为实数且满足
，
，求S 的最小值．
【答案】(1)
(2)
14
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(3)S 的最小值为6
【分析】本题考查了分组分解法因式分解，完全平方的非负性质，整体代入是解题的关键．
（1）根据题意分组分解即可；
（2）将
变形为
，再按照分组分解法可得
，根据a，
都是正
整可求出a、b 的值，进而可求出
的值；
（3）先由
得
，然后整体代入S 中得
，再将S 分组，
然后转化成
，根据完全平方的非负性，即可求出S 的最小值．
【详解】（1）
；
（2）由
得，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得
，
，
；
（3）由
得，
，
，
，
，
，
当
，
时，
，
∴S 的最小值为6．
11．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将
因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
；
解法二：原式
．
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式
法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方
程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】（1）请用分组分解法将
因式分解；
【挑战】（2）请用分组分解法将
因式分解；
（3）若
，
，请用分组分解法先将
因式分解，再求值．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由
，
，整体代入得出答案
即可．
此题主要考查了分组分解法，提取公因式法，公式法分解因式，以及整体代入法求代数式的值，正确分组
再运用提公因式法或公式法分解因式，是解决问题的关键．
【详解】（1）
16
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；
（2）
；
（3）
．
当
，
时，原式
．
12．如图①，在平面直角坐标系中，点A，点B 分别在x 轴负半轴和y 轴正半轴上，点C 在第二象限，且
，
，点 B 的坐标为
，点 C 的纵坐标为n，满足
．
(1)求点A 的坐标；
(2)如图②，点D 是
的中点，点E，F 分别是边
，
上的动点，且
，在点E，F 移动过程
中，四边形的面积是否为定值？请说明理由；
(3)在平面直角坐标系中，是否存在点P，使得
是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出
满足条件的点P 的坐标.
【答案】(1)
(2)四边形
的面积是定值；理由见解析；
(3)
或
【分析】（1）过点A 作x 轴垂线
，过点C 作y 轴垂线
，延长
，与
交于M，证明
，得出
，求出
，即可求出结果；
（2）连接
，证明
即可得出结论；
（3）过A 作
垂线，使
延长
,使
分别过
向x 轴作垂线，垂足为G，K，证明
，
，得出
，
，求出
，
，得出
，
即可．
【详解】（1）解：
，
，
∴点
，
过点A 作x 轴垂线
，过点C 作y 轴垂线
，延长
，与
交于M，则
，
∴
，
，
18
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∵在
和
中
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴点A 的坐标为
；
（2）解：四边形
的面积是定值；理由如下：
连接
，
∵
，D 为
的中点，
，
∴
，
平分
，
∴
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
∴
∴
；
（3）解：过A 作
垂线，使
延长
,使
分别过
向x 轴作垂线，垂足为G，K，
如图所示：
则
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
同理得：
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴满足条件的点的坐标为
或
．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，坐标与图形，非负数的性质，等腰三角形的性质，解
题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定．
13．在x 轴正半轴上有一定点A，
．
20
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(1)若多项式
恰好是某个整式的平方，那么点A 的坐标为__________；
(2)如图1，点P 为第三象限角平分线上一动点，连接
，将射线
绕点A 逆时针旋转
交y 轴于点Q，
连接
，在点P 运动的过程中，当
时，求
的度数；
(3)如图2，已知点B、点C 分别为y 轴正半轴，x 轴正半轴上的点，C 在A 右侧，在线段
上取点
，
，且
，过点A 做
轴，且
，求
的长．（结果用m，n 表
示）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由
，从而可得答案；
（2）如图，连接
，过
作
交
轴于
，过
作
轴于
，作
轴于
， 证明
，可得
，
，再证明
，而
，可得
，从而可得答案；
（3）如图，过
作
交
轴于
，连接
，而
，证明
，可得
，
，证明
，证明
，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵多项式
恰好是某个整式的平方，
∴
，
∴
，
∴
；
（2）如图，连接
，过
作
交
轴于
，过
作
轴于
，作
轴于
，则
，
∴
，
∴
，
∵
平分
，
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，而
，
∴
，
∴
，
∴
；
（3）如图，过
作
交
轴于
，连接
，而
，
∴
，
，
∵
轴，
∴
，
∴
，
22
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∵
，
，
∴
，
∴
，
，
，而
，
∴
，
，
∵
轴，则
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
，
∴
，
∴
．
【点睛】本题考查的坐标与图形，利用完全平方公式分解因式，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的
判定与性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键．
14．通过课堂的学习知道，我们把多项式
及
叫做完全平方式，如果一个多项式不
是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使
整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一
些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式
；
再例如求代数式
的最小值，
．
可知当
时，
有最小值，最小值是
，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)代数式
的最大值为： ；
(2)若
与
，判断
的大小关系，并说明理由；
(3)已知：
，
，求代数式
的值．
【答案】(1)
(2)
，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、完全平方公式的应用，解题时要注意配方法的步骤，
注意在变形的过程中不要改变式子的值．
（1）先配方，然后根据完全平方式的非负性求最大值即可；
（2）先表示出
，然后由完全平方式的非负性可得
，由此即可得
解；
（3）由完全平方公式可得
，代入
可得
，然后由完全平
方式的非负性可得
，
，求出
，代入进行计算即可．
【详解】（1）解：
，
当
时，
由最大值，为
，
代数式
的最大值为
，
故答案为：
；
（2）解：
，
，
24
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，
，
，
，
；
（3）解：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
15．阅读材料，解决问题
【材料】教材中这样写道：“我们把多项式
及
叫做完全平方式”，如果关于某
一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方
式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式
．
原式
．
【材料
】因式分解：
解：把
看成一个整体，令
，则
原式
，再将
重新代入，得：原式
上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题：
(1)根据材料，利用配方法进行因式分解：
；
(2)根据材料
，利用“整体思想”进行因式分解：
；
(3)当
，
，分别为
的三边时，且满足
时，判断
的形状并说
明理由．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
是等腰三角形，理由见解析．
【分析】（1）凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解；
（2）利用完全平方进行因式分解；
（3）先因式分解，判断字母
、
、三边的关系，再判定三角形的形状．
【详解】（1）解：
；
（2）解：设
，
∴
；
（3）解：
是等腰三角形．理由如下：
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，
∴
，
∴
，
∴
，
，
，
得，
，
，
．
∴
，
∴
是等腰三角形．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，乘法公式，配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公
式是解本题的关键．
16．我们定义：一个整数能表示成
（a、b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5 是“完美数”．理由：因为
，所以5 是“完美数”．
[解决问题]
(1)已知29 是“完美数”，请将它写成
（a、b 是整数）的形式______；
(2)若
可配方成
（m、n 为常数），则
______；
[探究问题]
(3)已知
，则
______；
(4)已知
（x、y 是整数，k 是常数），要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一
个k 值，并说明理由．
[拓展结论]
(5)已知实数x、y 满足
，求
的最值．
【答案】(1)
；
(2)
(3)
(4)
(5)最大值为：
；
【分析】（1）根据“完美数”可得答案；
（2）利用完全平方公式可得
，从而可得答案；
（3）利用完全平方公式把左边分组分解因式，再利用非负数的性质可得答案；
（4）利用完全平方公式可得
，再利用新定义可得答
案；
（5）由条件可得
，代入计算可得：
，再结合非
负数的性质可得最大值．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
∴
，
，
∴
；
（3）∵
，
∴
∴
，
∴
，
，
解得：
，
，
∴
；
（4）
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，
当为完美数时，
∴
，
解得：
．
（5）∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
；
∴
的最大值为：
．
【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，完全平方公式的应用，利用完全平方公式分解因式，熟练的掌
握完全平方公式的特点与性质是解本题的关键．
17．阅读材料：我们把多项式
及
叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方
式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的
值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解
的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值， 最小值等．例分解因式：
；又例如：求代数式
的最小值：
；又
；
当
时，
有最小
值，最小值是
．
根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式：
___________；
(2)已知
的三边长
、
、都是正整数，且满足
求边长的最小值；
(3)当
、
为何值时，多项式
有最大值？并求出这个最大值．
【答案】(1)
(2)5
(3)
时，最大值为16．
【分析】（1）根据阅读材料，先将
变形为
，再根据完全平方公式写成
，
然后利用平方差公式分解即可；
（2）根据配方法得出两个完全平方式，再根据两个非负数的和为0 时，每一部分为0 可得a，b 的值，最
后根据三角形三边的关系，可得c 的取值范围和最小值；
（3）根据题目中的例子，先将所求式子配方，再根据完全平方式的非负性即可得到当x、y 为何值时，所
求式子取得最大值，并求出这个最大值；
【详解】（1）解：原式
=
；
故答案为：
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（2）
，
，
，
解得：
，
、
、是
的三边长，
，
又
是整数，
；
边长的最小值是5；
（3）
，
，
；
，
当
时, 即
时，
取得最大值为16．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中
不要改变式子的值．
18．【实践探究】
小青同学在学习“因式分解”时，用如图所示编号为
的四种长方体各若干块，进行实践探究：
(1)现取其中两个拼成如图
所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式：
；
(2)【问题解决】
若要用这四种长方体拼成一个棱长为
的正方体，其中
号长方体和
号长方体各需要多少个?试通
过计算说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图3，在一个棱长为
的正方体中挖出一个棱长为
的正方体，请根据体积的不同表示方法，直接写出
因式分解的结果，并利用此结果解决问题：已知
与
分别是两个大小不同正方体的棱长，且
，当
为整数时，求
的值．
【答案】(1)
；
(2)
号长方体需要个，
号长方体需要
个，
，
(3)
．
【分析】（）根据图
立方体的体积求法即可；
（
）根据题中的给定的长方体组合把
计算即可；
（）先把
因式分解，然后据此分解
即可；
此题考查了因式分解的应用，解题的关键是利用几何体的体积进行因式分解及数形结合思想的应用．
【详解】（1）根据题意可知：
，
故答案为：
；
（2）
号长方体需要个，
号长方体需要
个，
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；
（3）由题意得：
，
由上可知：
，
∴
，整理得：
，
∵且
与
两个大小不同正方体的棱长，
∴
，
∴
，则
，
∵
为整数，则
为平方数，
∴
，
∴
．
19．材料：对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积或体积，可以得到一个数学等式．
(1)如图1，将一个边长为a 的正方形纸片剪去-一个边长为b 的小正方形，根据剩下部分的面积，可得一个
关于a，b 的等式：__________．
请类比上述探究过程，解答下列问题：
(2)如图2，将一个棱长为a 的正方体木块挖去一个棱长为b 的小正方体，根据剩下部分的体积，可以得到
等式：
__________，将等式右边因式分解，即
__________；
(3)根据以上探究的结果，
①如图3 所示，拼叠的正方形边长是从1 开始的连续奇数．．．，按此规律拼叠到正方形
，其边长
为19，求阴影部分的面积．
②计算：
【答案】(1)
(2)
(3)①
②
【分析】（1）利用两种方法求出阴影部分的面积，即可得出结论；
（2）利用两种方法求剩余的立方体的面积，即可得出结论；
（3）①根据整个阴影部分的面积等于各部分小阴影部分的面积之和，结合（1）中结论，进行求解即可；
②根据（2）中结论，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵
，
∴关于a，b 的等式为：
，
故答案为：
．
（2）解：由题意，得：
；
故答案为：
；
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（3）解：①
.
②
．
【点睛】本题考查因式分解的应用．正确的识图，利用两种方法表示面积和体积，是解题的关键．
20．
(1)【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式
分解因式呢？我们已经知道：
．反过来，就得到：
．我们发现，二次三项式
的二次项的系数
分解成
，常数项分解成
，并且把
，
，
，
，如图1 所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，
就得到
，如果
的值正好等于
的一次项系数
，那么
就可以分解为
，其中
，
位于图的上一行，
，
位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，
从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子
分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1 分解为两个因数的积，即
，
把常数项
也分解为两个因数的积，即
；然后把1，1，2，
按图2 所示的摆放，按对角线
交叉相乘再相加的方法，得到
，恰好等于一次项的系数
，于是
就可以分解为
．
请同学们认真观察和思考，尝试在图3 的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：
__________．
(2)【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
①
__________；
②
__________．
(3)【探究与拓展】
对于形如
的关于
，
的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图
4．将
分解成
乘积作为一列，分解成
乘积作为第二列，
分解成
乘积作为第三列，如果
，
，
，即第1，2 列、第2，3 列和第1，3 列都满足十字相乘规则，则原
式
，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
① 分解因式
__________；
② 若关于
，
的二元二次式
可以分解成两个一次因式的积，求
的值．
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【答案】(1)
(2)
；
(3)
；43 或
【分析】（1）首先把二次项的系数1 分解为两个因数的积，即
，把常数项
也分解为两个因数的
积，即
，写出结果即可．
（2）①把二次项系数2 写成
，常数项写成
，满足
，写出分解结果即可．
②把
项系数6 写成
，把
项系数2 写成
，满足
，写出分解结果
即可．
（3）①把
项系数3 写成
，把
项系数-2 写成
，常数项-4 写成
满足条件，
写出分解结果即可．
②把
项系数1 写成
，把
项系数-18 写成
，常数项-24 写成
或
满足条件，写出分解结果，计算即可．
【详解】（1）首先把二次项的系数1 分解为两个因数的积，即
，把常数项
也分解为两个因数的
积，即
，所以
．
故答案为：
．
（2）①把二次项系数2 写成
，
，满足
，所以
．
故答案为：
．
②把
项系数6 写成
，把
项系数2 写成
，满足
，
所以
．
故答案为：
．
（3）①把
项系数3 写成
，把
项系数-2 写成
，常数项-4 写成
满足条件，
所以
．
故答案为：
．
②把
项系数1 写成
，把
项系数-18 写成
，常数项-24 写成
或
满足条件，
所以m=
或m=
，
故m 的值为43 或-78．
【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，读懂阅读材料，理解其中的内涵是解题的关键．
