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模型构建专题：解直角三角形应用中的模型
——形成思维模式，快准解题
类型一 叠合式
1．(2017·烟台中考)如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD 的高度，在水平地
面A 处安置测倾器测得楼房CD 顶部点D 的仰角为45°，向前走20 米到达A′处，测得点D 的
仰角为67.5°.已知测倾器AB 的高度为1.6 米，则楼房CD 的高度约为(结果精确到0.1 米，
≈1.414)( )
A．34.14 米 B．34.1 米 C．35.7 米 D．35.74 米
第1 题图 第2 题图
2．一艘观光游船从港口A 以北偏东60°的方向出港观光，航行60 海里至C 处时发生了
侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事
故船在它的北偏东30°方向，马上以40 海里/时的速度前往救援，海警船到达事故船C 处所需
的时间大约为________小时(用根号表示)．
3．(2017·菏泽中考)如图，某小区①号楼与⑪号楼隔河相望，李明家住在①号楼，他很想
知道⑪号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B 点测得C 点的仰角为60°，然后到42 米
高的楼顶A 处，测得C 点的仰角为30°，请你帮助李明计算⑪号楼的高度CD.
4．埃航MS804 客机失事后，国家主席亲自发电进行慰问，埃及政府出动了多艘舰船和
飞机进行搜救．如图，其中一艘潜艇在海面下500 米的A 点处测得俯角为45°的前下方海底
有黑匣子信号发出，继续沿原方向直线航行2000 米后到达B 点，在B 处测得俯角为60°的前
下方海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C 点距离海面的深度(结果保留根号)．【方法10】
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5．(2017·株洲中考)如图所示，一架水平飞行的无人机AB 的尾端点A 测得正前方的桥的
左端点P 的俯角为α，其中tanα＝2，无人机的飞行高度AH 为500 米，桥的长度为1255 米．
(1)求点H 到桥左端点P 的距离；
(2)若无人机前端点B 测得正前方的桥的右端点Q 的俯角为30°，求这架无人机的长度
AB.
类型二 背靠式
6．某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况．如图，通过直升
机的镜头C 观测到水平雪道一端A 处的俯角为30°，另一端B 处的俯角为45°.若直升机镜头
C 处的高度CD 为300 米，点A、D、B 在同一直线上，则雪道AB 的长度为( )
A．300 米 B．150 米
C．900 米 D．(300＋300)米
第6 题图 第7 题图
7．如图，在东西方向的海岸线上有A、B 两个港口，甲货船从A 港沿北偏东60°的方向以
4 海里/时的速度出发，同时乙货船从B 港沿西北方向出发，2 小时后相遇在点P 处，则乙货船
每小时航行________海里．
8．小宇在学习解直角三角形的知识后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高
度的想法，他站在自家C 处测得对面楼房底端B 的俯角为45°，测得对面楼房顶端A 的仰角
为30°，并量得两栋楼房间的距离为9 米，请你用小宇测得的数据求出对面楼房AB 的高度
(结果保留到整数，参考数据：≈1.4，≈1.7)．
9．(2017·青岛中考)如图，C 地在A 地的正东方向，因有大山阻隔，由A 地到C 地需绕行B
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地．已知B 地位于A 地北偏东67°方向，距离A 地520km，C 地位于B 地南偏东30°方向．若打
通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A 地到C 地之间高铁线路的长(结果保留整数，参考数据：
sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，≈1.73)．【方法10】
10．(2017·荆州中考)如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB 的高度，沿旗杆正前方2
米处的点C 出发，沿斜面坡度i＝1∶的斜坡CD 前进4 米到达点D，在点D 处安置测角仪，测
得旗杆顶部A 的仰角为37°，量得仪器的高DE 为1.5 米．已知A，B，C，D，E 在同一平面内，
AB⊥BC，AB∥DE，求旗杆AB 的高度(参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈.计算结果保留
根号)．
参考答案与解析
1．C
2. 解析：如图，过点C 作CD⊥AB 交AB 的延长线于D.在Rt△ACD 中，∵∠ADC＝
90°，∠CAD＝30°，AC＝60 海里，∴CD＝AC＝30 海里．在Rt△CBD 中，∵∠CDB＝90°，
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∠CBD＝90°－30°＝60°，∴BC＝＝20(海里)，∴海警船到达事故船C 处所需的时间大约为
20÷40＝(小时)．
3．解：如图，作AE⊥CD.∵CD＝BD·tan60°＝BD，CE＝BD·tan30°＝BD，∴AB＝CD－CE
＝BD＝42 米，∴BD＝21 米，CD＝BD＝63 米．
答：⑪号楼的高度CD 为63 米．
4．解：如图，过C 作CD⊥AB 于D，交海面于点E.设BD＝x 米．∵∠CBD＝60°，
∴tan∠CBD＝＝，∴CD＝x 米．∵AB＝2000 米，∴AD＝(x＋2000)米．∵∠CAD＝45°，
∴tan∠CAD＝＝1，∴x＝x＋2000，解得x＝1000＋1000，∴CD＝(1000＋1000)＝(3000＋
1000)(米)，∴CE＝CD＋DE＝3000＋1000＋500＝(3500＋1000)(米)．
答：黑匣子C 点距离海面的深度为(3500＋1000)米．
5．解：(1)在Rt△AHP 中，∵AH＝500 米，由tan∠APH＝tanα＝＝＝2，可得PH＝250 米．
∴点H 到桥左端点P 的距离为250 米．
(2)设BC⊥HQ 于C.在Rt△BCQ 中，∵BC＝AH＝500 米，∠BQC＝30°，∴CQ＝＝1500
米．∵PQ＝1255 米，∴CP＝245 米．∵HP＝250 米，∴AB＝HC＝250－245＝5(米)．
答：这架无人机的长度AB 为5 米．
6．D
7．2 解析：作PC⊥AB 于点C.∵甲货船从A 港沿北偏东60°的方向以4 海里/时的速度
出发，∴∠PAC＝30°，AP＝4×2＝8(海里)，∴PC＝AP×sin30°＝8×＝4(海里)．∵乙货船从B
港沿西北方向出发，∴∠PBC＝45°，∴PB＝PC÷sin45°＝4÷＝4(海里)，∴乙货船航行的速度
为4÷2＝2(海里/时)．
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8．解：在Rt△ADC 中，∠ACD＝30°，tan∠ACD＝，CD＝9 米，∴AD＝CD·tan∠ACD＝
9×＝3(米)．在Rt△CDB 中，∠BCD＝45°，tan∠BCD＝，∴BD＝CD＝9 米，∴AB＝AD＋BD
＝3＋9≈14(米)．
答：对面楼房AB 的高度约为14 米．
9．解：过点B 作BD⊥AC 于点D.∵B 地位于A 地北偏东67°方向，距离A 地520km，
∴∠ABD＝67°，∴AD＝AB·sin67°≈520×＝480(km)，BD＝AB·cos67°≈520×＝200(km)．
∵C 地位于B 地南偏东30°方向，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BD·tan30°＝200×＝(km)，∴AC＝
AD＋CD＝480＋≈480＋115＝595(km)．
答：A 地到C 地之间高铁线路的长为595km.
10．解：如图，延长ED 交BC 的延长线于点F，则∠CFD＝90°.∵tan∠DCF＝i＝＝，
∴∠DCF＝30°.∵CD＝4 米，∴DF＝CD＝2 米，CF＝CD·cos∠DCF＝4×＝2(米)，∴BF＝BC
＋CF＝2＋2＝4(米)．过点E 作EG⊥AB 于点G，则GE＝BF＝4 米，GB＝EF＝ED＋DF＝1.5
＋2＝3.5(米)．又∵∠AEG＝37°，∴AG＝GE·tan∠AEG＝4·tan37°≈3 米，则AB＝AG＋
BG≈(3＋3.5)米，故旗杆AB 的高度约为(3＋3.5)米．
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