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整式乘法【章节复习】压轴题--整式乘法几何意义
题集C3
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
去年，某校为提升学生综合素质推出一系列校本课程，“蔬菜种植课”上张老师用两条宽均为米的
小道将一块长
米、宽
米的长方形土地分成（一）、（二）、（三）、（四）部分
（如图①的形状）．
求图①中小道的面积并化简．
由于去年学生报名人数有限，张老师只要求学生们在（一）部分土地上种植
型蔬菜，在
（四）部分土地上种植
型蔬菜．已知种植
型蔬菜每平方米的产量是千克，种植
型蔬菜
每平方米的产量是千克．求去年种植蔬菜的总产量并化简．
今年“蔬菜种植课”反响热烈，有更多学生报名参加．张老师不得不将该土地分成如图②的
形状，并全部种上
型蔬菜．如果今年
型蔬菜的产量与去年一样，那么今年蔬菜总产量比去
年多多少千克？（结果要化简）
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
平方米．
千克．
千克．
两条小道的面积之和：
平方米．
去年蔬菜的总产量：
千克．
今年蔬菜总产量：
千克，
今年蔬菜总产量比去年多：
千克．
2
【标注】【知识点】列代数式
（1 ）
1
2
（2 ）
2.
（1 ）
【解析】
按要求回答：
如图( )在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形
，把剩下的部分按照图中的
线段分割成两个图形，请将分割成的这两个图形拼成一个常见的几何图形，要求画出两种不
同的图形，并用图( )剪拼接前后的两个图验证一个乘法公式．
如图( )，某小区的花园，起初被设计为边长为米的正方形，后因道路的原因，设计修改为南
边往北移米，而东边往东移米，试问：
修改后的花园面积是多少？
在周长为定值
的长方形中，什么时候其面积最大，并说明理由．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
画图见解析，
．
．
当
时，
．
图一：
，
图二：
．
3
1
2
（2 ）
【标注】
．
设：长方形长为，
∵周长为
，
∴长
宽
，
∴宽：
，
∴
当
时，
．
【知识点】平方差公式的几何背景
3. 数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数问题时，如：学习平方差公式和完全
平方公式，我们通过构造几何图形，用面积法可以很直观地推导出公式．
以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论，请尝试解决问题．
构图一，小函同学从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形后，将其裁成四个相同
的等腰梯形（如图（）），然后拼成一个平行四边形（如图（）），那么通过计算两个图形阴影
部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）．
A．
B．
C．
D．
4
【解析】
【标注】
构图二、某住宅小区，为美化环境，提高居民的生活质量，要建造一个八边形的居民广场，如图，
其中正方形
与四个相同的长方形（图中阴影部分）的面积的和为
，正方形
的边长为，则八边形
的面积为__________．
构图三、小云同学在数学课上画了一个腰长为的等腰直角三角形，如图，他在该三角形中画了一条
平行于一腰的线段，得到一个腰长为
的新等腰直角三角形，请你利用这个图形推导出一个关
于、的等式．
【答案】D；
；
．
根据等面积即可得出相应结论．
【知识点】平方差公式的计算
（1 ）
4. 把四块长为，宽为的长方形木板围成如图所示的正方形，请解答下列问题：
按要求用含、的两种方式表示空心部分的正方形的面积（结果不要化简保留原式）：
5
1
2
（2 ）
（3 ）
1
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
用大正方形面积减去四块木板的面积表示：
．
直接用空心部分的正方形边长的平方表示：
．
由①、②可得等式 ．
试证明（）中的等式成立．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）证明见解析．
用大正方形面积减去四块木板的面积表示：
．
故答案为:
．
直接用空心部分的正方形边长的平方表示：
．
故答案为：
．
由①、②可得等式
．
故答案为：
．
∵左边
，
右边
，
∴左边
右边，
∴等式成立．
【知识点】完全平方公式的几何背景
（1 ）
（2 ）
5. 完成下列问题．
请用两种不同的方法列代数式表示图中阴影部分的面积．
图
方法①： ；
方法②： ．
根据（）写出一个等式： ．
6
（3 ）
（4 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
【解析】
【标注】
若
，
，利用（）中的结论，求，．
有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图，它表示了
，试画出一个几何图形，使它的面积能表示
．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
;
或
．
画图见解析 ．
方法①：
；
方法②：
．
故答案为：
；
．
由（）可得：
，
故答案为：
．
由（）可得：
，
∵
，
，
∴
，
∴
；
又∵
，
∴
或
．
如图，表示
．
【知识点】列代数式
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（1 ）
（2 ）
6.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：可用图来解释
．
图
图
图
请你写出图所表示的代数恒等式．
试在图的方框中画出一个几何图形，使它的面积等于
．
【答案】（1 ）
（2 ）
图所表示的代数恒等式为
．
画图见解析．
图所表示的代数恒等式为
．
如图所示：
．
【知识点】平方差公式的几何背景
