专题五 解析几何
第 4 练 离心率的取值与范围问题专项训练
一、单选题：
1.(2025·西藏自治区拉萨市·模拟)已知双曲线 x2 y2 的左、右焦点分别
C: − =1(a>0,b>0)
a2 b2
1 3
为F ，F ，若以F F 为直径的圆与以点P(√ 2, )为圆心、 为半径的圆相切于点Q，且
1 2 1 2 2 2
点Q在C上，则C的离心率为( )
√ 6 3
A. B. √ 6 C. √ 3 D.
2 2
【答案】A
1 3
【 解 析 】 解 ： 由 两 圆 的 圆 心 分 别 为 O(0,0),P(√ 2, )， 且 圆 P的 半 径 为 ，
2 2
√ 1 3
|OP|= 2+ = ，
4 2
可得点 在以 为直径的圆内，且两圆内切，所以 ，圆 的半径为 ，即
P F F Q(2√ 2,1) O 3
1 2
|OF |=3，
1
{a2+b2=9,
所以
8 1
解得
a=√ 6
，
b=√ 3
，所以
C
的离心率为 3
=
√ 6．
− =1, √ 6 2
a2 b2
故选A．
2.(2025·全国·模拟)已知双曲线x2 y2 虚轴的两个端点分别为 ， ，左、
− =1(a>0,b>0) B B
a2 b2 1 2
5
右焦点分别为F ，F ，若cos∠F B F =− ，则双曲线的离心率为( )
1 2 1 1 2 13
3√ 5 3 5
A. B. C. √ 5 D.
5 2 3
【答案】Ac
【解析】解：设∠F B B =θ，则tanθ= ，
1 1 2 b
由
cos2θ−sin2θ
cos2θ=
cos2θ+sin2θ
c
1−( ) 2
1−(tanθ) 2 b b2−c2 5
= = = =− ，
1+(tanθ) 2
1+(
c
) 2
b2+c2 13
b
解得9b2=4c2，
所以 ，
4c2=9(c2−a2
)
整理得 c2 9，所以 3√ 5．
e2= = e=
a2 5 5
故选：A．
x2 y2
3.(2025·广东省茂名市·月考)已知椭圆C: + =1的左右焦点为F ､F ，双曲线
9 6 1 2
x2 y2
的渐近线与椭圆 交于第一象限点 ，若 ，则
E: − =1(a>0,b>0) C P |PF |=2|PF | E
a2 b2 1 2
的离心率为( )
√ 15 √ 21 √ 6 4
A. B. C. D.
3 3 2 3
【答案】B
x2 y2
【解析】解：在椭圆C: + =1中，|PF |+|PF |=6，而|PF |=2|PF |，则
9 6 1 2 1 2
|PF |=4,|PF |=2，
1 2
而 ，则 ，即 ，
|F F |=2√ 9−6=2√ 3 |PF |2=16=|PF |2+|F F |2 PF ⊥F F
1 2 1 2 1 2 2 1 2而 ，则 ，由点 在双曲线 x2 y2 的渐近线 b 上，
F (√ 3,0) P(√ 3,2) P E: − =1 y= x
2 a2 b2 a
得b 2 ，所以 的离心率为 √ b2 √ 21．
= E e= 1+ =
a √ 3 a2 3
故选：B．
x2 y2
4.(2025·吉林省松原市·模拟)如图，F ，F 是分别是双曲线 − =1(a>0,b>0)的左､
1 2 a2 b2
右焦点，P为双曲线右支上的一点，圆M与▵PF F 三边所在的直线都相切，切点为A，
1 2
B，C，若|PB|=2a，则双曲线的离心率为( )
A. √ 2 B. 2 C. √ 3 D. 3
【答案】D
【解析】解：连接MA，MC，M F ，
1
由直线和圆相切的性质，可得 ，设 ，
|PA|=|PB|=2a |F B|=|F C|=x
2 2
由双曲线的定义可得， ，
|PF |−|PF |=2a
1 2则 ，
|PF |=2a+|PF |=2a+|PB|+|BF |=4a+x
1 2 2
， ，
|AF |=|AP|+|PF |=6a+x |F C|=|F F |+|F C|=2c+x
1 1 1 1 2 2
由圆外一点作圆的切线，则切线长相等，
即有6a+x=2c+x，即c=3a，
c
所以双曲线的离心率e= =3．
a
故选：D．
5.(2025·陕西省西安市·模拟)已知椭圆 x2 y2 ，直线： √ 2 ，
C: + =1(a>b>0) l :y= x
a2 b2 1 2
√ 2
l :y=− x，点P在C上，过P作PM平行于l 交l 于点M，作PN平行于l 交l 于点N，
2 2 1 2 2 1
若MN的长度为定值，则C的离心率为( )
√ 2 1 √ 2 √ 3
A. B. C. D.
4 2 2 2
【答案】D
√ 2
【解析】解：设P(x ,y )，则直线MP:y−y = (x−x )，
0 0 0 2 0{ y=− √ 2 x { x= x 0 −√ 2y 0
2 2
联立 ，解得 ,
√ 2 −√ 2x +2y
y−y = (x−x ) y= 0 0
0 2 0 4
即 x −√ 2y −√ 2x +2y ，
M( 0 0, 0 0 )
2 4
同理，可得 x +√ 2y √ 2x +2y ，
N( 0 0, 0 0 )
2 4
又点
在椭圆上，故x2 y2
，得
b2x2
，
P 0+ 0=1 y2=b2− 0
a2 b2 0 a2
所以
|MN|=
√
(
x
0
−√ 2y
0−
x
0
+√ 2y
0 )
2
+(
−√ 2x
0
+2y
0−
√ 2x
0
+2y
0 )
2
2 2 4 4
√ 1 √ 1 2b2 ，
= 2y2+ x2= 2b2+( − )x2
0 2 0 2 a2 0
若 为定值，则1 2b2 ， b2 1，
|MN| − =0 ∴ =
2 a2 a2 4
b2 3，所以椭圆的离心率为√ 3．
∴e2=1− =
a2 4 2
故选：D．
二、多选题：
6．（2025·河南·三模）已知曲线 是实轴、虚轴分别在直线 和直线 上的双曲线，其焦点分别为 ，点 是 上的两个动点，则（ ）
A． 的实轴长为
B． 的离心率为
C．若 ，则 的面积为8
D．若线段 的中点为 为坐标原点，则直线 的斜率之积为定值
【答案】BC
【详解】设 的实轴长为 ，虚轴长为 ，
联立 ，解得 或 ，
因为实轴在直线 上，则双曲线 的两个顶点分别为 ，
所以 ，即实轴长 ，故A错误；
易知曲线 的渐近线分别为 轴， 轴，两渐近线的夹角为 ，所以 ，
所以 的离心率为 ，故B正确；
由双曲线的定义得 ，
两边平方得 ，
因 ，则 ，则 ，
因 ，则 ，故 ，
所以 ，故C正确；
设 ，则 ，所以 ，
故 ，不是定值，故D错误.
故选：BC.
7.(2025·云南省昆明市·模拟)已知椭圆 x2 y2 的左 右焦点分别为
C: + =1(a>b>0) ､
a2 b2
为椭圆 上关于原点对称的两点，且 ，则( )
F ,F ,A,B C |AB|=|F F |
1 2 1 2
A. AF ⊥AF B. 四边形AF BF 的周长为4a
1 2 1 2
√ 2
C. 四边形AF BF 的面积为b2 D. 椭圆C的离心率的取值范围为[ ,1)
1 2 2
【答案】ABD
【解析】解：由题意， 互相平分，且 ，则四边形 是矩形，
AB,F F |AB|=|F F | AF BF
1 2 1 2 1 2
令其半焦距为c，
对于A，AF ⊥AF ，A正确；
1 2
对于B，四边形AF BF 的周长为|AF |+|AF |+|BF |+|BF |=4a，B正确；
1 2 1 2 1 2
对 于 C， 四 边 形 AF BF 的 面 积 为
1 2
(|AF |+|AF |) 2 −(|AF |2+|AF |2) ，C
2S =|AF ||AF |= 1 2 1 2 =2a2−2c2=2b2
▵F 1 AF 2 1 2 2
错误；
对于D，由以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆有公共点，得c⩾b，即c2 ⩾b2=a2−c2，
解得c2 1，即离心率 √ 2 ，D正确．
⩾ e∈[ ,1)
a2 2 2
故选：ABD．三、填空题：
8.(2025·广东省惠州市·月考)设椭圆 x2 y2 的左右焦点为 ， ，右顶点
E: + =1(a>b>0) F F
a2 b2 1 2
为A，已知点P在椭圆E上，若∠F PF =90°，∠PAF =45°则椭圆的离心率为 ．
1 2 2
【答案】√ 3−1
【解析】解：如图：由题意不妨设P(x ,y )在第一象限，作PH⊥x轴交x轴于点H，
1 1
知|PF |+|PF |=2a①，
1 2
因为 ，所以 ，
∠F PF =90∘ |PF |2+|PF |2=4c2 ②
1 2 1 2
所以 ，
(|PF |+|PF |) 2−(|PF |2+|PF |2 )=2|PF |⋅|PF |=4a2−4c2
1 2 1 2 1 2
则 ，
|PF |⋅|PF |=2a2−2c2=2b2
1 2
1 1
由S = PF ⋅PF = ⋅2b2=b2，
▵F 1 PF 2 2 1 2 2
1 b2
而S = ⋅2c⋅y =b2 ，解得y = ，
▵F 1 PF 2 2 1 1 c又由 ，所以 ，又 ，即 ，
∠PAF =45∘ |HA|=|PH|= y |OH|=x x + y =a
2 1 1 1 1
b2 b2
将y = 代入x + y =a，解得：x =a− ，
1 c 1 1 1 c
把 b2， b2代入x2 y2 中，
x =a− y = + =1(a>b>0)
1 c 1 c a2 b2
b2 2 b2 2
(a− ) ( ) ，
c c
+ =1
a2 b2
b2 b2 2
所以−2a⋅ +( ) ，则 ，
c c b2 −2ac+b2+a2=0
+ =0
a2 c2
整理得−2ac+2a2−c2=0，
即e2+2e−2=0，
解得 舍 或 ，
e=−√ 3−1( ) e=√ 3−1
即椭圆的离心率为√ 3−1．
故答案为：√ 3−1．
x2 y2
9.(2025·江西省九江市·模拟)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ,F ，
a2 b2 1 2
P是C上一点，线段PF ,PF 的中点分别是M,N.若四边形PMON是周长为6、面积为2
1 2
的矩形(O为坐标原点)，则C的离心率为 ．√ 5
【答案】
3
【解析】解：因为M，N分别是PF ，PF 的中点，O是F F 的中点，
1 2 1 2
1 1
根据三角形中位线定理，可得|OM|= |PF |，|ON|= |PF |，
2 2 2 1
已知四边形PMON是矩形，其周长为6，则2(|OM|+|ON|)=6，
1 1
即|OM|+|ON|=3，所以 |PF |+ |PF |=3，进而可得|PF |+|PF |=6，
2 2 2 1 1 2
由椭圆的定义可知2a=6，则a=3，
又因为四边形PMON的面积为2，所以|OM|×|ON|=2，
1
即 |PF |×|PF |=2，则|PF |×|PF |=8，
4 1 2 1 2
在 中， ，根据勾股定理可得 ，
▵PF F ∠F PF =90° |PF |2+|PF |2=|F F |2
1 2 1 2 1 2 1 2
对 进 行 展 开 ：
(|PF |+|PF |) 2
1 2
，
(|PF |+|PF |) 2=|PF |2+|PF |2+2|PF |×|PF |
1 2 1 2 1 2
已知 ， ，代入上式可得 ，
|PF |+|PF |=6 |PF |×|PF |=8 62=|F F |2+2×8
1 2 1 2 1 2
即 ，
36=|F F |2+16
1 2
解得 ，而 ，所以 ，即 ， ，则 ，
|F F |2=20 |F F |=2c (2c) 2=20 4c2=20 c2=5 c=√ 5
1 2 1 2
c √ 5
椭圆的离心率e= ，已知a=3，c=√ 5，所以e= .
a 3
√ 5
故答案为 ．
310.(2025·甘肃省白银市·模拟)已知双曲线 x2 y2 的右焦点 ，过点 作
C: − =1(a>0,b>0) F F
a2 b2
直线 交双曲线 左右两支于 两点，且 ⃗ ⃗ ，过点 作直线 的垂线交双曲线 于
l C A,B F l C
AB=2BF
点M，若点A、M两点关于原点对称，则双曲线C的离心率为 ．
【答案】√ 5
【解析】解：设另一个焦点为F ，连接F A,F B,F M，设|BF|=m，则|AB|=2m，
1 1 1 1
由双曲线的定义可得 ，
|BF |=|BF|+2a=m+2a,|AF |=|AF|−2a=3m−2a
1 1
由双曲线的对称性可得O是AM的中点，也是F F的中点，
1
所以四边形AF MF是平行四边形，
1
因为AF⊥FM，所以四边形AF MF为矩形，
1
所以AF ⊥AB，
1
所以在 Rt▵F AB 中， |BF | 2=|AB| 2+|AF | 2，
1 1 1
4
所以(m+2a) 2=(3m−2a) 2+4m2，化简得m= a，
3
在 Rt△F AF 中， |FF | 2=|AF| 2+|AF | 2，则 4c2=9m2+(3m−2a) 2 ，
1 1 1
16
所以4c2=9× a2+(4a−2a) 2=20a2，得c2=5a2，
9
所以c=√ 5a，
c
所以离心率e= =√ 5．
a
故答案为：√ 5四、解答题：
x2 y2
11.已知F ，F 是椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原
1 2 a2 b2
点.
（1）若△POF 为等边三角形，求C的离心率；
2
（2）如果存在点P，使得PF ⊥PF ，且△F PF 的面积等于16，求b的值和a的取值范围.
1 2 1 2
【答案】(1)❑√3－1.
(2)[4❑√2，＋∞）
【解析】解：（1）连接PF （图略）.由△POF 为等边三角形可知，
1 2
在△F PF 中，∠F PF ＝90°，｜PF ｜＝c，｜PF ｜＝❑√3c，
1 2 1 2 2 1
c
于是2a＝｜PF ｜＋｜PF ｜＝（❑√3＋1）c，故C的离心率为e＝ ＝❑√3－1.
1 2 a
（2）由题意可知，满足条件的点P（x，y）存在，
1 y y x2 y2
且 ｜y｜·2c＝16， · ＝－1， ＋ ＝1，
2 x＋c x－c a2 b2
即c｜y｜＝16， ①
x2＋y2＝c2， ②
x2 y2
＋ ＝1. ③
a2 b2
b4
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝ .
c2
162
又由①知y2＝ ，故b＝4.
c2
a2
由②③及a2＝b2＋c2得x2＝ （c2－b2），
c2
所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4❑√2.
当b＝4，a≥4❑√2时，存在满足条件的点P.
所以b＝4，a的取值范围为[4❑√2，＋∞）.
12.(2025·四川省乐山市·月考)已知 和 为椭圆 x2 y2 上两点．
A(2,3) P(4,0) C: + =1(a>b>0)
a2 b2
(1)求C的离心率；
(2)若过点A的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为12，求直线l的方程．
1
【答案】(1)
2
(2)x−2y+4=0或3x−2y=0{
a=4
【解析】解： 由题意得
，解得{b2=12
(1) 4 9 ,
+ =1 a2=16
a2 b2
所以 √ b2 √ 12 1；
e= 1− = 1− =
a2 16 2
(2)如图，
当l的斜率不存在时，l:x=2，B(2,−3)，|AB|=6，P到AB距离d=2，
1
此时S = ×2×6=6≠12，不满足条件；
△ABP 2
当直线l的斜率存在时，设l:y=k(x−2)+3，设A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
{y=k(x−2)+3
则 ，消 可得 ，
x2 y2 y (4k2+3)x2−(16k2−24k)x+16k2−48k−12=0
+ =1
16 12
当 时，
16k2−24k，又
，所以
16k2−24k
，
x +x = x =2 x = −2
1 2 4k2+3 1 2 4k2+3
12+24k
∴|AB|=√ 1+k2·|x −x |=√ 1+k2·| |，
1 2 3+4k2
又 点到直线 的距离 |2k+3|，
P l
d=
√ 1+k2
所以 1 1 12+24k |(2k+3)(1+2k)| ，
S = |AB|⋅d= ×|2k+3|⋅| |=6× =12
△PAB 2 2 3+4k2 3+4k2
整理可得 或 无解 ，
4k2−8k+3=0 12k2+8k+9=0( )1 3
即(2k−3)(2k−1)=0，解得k= 或k= ，
2 2
此时代入检验，均满足Δ>0，
1 3
∴l:y= (x−2)+3或y= (x−2)+3，即x−2y+4=0或3x−2y=0．
2 2
