39.平面向量中广义坐标及应用
一．基本原理
1.平面向量基本定理：如果
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的
1
2
,
e e
任意向量
，有且只有一对实数
，
，使
.
a
1
2
1 1
2
2
a
e
e
2.广义坐标
（1）在平面向量基本定理
中，我们把有序实数对
叫做向量
在基
1 1
2
2
a
e
e
1
2
,
a
底
下的广义坐标.
1
2
,
e e
（2）与直角坐标的联系与区别：
联系：当基底
分别是直角坐标系中
轴和
轴正方向上的单位向量
时（标准正交
1
2
,
e e
x
y
,i j
基），广义坐标
就变成了我们熟悉的直角坐标.例如，向量
，它在基底
1
2
,
3
4
a
i
j
下的广义坐标就是
，这和我们在直角坐标系中描述向量的坐标是一致的.
{ , }
i j
(3,4)
区别：广义坐标更具一般性，它的基底可以是平面内任意一组不共线向量，而不仅仅局限
于直角坐标系中的单位向量.
3.广义坐标的运算
（1）向量加法的广义坐标运算：
设
，其广义坐标为
，其广义坐标为
.
1 1
2
2
a
e
e
1
2
1 1
2
2
,
,b
e
e
1
2
,
则
.
1 1
2
2
1 1
2
2
1
1
1
2
2
2
a
b
e
e
e
e
e
e
所以
在基底
下的广义坐标为
.
a
b
1
2
,
e e
1
1
2
2
,
（2）向量数乘的广义坐标运算：
对于向量
，广义坐标为
，设
为实数.
1 1
2
2
a
e
e
1
2
,
k
则
.
1 1
2
2
1
1
2
2
ka
k
e
e
k
e
k
e
所以
在基底
下的广义坐标为
.
ka
1
2
,
e e
1
2
,
k
k
（3）.数量积运算
在广义坐标系下，数量积运算公式为
，展开可得：
1 1
2
2
1 1
2
2
a b
e
e
e
e
1
1 1
1
1
2 1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
a b
e e
e e
e
e
e
e
1
1
1
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
2
e e
e e
e
e
若记
，则
1
1
11
1
2
2
1
12
21
2
2
22
,
,
e e
g
e e
e
e
g
g
e
e
g
.
11 1
1
12
1
2
2
1
22
2
2
a b
g
g
g
二．典例分析
3．向量的广义坐标是用于描述向量或系统状态的一组数值，其选择取决于问题的特定背景
和需求．在物理学、工程学、计算机图形学等领域，广义坐标被广泛应用．比如，物理学
中的振动系统可能采用角度作为广义坐标，而工程学中的结构分析可能使用特定坐标系来
简化问题．通过选择适当的广义坐标，可以更自然地描述问题，简化数学表达，提高问题
的可解性，并使模型更符合实际场景．已知向量
，
是平面
内的一组基向量，O 为
1e
2e
内的定点．对于
内任意一点P，若
，则称有序实数对
为点
1
2
,
OP
xe
ye
x y
R
,x y
P 的广义坐标．若点A，B 的广义坐标分别为
，
，关于下列命题正确的
1
1
,
x
y
2
2
,
x
y
（ ）
A．点
关于点O 的对称点不一定为
1,2
M
1, 2
M
B．A，B 两点间的距离为
2
2
1
2
1
2
x
x
y
y
C．若向量
平行于向量
，则
的值不一定为0
OA
OB
1
2
2
1
x y
x y
D．若线段
的中点为C，则点C 的广义坐标为
AB
1
2
1
2
,
2
2
x
x
y
y
【答案】D
【分析】根据广义坐标的定义，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量共线性质逐一
判断即可.
【详解】对于A，
，设
关于点
的对称点为
，则
1
2
2
OM
e
e
1,2
M
O
,
M
x y
，
1
2
1
2
2
OM
OM
e
e
xe
ye
因为
，
不共线，所以
，A 错误；
1e
2e
1
2
x
y
对于B，因为
，
2
1
2
2
1 1
1
2
2
1
1
2
1
2
AB
OB
OA
x e
y e
x e
y e
x
x e
y
y e
所以
，
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
2
AB
x
x e
y
y e
x
x
e
x
x
y
y e e
y
y
e
当向量
，
是相互垂直的单位向量时，
，
两点间的距离为
，否
1e
2e
A
B
2
2
1
2
1
2
x
x
y
y
则距离不为
，B 错误；
2
2
1
2
1
2
x
x
y
y
对于C，当
与
中至少一个是
时，结论成立；
OA
OB
0
当
与
都不为
时，设
（
），有
，即
OA
OB
0
OA
OB
0
1 1
1
2
2 1
2
2
x e
y e
x e
y e
1
2
1
2
x
x
y
y
，所以
，C 错误；
1
2
2
1
x y
x y
对于D，
，
1
2
1
2
1 1
1
2
2
1
2
2
1
2
1
1
2
2
2
2
x
x
y
y
OC
OA
OB
x e
y e
x e
y e
e
e
所以线段
中点
的广义坐标为
，D 正确
AB
C
1
2
1
2
,
2
2
x
x
y
y
故选：D
2．如图，设
，
是平面内夹角为
的两条数轴，
，
分别是与
轴、
轴正
Ox
Oy
π
2
1e
2e
x
y
方向同向的单位向量.若向量
，则有序数对
叫做点
在坐标系
中的
1
2
OA
x
y
e
e
,x y
A
Oxy
坐标.在该坐标系下，
，
，
为不共线的三点，下列结论错误的是
1
1
,
A x y
2
2
,
B x
y
3
3
,
C x
y
（ ）
A．线段
中点的坐标为
B．
重心的坐标为
AB
1
2
1
2
2
2
x
x
y
y
，
ABC
V
1
2
3
1
2
3
3
3
x
x
x
y
y
y
，
C．
，
两点的距离为
D．若
，则
，
，
三点共
A
B
2
2
1
2
1
2
x
x
y
y
1
2
2
1
x y
x y
O
A
B
线
【答案】C
【分析】依题意可得
，
，
，根据平面向量线
1 1
1
2
OA
x e
y e
2 1
2
2
OB
x e
y e
3 1
3
2
OC
x e
y e
性运算判断A、B，表示出
，再根据数量积的运算律判断C，根据向量共线定理判断D.
AB
【详解】根据题意，
，
，
，
1 1
1
2
OA
x e
y e
2 1
2
2
OB
x e
y e
3 1
3
2
OC
x e
y e
对于A，设
的中点为
，则
AB
M
，
1
2
1
2
1 1
1
2
2
1
2
2
1
2
1
1
(
)
(
)
2
2
2
2
x
x
y
y
OM
OA
OB
x e
y e
x e
y e
e
e
故线段
中点的坐标为
，故A 正确．
AB
1
2
1
2
,
2
2
x
x
y
y
对于B，设
重心为
，则
ABC
V
G
2
1
1
(
)
(
)
3
2
3
OG
OA
AG
OA
AB
AC
OA
AB
AC
，
1
2
3
1
2
3
1
2
1
1
(
)
(
)
3
3
3
3
x
x
x
y
y
y
OA
OB
OA
OC
OA
OA
OB
OC
e
e
故
重心的坐标为
，故B 正确；
ABC
V
1
2
3
1
2
3
,
3
3
x
x
x
y
y
y
对于C，
，
2
1
2
2
1 1
1
2
2
1
1
2
1
2
AB
OB
OA
x e
y e
x e
y e
x
x e
y
y e
所以
2
2
1
1
2
2
1
AB
x
x e
y
y
e
=
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
1
2
+2
x
x
e
y
y
e
x
x
y
y e e
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
1
2
=
+2
cos
x
x
e
y
y
e
x
x
y
y
e
e
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
=
1
1 +2
1 1 cos
x
x
y
y
x
x
y
y
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
=
+2
cos
x
x
y
y
x
x
y
y
即该坐标系中
，
两点间的距离为：
1
1
,
A x y
2
2
,
B x
y
，故C 错误；
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
+2
cos
x
x
y
y
x
x
y
y
对于D，
，
，
1 1
1
2
OA
x e
y e
2 1
2
2
OB
x e
y e
若
，易得
，则
、
、
三点共线，
1
2
2
1
0
x y
x y
//
OA OB
O
A
B
若
，变形可得
，所以
，
1
2
2
1
0
x y
x y
1
1
2
2
0
x
y
t t
x
y
t
OA
OB
所以
，所以
、
、
三点共线，
//
OA OB
O
A
B
综合可得：若
，则
，
，
三点共线，故D 正确．
1
2
2
1
x y
x y
O
A
B
故选：C．
8．已知单位向量
的夹角为
，若平面向量
，有序实数
2
1,e
e
(
)
0
π
1
2
,
a
xe
ye
x y
R
对
称为向量
在“仿射”坐标系
（
为坐标原点）下的“仿射”坐标，记
，
,x y
a
xOy
O
( , )
a
x y
则下列命题正确的是（ ）
A．已知
，则
1
1
2
2
,
,
,
a
x y
b
x
y
1
2
1
2
,
a
b
x
x
y
y
B．已知
，则线段
的长度为1
π
π
3
3
(1,0) ,
(0,1)
OA
OB
AB
C．已知
，则
π
π
3
3
(2, 1) ,
(1,2)
a
b
3 3
2
a b
D．已知
，则
的最大值为
π
3
( , ) ,
1
a
x y
a
x
y
2 3
3
【答案】ABD
【分析】根据题设“仿射”坐标系
的定义，依据各项条件并应用向量数量积的运算律及
xOy
相关坐标运算判断正误即可.
【详解】A：由题设
，
1
1
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
(
)
(
)
a
b
x
y
x
y e
x
x
e
y
e
e
y
e
e
所以
，对；
1
2
1
2
,
a
b
x
x
y
y
B：由题设
，则
2
1
A
A
O
B
OB
e
e
，对；
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
|
|
(
)
2
2
2 1 1
1
2
AB
e
e
e
e e
e
C：由题设
，错；
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
3
(2
) (
)
2
2
1
1
2
3
2
2
3
1
2
2
e
e
e
e
e
e e
a b
e
D：由题设
，即
，
2
2
2
2
1
1
(
)
xe
ye
a
x
xy
y
2
2
1
x
xy
y
由
，且
时取等号，
2
2
2
2
(
)
(
)
2
1
1
4
x
y
x
y
x
xy
y
xy
x
y
则
，故
，即
时
的最大值为
，对.
2
4
(
)
3
x
y
2
2
3
3
x
y
3
3
x
y
x
y
2 3
3
故选：ABD
9．如图所示，设Ox，Oy 是平面内相交成
角的两条数轴，
，
分别是与x，y 轴
π
(
)
2
1e
2e
正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为
斜坐标系.若
，则把有序
1
2
OM
xe
ye
数对
叫做向量
的斜坐标，记为
.在
的斜坐标系中，
，
( , )
x y
OM
( , )
OM
x y
5π
6
( 3,2)
a
，则下列结论中正确的是（ ）
( 2, 3)
b
A．
B．
2
( 3
4,2
2 3)
a
b
|
|
7
a
C．
D．
在
方向上的投影向量为
a
b
a
b
3
3
(
,
)
13 26
【答案】AD
【分析】利用向量的线性运算，向量的模，向量垂直，投影向量的求法逐一验证即可.
【详解】依题意，
，
，
1
2
1
2
3
2
,
2
3
a
e
e b
e
e
1
2
5π
3
1 1 cos 6
2
e e
对于A，
，A
1
2
1
2
1
2
2
3
2
2( 2
3
)
( 3
4)
(2
2 3)
( 3
4,2
2 3)
a
b
e
e
e
e
e
e
正确；
对于B，
，B 错误；
2
1
2
3
|
|
( 3
2
)
3
4 3
(
)
4
1
2
a
e
e
对于C，
，C 错误；
1
2
1
2
1
2
3
( 3
2
) ( 2
3
)
2 3
2 3
0
2
a b
e
e
e
e
e e
对于D，
，
2
1
2
3
|
|
( 2
3
)
4
4 3
(
)
3
13
2
b
e
e
则
在
方向上的投影向量为
，D 正
a
b
1
2
1
2
2
3
3
3
3
3
2 ( 2
3
)
(
,
)
13
13
26
13 26
|
|
a b b
e
e
e
e
b
确.
故选：AD
10．设Ox，Oy 是平面内相交的两条数轴，其中
（
且
），
，
分
xOy
0
π
π
2
1e
2e
别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量.若平面向量
满足
，则有序数对
a
1
2
a
xe
ye
称为向量
在“仿射”坐标系xOy 下的“仿射”坐标，记作
，下列命题中是真
,x y
a
,
a
x y
命题的是（ ）
A．已知
，则
π
2,3 3
a
13
a
B．已知
，
，则
1
1
,
a
x y
2
2
,
b
x
y
1
2
1
2
,
a
b
x
x
y
y
C．已知
，
，则
1,2
a
2,1
b
0
a b
D．已知
，
，若
，则
1
1
,
a
x y
2
2
,
b
x
y
a
b
∥
2
1
1
2
x
y
x
y
【答案】BD
【分析】根据新定义，结合已学的向量的模长，向量运算，向量数量积，向量平行的定理
可以逐一计算判断.
【详解】对于A，
，则
，
π
2,3 3
a
1
2
2
3
a
e
e
所以
2
2
2
1
2
1
2
1
2
(2
3 )
4
9
12
a
e
e
e
e
e e
，故A 错误；
π
4
9 12 1 1 cos
19
3
对于B，已知
，
，
1
1
,
a
x y
2
2
,
b
x
y
则
，
，
，
1 1
1
2
a
x e
y e
2
1
2
2
b
x e
y e
1
2
1
1
2
2
(
)
(
)
a
b
x
x e
y
y e
则
，故B 正确；
1
2
1
2
,
a
b
x
x
y
y
对于C，
，
，则
，
，
1,2
a
2,1
b
1
2
2
a
e
e
1
2
2
a
e
e
所以
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
π
2
)
2
)
2 |
|
2 |
|
3|
| |
| cos 3
(
(
a
e
e
e
e
e
e
b
e
e
，故C 错误；
π
3
2
2
3 1 1 cos 3
2
对于D，
，
，则
，
，
1
1
,
a
x y
2
2
,
b
x
y
1 1
1
2
a
x e
y e
2
1
2
2
b
x e
y e
若
，则当
或
时，
或
，
满足；
a
b
∥
a
=0
b
=0
1
1
0
x
y
2
2
0
x
y
2
1
1
2
x
y
x
y
当
，则存在唯一
，使得
，则
，
,
a
b
0
0
a
b
1 1
1
2
2
1
2
2
(
)
x e
y e
x e
y e
则
，消元变形得到
，故D 正确.
1
2
1
2
x
x
y
y
,
2
1
1
2
x
y
x
y
故选：BD.
24．如图，设
是平面内相交成
角的两条数轴，
分别是与
轴、
,
Ox Oy
1
2
0 ,180
,
,
e e
x
y
轴同方向的单位向量.若向量
，则把有序数对
叫做
在斜坐标系
中
1
2
OP
xe
ye
,x y
OP
Oxy
的斜坐标.
(1)若
，求
.
1,2 ,
2,
,
a
b
a
∥b
(2)若
，求
在
上的投影向量斜坐标.
60 ,
1,2 ,
1,1
a
b
a
b
(3)若
，求
的最小值.
1,1 ,
3,1 ,
2, 1 ,
2
a
b
c
c
2
cos
,a b
【答案】(1)
4
(2)
1 1
,
2 2
(3)
28
29
【分析】（1）根据向量斜坐标表示
，结合
可得
的值.
,a b
a∥b
（2）根据条件计算
，结合投影向量公式可得
在
上的投影向量为
，由
,
a b b
a
b
1
2
1
1
2
2
e
e
此可得结果.
（3）利用向量夹角公式表示
，通过换元法结合函数单调性的分析可得结果.
2
cos
,a b
【详解】（1）∵
，
1,2 ,
2,
a
b
∴
，
1
2
1
2
2
,
2
a
e
e b
e
e
∵
，
a∥b
∴
，解得
.
1
2
2
4
（2）∵
，∴
，
1,2 ,
1,1
a
b
1
2
1
2
2
,
a
e
e b
e
e
由题意得，
，故
，
1
2
1
2
1,
,
60
e
e
e e
1
2
1
1 1 cos60
2
e e
∴
，
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
2
2
a b
e
e
e
e
e
e
e e
，
2
2
2
1
2
1
1
2
2
2
1 1 1
1
b
e
e
e
e e
e
∴
在
上的投影向量为
，
a
b
1
2
1
2
1
1
1
2
2
2
a b
b
e
e
e
e
b
b
∴
在
上的投影向量斜坐标为
.
a
b
1 1
,
2 2
（3）∵
，∴
，
2, 1
c
1
2
2
c
e
e
∵
，∴
，即
，
2
c
2
2
c
2
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
2
4
4
5
4
2
e
e
e
e e
e
e e
∴
，
1
2
3
1 1 cos
cos
4
e e
∵
，∴
，
0 ,180
1
2
3 ,1
4
e e
∵
，∴
，
1,1 ,
3,1
a
b
1
2
1
2
,
3
a
e
e b
e
e
∴
，
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
4
4
,
2
2
a b
e
e
e
e
e e
a
e
e
e e
，
2
1
2
1
2
3
10
6
b
e
e
e e
∴
，
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4
4
4
4
cos
,
5
3
2
2
10
6
e e
e e
a b
a b
e e
a b
e e
e e
令
，则
，
1
2
t
e e
2
3
4
4
,1 ,cos
,
4
5
3
t
t
a b
t
∵
，函数
在
上单调递减，
4
4
4
8
5
3
3
3 5
3
t
y
t
t
8
3 5
3
y
t
3 ,1
4
∴函数
在
上单调递增，
4
4
5
3
t
y
t
3 ,1
4
∴当
时，
，即
的最小值为
.
3
t
4
min
3
4
4
28
4
3
29
5
3
4
y
2
cos
,a b
28
29
三．习题演练
11．已知
，且
，当
时，定义平面坐标系
为“
-仿射”坐标系，
0,π
π
2
xoy
xoy
在“
-仿射”坐标系中，任意一点
的斜坐标这样定义：
分别为
轴，
轴正方向上的
P
2
1,e
e
x
y
单位向量，若
，则记为
，那么下列说法中正确的是（ ）
1
2
OP
xe
ye
,
OP
x y
uuur
A．设
，则
,
a
m n
2
2
a
m
n
B．设
，若
，则
,
,
,
a
m n
b
s t
a
b
∥
0
mt
ns
C．设
，若
，则
,
,
,
a
m n
b
s t
a
b
sin
0
ms
nt
mt
ns
D．设
，若
与
的夹角为
，则
1,2 ,
2,1
a
b
a
b
3
【答案】BD
【分析】根据题意得：
，
，对于A 结合向量相等理解判断；对于
1
2
a
me
ne
1
2
b
se
te
B、D：利用
以及
进行运算判断；对于C：若
，则
，使
·
cos
a b
a b
2
2
a
a
a
b
∥
R
得
.
0
a
b b
=
【详解】
，
1
2
,
a
m n
a
me
ne
1
2
,
b
s t
b
se
te
对于A：
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
2
2
2
cos
2
a
me
ne
m e
mne e
n e
m
mn
n
A
即
，故选项A 错误；
2
2
2
cos
a
m
mn
n
对于B：若
，当
即
时，显然满足：
；
a
b
∥
0
b
0,
0
t
s
0
mt
ns
当
即
或
时，则
，使得
，
0
b
0
s
0
t
R
a
b
即
1
2
1
2
1
2
me
ne
se
te
se
te
ur
ur
ur
ur
ur
ur
则可得
，消去
得：
，故选项B 正确；
m
s
n
t
0
mt
ns
对于C：∵
，则
，可得
( , ),
( , )
a
m n b
s t
1
2
1
2
,
a
me
ne b
se
te
ur
ur r
ur
ur
r
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
me
ne
se
te
m
a
se
mt
b
ns e e
nte
ur
ur
ur
ur
ur
u
r
r u
r
r
ur
，
cos
ms
nt
mt
ns
若
，则
，故选项C 错误；
a
b
cos
0
ms
nt
ns
a b
mt
r r
对于D：∵
，
( 1,2),
( 2,1)
a
b
由选项A 可得：
，
2
2
|
|
1
2
2
1
2cos
5
4cos
a
r
，
2
2
|
|
2
1
2
2
1 cos
5
4cos
b
r
由选项C 可得：
，
1
2
2 1
1
1
2
2
cos
4
5cos
a b
r r
若
与
的夹角为
，则
，
a
b
cos
a b
a
b
即
，
4
5cos
4
5cos
cos
5
4cos
5
4cos
5
4cos
整理可得，
，
2
2cos
5cos
2
0
解得
或
（舍去），
1
cos
2
cos
2
∵
，则
，故选项D 正确；
(0,π)
π
3
故选：BD．
23．如图，在平面斜坐标系
中，
，平面上任意一点
关于斜坐标系的斜坐标
xOy
xOy
P
这样定义：若
（其中
分别是
轴，
轴正方向的单位向量），则
点的斜
1
2
OP
xe
ye
2
1,e
e
x
y
P
坐标为
，且向量
的斜坐标为
.给出以下结论，其中所有正确的结论的序号是
( , )
x y
OP
( , )
x y
①若
，
，则
；
60
(2, 1)
P
3
OP
②若
，则
；
1
1
2
2)
( ,
),
(
,
P x y
Q x
y
1
2
1
2
(
,
)
OP
OQ
x
x
y
y
③若
，则
；
,
,
P x y
R
(
,
)
OP
x
y
④若
，则
1
1
2
2
( ,
),
(
,
)
OP
x y
OQ
x
y
1
2
1
2.
OP OQ
x x
y y
【答案】①②③
【分析】根据所给定义及平面向量线性运算法则判断②③，根据数量积的运算律判断
①④.
【详解】对于①：∵
，
，即
，
60
2, 1
P
1
2
2
OP
e
e
∴
2
2
2
1
2
1
1
2
2
2
4
4
OP
e
e
e
e e
e
，故①正确；
4 1 4 1 1 cos60
3
对于②：∵
，
，即
，
，
1
1
,
P x y
2
2
,
Q x
y
1 1
1
2
OP
x e
y e
2
1
2
2
OQ
x e
y e
∴
，
1 1
1
2
2
1
2
2
1
2
1
1
2
2
OP
OQ
x e
y e
x e
y e
x
x
e
y
y
e
∴
，故②正确；
1
2
1
2
,
OP
OQ
x
x
y
y
对于③：∵
，
，
，
,
P x y
R
1
2
OP
xe
ye
∴
，
1
2
1
2
OP
xe
ye
xe
ye
∴
，故③正确；
,
OP
x
y
对于④：
1 1
1
2
2
1
2
2
OP OQ
x e
y e
x e
y e
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
x x e
y y e
x y
y x
e e
，故④错误.
1
2
1
2
1
2
1
2 cos
x x
y y
x y
y x
故答案为：①②③
0．如图，设
是平面内相交成
角的两条数轴，
分别是与x 轴、y 轴正方向同
,
Ox Oy
60
2
1,e
e
向的单位向量.若向量
，则把有序实数对
叫做向量
在坐标系
中
1
2
OM
xe
ye
( , )
x y
OM
Oxy
的坐标，记作
.在此坐标系
中，若
，
分
( , )
OM
x y
Oxy
(3,0),
(0,2),
(3,2)
OA
OB
OP
,
E F
别是
的中点，
分别与
交于
两点.
,
OB BP
,
AE AF
OP
,
R T
(1)求：
；
|
|
OP
(2)求
的坐标；
,
OR OT
(3)若点M 在线段
上运动，设
，求
的最大值.
AF
( , )
OM
x y
xy
【答案】(1)
19
OP
(2)
，
2
1, 3
OR
4
2, 3
OT
(3)3
【分析】（1）根据向量新定义，结合向量数量积的运算法则即可得解；
（2）先利用向量加法的平行四边形法则得到四边形
是平行四边形，进而得到
OAPB
，
，从而利用向量的线性运算即可得解；
2
3
AT
AF
1
3
OR
OP
（3）设
，利用向量的线性运算得到
关于
的表达式，从而利用二次函数的
AM
AF
xy
性质即可得解.
【详解】（1）依题意，得
是单位向量，且夹角为
，
2
1,e
e
60
所以
，
1
2
1
1 1 cos60
2
e e
而
，
1
2
3,2
3
2
OP
e
e
，
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
1
3
2
9
12
4
9 12
4
19
2
OP
e
e
e
e e
e
则
.
19
OP
（2）因为
，
(3,0),
(0,2),
(3,2)
OA
OB
OP
所以
，
，
1
2
3 ,
2
OA
e OB
e
1
2
3
2
OP
e
e
所以
，则四边形
是平行四边形，
OP
OA
OB
OAPB
所以
，
~
,
~
PFT
OAT
OER
PAR
A
A
A
A
因为
分别是
的中点，所以
，
,
E F
,
OB BP
1
1
,
2
2
PF
FT
OR
OE
OA
AT
PR
PA
所以
，
，
2
3
AT
AF
1
2
1
2
1
1
2
3
2
3
3
3
OR
OP
e
e
e
e
因为
1
1
1
2
2
2
AF
AO
OB
BF
OA
OB
BP
OA
OB
OA
OB
OA
，
2
1
3
2
2
e
e
则
，
1
2
1
1
2
2
2
3
4
3
2
2
3
3
2
3
OT
OA
AT
OA
AF
e
e
e
e
e
所以
，
；
2
1, 3
OR
4
2, 3
OT
（3）由（2）知，
，
2
1
3
2
2
AF
e
e
因为点
在线段
上运动，所以设
，其中
，
M
AF
2
1
3
2
2
AM
AF
e
e
0
1
≤
≤
因为
，所以
，
( , )
OM
x y
1
2
OM
xe
ye
所以
，
1
2
1
1
2
3
(
3)
AM
OM
OA
xe
ye
e
x
e
ye
因为
不共线，则
，解得
，
2
1,e
e
3
3
2
2
x
y
3
3
2
2
x
y
所以
，
2
2
3
3
2
3
6
3(
1)
3
2
xy
因为
，所以当
时，
取得最大值3.
0
1
≤
≤
1
xy
【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：
31．如图，设
，
是平面内相交成
角的两条数轴，
，
分别是与
轴、
轴正方
Ox
Oy
60
1e
2e
x
y
向同向的单位向量．若向量
，则把有序实数对
叫做向量
在坐标系
1
2
OM
xe
ye
,x y
OM
中的坐标，记作
．在此坐标系
中，若
，
，
Oxy
,
OM
x y
Oxy
3,0
OA
0,2
OB
，
是
的中点，
与
交于
两点．
3,2
OP
F
BP
AF
OP
T
(1)求
；
OP
(2)求
的坐标；
OT
(3)若过点
的直线分别与
轴、
轴正方向交于
、
两点，求
的最小值．
P
l
x
y
M
N
OMN
S∽
【答案】(1)
19
OP
(2)
4
2 3
OT
，
(3)
6 3
【分析】（1）依题意可得
，再根据数量积的运算律计算可得；
1
2
3
2
OP
e
e
（2）依题意可得
，即可得到
是平行四边形，从而得到
OP
OA
OB
OAPB
PFT
OAT
A
A
∽
，即可得到
，再根据
计算可得；
2
3
AT
AF
OT
OA
AT
（3）设
，
，又
三点共线，设
,0
OM
x
0,
ON
y
,
0
x y
, ,
M P N
，根据平面向量线性运算及基本定理得到
，从而得到
0
1
MP
MN
3
2
x
x
y
，再由面积公式及基本不等式计算可得.
3
2
,
0
1
1
x
y
【详解】（1）依题意可得
，
1
2
1
2
1
1
cos60
1 1 2
2
e e
e
e
，
1
2
3,2
3
2
OP
e
e
-
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
1
3
2
9
12
4
9 12
4
19
2
OP
e
e
e
e e
e
；
19
OP
（2）
，
，
，
3,0
OA
0,2
OB
3,2
OP
，
，
，
1
3
OA
e
2
2
OB
e
1
2
3
2
OP
e
e
，
OP
OA
OB
所以四边形
是平行四边形，即
，
OAPB
//
OA BP
，
PFT
OAT
A
A
∽
是
的中点，
，
F
BP
1
2
PF
FT
OA
AT
，
2
3
AT
AF
又
，
2
1
2
1
2
1
1
1
3
2
3
2
3
2
2
2
2
AF
OF
OA
OB
OP
OA
e
e
e
e
e
e
，
1
2
1
1
2
2
3
4
3
2
2
3
2
3
OT
OA
AT
e
e
e
e
e
；
4
2, 3
OT
（3）设
，
，
,0
OM
x
0,
ON
y
,
0
x y
则
，
，
1
OM
xe
2
ON
ye
因为
三点共线，则设
，
, ,
M P N
0
1
MP
MN
，
OP
OM
ON
OM
，
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
0
0
0
e
e
xe
e
e
ye
xe
e
，
1
2
1
2
3
2
0
0
0
x e
e
x e
y
e
，
，
3
2
x
x
y
3
2
,
0
1
1
x
y
1
3
3 3
1
sin 60
2
4
2
1
OMN
S
OM ON
xy
A
，当且仅当
时取等号，
2
3 3
1
6 3
2
1
2
1
2
所以
的最小值为
．
OMN
S∽
6 3
或者：由
，得
，
3
2
x
x
y
2
3
3,
2
x
y
xy
x
y
，
所以
，所以
，当且仅当
时取等号，
2
3
2 6
x
y
xy
xy
24
xy
6,
4
x
y
，当且仅当
时取等号，
1
3
sin 60
6 3
2
4
OMN
S
OM ON
xy
A
6,
4
x
y
所以
的最小值为
OMN
S∽
