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第 06 讲 函数最值的灵活运用
【典型例题】
例1．（2024·高三·河北·阶段练习）已知 ， ，且 ，若不等式 恒成立，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·高三·河北衡水·阶段练习）若不等式 对任意 恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例3．（2024·江西·二模）对任意 ，若不等式 恒成立，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
例4．（2024·高三·福建·阶段练习）用 表示a,b,c 中的最小值，设
则 的最大值是
A．4 B．6 C．3 D．5
例5．（2024·高三·浙江绍兴·期末）设函数 在 处取得极值，且
，当 时， 最大值记为 ，对于任意的 的最小值为 ．
例6．（2024·高三·全国·专题练习）已知 ，若关于x的不等式 对一切正实数x恒成
立，则当 取最小值时，实数 的值为 .
例7．（2024·陕西榆林·一模）已知函数 ，记 .
（1）求证： 在区间 内有且仅有一个实数；
（2）用 表示 中的最小值，设函数 ，若方程 在区间 内有
两个不相等的实根 ，记 在 内的实根为 .求证： .
例8．（2024·江苏淮安·一模）已知函数 ，直线 为曲线 的切线（ 为自然对数的底数）．
（1）求实数 的值；
（2）用 表示 中的最小值，设函数 ，若函数
为增函数，求实数 的取值范围．
例9．（2024·高三·吉林延边·开学考试）已知 是自然对数的底数，函数 与 的
定义域都是 .
（1）求函数 在点 处的切线方程；
（2）判断函数 零点个数;
（3）用 表示 的最小值，设 ， ，若函数 在
上为增函数，求实数 的取值范围．
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设实数 ，若对任意的正实数x，不等式 恒成立，则m
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·高三·四川·阶段练习）定义在 上函数 满足 ，且对任意的不相等的实数
有 成立，若关于x的不等式 在
上恒成立，则实数m的取值范围是
A． B． C． D．
3．（2024·高三·四川巴中·阶段练习）实数 满足 ， , 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知 （ 为常数）在 上有最大值3，则函数
在 上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·江苏·一模）用 表示x，y中的最小数．已知函数 ，则
的最大值为( )
A． B． C． D．ln2
6．（2024·四川凉山·二模）已知点 是曲线 上任意一点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2024·湖北·模拟预测）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． ， B．
C． 的最小值为 ，最大值为4 D． 的最小值为12
8．（2024·高三·河南驻马店·期末）已知函数 存在 个不同的正数 ，
，使得 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最大值为5 B． 的最大值为4
C． 的最大值为 D． 的最大值为
三、填空题
9．（2024·陕西西安·一模）若函数 在 内有且只有一个零点，则 在
上的最大值与最小值的和为 .
10．（2024·高三·宁夏银川·阶段练习）用 表示 两个数中的较小值．设
，则 的最大值为 .
11．（2024·浙江·模拟预测）已知函数 ， ，若关于 的不等式有解，则 的最小值是 .
12．（2024·山东菏泽·一模）关于 的不等式 恒成立，则 的最小值为 ．
13．（2024·河北·模拟预测）已知 表示不超过 的最大整数， ，设 ，且
，则 的最小值为 ；当 时，满足条件的所有 值的和 .
14．（2024·高三·北京·阶段练习）已知函数 在区间 上的最大值为M，当实数a，b
变化时，M最小值为 ．
15．（2024·天津·一模）记不超过 的最大整数为 ．若函数 既有最大值也有最小值，
则实数 的取值范围是 ．
四、解答题
16．（2024·浙江金华·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)当 时，求函数 的最小值．
17．（2024·江苏南通·二模）设函数 .已知 的图象的两条相邻对称轴
间的距离为 ，且 .
(1)若 在区间 上有最大值无最小值，求实数m的取值范围；
(2)设l为曲线 在 处的切线，证明：l与曲线 有唯一的公共点.
18．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的最小值；
(2)若 时， 恒成立，求 的最小值．19．（2024·海南·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，若函数 有最小值2，求 的值.
20．（2024·高三·江苏苏州·阶段练习）已知函数 有极值，与函数
的极值点相同，其中 是自然对数的底数.
(1)直接写出当 时，函数 在 处的切线方程；
(2)通过计算用 表示 ；
(3)当 时，若函数 的最小值为 ，证明： .
21．（2024·高一·江苏·阶段练习）已知向量 ， ，且 .
(1)求 的值；
(2)求 的取值范围；
(3)记函数 ，若 的最小值为 ，求实数 的值.
22．（2024·安徽合肥·一模）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 交于
两点，过 作 的切线 ，交于点 ，且 与 轴分别交于点 .
(1)求证： ；
(2)设点 是 上异于 的一点， 到直线 的距离分别为 ，求 的最小值.23．（2024·湖南邵阳·二模）设函数 .
(1)求 的极值；
(2)若对任意 ，有 恒成立，求 的最大值.
24．（2024·高三·浙江·阶段练习）已知函数 ，其中 .
(1)若曲线 在 处的切线在两坐标轴上的截距相等，求 的值;
(2)是否存在实数 ，使得 在 上的最大值是 ?若存在，求出 的值;若不存在，说明理由.
25．（2024·高三·河南·阶段练习）已知函数 .
(1)若 ，求 的最大值；
(2)若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围.
26．（2024·高三·云南昆明·阶段练习）已知 ，其中 为自然对数
底数．
(1)讨论 的单调性；
(2)已知 有极值，求 的所有极值之和的最大值．27．（2024·高三·北京·开学考试）已知函数 ， ，其中 .
(1)证明：当 时，
(2)用 表示 ， 的最大值，记 .问：是否存在实数 ，使得对任意 ，
恒成立？若存在，求 的取值范围；若不存在，请说明理由.
28．（2024·安徽黄山·一模）已知函数 在 处取得极大值．
(1)求 的值；
(2)求 在区间 上的最大值．
29．（2024·高三·河南·专题练习）已知函数 ， ．
(1)当 时，求证：对于任意 ， ；
(2)当 时，求 的最大值．
