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第二章 函数与基本初等函数（单元测试）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可得
，解得
.
2．已知
，
，
，则，，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意知，
，
，
又因为
，即
，所以
．
3．已知某AI 智能软件处理相关数据量（单位：
）与所需时间（单位：
）之间的关系为
，当要处理的数据量从
增加到
时，处理的时间增加了
，则要处理的数据量为
时，所需的处理时间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意：
，所以
.
所以
.
当
时，
（
）.
4．已知幂函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
是奇函数
D．
的值域为
【答案】D
【解析】对于A 选项：由分数指数幂的运算得
，而
，二者不相等，故A 错误；
对于B 选项：由
是偶函数得
，又幂函数
在
上单调递增，
且
，故
，即
，B 错误；
对于C 选项：
的定义域为
，对任意
，有
，
故
是偶函数，C 错误；
对于D 选项： 对任意
，
，因此
，值域为
，D 正确 .
5．函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，其定义域为
，关于原点对称.
因为
，
所以函数
为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B，C；
又因为
，当
时，函数
单调递增，函数
单调递增，
所以函数
在
上单调递增，故排除选项A，选项D 正确.
6．已知
且
，函数
对任意实数，
，都有
成立，则实数的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为对任意实数，
，都有
成立，
所以
在
上为增函数，
则
，解得
，则实数的范围是
.
7．定义
为
中的最小值，设
，则
的最大值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5
【答案】B
【解析】画出
，
，
的图像，观察图像可知，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
的最大值在
时取得为，故B 正确．
8．我们知道，函数
的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数
为奇函数，由此可以推
广得到：函数
的图象关于点
成中心对称的充要条件是函数
为奇函数．利用推
广结论，已知函数
，则
的值为（ ）
A．4048
B．4048
C．4050
D．4050
【答案】C
【解析】若
为奇函数，
则
，
所以
为奇函数，则函数
的图象关于点
成中心对称，
则
，
即
，且
，
所以
.
故选：C.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．判断下列对应关系是集合A 到集合B 的函数（ ）
A．
，
；
B．
，
；
C．
，
；
D．
，
.
【答案】BD
【解析】选项
，A 中的元素0 在B 中没有对应元素，故不是集合A 到集合B 的函数.
选项，对于集合A 中的任意一个整数，按照对应关系
在集合B 中都有唯一一个确定的整
数
与其对应，故是集合A 到集合B 的函数.
选项，由负数没有平方根，若集合A 中的元素取负整数，则集合B 中没有元素与之对应，故不是集合A
到集合B 的函数.
选项
，对于集合A 中任意一个实数，按照对应关系
在集合B 中都有唯一一个确定的数0 和
它对应，故是集合A 到集合B 的函数.
10．已知函数
的定义域为
， 且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】A，令
，得到
，又
，则
，错误.
B，令
，得到
，由选项A 知
，所以
，正确.
C，令
，则
，即
，
令
可得
，故
，而
，
所以
，正确，
D，由
，则
，
所以
，
，
由
可知
，即
，错误.
11．已知函数
，下列说法正确的是（ ）
A．若
有两个零点，则
B．
只有一个零点
C．若
有两个零点
，则
D．若
有四个零点，则
.
【答案】BCD
【解析】作出函数
的图象，如图所示，若
有两个零点，则
与
的图象有两个
交点，由图可知，
或
，故A 错误；
由图可知，
只有一个零点
，故B 正确；
若
有两个零点
，不妨设
，则
且
，所以
即
，
所以
，故C 正确；
令
，则若
有四个零点，则
在
内有一根，在
内有一根，或在
内有一根，且有一根为1，或在
内有一根，且有一根为0，
所以当
在
内有一根，在
内有一根时，
，得
；
当
有一根为1 时，
，
，此时
另一根为2，不符合题意；
当
有一根为0 时，不符合题意；
综上，
，故D 正确；
故选：BCD.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知函数
，若
，则
______.
【答案】或
【解析】当
时，
，解得
，则
；
当
时，
，解得
，
则
或
；
综上：
或.
13．已知函数
（
，
）的图象所过的定点在直线
上，则
的最
小值为______.
【答案】
/
【解析】函数
所过定点为
，
依题意，该定点在直线
上，则
，
即
，
故
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立，
故
的最小值为
.
14．已知函数
，给出下列四个结论：
①若
恰有2 个零点；
②存在负数
，使得
恰有1 个零点；
③存在负数
，使得
恰有3 个零点；
④存在正数
.，使得
恰有3 个零点.
其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】①②③
【解析】令
，
易知
，
当
时，
，
所以
在
单调递减，
当
时，
，
令
，
所以
在
上单调递减；在
上单调递增；
所以
在
取得极小值
，
又
，
画出
和
在同一坐标系下的图象如下所示：
由图可知当
时，
恰有2 个零点，故①正确；
存在负数
，当
时，使得
恰有1 个零点；故②对；
存在负数
，当
时，使得
恰有3 个零点；故③对；
当
时，使得
恰有2 或1 或0 个零点，故④错；
故答案为：①②③
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
（1）计算：
．
（2）计算：
.
（3）已知
，求
的值．
【解析】（1）
.
（2）
.
（3）由
得
，
；
由
得
，
，
故
.
16．（15 分）
已知函数
的解析式为
(1)画出这个函数的图象，并写出
的最大值；
(2)求
的值
(3)解不等式
【解析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，
当
时，
取得最大值4．
（2）
，
，
，
即
.
（3）当
时，
，所以
恒成立，
当
时，
，所以
，
当
时，
，所以
，
综上可知，
或
，
所以不等式的解集为
或
.
17．（15 分）
某公司生产某产品，原生产量为每年
万件，为适应市场需求，计划改进技术并扩大生产．据测算，
生产该产品的年固定成本为
万元，每生产
万件，需另投入可变成本
万元，且
．由市场调研知，该产品每件的售价为
元，且全年产品当年可全部售完．
(1)求年利润
（万元）与年产量（万件）的函数解析式（利润＝销售收入－固定成本－可变成
本）；
(2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
【解析】（1）由题意知，年利润
（2）当
时，
，
当且仅当
，即
时取等号，
此时，
取得最大值为
，
所以当年产量为
万件时，年利润最大，最大年利润为
万元.
18．（17 分）
已知函数
，
.
(1)是否存在实数，使得
为偶函数？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由.
(2)若
是奇函数，
（i）用定义证明
在
上的单调性；
（ii）若存在
，使得不等式
有解，求实数
的取值范围.
【解析】（1）若
为偶函数，则对任意
，
恒成立，
所以，
，
，
所以，
，
化简可得
，对任意恒成立，
当
时，
，即存在使得
，
所以
不恒为0，无法满足对任意
等式成立，
所以
，因此
.
（2）（i）若
是奇函数，则
，所以
，
即
，所以
，任取
，且
，
则
，
因为
在
上是单调递增函数，且
，
所以
，即
，又因为
，
所以
，即
，因此
在
上是单调递增函数.
（ii）因为
是奇函数，不等式
，
可化为
，即
，
又因为
在
上单调递增，所以
，即
，
令
，因为
，所以
，则
，
令
，对称轴为
，所以
在
上单调递增，
当
时，
，当
时，
，
所以使不等式
成立，只需
，即
，
所以
的取值范围为
.
19．（17 分）
设P，Q 是两个非空数集，若定义在
上的函数
对任意
当
时，
，
则称
为P 到Q 的双界函数.
(1)设
，
，
.
（ⅰ）证明：当
时，
是P 到Q 的双界函数；
（ⅱ）若
是P 到Q 的双界函数，求实数k 的取值范围.
(2)若
，
，
是P 到Q 的双界函数，当
时，
，求
在
上的最小值.
(3)设集合
其中
，
.若
，
是P 到Q 的双界函数，
证明：
是A 到B 的双界函数.
【解析】（1）（ⅰ）当
时，
，
，
当
，即
时，则
，即
，
显然
，因此
，
所以当
时，
是P 到Q 的双界函数.
（ⅱ）
，
是P 到Q 的双界函数，
则当
，即
时，
恒成立，
由
，得
恒成立，而
，
，
由
恒成立，得
；由
恒成立，得
，因此
，
所以实数k 的取值范围为
.
（2）依题意，当
时，
，则
，即
，
而函数
在
上单调递增，则当
时，
在
上单调递增，
当
时，
，
当
时，
；当
时，
，
，
又
，因此函数
在
上的最小值为
，
，
由
，得
，所以
在
上的最小值为2705.
（3）依题意，
时，
，
令
，则
，
令
，
，则
，
两式相加，得
，即
，
令
，
，则
，
因此
，
则
，所以
，
所以
是A 到B 的双界函数.
