文档文本内容
第 01 讲 集合(精讲+精练基础）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：集合的基本概念
高频考点二：用描述法表示集合
高频考点三：集合的基本关系
高频考点四：集合的运算
高频考点五： 图的应用
高频考点六：集合新定义题
第四部分：高考真题感悟
第五部分：集合(精练基础）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为： 和 .
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（ 图）.（4）常见数集和数学符号
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号
或
说明：
①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这
个集合中就确定了.给定集合 ，可知 ,在该集合中， ,不在该集合中；
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.
集合 应满足 .
③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合 和 是同一个集合.
④列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫做列举法.
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，
在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
2、集合间的基本关系
（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合 、 ，如果集合 中任意一个元素都是集合 中的元
素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 为集合 的子集 ，记作 （或 ），读作“
包含于 ”（或“ 包含 ”）.
（2）真子集（proper subset）：如果集合 ，但存在元素 ，且 ，我们称集合 是集合
的真子集，记作 （或 ）.读作“ 真包含于 ”或“ 真包含 ”.
（3）相等：如果集合 是集合 的子集（ ，且集合 是集合 的子集（ ），此时，集合
与集合 中的元素是一样的，因此，集合 与集合 相等，记作 .
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作 ； 是任何集合的子集，是任何非空
集合的真子集.
3、集合的基本运算
（1）交集：一般地，由属于集合 且属于集合 的所有元素组成的集合，称为 与 的交集，记作
，即 ．
（2）并集：一般地，由所有属于集合 或属于集合 的元素组成的集合，称为 与 的并集，记作
，即 ．
（3）补集：对于一个集合 ，由全集 中不属于集合 的所有元素组成的集合称为集合 相对于全集
的补集，简称为集合 的补集，记作 ，即 ．
4、集合的运算性质（1） ， ， ．
（2） ， ， ．
（3） ， ， ．
5、高频考点结论
（1）若有限集 中有 个元素，则 的子集有 个，真子集有 个，非空子集有 个，非空真
子集有 个．
（2）空集是任何集合 的子集，是任何非空集合 的真子集．
（3） ．
（4） , ．
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
故选：D
2．（2022·广东惠州·高一阶段练习）已知集合 ， ，若满足 ，
则 的值为( )
A． 或5 B． 或5 C． D．5
【答案】C
【详解】
∵ ，∴9∈A， 或 ，解得 或 或 ，
当 时， ， ，此时 ，不符合题意；
当 时， ，集合 不满足元素的互异性，不符合题意；
当 时， ， ，此时 ，符合题意；
综上，
故选：C．
3．（2022·海南·模拟预测）设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】D
，B为正奇数集
.
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知集合 ， ， ，则实数a的取值
集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为集合 化简可得
又 ， ，
所以 或 ，
故实数a的取值集合为 ，
故选：C.
5．（2022·贵州毕节·三模（理））已知全集 ，集合 ，若图中阴影部分表示的集
合是 ，则集合 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
将韦恩图分为4个区域，因为 ，且在阴影部分内，所以3和6在区域（1）内，
4和5在区域（2）内，而7、8、9则在区域（3）内，故集合 .
故选：C第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：集合的基本概念
例题1．（2022·全国·高三专题练习）下面能构成集合的是（ ）
A．中国的小河流 B．大于5小于11的偶数
C．高一年级的优秀学生 D．某班级跑得快的学生
【答案】B
【详解】
由题意，对于A，我国的小河流不能构成集合，不符合集合中元素的确定性；
对于B，大于5小于11的偶数为 ，可以构成集合；
对于C，高一年级的优秀学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性；
对于D，某班级跑得快的学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性.
故选：B.
例题2．（2022·江苏·高一）下列四个命题中，其中真命题的个数为（ ）
①与0非常接近的全体实数能构成集合；
② 表示一个集合；
③空集是任何一个集合的真子集；
④任何一个非空集合至少有两个子集．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【详解】
①与0非常接近的全体实数不确定，所以不能构成集合，错误；
② ，正确；
③空集是任何非空集合的真子集，错误；
④对于非空集合，至少有一个元素，所以子集的个数为 ，正确.
故选：C
例题3．（2022·全国·高一）有下列关系式：① ；② ；③ ；④
；⑤ ；⑥ ．其中不正确的是（ ）A．①③ B．②④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④
【答案】D
【详解】
对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确；
对②：因为集合 ，故 正确，即②正确；
对③：空集 是一个集合，而集合 是以 为元素的一个集合，因此 ，故③不正确；
对④： 是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是 ，故④不正确；
对⑤：由④可知， 非空，于是有 ，因此⑤正确；
对⑥：显然 成立，因此⑥正确．
综上，本题不正确的有③④，
故选：D
例题4．（2022·四川乐山·高一期末）已知集合 ， ，有以下结论：①
；② ；③ ．其中错误的是（ ）．
A．①③ B．②③
C．①② D．①②③
【答案】C
【详解】
由 可得
所以 ，故①错； ，②错； ，③对，
故选：C．
例题5．（2022·宁夏·银川一中高二期中（文））已知集合 .
(1)若A是空集，求 的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求 的值，并求集合A；
(3)若A中至少有一个元素，求 的取值范围.
【答案】(1) (2)当 时集合 ，当 时集合 ；(3)
(1)解： 是空集，
且 ，
，解得 ，
的取值范围为： ；
(2)解：①当 时，集合 ，②当 时， ，
，解得 ，此时集合 ，
综上所求，当 时集合 ，当 时集合 ；
(3)解： 中至少有一个元素，则当 中只有一个元素时， 或 ；
当 中有2个元素时，则 且 ，即 ，解得 且 ；
综上可得 时 中至少有一个元素，即
题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知 、 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B．0 C． D． 或
【答案】C
【详解】
由 且 ，则 ，
∴ ，于是 ，解得 或 ,
根据集合中元素的互异性可知 应舍去，
因此 ， ,
故 ．
故选：C.
2．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知集合 ，若 ，则实数a的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为 ，
所以 ，
解得 ．
故选：D．
3．（2022·福建厦门·高一期末）若集合 ，则下列选项正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为集合 是奇数集，
所以 ， ， ， A，
故选：C
4．（2022·浙江·高三专题练习）已知集合 ， ，则集合B中元素个数为
（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】A
【详解】
集合 ， ，
则当 时，有 ，当 时， 或 ，当 时， 或 ，
所以 ，集合B有中5个元素.
故选：A
5．（2022·全国·高三专题练习）若 ，则 的可能取值有（ ）
A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3
【答案】C
【详解】
，则 ，符合题设；
时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；
时，则 ，符合题设；
∴ 或 均可以.
故选：C
高频考点二：用描述法表示集合
例题1．（2022·湖南衡阳·高一期中）集合 ＝（ ）
A．{0，1，2} B．{－2，－1，0} C．（－3，1） D．（－1，3）
【答案】A
【详解】
解不等式 ，得 ，又因 ，集合为
故选：A例题2．（2022·全国·高一课时练习）方程组 的解集可表示为___________（填序号）．
① ；② ；③ ；④ ．
【答案】①②④
由 ，所以满足条件的有①②④
故答案为：①②④
题型归类练
1．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题意，集合 ，
或 ，
结合集合的交集的概念及运算，可得 .
故选：B.
2．（2022·广西玉林·高一期末）集合 ，用列举法可以表示为 _________．
【答案】 ##
【详解】
因为 ，所以 ，可得 ，因为 ，所以 ，集合 ．
故答案为：
高频考点三：集合的基本关系
例题1．（2022·四川·高三阶段练习（理））集合 的一个真子集可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：由 ，即 ，解得 ，所以 ，所以 的一个真子集可以为 ．
故选：C
例题2．（2022·全国·高三专题练习）设集合 ，则集合A的子集个数为
（ ）
A．16 B．32 C．15 D．31
【答案】B
【详解】
因为集合 ，
所以集合A的子集个数为 ，
故选：B
例题3．（2022·四川攀枝花·三模（文））设集合 ， ，若 ，则
实数 的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
或 ，
因为 ，故可得 ，即实数 的取值范围是 .
故选：D.
例题4．（2022·全国·高一课时练习）下列四个集合中，是空集的是（ ）
A． B． ，且
C． D．
【答案】B
【详解】
A中有元素0，B中集合没有任何元素，为空集，C中有元素1，D中集合，大于4的实数都是其中的元素．
故选：B．
例题5．（2022·浙江丽水·高一期末）已知集合 ， ，若 ，则实数
_______
【答案】
解：因为 ，
所以方程 有且只有一个实数根 ，所以 ，解得 .
所以
故答案为：
例题6．（2022·吉林·延边州教育学院一模（文））已知集合 ， ， ，则
实数 的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题意得， ，∵ ， ，
∴实数a的取值集合为 ,
故选:C.
题型归类练
1．（2022·河北·张家口市第一中学高三阶段练习）已知集合 ， ，若
，则实数 的取值组成的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：集合 ， ，
当 ，即 时，显然满足条件 ；
当 时， ，
因为 ，所以 或 ，即 或 ，解得 或 ；
综上，实数 的取值组成的集合是 .
故选：D.
2．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））已知集合 ，集合 ，若
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】， ， ，
且 ，解得： ，即 的取值范围为 .
故选：D.
3．（2022·湖北·应城市第一高级中学高三阶段练习）若集合 ， ，若
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
集合 ， ，若
则 ，即 的取值范围是 .
故选：D.
4．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ，
，则下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 或 D．若 时，则 或
【答案】ABC
【详解】
，若 ，则 ，且 ，故A正确.
时， ，故D不正确.
若 ，则 且 ，解得 ，故B正确.
当 时， ，解得 或 ，故C正确.
故选：ABC．
5．（2022·安徽·高一期中）设集合 ，则集合 的子集个数为________
【答案】16
【详解】
解： ，
故A的子集个数为 8，
故答案为：166．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）满足 {1，2，3}的所有集合A是
___________．
【答案】{1}或{1，2}或{1，3}
【详解】
因为 {1，2，3}，
所以集合A中至少有一个元素1，且为集合{1，2，3}的真子集，
所以集合A是{1}或{1，2}或{1，3}，
故答案为：{1}或{1，2}或{1，3}
7．（2022·全国·高三专题练习）设集合 ， ，且 ，则 的值
_________．
【答案】2
， ， ，
或 ，
解得 或 ，
．
故答案为：2．
高频考点四：集合的运算
例题1．（2022·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
，所以 ，
故选：B.
例题2．（2022·河南·模拟预测（文））若集合 ， ，则 中的元素个数
为（ ）
A．2 B．4 C．7 D．8
【答案】D
【详解】
，
，共有8个元素.故选：D
例题3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
因为 ， ，所以 .
故选：D.
例题4．（2022·江苏南通·模拟预测）设集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
解不等式 ，则 ，解得： 或 ，即 或 ，
于是得 ，而 ，
所以 .
故选：C
例题5．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模（文））已知集合 ， ，若
，则 （ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0或1或2
【答案】C
【详解】
解： ，
因为 ，
所以a=1或2，
故选：C．
题型归类练1．（2022·山东威海·三模）设集合 ，且 ，则
（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【详解】
解：由题意，集合 ， ，
因为 ，可得 ，解得 .
故选：D.
2．（2022·全国·模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则实
数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
解：由题可得集合 ，
因为 ，
所以 或 ，
解得 或 ，
所以实数 的取值范围是 ，
故选：C．
3．（2022·河北张家口·三模）已知 ， ， ，若
，则m的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
∵ ，故 ，
∵ 奇数集，
，其中奇数集 ，
∴m的取值集合为 .
故选：C.
4．（2022·安徽·高一期中）已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
由 可得 ，由 可得 ， ，即 或 ，
所以 ，所以 ，
故选：A
5．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
解：因为集合 ，
，
所以 ，
故选：D.
6．（2022·辽宁·二模）已知全集 ， ， 则 是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
，， .
故选：C
7．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
由题设， ，
所以 ，则 或 .
故选：B
8．（2022·天津·高三专题练习）全集 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为 ， ，
故 且 ，则 .
故选：A.
高频考点五： 图的应用
例题1．（2022·安徽马鞍山·三模（文））已知全集U=R，集合 ，集合 ，则图中
的阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由图可知阴影部分为 ，
故选：D
例题2．（2022·重庆市育才中学高三开学考试）设集合 、 均为 的子集，如图， 表示区域（ ）
A．Ⅰ B．II
C．III D．IV
【答案】B
由题意可知， 表示区域II.
故选：B.
例题3．（2022·甘肃·二模（文））建党百年之际，影片《 》《长津湖》《革命者》都已陆续上
映，截止 年 月底，《长津湖》票房收人已超 亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影
片中的其中一部影片的市民中随机抽取了 人进行调查，得知其中观看了《 》的有 人，观看了
《长津湖》的有 人，观看了《革命者》的有 人，数据如图，则图中 ___________；
___________； ___________.
【答案】
由题意得： ，解得： .
故答案为： ； ； .
题型归类练
1．（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）正确表示图中阴影部分的是（ ）
A． M∪N B． M∩N
C． （M∪N） D． （M∩N）
【答案】B图中阴影部分为M的补集与集合N相交的部分，即 ，
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知全集 ，集合 ， ，
则图中阴影部分表示的集合中，所包含元素的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为 或 ，则 ，
由题意可知，阴影部分所表示的集合为 .
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知全集 ，集合 和 的关系的韦恩
（Wenn）如图所示，则阴影部分所示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
阴影部分所示的集合
故选：C
3．（2022·福建漳州·高一期末）正确表示图中阴影部分的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
解：由题意图中阴影部分：
故选：C
4．（2022·湖南·高一课时练习）为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要
24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手，有8人既参加了测
量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有几人三项
工作都参加了．试问这支测绘队至少有多少人？
【答案】44
记集合 是参加测量的学生 ， 是参加计算的学生 ，
是参加绘图的学生 ，则由已知可得如下韦恩图.
所以
已知 ，故这支测绘队至少有44人.
高频考点六：集合新定义题
例题1．（2022·云南省玉溪第一中学高二期中）定义集合 的一种运算：
，若 ，则 的元素个数为（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】C
由题可知， ，故 中的元素个数为4.
故选：C.
例题2．（2022·山东聊城·二模）已知集合 ， ，则集合 中元素个数为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C解：因为 ， ，所以 或 或 或 ，
故 ，即集合 中含有 个元素；
故选：C
例题3．（2022·浙江·高三专题练习）设集合 ， ，定义集合
，则 中所有元素之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为集合 ， ，定义集合 ，
因为 ， ， ， ，
所以 ，
所以 中所有元素之和为 ，
故选：B.
题型归类练
1．（2022·湖北·荆州中学高三期末）已知 ， 是任意两个非空集合，定义集合
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题意 .
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）定义集合运算： ，设集合
， ，则集合 的所有元素个数为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
所以集合 的共有3个元素.
故选：
3．（2022·全国·高一）设 定义A与B的差集为 且 ，=_______．
【答案】
由题意， 有 、 ，故 ，
∴ 有 、 ，则 .
故答案为：
第五部分：高 考 真 题 感 悟
1．（2021·湖南·高考真题）已知集合 ， ，且 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
因为集合 ，
所以 ，
故选：A.
2．（2021·江苏·高考真题）已知集合 ， ，若 ，则 的值是（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】B
因为 ，若 ，经验证不满足题意；
若 ，经验证满足题意.
所以 .
故选：B.
3．（2021·天津·高考真题）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
，
， .
故选：C.
4．（2021·全国·高考真题）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】B
由题设可得 ，故 ，
故选：B.
5．（2021·全国·高考真题（文））已知全集 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由题意可得： ，则 .
故选：A.
第六部分：第 01 讲 集合（精练基础）
一、单选题
1．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（文））已知集合 ，集合
，则集合 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
因为集合 ，集合 ，
所以 ，
故选：C
2．（2022·湖南·模拟预测）已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
解：由题意得：
集合 ， 或 ，故
故选：D．
3．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（理））设全集 ，集合 ，
，则集合 （ ）A． B．
C． D．
【答案】C
由己知可得 或 ，因此， ．
故选:C
4．（2022·全国·模拟预测）已知全集 ，集合 ， ，则图中阴影部分
表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
.
因为 ， ， ，图中阴影部分表示的集合为 中的元素去掉
中的元素，即 .
故选：D．
5．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（理））若 是集合 的真子集，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由“ 是集合 的真子集”得
，
即方程 有实数解，
，解得 或 ．
故选：D．
6．（2022·全国·模拟预测）已知全集 ，集合 ， ，，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
由 图知：阴影部分在集合 中且在集合 中，但不在集合 中，
阴影部分表示的集合为 .
故选：C．
7．（2022·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
∵ ，∴ ，∴集合 .
∵ ，则 ，解得 或 ，
∴集合 ，∴ .
故选：D.
8．（2022·山西·二模（理））已知集合 ， ，若 有2个元素，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D解：因为 ， ，
若 有2个元素，则 或 ，解得 或 ，
所以，实数 的取值范围是 .
故选：D．
二、填空题
9．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）若全集 ，集合 ，
，则 ___________.
【答案】 ##
【详解】
因为 ， ，
所以 或 ， ，
所以 .
故答案为： .
10．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）满足 {1，2，3}的所有集合A是
___________．
【答案】{1}或{1，2}或{1，3}
【详解】
因为 {1，2，3}，
所以集合A中至少有一个元素1，且为集合{1，2，3}的真子集，
所以集合A是{1}或{1，2}或{1，3}，
故答案为：{1}或{1，2}或{1，3}
11．（2022·安徽·高一期中）设集合 ，则集合 的子集个数为________
【答案】16
【详解】
解： ，
故A的子集个数为 8，
故答案为：1612．（2022·重庆市巫山大昌中学校高一期末）某班有39名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每
名同学至多参加两个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物
理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参见数学和化学小组有多少人__________.
【答案】
设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为 ， 、 ，同时参加数学和化学小组的人数为
，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为 ，如图所示：
由图可知： ，解得 ，
所以同时参加数学和化学小组有 人.
故答案为： .
三、解答题
13．（2022·浙江金华第一中学高一阶段练习）已知全集为 ，集合 ，
．
(1)求 ， ；
(2)若 ，且 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ； (2)
(1)
，
，
或 ，
.
(2)
因为 ，所以 ，
当 ，即 时， ，符合题意；当 ，即 时， ，解得 ，
综上所述：实数 的取值范围是 .
14．（2022·湖北·赤壁市车埠高级中学高一期中）已知集合 ， .
(1)当 时，求 ；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1) (2)
(1)由 化简得 ， 解得 ，故 ，
当 时， ，
因此 .
(2)因 ， ， ，
所以 ，
经计算得 ，
故实数 的取值范围是
15．（2022·云南玉溪·高一期末）已知集合 ， ．
(1)若 ，求 ；
(2)在① ，② ，③ ，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数 的取
值范围．
【答案】(1) (2)答案见解析
(1)因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ．
(2)若选① ：则满足 或 ，
所以 的取值范围为 或 ．
若选② ：所以 或 ，则满足 ，所以 的取值范围为 ．
若选③ ： 由题意得 ，
则满足
所以 的取值范围为
